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Full text of "S.E.R.W.A.Y. - VOL 2 - FISICA.pdf"

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ICA 



Para Ciencias e Ingenieria 

Tomo II 



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Para Ciencias e Ingenieria 



Raymond A. S^rWay 

James^Madjspn University" 




UNET-BffiLIOTECA 



UIUIIBOiOOIiliDHIlIlll 

D030001152291 



McGRAW-HILL 



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MEXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID 
NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFE DE BOGOTA • SANTIAGO • SAO PAULO 

AUCKLAND • LONDRES • MILAN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO 
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Publisher: Rene Serrano Najera 
Gerente de producto: Sergio Cervantes Gonzalez 
Supervisor de edicion: Felipe Hernandez Carrasco 
Supervisor de production: Zeferino Garcia Garcia 



FISICA 

Para Ciencias e Ingenieria 

Quinta edicion 

TomoII 



Prohibida la reproduction total o parcial de esta obra, 
por cualquier medio, sin autorizacion escriia del editor. 



DERECHOS RESERVADOS © 2002, respecto a la quinta edicion en espanol por 
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA editores, SA. de C.V. 
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies 

Cedro Num. 512, Col. Adampa 

Delegacion Cuauhtemoc, 

C.P. 06450, Mexico, D I, 

Miembro de la Camara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Num. 736 



ISBN 970-10-3580-1 Obra completa 
ISBN 970-10-3581-X Tomo I 
ISBN 970-10-3582-8 Tomo II 



ISBN 970-10-12963 (cuarta edicion) 
ISBN 970-10-03263 (tercera edicion) 



Translated from the fifth English edition of 

Physics for Scientists and Engineers 

By Raymond A Serway and Robert J. Beichner 

Copyright © 2000, 1996, 1990, 1986, 1982, by Saunders College Publishing 

All rights reserved 

ISBN 0-O3-O22657-0 

1234567890 

Impreso en Mexico ^^JS^Hp.^no^ 

ln?xinwenNwien*redei200ien 

Ccmpaftfa EdtoriaJ UHra, S A de C.V. 
09876543201 CentenoNa 162-2 

Cd. Granjas EsmeraWa 

Delegacion btapalapa 
Printed in Mexico C.P. 09810 Mexico D.F. 



/ 



Cantidad 



Simbolo 



Valor* 




Unidad de masa atomica u 

Numero de Avogadro N A 

:^pisi^5M^^!M&^ ,. . ''■••■-•' 

• 'Marfeton'ade'-Bbnr'; Mb = 

Radio de Bohr a = 

Consiante de Boltzmann 
Longitud de onda Compton 

r'lGoristante de, Coulomb k, = • 



eh : 
m,e~k. 



m,c 

■ 1 
4ire„ 



,<»;*■-" 






Masa del deuteron 


m d 




Masa.delfelectfon 


m e 
















P''-^"?:* 






^''iElecp^on-yolt 


..< eV 




Vr Carga elemental 


"e 




Constante de los gases 


R 




• . Constante gravitational " 


. G 


^fr, 


•,; EnergiaTdel estado base 

dpi hidrnorfnn 


£,= 


2a 



1.660 540 2(10) x lO" 27 kg 

931.494 32(2 8) MeV/r . 

6.022 136 7(36) x 10 23 paruculas/mol 

9.274 015 4(31) x 10" 24 J/T --.; 



0.529 177 249 (24) x 10" 10 rri 
1.380 658 (12) x lO' 23 J/K 



h 
A c = 2.426 310 58(2 2) x 10" 12 m 



8.987 551 787 x 10 9 N-m'-/C 2 (exacto) 

3.343 586 0(20) x 10" 27 kg 

2.013 553 214 (24) u 

9.109 389 7(54) x lO" 31 kg 

5.485 799 03(1 3) x 10" 4 u 

0.510 999 06(1 5) MeV/<r : 

1.602 177 33(4 9) x 10-' 9 J 

1.602 177 33(4 9) x 10" 19 C 

8!314510 (70)J/K-mol 

6.672 59(8 5) x 1Q-" N-mVkg 2 ' 



- — - -13.605 698 (40) eV 



'?fe:fr 



; 



Proportion freeuencia-voltaje 
* ' ..deiTosephson 

k Cuanto' de flujo magnetico 

ffi' ■.*.' k ■ '■' ' '' ' 

Masa del neutron 



Magneton nuclear ;;;J 

Permeabilidad del espacio libre 
Perrnitividad del espacio libre 



Constante de Planck 



Masa del proton 



Constante de Rydberg 
Rapidez de la luz en el vacio 



&-:■ 



■2e/h 
'% h 



M„ = 



2m b 



4.835 976.7(14) x 10 14 Hz/V 



2.067 834 61(6 1) x 10"' 5 T-m 2 

1.674 928 6(10) x 10" 27 kg 
1.008 664 904 (14) u 
939.565 65(2:8) MeV/c 2 • 

5.050 786 6(17) x 10" 27 J/T 



Mo 




4ttx 10" 7 T-rh/A (exacto). 


«0 = 


1/MoC 2 


8.854 187 817 x 10~ 12 
C 2 /N-m 2 (exacto) 


h 




6.626 075(40) x 10" 34 J -s 


h = 


A/2* 


1.054 572.66(6 3) x lO'^J-s 


■m p 




1.672 623 (10) x 10~ 27 kg 
1.007 276 470 (12) u 
938.272 3(28) MeV/c 2 


R* 




1.097 373 153 4(13) x 10 7 m" 1 


c 




2.997 924 58 x 10 8 m/s (exacta) 



a "Estas constantes son los valores recomendados en 1986 por la CODATA, estan basados en un ajuste de 
minimos cuadrados de datos de distintas mediciones. Para una lista mas completa vease E. R. Cohen y B. 
N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 59:1121, 1987. 

'' Los numeros entre parentesis para los valores en esta eolumna representan las incertidumbres de los ul- 
timos dos digitos. 




NTT 



Mercurio 

Venus 

tierra 

Marte 

Jupiter 

Saturno 

Urano 

Neptuno 

Pluton 

Luna 

Sol 



3.18 x 10 2S 
4.88 x 10 24 
5.98 x 10 24 
6.42 x 10 2 » 
1.90 x io 27 
5.68 x 10 26 
8.68 x 10 23 
1.03 x 10 26 
=1.4 x IO 22 
7.36 x IO 22 
1.991 x 10 s0 



2.43 x 10 6 
6.06 x IO 6 
6.37 x IO 6 
3.37 x 10 6 

^5.99 x 10 7 
5.85 x 10 7 
2.33 x 10' 
2.21 x IO 7 

« 1.5 x 10 6 
1.74 x 10 6 
6.96 x 10 8 



7.60 x 10 6 
1.94 x 10 7 
3.156 x 10 7 
5.94V 10 f '., 
3.74 x IO 8 ,. 
9.35 x 10* - 
2.64 x 10 9 
5.22 x 10 9 
7.82 x 10 9 



•5.79xlQ ,0 : 

litos xW. 

: 4^96>t'l6 n; 
2,.28x 10)' 
"7.78 x, It) 11 

Jj^x 10 12 
2.87 x 10' 2 
4.50 xlO 12 
5.91 x 10 12 






Datosffsicososadosconfrecuencia 3 , - '^ v = 



Distancia promedio Tierra-Luna 
Distancia promedio Tierra-Sol 
Radio promedio de la Tierra 
Densidad del aire (0°C y 1 atm) 
Densidad del agua (20°C y 1 atm) 
Aceleracion de caida libre 
Masa de la Tierra 
Masa de la Luna 
Masa del Sol 
Presion atmosferica estandar 



3.84 x 10 s m 
1.496 x 10 u m 
6.37 x 10 6 m 
1.29 kg/m 3 
1.00 x 10 s kg/m 3 
9.80 m/s 2 
5.98 x 10 24 kg 
7.36 x 10 22 kg 
, 1.99 xlO 30 kg 
1.013 x IO 5 Pa 



a Estos son los valores de las constantes como se usan en el texto. 



i^^^^sBt 


i|SsE§g|fgj§fg8 








^^^^^^^^^^^^ 








Potencia 


Prefijo 


Abreviatura 


Potencia 


Prefijo 




Abreviatura 


IO" 24 


yocto 


y 


io 1 


deca 




da 


IO" 21 


zepto 


z 


10 2 


hecto 




h 


io- 18 


ato 


a 


10 s 


kilo 




k 


io-' 5 


femto 


f 


io 6 


mega 




M 


IO"' 2 


pico 


P 


IO 9 


g!ga 




G 


IO" 9 


nano 


n 


IO 12 


tera 




T 


10"* 


micro 


fi 


IO 15 


peta 




P 


.10-' 


mili 


m 


io 18 


exa 




E 


io- 2 


centi 


c 


IO 21 


zeta 




Z 


10"' 


deci 


d 


IO 24 


yota 




Y 






Panorama del contenido 



parte 4 Electricidad y magnetismo 707 

23 Campos electricos 708 

24 Ley de Gauss 743 

25 Potential electrico 768 

26 Capacitancia y dielectricos 803 

27 Corriente y resistencia 840 

28 Circuitos de corriente continua 868 

29 Campos magneticos 904 

30 Fuentes del campo magnetico 937 

31 Ley de Faraday 979 

32 Inductancia 1014 

33 Circuitos de corriente alterna 1043 

34 Ondas electromagneticas 1075 

parte 5 Luz y optica 1105 

35 La naturaleza de la luz y las leyes de la optica geometrica 1106 

36 Optica geometrica 1139 

37 Interferencia de ondas luminosas 1185 

38 Difraccion y polarization 1211 




parte 6 , Ffsica moderna 1245 



39 Relatividad 1246 

40 Introduction a la fisica cuantica 1289 

41 Mecanica cuantica 1322 

42 Fisica atomica 1355 

43 Moleculas y solidos 1395 

44 Estructura nuclear 1436 

45 Fision y fusion nucleares 1475 

46 Fisica de particulas y cosmologia 1511 



^>endices A.1 

Respuestas a problemas de numero impar A. 41 

Indice 1.1 



viv 






labia de contenido 



parte 4 Electricidad y magnetismo 707 25 Potential electrico 768 



23 Campos electricos 708 



709 



722 



23.1 Propiedades de las cargas electricas 

23.2 Aislantes y conductores 711 

23.3 La ley de Coulomb 713 

23.4 El campo electrico 718 

23.5 Campo electrico de una distribution de carga continua 

23.6 Lineas de campo electrico 726 

23.7 Movimiento de particulas cargadas en un campo electrico 
uniforme' 728 

24 Ley de Gauss 743 

24.1 Flujo electrico 744 

24.2 Ley de Gauss 747 

24.3 Aplicacion de la ley de Gauss a aislantes cargados 750 

24.4 Conductores en equilibrio electrostatico 754 

24.5 (Optional) Verification experimental de las leyes de Gauss'y de 
Coulomb 75"6 

24.6 (Optional) Deduction formal de la ley de Gauss 758 




25.1 Diferencia de potential y potential electrico 769 

25.2 Diferencias de potential en un campo electrico uniforme 771 

25.3 Potential electrico y energia potential debidos a cargas 
puntuales 774 

25.4 Obtencion del valor del campo electrico a partir del potencial 
electrico 778 

25.5 Potencial electrico debido a distribuciones de carga 
continuas 781 

25.6 : Potential electrico debido a un conductor cargado 784 

25.7 (Optional) El experimento de la gota de aceite de Millikan 788 

25.8 (Optional) Aplicaciones de la electrostatica 789 

26 Capacitancia y dielectricos 803 

26.1 Definition de capacitancia 804 

26.2 Calculo de la capacitancia 805 

26.3 Combinationes de capatitores 809 

26.4 Energia almacenada en un capacitor cargado 813 

26.5 Capatitores con dielectricos 818 

26.6 (Optional) Dipolo electrico en un campo electrico 823 

26.7 (Optional) Una description atomica de los dielectricos 826 

27 Corriente y resistencia 840 

27.1 Corriente electrica 841 

27.2 Resistencia y ley de Ohm. 844 

27.3 Un modelo para la conduction electrica 850 

27 A Resistencia y temperatura 853 

27.5 (Optional) Superconductores 854 

27.6 Energia electrica y potentia 856 

28 Circuitos de corriente continua 868 



891 



28.1 Fuerza electromotriz 869 

28.2 Resistores en serie y en paralelo 871 

28.3 Reglas de Kirchhoff 877 

28.4 Circuitos AC 882 

28.5 (Optional) Instrumentos electricos 887 

28.6 (Optional) Cableado domestico y seguridad electrica 

29 Campos magneticos 904 

29.1 El campo magnetico 906 

29.2 Fuerza magnetica sobre un conductor que lleva 
corriente 910 

29.3 Momento de torsion sobre una espira de corriente en un campo 
magneuco uniforme 914 

29.4 Movimiento de una particula cargada en un campo magnetico 
uniforme 918 

29.5 (Optional) Aplicaciones que involucran el movimiento de 
particulas cargadas en un campo magnetico 922 

29.6 (Optional) El efecto Hall 925 



IX 



TABLA DE CONTENIDO 




30 Fuentes del campo magnetico 937 

30.1 La ley de Biot-Savart 938 

30.2 La fuerza magnetica entre dos conductores paralelos 943 

30.3 Ley de Ampere 945 

30.4 El campo magnetico de un solenoide 949 

30.5 Flujo magnetico 951 

30.6 La ley de Gauss en el magnetismo - 953 

30.7 Corriente de desplazamiento y la forma general de la ley de 
Ampere 954 

30.8 (Optional) Magnetismo en la materia 956 

30.9 (Optional) El campo magnetico de la Tierra 964 



31 Ley de Faraday 979 



980 



31.1 Ley de induction de Faraday 

31.2 Fern en movimiento 985 

31.3 LeydeLenz 988 

31.4 Fem inducida y campos electricos 992 

31.5 ( Optional) Generadores y motores 994 

31.6 (Optional) Corrientes parasitas 997 

31.7 Las maravillosas ecuaciones de Maxwell 999 

32 Inductancia 1014 

32.1 Autoinductancia 1015 

32.2 Circuitos/JL 1017 

32.3 Energia en un campo magnetico 1021 

32.4 Inductancia mutua 1024 

32.5 Oscilaciones en un tircuito LC 1026 

32.6 (.Optional) El circuito RLC 1031 

33 CircuKos de corriente alterna 7043 

33.1 Fuentes de ca y fasores 1044 

33.2 Resistores en un circuito de ca 1044 

33.3 Inductores en un circuito de ca 1048 

33.4 Capacitores en un circuito de ca 1050 

33.5 El circuito RLC en serie 1051 

33.6 Potencia en un circuito de ca 1056 

33.7 Resonancia en un circuito RLC en serie 1057 

33.8 El transformador y la transmision de energia 1060 

33.9 (Optional) Rectificadores y filtros 1063 



34.4 Momentum y presion de radiation 1085 

34.5 (Optional) Radiation de una lamina de corriente 
innnita 1088 

34.6 (Optional) Production de ondas electromagneticas por medio de 
una antena 1090 

34.7 El espectro de ondas electromagneticas 1093 



parte 5 Luz y optica 1105 



35 



35.1 
35.2 
35.3 
35.4 
35.5 
35.6 
35.7 
35.8 
35.9 



La naturaleza de la luz y las leyes de la 
optica geometries 1106 



La naturaleza de la luz 1107 

Meditiones de la rapidez de la luz 1108 

La aproximation de rayos en la optica geometrica 

Reflexion 1110 

Refraction 1113 

El printipio de Huygens 1119 

Dispersion y prismas 1122 

Reflexion total interna 1125 

(Optional) Printipio de Fermat 1128. ■ 



1109 



36 Optica geometrica 1139 

36.1 Imagenes formadas por espejos pianos 1140 

36.2 Imagenes formadas por espejos esfericos 1143 

36.3 Imagenes formadas por refraction 1150 

36.4 Lentes delgados 1154 

36.5 (Optional) Aberrationes de lentes 1162 

36.6 (Optional) La camara 1163 

36.7 (Optional) El ojo 1165 

36.8 (Optional) El amplifkador simple 7770 

36.9 (Optional) El microscopio compuesto 7772 

36.10 (Optional) El telescopio 7774 

37 Interferencia de ondas luminosas 7785 

37.1 Conditioner para la interferencia 1186 

37.2 Experimento de la doble rendija de Young 1187 

37.3 Distribution de la intensidad del patron de interferencia de 
doble rendija 1190 

37.4 Suma fasorial de ondas 1193 

37.5 . Cambio de fase debido a la reflexion 7796 

37.6, Interferencia en peliculas delgadas 1198 

37.7 (Optional) El interferometro de Michelson 7202 



38 D'rfraccion y polarizacidn 7277 

38.1 Introduction a la difiraction 7272 

38.2 Difiraction de rendijas estrechas 1214 

38.3 Resolution de abertura circular y de una sola rendija 

38.4 La rejilla de difractidn 1224 

38.5 (Optional) YXSncdon de rayos X por cristales 1228 

38.6 Polarization de ondas luminosas 7250 



7220 



parte 6 Fisica moderna 1245 



34 Ondas electromagneticas 7075 

34.1 Ecuaciones de Maxwell y descubrimientos de Hertz 7076 

34.2 Ondas electromagneticas planas 1078 

34.3 Energia transportada por ondas electromagneticas 1083 



39 Relatividad 7246 

39.1 El printipio de la relatividad galileana 1248 

39.2 El experimento de Michelson-Morley 7257 



TABLA DE CONTENIDO 



XI 



39.3 Prindpio de la relatividad de Einstein 1253 ,-,*•-.», 

39.4 Consecuencias de la teoria especial de la relatividad 1254. 

39.5 Las ecuaciones de transformation de Lorentz 1265 

39.6 Momentum lineal relativista y forma relativista de las leyes de 
Newton 1270 

39.7 Energia relativista 1271 

39.8 Equivalencia de la masa y la energia 1274 

39.9 Relatividad y electromagnetismo 1276 

39.10 (Optional) La teoria general de la relatividad 1278 

40 Introduction a la fisica cuantica 1289 

40.1 Radiation de cuerpo negro e hipotesis de Planck 1290 

40.2 El efecto fotoelectrico 1295 

40.3 El efecto Compton 1298 

40.4 Espectros atomicos 1302 

40.5 Modelo cuantico del atomo de Bohr 1 305 

40.6 Fotones y ondas electromagneticas 1310 

40.7 Las propiedades ondulatorias de las particulas 1311 



41 Mecanica cuantica 1322 



1323 



41.1 Regreso al experimento de doble rendija 

41.2 El prindpio de incertidumbre 1327 

41.3 Densidad de probabilidad 1330 

41.4 Una particula en una caja 1333 

41.5 La ecuacion de Schrddinger 1337 

41.6 (Optional) Una particula en un pozo de altura finita 1339 

41.7 (Optional) Efecto ninel a traves de una barrera 1340 

41.8 (Optional) El microscopio de efecto tunel exploratorio 1343 
4L9 (Optional) El oscilador armonico simple 1344 

42 Fisica atomica 1355 

42.1 Los primeros modelos del atomo 1356 

■ 42.2 Nueva visiia al atomo de hidrogeno. 1358 

42.3 El numero cuantico magnetico del espin 1360 

42.4 Las funciones de onda para el hidrogeno 1361 

■ 42.5 Los otros numeros cuanticos 1365 

42.6 El principio de exclusion y la tabla periodica 1371 

42.7 Espectros atomicos 1376 

42.8 Transiciones atomicas 1380 

42.9 (Optional) Rayos laser y holografia 1382 

43 Moleculas y solidos 1395 



1402 



43.1 Enlaces mnleculares 1396 

43.2 La energia y espectros de moleculas 

43.3 Enlace en solidos 1409 

43.4 Teoria de bandas de solidos 1413 

43.5 Teoria de electrones libres de metales 1414 

43.6 Conduction electrica en metales, aislantes y 
semiconductores 1417 

43.7 (Optional) Dispositivos semiconductores 1421 

43.8 (Optional) Superconductividad 1427 

44 Estructura nuclear 1436 

44.1 Algunas propiedades de los nucleos 1437 

44.2 Resonancia magnedca nuclear y visualizacion por resonancia 
magnetica 1443 

44.3 Energia de enlace y fuerzas nudeares 1445 » 

44.4 Modelos nudeares 1448 

44.5 Radiacnvidad 1450 

44.6 Los procesos de decaimiento 1455 




44.7 Radiactividad natural 1463 

44.8 Reacdones nudeares 1464 

45 Rsion y fusion nudeares 1475 

45.1 Interacdones que involucran neutrones 1476 

45.2 Fision nuclear 1477 

45.3 Reactores nudeares 1479 

45.4 Fusion nudear 1483 

45.5 (Optional) Dano por radiation en la materia 1494 

45.6 (Optional) Detectores de radiation 1496 

45.7 (Optional) Usos de la radiadon 1500 

46 Fisica de particulas y cosmologia 7577 . 

46.1 Las fuerzas fundamentales en la naturaleza 1512 

46.2 Positrones y otras antiparticulas 1513 

46.3 Mesones y el prindpio de la fisica de particulas 1516 

46.4 Gasification de particulas 1519 

46.5 Leyes de conservation 1521 

46.6 Particulas extranas y extraneza 1523 

46.7 Creadon de particulas y medicion de sus propiedades 1525 

46.8 Descubrimiento de patrones en las particulas 1528 

46.9 Quarks: al fin 7529 

46.10 Quarks multicoloreados 1533 

46.11 El modelo estandar 1536 

46.12 La conexion cosmica 1538 

46.13 Problemas y perspectivas 1544 

Apendice A Tablas A.1 

Tabla A.1 • . Factores de conversion A.1 

Tabla A.2 Simbolos, dimensiones y unidades de 

cantidades fisicas A.4 
Tabla A.3 Tabla de masas atomicas A.4 - 



XII 



TABLA DE CONTENIDO 



Apendice B Repaso de matematicas A.15 

B.1 Notation cientffica A. 15 

B.2 Algebra A. 16 

B.3 Geometria A.21 

B.4 Trigonometria A.23 

B.5 DesairoUos de series A.25 

B.6 Calculo diferencial A.25 

B.7 Calculo integral A.21 



Apendice C Tabla periodica de los elementos 

A.32 v 

Apendice D Unidades del Si A.34 

Apendice E Premios Nobel A.35 

Respuestas a problemas de numero impar A.41 

Indice 1.1 



» V fir* 







Prefacio 



m. 1 escribir esta quinta edicion de Fisica para Ciencias e Ingenieria hemos hecho 
M\ un esfuerzo mayor para mejorar la daridad de la presentation e incluir nue- 
# ■ vas caracteristicas pedagogicas que apoyen los procesos de ensenanza-apren- 
dizaje. Con base en la retroalimentacion positiva de los usuarios de la cuarta edicion 
y en las sugerencias de los revisores se realizaron refinamientos para cubrir de la me- 
jor manera las necesidades de los estudiantes y profesores. Tambien se perfecciono 
el paquete de complementos, el cual ahora incluye un CD-ROM que contiene tuto- 
riales para el estudiante y software interactivo para la resolution de problemas, asi 
como apoyo en Internet. . 

El texto esta pensado como un curso introductorio de fisica para estudiantes de 
ciencias o ingenieria. El contenido completo del texto puede cubrirse en un curso 
de tres semestres, aunque es posible utilizar el material en un tiempo mas corto omi- 
tiendo algunos capitulos y secciones seleccionadas. Sena conveniente que los funda- 
mentos matemadcos de quienes tomen este curso incluyan un semestre de calculo. 
Si eso no fuera factible, el estudiante deberia inscribirse en un curso simultaneo de 
introduction al calculo.' 



OBJETIVOS . 

Este libro introductorio a la fisica dene dos pbjetivos principales: proporcionar al es- 
tudiante una presentation clara y logica de los conceptos y principios basicos de la 
fisica, y reforzar la comprension de los conceptos y principios por medio de una am- 
plia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. Con este fin, se pone ma- 
yor atencion en los argumentos fisicos mas importantes y en la metodologia para la 
resolution de problemas. Al mismo tiempo, se ha intentado motivar al lector con 
ejemplos practicos que muestren el papel de la fisica en disciplinas como la ingenie- 
ria, la quimica y la medicina. 




CAMBIOS EN LA QUINTA EDICION 

Se hicieron numerosos cambios y mejoras al preparar la quinta edition de este tex- 
to. Algunas de las nuevas caracteristicas estan basadas en nuestras experiencias y en 
las tendencias actuales de la education cientffica. Otros cambios se incorporaron co- 
mo respuesta a los comentarios y las sugerencias ofrecidos por los usuarios de la 
cuarta edicion, asi como por los revisores del manuscrito. La lista siguiente describe 
los principales cambios en la quinta edicion: 

Mejoras en las ilustraciones 

• Los eventos con secuencia en el tiempo se representan con letras encerradas en 
circulos en las ilustraciones de mecanica seleccionadas. 



• Los diagramas de movimiento se usan muy pronto en el texto para ilustrar la di- 
ferencia entre velotidad y aceleracion, conceptos que suelen confundir a los estu- 



XI11 



xiv PREFACIO 




diantes principiantes. Los estudiantes se beneficiaran enormemente al bosquejar 
sus propios diagramas de movimiento a medida que se les solicita elaborarlos, en 
las preguntas sorpresa. 

• Se logra mayor realismo al sobreimponer fotografias y dibujos en figuras seleccio- 
nadas. Ademas, se mejoro la apariencia tridimensional de los "bloques" en las fi- 
guras que acompafian a los ejemplos y problemas de mecahica. 

Ejemplos resueltos mas realistas Los lectores familiarizados con la cuarta edicion 
recordaran que habfa ejemplos idealizados. En la quinta edicion estamos orgullosos 
de presentar ejemplos (con algunos cambios en la notation), con mayor realismo, 
esto los hace mas interesantes y proporciona nueva motivation para el estudiante de 
fisica. 

Acertijos Cada capitulo comienza con una interesante fotografia y una leyenda que 
incluye un acertijo. Cada acertijo posee una pregunta para activar el pensamiento, 
la cual intenta motivar la curiosidad del estudiante y aumentar su interes en el tema 
del capftulo. Parte o toda la respuesta de cada acertijo esta contenida en el texto del 
capitulo e indicada por el icono 9g . 

Iineas generales del capitulo La pagina initial de cada capitulo incluye un pano- 
rama de los principales encabezados del mismo. Esta vision general proporciona a 
estudiantes e instructores una vista preliminar del contenido del capitulo. 

Experimentos sorpresa Esta nueva caracteristica estimula a los estudiantes a reali- 
2ar experimentos sencillos por su cuenta y, en consecuencia, los involucra de mane- 
ra activa en el proceso de aprendizaje. La mayoria de los experimentos sorpresa se 
pueden desarrollar con materiales de bajo costo como cuerdas, bandas de goma, rin- 
tas, regleta, popotes y globos. En la mayoria de los casos se les pide a los estudiantes 
observar el resultado de un experimento y explicarlo en terminos de lo que ellos 
han aprendido en el capitulo. Cuando es apropiado, se les solicita registrar los da- 
tos y graficar sus resultados. 

Preguntas sorpresa En cada capitulo se incluyen varias preguntas sorpresa para 
proporcionar a los estudiantes la oportunidad de probar su comprension-^e los con- 
ceptos fisicos' presentados. Muchas estan redactadas en formato de option multiple 
y requieren que el lector tome decisiones y las defienda sobre la base de razonamien- 
to profundo. Algunas se plantearon para ayudarlos a superar conceptos erroneos co- 
munes. (Los profesores podran consultar las "Notas del instructor" en los margenes 
de la edicion respectiva para sugerencias concernientes a ciertas preguntas sorpre- 
sa.) Las respuestas a todas las preguntas sorpresa se encuentran al final de cada ca- 
pitulo. 

Notas al margen e iconos Para proporcionar a los estudiantes una mayor guia se 
incluyen comentarios al margen del texto que senalan equivocos comunes y "tram- 
pas". Con frecuencia, en dichos comentarios se citan referencias al CD-ROM Concep- 
tos centrales de la fisica y a sitios utiles en Internet para motivar al lector a ampliar su 
comprension de los conceptos fisicos. El icono @ en el margen del texto refiere a 
los estudiantes al modulo especifico y numero(s) de pantalla del CD-ROM Conceptos 
centrales de la fisica que trata el tema que se'esta analizando. Una ilustration del tex- 
to, el ejemplo, la pregunta sorpresa o el problema marcada con el icono ^ indica 
que viene acompanada ppr una simulacion de Interactive Physics™ que puede en- 
contrarse en el CD-ROM Herramientas del estudiante. [Vease la section de "Auxiliares 
para el estudiante" (pagina xviii) para descripciones de estos dos paquetes de apren- 
dizaje electronico.] 



PREFACIO 



xv 



ApKcaciones Algunos capitulos induyen aplicaciones, las cuales son casi de la mis- 
ma extension o ligeramente mas extensas que los ejemplos resueltos. Las aplicacio- 
nes demuestran a los estudiantes como poner en practica los principios fisicos cu- 
biertos en el capitulo en problemas de la vida cotidiana o la ingenieria. Por ejemplo, 
analizan los frenos antibloqueo en el contexto de la friction estatica y cinetica (vea- 
se el capitulo 5). 

Problemas Se efectuo una revision sustancial de los problemas de fin de capitulo 
con el proposito de mejorar su claridad y calidad. Aproximadamente 20 por ciento 
de ellos (alrededor de 650) son nuevos, y la mayoria esta en el nivel intermedio (se 
identifican por el numero en color azul). Muchos de los nuevos problemas requie- 
ren que los estudiantes realicen cakulos del orden de magnitud. Todos se editaron 
con sumo cuidado y cuando fue necesario se reescribieron. Las soluciones a casi 20 
por ciento de los problemas de fin de capitulo se incluyen en el Manual de solucio- 
nes y Guia del estudiante.* Estos se identifican en el texto mediante recuadros alrede- 
dor de sus numeros. Un pequeno subconjunto de soluciones se puede encontrar en 
Internet (http://iwnKsaunderscollege.com/physics/) y son accesibles a estudiantes 
e instructores que usen Fisica para Ciencias e Ingenieria. Estos problemas se identifi- 
can en el texto mediante el icono WEB. 

Revision linea por linea Todo el texto se edito cuidadosamente para mejorar la cla- 
ridad de presentation y la precision del lenguaje. Creemos que el resultado es un li- 
bra que, ademas de preciso, es agradable de leer. 

Cambios tipograficos y de notation La section de "Caracteristicas del texto" (vea- 
se la pagina xvi) menciona el uso de negritas y pantallas para enfatizar enunciados 
y definiciones importantes. En el texto de la quinta edition, los pasajes en negritas 
sustkuyen los pasajes menos legibles que aparetieron en italicas en la cuarta edition. 
De manera similar, los simbolos para vectores destacan muy claramente del texto cir- 
cundante debidb al tipo en negritas usado en la quinta edition. Como un mecanis- 
mo para hacer las ecuationes mas transparentes y, por tanto, mas faciles de com- 
prender, se utilizaron los subindices T y "/" para representar los valores initial y 
final en vez de la antigua notation de la cuarta edition, en la cual se usaba el subfn- 
dice (que por lo comiin se pronuncia "cero") para representar un valor initial y 
no se empleaba ninguno para indicar un valor final. En las ecuationes que descri- 
ben movimiento o direction las variables estan acompanadas por los subindices x, y 
o z siempre que es necesario anadir claridad. 




Cambios de contenido Un examen de la "Tabla de contenido" puede causar la 
impresion de que el contenido y la organization del texto son, en esencia, iguales 
a los de la cuarta edition. Sin embargo, se realizaron sutiles, aunque significativas, 
mejoras. 



CONTENIDO 

El material en este libro cubre temas fundamen tales de la fisica clasica e incluye una 
introduction a la fisica moderna. Al initio de cada parte se incluye un panorama del 
material del tema que se cubrira, asf como un repaso de la perspectiva historica. 



*E1 material auxiliar solo esta disponible en ingles. Si desea mayor information sobre este, 
pongase en contacto con un representante de McGraw-Hill. 




XVI 



PREFACIO 



CARACTERISTICAS DEL TEXTO 




La mayor parte de los instructores estaran de acuerdo con que el libro de texto ele- 
gido para un curso debe ser la guia fundamental del estudiante para entender y 
aprender el tema. Aun mas, el texto debe ser de facil comprension y su diseno y re- 
daction, facilitar el aprendizaje. A partir de estas reflexiones y con el fin de aumen- 
tar su utilidad, tanto para el estudiante como para el profesor, se han anexado mu- 
chas caracteristicas pedagogicas. Estas caracteristicas son las siguientes: 

Information previa La mayor parte de los capitulos empiezan con una breve intro- 
duction, la cual incluye un analisis de los objetivos y el contenido del capitulo. 

Enuntiados y ecuationes importantes Los enunciados y las definiciones mas impor- 
tantes se resaltan en negritas o con una pantalla de fondo color canela para agregar 
enfasis y facilitar su estudio. De manera similar, las principales ecuaciones se resal- 
tan con una pantalla color canela para simplificar su localization. 

Sugerentias para la solution de problemas Se incluyeron estrategias generales pa- 
ra resolver los diversos tipos de problemas presentados, tanto en los ejemplos como 
al final del capitulo. Estas caracteristicas ayudaran a los estudiantes a identificar los 
pasos necesarios para resolver los problemas y eliminar cualquier duda que pudie-. 
ran tener. Las "Sugerentias para resolver problemas" se resaltan con una pantalla 
gris/azul claro para que destaquen y asi fatiliten su localization. 

Notas al margen Se utilizan comentarios y notas al margen para localizar enuncia- 
dos, ecuaciones y conceptos importantes en el texto. 

Ilustraciones La apariencia tridimensional de muchas ilustraciones se mejoro en 
esta quinta edition. 

Nivel matematico El calculo se introduce de manera gradual, teniendo siempre 
presente que los estudiantes con frecuencia toman cursos introductorios de calculo 
y fisica de manera simultanea. La mayor parte de los pasos se muestran cuando se 
desarrollan las ecuaciones basicas y con frecuencia se hace referencia a los apendi- 
ces matematicos en la parte final del libro. Los productos vectoriales se presentan 
mas tarde en el texto, cuando son necesarios en aplicariones flsicas. 

Ejemplos desarrollados Gran numero de ejemplos desarrollados de dificultad va- 
riable se presenta como ayuda para que los estudiantes comprendan los conceptos. 
En muchos casos, estos ejemplos sirven como modelos para resolver los problemas 
de final de capitulo. Los ejemplos se diagramaron en un irecuadro; las respuestas a 
los ejemplos con solutiones numericas se resaltan con una pantalla gris/azul claro. 

Ejertitios de los ejemplos desarrollados Con el fin de hacer el libro mas interacti- 
ve con el estudiante y de reforzar de inmediato su comprension de los conceptos y 
de las tecnicas de solution de problemas, despues de casi todos los ejemplos desa- 
rrollados se incluyen ejercicios con respuestas. Los ejercicios representan extensio- 
nes de los ejemplos. 

Ejemplos conceptuales Como en la cuarta edition, en esta se realizo un esfuerzo 
concertado para enfatizar el pensamiento critico y la ensenanza de los conceptos fi- 
sicos. Esto se logro al incluir ejemplos conceptuales que proporcionan los medios de 
revisar y aplicar los conceptos presentados en una section. Algunos de ellos demues- 
tran la conexion entre conceptos presentados en un capitulo y otras disciplinas, y 
tambien pueden servir como modelos para los estudiantes cuando se les pida res- 



PREFACIO xvii 



ponder a las preguntas de fin de capitulo, las cuales son primordialmente de natu- 
raleza conceptual. 

Preguntas Al final de cada capitulo se incorporan preguntas que requieren res- 
puestas verbales. Algunas preguntas proporcionan al estudiante un medio para au- 
toexaminar su aprendizaje de los conceptos presentados en el capitulo, otras po- 
drian servir como base para iniciar los analisis en clase. Las respuestas a las preguntas 
seleccionadas se incluyen en el Manual de soluciones y Guia del estudiante. 

Cifras significativas Las cifras significativas, tanto en los ejemplos resueltos como 
en los problemas de fin de capitulo, se manejaron con cuidado. La mayoria de los 
ejemplos y problemas numericos se resolvieron hasta dos o tres cifras significativas, 
dependiendo de la precision de los datos proporcionados. 

Problemas En cada capitulo se incluye amplio grupo de problemas que dan un to- 
tal de mas de 3 000 en todo el texto. En la parte final del libro se proporcionan las 
respuestas a los problemas de numero impar, en una seccion cuyas paginas tieneii 
bordes coloreados para facilitar su localization. Para beneficio tanto del estudiante 
como del profesor, alrededor de las dos terceras partes de los problemas estan rela- 
cionados con secciones especificas del capitulo. Los problemas restantes, denomina- 
dos "Problemas adicionales", no se relacionan con secciones especificas. 

Es comiin que los problemas de una seccion determinada se presenten de ma- 
nera que se resuelvan primero los mas sencillos (numerados en negritas); estos pro- 
blemas directbs son seguidos por problemas de dificultad creciente. Para identificar 
con facilidad los problemas de nivel intermedio, el numero de estos esta impreso 
en azul; el reducido numero de problemas de mayor dificultad esta impreso en ma- 
genta. 

Problemas de repaso Muchos capitulos incluyen problemas de repaso que requie- 
ren que el estudiante considere numerosos conceptos cubiertos en el capitulo, asi 
como aquellos analizados en capitulos anteriores. Estos problemas podrian ser usa- 
dos por los estudiantes para preparar pruebas y por los instructores para asignaturas 
especiales y discusiones en el salon de clases. 

Problemas pareados Algunos problemas numericos al final del capitulo son parea- 
dos con el mismo problema en forma simbolica. Dos problemas pareados se identi- 
fican mediante una pantalla de fondo comiin color canela. 

Problemas que requieren computadora o calculadora La mayoria de los capitulos 
incluyen uno o mas problemas cuya solution requiere el uso de una computadora 
o calculadora grafica. Estos problemas se identifican mediante el icono jg[. El mo- 
delado de fenomenos fisicos permite a los estudiantes obtener representaciones gra- 
ficas de variables y la realization de analisis numericos. 

Unidades El sistema international de unidades (SI) se aplica en todo el texto. El sis- 
tema de unidades de ingenieria ingles (sistema convencional) se emplea poco. 

Resumenes Cada capitulo contiene un resumen que repasa los conceptos y las 
ecuaciones importantes estudiados en el. 

Apendices y guardas Al final del texto se proporcionan varios apendices. La mayor 
parte del material de cada uno constituye un repaso de las tecnicas y los conceptos 
matematicos utilizados en el texto, los cuales abarcan notation cientifica, algebra, 
geometria, trigonometria, calculo diferencial y calculo integral. A lo largo del libro 
se hace referenda a estos apendices. Casi todas las secciones de repaso matematico 




xviii PREFACIO 




en los apendices incluyen ejemplos desarFollados y ejercicios con respuestas. Ade- 
mas de los repasos matematicos, los apendices contienen tablas de datos fisicos, foe- 
tores de conversion, masas atomicas, asi como las unidades del SI de cantidades fi- 
sicas y una tabla periodica de los elementos. En las guardas tambien aparece otra 
informacion util, que adiciona constantes fundamentales y datos fisicos, datos plane- 
tarios, una lista de prefijos estandar, simbolos matematicos, el alfabeto griego y abre- 
viaturas estandar de unidades de medida. 



AUXILIARES 

El paquete auxiliar se actualizo y amplio como respuesta a las sugerencias de los 
usuarios de la cuarta edition. Los cambios mas importantes en el paquete del estu- 
diante son el Manual de solutionis y Guia del Estudiante con un enfoque mas amplio 
sobre la resolution de problemas, CD-ROM de Herramientas del estudiantey el CD-ROM 
Saunders: Conceptos centrales enfisica, desarrollados por Archipelago Productions. Los 
instructores enopntraran mayor apoyo para sus esfuerzos educativos con nuevos ma- 
teriales electronicos. 



Auxiliares para el estudiante* 

Manual de soluciones y Guia del estudiante de John R. Gordon, Ralph McGrew y Ray- 
mond A. Serway, con contribuciones de Duane Deardorff. Este Manual esta consti- 
tuido por dos volumenes que muestran las soluciones detalladas de casi 20 por tien- 
to de los problemas de fin del capitulo. Los problemas en el texto, cuyas soluciones 
completas se encuentran en el manual, se identifican mediante recuadros alrededor 
de sus niimeros. Las soluciones a muchos problemas siguen el protocolo ROAA des- 
crito en el texto. El Manual tambien presenta una lista de ecuaciones y conceptos 
importantes, asi como respuestas a preguntas seleccionadas de fin de capitulo. 

Guia de bolsuTo* de V. Gordon Lind. Este libro de notas, de 5 X 7 pulgadas, contie- 
ne capsulas de cada section del libro que proporcionan una sentilla guia de con- 
ceptos importantes, formulas y sugerencias para la solution de problemas. 

CD-ROM de Herramientas del estudiante* Este CD-ROM contiene herramientas que 
estan disenadas para mejorar el aprendizaje de los conceptos fisicos y entrenar a los 
estudiantes para volverse mejores resolutores de problemas. Incluye una version tex- 
tual del muy aclamado programa Interactive Physics™, de MSC Working Knowled-. 
ge, y mas de 100 simulaciones de Interactive Physics™, simulaciones adaptadas a fi- 
guras apropiadas, ejemplos resueltos, preguntas sorpresa y problemas de fin de 
capitulo seleccionados (segun se identifican mediante el icono ^). 

Sitio web del estudiante Los estudiantes tendran acceso a una abundancia de mate- 
rial en http://www.saunderscollege.com/phvsics/. El sitio de Internet presenta en- 
sayos de autores invitados sobre temas espetiales, problemas practicos con respues- 
tas y temas opcionales que acompanan capitulos selectos del libro. Tambien se 
incluyen soluciones seleccionadas del Manual de soluciones y Guia del estudiante,* una 
muestra de la Guia de bolsillo* y un glosario que incluye mas de 300 terminos fisicos. 

Manual de laboratorio defisica, segunda edition,* de David Loyd. Actualizado y redi- 
senado, este Manual complementa la ensenanza de los principios fisicos basicos 



*E1 material auxiliar solo esta disponible en ingles. Si desea mayor informacion sobre este, pongase en 
contacto con un representante de McGraw-Hill. 



PREFACIO 



XIX 



mientras introduce procedimientos y equipo de labdratdrioT Cada capftulo incluye 
un trabajo previo al laboratorio, objetivos y lista de equipo, la teoria tras el experi- 
mento, procedimientos experimentales paso a paso y preguntas. Para cada expe- 
rimento se proporciona un reporte de laboratorio, de modo que los estudiantes pue- 
den registrar datos y efectuar calculos. Se les conmina a aplicar analisis estadfsticos 
a sus datos para desarrollar su habilidad de juzgar la validez de sus resultados. 

Asi que usted desea estudiar fisica: Un curso preparatorio con cdlculo, de Rodney Cole. 
Este texto de nivel introductorio es muy util para aquellos estudiantes que necesitan 
preparation adicional antes o durante un curso de fisica basado en el calculo. El es- 
tilo directo y ameno permite comprender de manera mas sencilla como se emplean 
las matematicas en el contexto de la fisica. 

Aplicaciones de la fisica a las ciencias de la vida, de Jerry Faughn. Este suplemento brin- 
da ejemplos, lecturas y problemas de las ciencias biologicas relacionados con la fisi- 
ca. Los temas incluyen: "Friction en articulaciones humanas", "Fisica del sistema 
circulatorio humano", "Fisica del sistema nervioso" y "Ultrasonido y sus aplicacio- 
nes". Este suplemento es \itil en cursos que tienen un numero considerable de estu- 
diantes de medicina. 




Auxiliares del profesor 

Manual del profesor con sohtciones* de Ralph McGrew, Jeff Saul y Charles Teague, con 
contribuciones de Duane Deardorffy Rhett Allain. Este Manual contiene resumenes 
de capftulo, las respuestas a los problemas de numero par y soluciones completa- 
mente desarrolladas para todos los problemas en el texto. Las soluciones a los nue- 
vos problemas de la quinta edicion estan marcadas para que el maestro pueda iden- 
tificarlas con fatilidad. Algo nuevo en esta edicion del Manual son las sugerencias 
de como ensenar temas dificiles y como ayudar al estudiante a superar malas inter- 
pretaciones. Estas sugerencias estan basadas en investigation reciente en la ensenan- 
za de la fisica. 

Sitio web del instructor El area del instructor en http://www.saunderscollege. 
com/physics/ incluye un listado de transparencias generales; una guia de experi- 
mentos relevantes del Manual del laboratorio de fisica, segunda edicion, de David Loyd; 
una guia de correlation entre secciones en Fisica para Ciencias e Ingenieria y modu- 
los en el CD-ROM Saunders: Conceptos centrales en fisica; problemas complementarios 
con respuestas; temas optionales para acompafiar capitulos selectos del texto, y una 
guia de correlation de problemas. 

CD-ROM de recursos para el instructor* Este CD-ROM, que acompana la quinta edi- 
tion de Fisica para Ciencias e Ingenieria, se creo para proportionar a los instructores 
nuevas y excitantes herramientas para presentationes en el salon de clases. El CD- 
ROM contiene una coleccion de archivos de graficas dibujadas tomadas del libro. 
Estos archivos abiertos de manera directa, pueden ser importados en diversos paque- 
tes de presentationes, o usados en el paquete de presentation incluido en el CD- 
ROM. Las leyendas para cada dibujo se ampliaron y resaltaron en negritas para fe- 
tilitar la visualization en el salon de clase. El CD-ROM contiene archivos electronicos 
del Manual del instructor, del Banco de pruebas y de Problemas prdcticos con soluciones. 



*E1 manual auxiliar solo esta disponible en ingles. Si desea mayor informacion sobre este, pongase en 
contacto con un representante de Mc-Graw-Hill. 



PREFACIO 





CAPA: Computer-Assisted Personalized Approach (Aproximacion personalizada asis- 
tida con computadora). CAPA es un sistenia de red de comunication para apren- 
dizaje, ensenanza, asistencia y administration. Proporciona a los estudiantes un con- 
junto de personalizados, preguntas y examenes constituido con problemas concep- 
tuales cualitativos y cuantitativos, incluyendo Fisica para Ciencias e Ingenieria. CAPA fue 
desarrollado a traves de un esfuerzo de colaboracion de los departamentos de Fisi- 
ca-Astronomia, Ciencias de la Computation y Quimica, de la Michigan State Univer- 
sity. A los estudiantes se les ofrecen retroalimentacion inmediata y sugerencias rele- 
vantes via Internet y formas para corregir sus errores sin santiones antes de terminar 
una actividad asignada. El sistema registra la participation y el rendimiento de cada 
estudiante en las tareas asignadas, las preguntas y los examenes; los registros estan 
disponibles "en linea", tanto para el estudiante como para su instructor. Para mayor 
information, visite el sitio web de CAPA en http://www.pa.msu.edu/educ/CAPA/ 

WebAssign: Sistema de tareas con base en la Web WebAssign es un servicio de en- 
trega, recoleccion, calification y registro de tareas basado en la Web y desarrollado 
en la North Carolina State University. Los instructores que se suscriban a WebAssign 
asignaran tareas a sus estudiantes, usando preguntas y problemas tornados directa- 
mente de Fisica para Ciencias e Ingenieria. WebAssign proporciona a los educandos 
retroalimentacion inmediata sobre sus tareas, misma que les ayuda a dominar infor- 
mation y habilidades, y los conduce a mayor competencia y mejores calificaciones. 
WebAssign libera a los instructores de la engorrosa labor de calificar y registrar las 
calificaciones, lo que les permitira dedicar mas tiempo para reunirse con sus alum- 
nos y preparar presentaciones en el salon de clases. Detalles acerca de WebAssign y 
una demostration del mismo estan disponibles en http://weba.ssig n . n et/info. Para 
mas information acerca de la inscription a este servicio contacte WebAssign en 
webassign@ncsu.edu. 

Servicio de tareas Con este servicio los instructores pueden redUcir su carga de tra- 
bajo de calificacion-asignando problemas que activen el pensamiento paira ser resuel- 
tos en casa usando Internet. Los instructores echaran un vistazo al banco de pro- 
blemas que incluyen problemas de Fisica para Ciencias e Ingenieria, seleccionaran 
aquellos que deseen asignar a sus estudiantes y luego dejaran que el Servicio de Ta- 
reas se encargue de la entrega y calification. Este sistema fue desarrollado y es man- 
tenido por Fred Moore, en la University of Texas (moore@physics.utexas.edu). Los 
estudiantes "bajan" los problemas que se les asignan, remiten sus respuestas y obtie- 
nen retroalimentacion inmediata; si sus respuestas son incorrectas puede reenviar-. 
las. Esta caracteristica de rapida calification fatilita el aprendizaje efectivo. Despues 
de la fecha de entrega de sus trabajos retibiran las solutiones a sus problemas. Se 
requiere minimo tiempo de conexion "en linea". El Servicio de Tareas usa proble- 
mas con base en algoritmos; esto significa que cada estudiante resuelve conjuntos de 
problemas que son diferentes a los proporcionados a otros. Los detalles acerca 
de este servicio, asi como una demostration del mismo, estan disponibles en 
http://hwlO.ph.utexas.edu/instInstJitml 

Banco de pruebas impreso* de Edward Adelson. El Banco de pruebas impreso contiene 
aproximadamente 2 300 preguntas de option multiple. Se ofrece al instructor que 
no tiene acceso a una computadora. Alrededor de 20 por tiento de las anteriores 
opciones de la prueba fueron sustituidas por nuevas preguntas de activation del pen- 
samiento basadas en conceptos. 

Banco de pruebas computarizado Disponible en formatos Windows™ y Macintosh®, 
el Banco de pruebas computarizado contiene mas de 2 300 preguntas de option multi- 
ple que representan cada capitulo del texto. El Banco de pruebas computarizado permi- 
te al profesor crear muchas pruebas individuales, asi como la edition de preguntas 



PREFACIO 



xxi 



y la adicion de nuevas preguntas. El software resuelye todos los.problemas e impri- 
me cada respuesta en una clave de calificaciones'ihdepehdiente. Todas las pregun- 
tas se revisaron para hacerlo mas exacto. 

Acetatos de transparencies para proyeccion Esta coleccion de transparencias consta de 
mas de 300 figuras a todo color del libro; se caracteriza por su amplia area impresa 
para facilitar la observation en el salon de clases. 

Manual del instructor de laboratorio defisica, de David Loyd. Cada capirulo contiene 
un analisis del experimento, sugerencias didacticas, respuestas a las preguntas selec- 
donadas y un examen posterior al laboratorio con preguntas con respuesta breve y 
de ensayo. Tambien se incluye una lista de los proveedores del equipo cientffico y 
un resumen del equipo necesario para todos los experimentos de laboratorio com- 
prendidos en el manual. 

0PCI0NES DE ENSENANZA 

Los temas en este libro jse presentan en la siguiente secuencia: mecanica clasica, on- 
das mecanicas, y calor y termodinamica, seguido por electricidad y magnetismo, on- 
das electromagneticas, optica y relatividad. Esta es una forma mas traditional, con el 
tema de pndas mecanicas expuesto antes de electricidad y magnetismo. 

Los profesores que imparten cursos de dos semestres pueden eliminar algunas 
secciones y capitulos sin perder continuidad. Esto se ha marcadb como "Optional" 
en la tabla de contenido y en las correspondientes secciones del texto. Para prove- 
cho del estudiante los instructores asignaran algunas de estas secciones o capitulos 
como lecturas adicionales. '< 



REC0N0CIMIENT0S 

La quinta edition de este libro fue preparada con la gufa y asistencia de muchos pro- 
fesores que revisaron parte o la totalidad del manuscrito, el texto preliminar o am- 
bos. Deseamos agradecer a los siguientes academicos y expresarles nuestro sincere 
aprecio por sus valiosas sugerencias, criticas y estimulo: 



Edward Adelson, Ohio State University 
Roger Bengtson, University of Texas at 

Austin 
Joseph Biegen, Broome Community College 
Ronald J. Bieniek, University of Missouri 

at Rolla 
Ronald Brown, California Polytechnic State 

University-San Luis Obispo 
Michael E. Browne, University of Idaho 
Tim Burns, Leeward Community College 
Randall Caton, Christopher Newport 

University 
Sekhar Chivukula, Boston University 
Alfonso Diaz-Jimenez, ADJOIN Research 

Center 
N. John DiNardo, Drexel University 
F. Eugene Dunnum, University of Florida 
William Ellis, Cornell University 
F. Paul Esposito, University of Cincinnati 



Paul Fahey, University ofScranton 
Arnold Feldman, University of Hawaii at 

Manoa 
Alexander Firestone, Iowa State 

University 
Robert Forsythe, Broome Community 

College 
Philip Fraundorf, University of Missouri 

at St. Louis 
John Gerty, Broome Community College 
John B. Gruber, San Jose State University 
John Hubisz, North Carolina State 

University 
Joey Huston, Michigan State University 
Calvin S. Kalman, Concordia University 
Natalie Kerr, M.D., University of 

Tennessee, Memphis 
Peter Killen, University of Queensland 

(Australia) 




Oil 



PREFACIO 



Earl Roller, Stevens Institute of Technology 
David LaGraffe, U.S. Military Academy 
Ying-Cheng Lai, University of Kansas 
Donald Larson, Drexel University 
Robert Lieberman, Cornell University. 
Ralph McGrew, Broome Community College 
David Mills, Monash University (Australia) 
Clement J. Moses, Utica College 
Peter Parker, Yale University 
John Parsons, Columbia University 
Arnold Perlmutter, University of Miami 



Henry Schriemer, Queen's University 

(Canada) 
Paul Snow, University of Bath (Reino 

Unido) 
Edward W. Thomas, Georgia Institute of 

Technology 
Charles C. Vuille, Embry-RiddU 

Aeronautical University 
Xiaojun Wang, Georgia Southern 

University 
Gail Welsh, Salisbury State University 



Este libro fue cuidadosamente verificado para precision por James H. Smith 
(University of Illinois en Urbana-Champaign) , Gregory Snow (University of Nebraska-Lin- 
coln), Edward Gibson (California State University-Sacramento), Ronald Jodoin (Rochester 
Institute of Technology) , Arnold Perlmutter ( University of Miami) , Michael Paesler 
(North Carolina State University) y Clement J. Moses (Utica College). 

Tambien agradecemos a las personas siguientes por sus sugerentias y asistencia 
durante la preparation de las ediciones anteriores de este libro: 



George Alexandrakis, University of Miami 
Elmer E. Anderson, University of 

Alabama 
Wallace Arthur, Fairleigh Dickinson 

University 
Duane Aston, California State University 

at Sacramento 
Stephen Baker, Rice University 
Richard Barnes, Iowa State University 
Stanley Bashkin, University of Arizona 
Robert Bauman, University of Alabama 
Marvin Blecher, Virginia Polytechnic 

Institute and State University 
Jeffrey J. Braun, University ofEvansvUle 
Kenneth Brownstein, University of Maine 
William A. Butler, Eastern Illinois 

University 
Louis H. Cadwell, Providence College 
Ron Cantema, University of Wyoming 
Bo Casserberg, University of Minnesota 
Soumya Chakravarti, California 

Polytechnic State University 
C. H. Chan, University of Alabama at 

Huntsville 
Edward Chang, University of 

Massachusetts at Amherst 
Don Chodrow, fames Madison University 
Clifton Bob Clark, University of North 

Carolina at Greensboro 
Walter C. Connolly, Appalachian State 

University 
Hans Courant, University of Minnesota 



Lance E. De Long, University of 

Kentucky 
James L. DuBard, Binghamton-Souihern 

College 
F. Paul EspOsito, University of Cincinnati 
Jerry S. Faughn, Eastern Kentucky 

University 
Paul Feldker, Florissant Valley Community 

College 
Joe L. Ferguson, Mississippi State 

University 
R. H. Garstang, University of Colorado at 

Boulder 
James B. Gerhart, University of 

Washington 
John R. Gordon, fames Madison 

University 
Clark D. Hamilton, National Bureau of 

Standards 
Mark Heald, Swarthmore College 
Herb Helbig, Rome Air Development 

Center 
Howard Herzog, Broome Community 

College 
Paul Holoday, Henry Ford Community 

College 
Jerome W. Hosken, City College of San 

Francisco 
Larry Hmurcik, University of Bridgeport 
William Ingham, fames Madison 

University 
Mario Iona, University of Denver 



PREFACIO 



XX111 



Karen L. Johnston, North Carolina State 

University 
Brij M. Khorana, Rose-Hulman Institute 

of Technology 
Larry Kirkpatrick, Montana State 

University 
Carl Kocher, Oregon State University 
Robert E. Kribel, Jacksonville State 

University 
Barry Kunz, Michigan Technological 

University 
Douglas A. Kurtze, Clarkson University 
Fred Lipschultz, University of 

Connecticut 
Francis A. Liuima, Boston College 
Robert Long, Worcester Polytechnic 

Institute 
Roger Ludin, California Polytechnic State 

University 
Nolen G. Massey, University of Texas at 

Arlington 
Charles E. McFarland, University of 

Missouri at Rolla 
Ralph V. McGrew, Broome Community 

College 
James Monroe, The Pennsylvania State 

University, Beaver Campus 
Bruce Morgan, United States Naval 

Academy 
Clement J. Moses, Utica College 
Curt Moyer, Clarkson University 
David Murdock, Tennessee Technological 

University 
A. Wilson Nolle, University of Texas at 

Austin 
Thomas L. O'Kuma, San Jacinto College . 

North 
Fred A. Otter, University of Connecticut 
George Parker; North Carolina State 

University , 
William F. Parks, University of Missouri 

at Rolla 
Philip B. Peters, Virginia Military Institute 



Eric Peterson, Highland Community 

College '■'" ' =: 
Richard Reimann, Boise State University 
Joseph W. Rudmin, James Madison 

University 
Jill Rugare, DeVry Institute of Technology 
Charles Scherr, University of Texas at 

Austin 
Eric Sheldon, University of 

Massachusetts-Lowell 
John Shelton, College of Lake County 
Stan Shepard, Pennsylvania State 

University 
James H. Smith, University of Illinois at 

Urbana-Champaign 
Richard R Sommerfield, Foothill 

College 
Kervork Spartalian, University of Vermont 
Robert W. Stewart, University of Victoria 
James Stith, American Institute of Physics 
Charles D. Teague, Eastern Kentucky 

University 
Edward W. Thomas, Georgia Institute of 

Technology 
Carl T. Tomizuka, University of Arizona 
Herman Trivilino, San Jacinto College 

North 
Som Tyagi, Drexel University 
Steve Van Wyk, Chapman College 
Joseph Veit, Western Washington 

University 
T. S. Venkataraman, Drexel University 
Noboru Wada, Colorado School of 

Mines 
James Walker, Washington State 

University 
Gary Williams, University of California, 

Los Angeles 
George Williams, University of Utah 
Edward Zimmerman, University of 

Nebraska, Lincoln 
Earl Zwicker, Illinois Institute of 
Technology 




Estamos agradecidos, ademas, con Ralph McGrew, por organizar los proble- 
mas de fin de capitulo, por escribir muchos problemas nuevos y por sus sugeren- 
cias para mejorar el contenido del texto. Los nuevos problemas de fin de capitu- 
lo fueron escritos por Rich Cohen, John DiNardo, Robert Forsythe, Ralph McGrew 
y Ronald Bieniek, con sugerencias de Liz McGrew, Alexandra Heder y Richard Mc- 
Grew. Damos las gracias a Laurent Hodges por permitirnos usar problemas de fin 
de capitulo seleccionados; a John R. Gordon, Ralph McGrew y Duane Deardorff, 
por escribir el Manual de soluciones y Quia del estudiante, y a Michael Rudmin por su 
atractivo diseno. Ralph McGrew, Jeff Saul y Charles Teague prepararon un exce- 



oriv PREFACIO 




lente Manual del instructor, y se los agradecemos. Tambien, a Gloria Langer, Linda 
Miller y Jennifer Serway, por su excelente trabajo al preparar el Manual del instruc- 
tor y los materiales complementarios que aparecen en nuestro sitio en Internet. 

Especial gratitud y reconocimiento para el equipo profesional de Saunders Co- 
llege Publishing, en particular a Susan Pashos, Sally Kusch, Carol Bleistine, Frank 
Messina, Suzanne Hakanen, Ruth Hoover, Alexandra Buczek, Pauline Mula, Wal- 
ter Neary y John Vondeling, por su fino trabajo durante el desarrollo y la produc- 
tion de este libro. Tenemos mucho aprecio por la inteligente lfnea editorial de Ire- 
ne Nunes, la edition de la version final de Sue Nelson y Mary Patton, el excelente 
trabajo artistico producido por Rolin Graphics y los dedicados esfuerzos de reco- 
pilacion de fotografias de Dena Digilio Betz. 

En fin, agradecemos profundamente a nuestras esposas e hijos por su amor, 
apoyo y sacrificios tan prolongados. 

Raymond A. Serway Robert J. Beichner John W. Jewett, Jr. 

Chapel Hill, North Carolina Raleigh, North Carolina Pomona, California 



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t-7» 



PLAN DE ESTUDIO 



At estudiante 



fs conveniente proporcionar algunos consejos que le seran muy utiles a usted, 
el estudiante. Antes de hacerlo, supondremos que ya leyo el prefacio, el cual 
describe las diyersas caracteristicas del libro que le ayudaran a lo largo del 
curso. 



COMO ESTUDIAR 

A menudo se les pregunta a los profesores: "jComo debo estudiar fisica y prepa- 
rarme para los examenes?" No hay una respuesta sencilla, pero nos gustaria dar al- 
gunas sugerencias a partir dcnuestras experiencias en el aprendizaje y la ensefian- 
za a lo largo de los anos. 

Lo primero y mas importante es mantener una actitud positiva hacia el terna, 
teniendo en mente que la fisica es la mas importante de las ciencias naturales. 
Otros cursos de ciencias posteriores usaran los mismos principios fisicos, por lo 
que es tracendente que usted comprenda y sea capaz de aplicar los diferentes con- 
ceptos y las teorias estudiados en el texto. 



CONCEPTOS Y PRINCIPIOS 

Es fundamental que entienda los conceptos y principios basicos antes de intentar 
resolver los problemas asignados. Esto se consigue de mejor manera mediante una 
lectura cuidadosa del libro de texto antes de asistir al salon de clases. Durante la 
lectura es util subrayar aquellos puntos que no sean claros para usted; con ese fin 
se dejaron a proposito amplios margenes en el texto. Tambien asegiirese de reali- 
zar un diligente intento para contestar los cuestionamientos de las preguntas sor- 
presa conforme llegue a ellas durante su lectura. Trabajamos duro para preparar 
preguntas que le ayuden a juzgar por si mismo cuan bien comprende el material. 
Los experimentos sorpresa, ademas de darle un descanso ocasional de su lectura, 
le ayudaran a experimentar algunos de los nuevos conceptos que esta intentando 
aprender. Tome notas cuidadosas en clase y despues plantee preguntas pertinen- 
tes relativas a las ideas que requieren aclararse. No olvide que son pocas las perso- 
nas que absorben todo el significado del material cientifico despues de una sola 
lectura. Tal vez sean necesarias varias lecturas del texto y sus notas. Su asistencia a 
clases y el trabajo de laboratorio deben complementar el texto y clarificar parte 
del material mas diffcil. Tiene que reducir al minimo la memorizacion del mate- 
rial, ya que memorizar pasajes, ecuaciones y deducciones no signifka que entien- 
da el material. Su comprensioh crecera mediante una combinacion de habitos de 
estudio eficientes, discusiones con otros estudiantes y profesores, y de su habilidad 
para resolver los problemas presentados en el libro. Siempre que requiera clarifi- 
car algun concepto, pregunte. 




Es importante establecer un plan de estudio regular, de preferencia diario. Asegii- 
rese de leer el programa de estudios del curso y de seguir el plan establecido por 



XXV 



xxvi AL ESTUDIANTE 




su profesor. Las clases seran mucho mas provechosas si lee el material correspon- 
diente del libro antes de asistir a ellas. Como regla general debe dedicar alrede- 
dor de dos horas de estudio por cada hora de clase. Si tiene problemas con el cur- 
so, busque el consejo del profesor o de estudiantes que ya hayan tornado el curso. 
Puede requerir instruction adicional de estudiantes experimentados. Con frecuen- 
cia los profesores le ofreceran sesiones de repaso, ademas de las clases regulares. 
Es importante que evite el habito de postergar el estudio hasta un di'a o dos antes 
de un examen, pues esto casi siempre conducira a resultados desastrosos. En vez 
de mantenerse en vela en sesiones de noches completas, es mejor revisar breve- 
mente los conceptos basicos y las ecuaciones, y disfrutar una noche de verdadero 
descanso. Si cree que necesita ayuda adicional para la comprension de los concep- 
tos, la preparation de examenes o la solution de problemas, le sugerimos que ad- 
quiera una copia del Manual de soluciones y Guia del estudiante que conseguim en la 
libreria de su escuela. 



APROVECHE LAS CARACTERISTKAS DEL LIBRO 

Debe udlizar plenamente las diversas caracterfsticas del texto presentadas en el 
prefacio. Por ejemplo, las notas al margen son practicas para ubicar y describir 
ecuaciones y conceptos importantes; las negritas indican los enunciados y las defi- 
niciones de mayor relevancia. En los apendices se incluyen muchas tablas utiles, 
aunque la mayor parte se incorpora en el texto, donde se manejan mas a menu- 
do. El apendice B es un repaso conveniente de las tecnicas matematicas. 

Las respuestas de los problemas impares se proporcionan al final del tarco. las 
de las preguntas sorpresa estan ubicadas al final de cada capitulo y la.s <i: • 
guntas de fin de capitulo seleccionadas vienen en el Manual de soluciones^ G-*&u ««t 
estudiante. Los ejercicios (con respuestas) que se encuentran despues de algunos 
ejemplos resueltos representan extensiones de dichos ejemplos y, en muchos ca- 
sos, se espera que efectue un calculo sencillo. Con ellos, se persigue probar su ha- 
bilidad para resolver problemas a medida que avanza en el texto. Las "Sugerencias 
para resolver problemas" se agregan en capitulos seleccionados a lo largo de todo 
el libro para proporcionarle information adicional que le ayude a resolver proble- 
mas. Un panorama de la obra completa se da en la "Tabla de contenido", en tan- 
to que el "Indice" le permitira localizar rapidamente material especifico. Las no- 
tas a pie de pagina se usan en ocasiones para complementar el texto o para citar 
otras referencias sobre el tema estudiado. 

Despues de leer un capitulo, debe ser capaz de definir cualesquiera viv^::<& 
cantidades introducidas en el y discutir los principios y las suposiciones que '.e a?.i- 
lizan para llegar a ciertas relaciones clave. Los restimenes de capitulo y las seccio- 
nes de repaso del Manual de soluciones y Guia del estudiante le serviran en este sen- 
tido. En algunos casos sera necesario referirse al indice del texto para localizar 
ciertos temas. Debe asociar correctamente con cada cantidad fisica el sfmbolo usa- 
do para representarla, junto con la unidad en la que la cantidad se especifica. Ade- 
mas, expresar cada relation importante en un enunciado redactado de manera 
concisa y precisa. 



SOLUCION DE PROBLEMAS 

R. P. Feynman, premio Nobel de Fisica, dijo una vez: "Usted no sabe nada hasta que 
lo ha practicado." De acusrdo con esta afirmacion, reiteramos el consejo de que de- 
sarrolle las habilidades para resolver una amplia gama de problemas. Su capacidad 
para solucionar problemas sera una de las principales pruebas de su conocimiento 



ALESTUDIANTE xxvii 



de fisica; en consecuencia, debe tratar de resolver el mayor numero posible de pro- 
blemas. Una buena practica consiste en tratar de ericontrar soluciones altemas al 
mismo problema. Por ejemplo, los problemas de mecanica pueden resolverse con 
las leyes de Newton, aunque con frecuencia es mucho mas directo un metodo alter- 
nativo que usa consideraciones de energia. No debe detenerse en pensar que en- 
tiende el problema solo porque vio en clase como se soluciona, tendra que ser ca- 
paz de resolver el problema y los similares. 

El metodo de solution de problemas debe planearse cuidadosamente. Un plan 
sistematico es importante, en especial cuando un problema implica varios concep- 
tos. Primero lea el problema varias veces hasta asegurarse de que entiende lo que 
se esta preguntando. Busque cualesquiera palabras clave que le ayuden a interpre- 
tar el problema y que tal vez le permitan hacef ciertas suposiciones. Su habilidad 
para interpretar la pregunta de manera apropiada es una parte integral de la so- 
lution de problemas. En segundo lugar debe adquirir el habito de apuntar la in- 
formation dada en un problema y las cantidades que necesitan encontrarse; por 
ejemplo, construir una tabla con las cantidades dadas y las cantidades que se van 
a buscar. Este procedimiento algunas veces seaisa en los ejemplos resueltos del tex- 
to. Por ultimo, una vez elegido el metodo que considere apropiado para resolver 
un problema proceda con su solution. Las estrategias generates de solution de 
problemas de este tipo se incluyen en el texto y se destacan por medio de una pan- 
talla azul claro-gris. Tambien desarrollamos el protocolo ROAA para ayudarlo a 
guiarse a traves de problemas complejos. Si sigue los pasos de este procedimiento 
(Recopilar information, Organizar su aproximacion, realizar su Analisis y final- 
mente Aprender de su trabajo), no solo encontrara mas facil Uegar a la solution, 
sino que tambien obtendra mas de sus esfuerzos. 

A menudo, los estudiantes no reconocen las limitaciones de ciertas formulas 
o leyes fisicas en una situation particular. Es muy importante que entienda y re- 
cuerde las suposiciones que sustenten una teoria o un formalismo particular. Por 
ejemplo, ciertas ecuaciones en cinematica se aplican solo a una partfcula que se 
mueve con aceleration constante. Estas ecuaciones no son validas para describir 
movimientos cuya aceleracion no es constante, como el movimiento de un objeto 
conectado a un resorte o el movimiento de un objeto a traves de un fluido. 



Estrategia general para la solution de problemas 

Casi todos los cursos de fisica general requieren que el estudiante adquiera las ha- 
bilidades para la'solucion de problemas, en tanto que los examenes se componen 
en gran medida de problemas que comprueban dichas habilidades. Esta breve sec- 
tion describe algunas ideas que le permitiran aumentar su precision en la solution 
de problemas, ampliar su comprension de los conceptos fisicos, eliminar el pani- 
co initial o la falta de direction para enfocar un problema y organizar su trabajo. 
Una manera de cumplir estas metas es adopter una estrategia de solution de pro- 
blemas. Muchos capitulos incluyen una section denominada "Sugerencias para re- 
solver problemas", que le ayudara en los "obstaculos difTciles". 

En el desarrollo de estrategias para la solution de problemas, por lo general, 
se siguen cinco pasos basicos: 

• Dibuje un diagrama adecuado con leyendas y ejes de coordenadas apropiados 
(si fuese necesario). 

• Cuando examine lo que se le pide en el problema, identifique el principio (o 
principios) fisico basico que esta implicito y liste las cantidades conocidas y las 
incognitas. 




3*w 



xxvin 



AL ESTUDIANTE 




• Seleccione una relation basica o deduzca una ecuacion que pueda utilizarse pa- 
ra encontrar la incognita y luego resuelva simbolicamente la ecuacion para la in- 
cognita. 

• Sustituya los valores dados junto con las unidades apropiadas en la ecuacion. 

• Obtenga un valor numerico para la incognita. El problema se verifica y se indi- 
ca con una marca si las siguientes preguntas pueden contestarse apropiadamen- 
te: jConcuerdan las unidades? jLa respuesta es razonable? ,-Los signos mas o me- 
nos son apropiados o incluso muy importantes? 

Uno de los objetivos de esta estrategia es promoyer la precision. Los diagramas 
dibujados adecuadamente eliminan muchos errores en el signo, tambien ayudan a 
aislar los principios fisicos del problema. Obtener soluciones simbolicas y marcar 
con cuidado las cantidades conocidas y las incognitas serviran para evitar errores 
cometidos por descuido. Emplear soluciones simbolicas le motivara a pensar en 
terminos de la fisica del problema. La verification de unidades al final del proble- 
ma indica un posible error algebraico. La disposition y organization fisica de su 
problema hara que el producto final sea mas comprensible y faril de seguir. 
Una vez que ha desarrollado un sistema organizado para examinar problemas y ex- 
traer information relevante se convertira en un solucionador de problemas mas 
confiable. 



EXPERIMENTOS 

La fisica es una ciencia fundada en observaciones experimentales. De acuerdo con 
este hecho, recomendamos tratar de complementar el libro con varios tipos de ex- 
perimentos "accesibles", ya sea en casa o en el laboratorio. La mayoria de los capi- 
tulos incluyen uno o dos experimentos sorpresa que describen practicas sencillas 
que es posible realizar por su euenta. Pueden utilizarse para probar ideas y mode- 
los estudiados en clase o en el texto. Por ejemplo, el juguete Slinky™ es una exce- 
lente herramienta para estudiar ondas viajeras; con una bola balanceandose en el 
extremo de una cuerda larga se investiga el movimiento de un pendulo; es factible 
emplear varias masas unidas al extremo de un resorte vertical o una banda de hu- 
le para determinar su naturaleza elastica; un viejo par de lentes Polaroid para el 
sol, algunos lentes desechados y una lente de aumento son los componentes de di- 
versos experimentos de optica; usted lograra una medicion aproximada de la ace- 
leracion de la gravedad dejando caer una bola desde una altura conocida y medira 
el tiempo de descenso con un cronometro. Esta lista de tales experimentos es in- 
terminable. Cuando no cuente con modelos fisicos emplee su imagination y trate 
de desarrollar modelos propios. > 




NUEVOS MEDIOS 

Lo exhortamos encarecidamente a usar uno o mas de los productos multimedia 
que acompanan a este texto. Es mucho mas facil comprender la fisica si la ve en 
accion, y estos nuevos materiales le permitiran ser parte de dicha accion: 

CD-ROM Herramientas del estudiante El CD-ROM de plataforma dual (compatible 
con Windows™ y Macintosh®) Herramientas del estudiante esta disponible con cada 
nueva copia del texto. Este CD-ROM contiene una version del texto del programa 
Interactive Physics™, de MSC Working Knowledge. Las simulaciones de Interactive 
Physics™ estan referidas a las siguientes figuras; ejemplos resueltos, preguntas sor- 
presa y problemas de fin de capitulo (identificados en el texto con el icono BJj]). 



AL ESTUDIANTE 



XXIX 



Capitulo 23 

Problema 23.52 






Capitulo 29 

Problema 29.43 
Problema 29.56 



UNA INVITACION A LA FISICA 



Es nuestro mas sincero deseo que tambien encuentre la fisica como una experiencia emo- 
cionante y agradable, y que se beneficie de esta experiencia, independientemente de la pro- 
fusion que haya elegido. jBienvenido al emocionante mundo de la fisica! 



El cientifico no estudia la naturaleza porque sea util, la estudia porque se deleita en ella, y se deleita en 
ella porque es hermosa. Si la naturaleza nofuera betta, no valdria la pena conocerla, y si no ameritara 
saber de ella, no valdria la pena vivir la trida. 

— Henri Poincare 



•V 



Acerca de los autores 



Raymond A. Serway recibio su doctorado en el Illinois Institute of Technology y 
es profesor emerito en la James Madison University. En 1990 recibio el premio Madison 
Scholar de la James Madison University, donde ha ensenado durante 17 anos. El doctor Ser- 
way comenzo su carrera docente en la Clarkson University, donde dirigio investigacidn y en- 
seno de 1967 a 1980. Obtuvo el Distinguished Teaching Award en la Clarkson University en 
1977 y el Alumni Achievement Award de Utica College en 1985. Como cientffico invitado en 
el Laboratorio de Investigacion IBM en Zurich, Suiza, trabajo con K. Alex Muller, quien ob- 
tuvo el premio Nobel en 1987. El doctor Serway tambien fue cientffico visitante en el Argon- 
ne National Laboratory, donde colaboro con su mentor y amigo Sam Marshall. Ademas de 
las primeras ediciones de este libro de texto, el doctor Serway es autor de Principios defisica, 
segunda edition, y coautor de Fisica universitaria, quinta edition, y Fisica moderna, segunda' 
edicion; tambien lo es del libro de texto para secundaria Fisica, editado por Holt, Rinehart 
& Winston. De manera adicional, ha publicado mas de 40 reportes de investigacion en el 
campo de la fisica de materia condensada y ha ofretido mas de 60 conferencias en reunio- 
nes profesionales. El doctor Serway y su esposa Elizabeth disfrutan viajar, jugar golf y pasar 
tiempo de calidad con sus cuatro hijos y cuatro nietos. 

Robert J. BeiCrtner recibio su doctorado en la State University de Nueva York en 
Buffalo. En la actualidad es profesor asociado de fisica en la North Carolina State University, 
donde dirige el grupo de desarrollo e investigacion en education de la fisica. Tiene mis de 
20 anos de experiencia docente en institutos de ensenanza superior, escuelas de estudios 
superiores y niveles universitarios. Su interes en la investigation esta centrado en el mejora-. 
miento de la instruction en fisica: en su trabajo ha publicado estudios de laboratorio basa- 
dos en videos, aprendizaje cooperative y ambientes de aprendizaje complementados con 
tecnologia y la asesoria de estudiantes para que comprendan diversos temas de fisica. El doc- 
tor Beichner ha ostentado varios papeles de liderazgo en el campo de la investigacion edu- 
cativa en fisica y ha brindado numerosas platicas y coloquios acerca de su labor. Ademas de 
ser uno de los autores de este texto, es coautor de dos discos compactos, varios paquetes 
de programas disponibles comercialmente y dos libros para el servicio social de profeso- 
res de escuela elemental. El doctor Beichner disfruta remar su kayak en el mar y pasar el 
tiempo con su esposa Mary y sus dos hijas, Sarah y Julie. 

John W. Jewett Jr. obtuvo su doctorado en la Ohio State University, con especiali- 
dad en optica y las 7 propiedades magneticas de la materia condensada. En la actualidad es 
profesor de fisica en la California State Polytechnic University-Pomona. A traves de su carre- 
ra docente, ha sido un activo promotor de la education cientifica. Ademas de retibir cuatro 
becas de la National Science Foundation, ayudo a levantar y dirigir el area de fisica moder- 
na del Southern California Institute (SCAMPI). Tambien es director de Science IMPACT 
(Instituto para la Moderna Pedagogia y la Ensenanza Creativa), el cual trabaja con maestros 
y escuelas para desarrollar curricula cientfficas efectivas. Ambas organizaciones operan en 
Estados Unidos y otros paises. Entre sus honores se incluyen cuatro galardones de rendi- 
miento meritorio y compromiso profesional, haber sido seleccionado como profesor sobre- 
saliente de la California State Polytechnic University en 1991-1992, y el premio' a la excelen- 
cia en la ensenanza de la fisica universitaria de la Asociacion Americana de Maestros de Fisi- 
ca (AAPT, sus siglas en ingles) en 1998. Ha dado muchas conferencias, tanto en su pais co- 
mo en el extranjero, incluyendo multiples presentations en reuniones nationales de la 
AAPT. Sera coautor de la tercera edicion de Principios defisica, con el doctor Serway. El doc- 
tor Jewett disfruta tocar el piano, viajar y coleccionar antiguos articulos medicos usados por 
curanderos, asi como pasar el tiempo con su esposa Lisa y sus hijos. 






XXXI 



XXX11 



Carta pedagogica de colores 



Parte 4 (Capitulos 23-34): Electricidad y magnetismo 
Campos electricos » Capacitores 



Campos magneticos 
Cargas positivas 

Cargas negativas ' 

Resistores 

Baterias y otras fuentes 
de potencia 

Interruptores 



-H|+— 



Parte 5 (Capitulos 35-38): Luz y optica 
Rayo de luz 



Lentes y prismas 
Espejos 




Inductores (bobinas) 
Voltimetros 

Amperimetros 

Galvanometros 
Generadores de ca 

Sfmbolo de tierra 
Objetos 



Imagenes 



Hh 



A 



A 



■^mr 



^&r 





SICA 



;fer,f!^!"''i/' , f+ .4 



Electricidad y magnetism! 




M hora se estudiara la rama de la 
MM fisica interesada por los feno- 
m I menos electricos y magneticos. 
Las leyes de la electricidad y el mag- 
netismo desempenan un papel central 
en la operacion de dispositivos como 
radios, televisiones, motores electri- 
cos, computadoras, aceleradores de 
alta energia y otros aparatos electro- 
nicos. Fundamentalmente, las fuerzas 
interatomicas e intermoleculares res- ■ 
ponsables de la formacion de solidos 
y liquidos son electricas de origen. 
Ademas de esto, fuerzas como la 
atraccion y la repulsion entre objetos 
y la fuerza elastica en un resorte sur- 
gen de fuerzas electricas en el nivel 
atomico. 

Evidencias en documentos chinos 
sugieren que el magnetismo ya era 
conocido alrededor del aho 2000 a.C. 
Los antiguos griegos observaban fe- 
nomenos electricos y magneticos po- 
siblemente tan temprano como en el 
700 a.C. Ellos encontraron que cuan- 
do se frotaba una pieza de ambar se 
electrificaba y atraia pedazos de paja 
u hojas. Los griegos supieron de las 
fuerzas magneticas a traves de obser- 
vaciones del fenomeno que ocurria de 



manera natural cuando la piedra mag- 
netita (Fe 3 0J era atraida por el hie- 
rro. (Lapalabra electrico proviene de 
elektron, el vocablo griego para "am- 
bar". La palabra magnetico proviene 
de Magnesia, el nombre de la provin- 
cia griega donde se encontro por pri- 
mera vez la magrietita.) 

En 1600 el ingles William Gilbert 
descubrio que la electrificacion no 
estaba limitada al ambar sino que se 
trataba de un fenomeno general. En 
los anos posteriores a este descubri- 
miento los cientificos electrificaban 
una infinidad de objetos, p'ncluyendo 
polios y personas! Los experimentos 
.de Charles Coulomb en 1785 confir- 
maron la ley del cuadrado inverso pa- 
ra las fuerzas electricas. 

No fue sino hasta la primera mi- 
tad del siglo xix cuando los cientifi- 
cos establecieron que la electricidad y 
el magnetismo eran fenomenos rela- 
cionados. En 1819 Hans Oersted des- 
cubrio que la aguja de una brujula se 
desviaba cuando se colocaba cerca de 
un circuito que conducia una corrien- 
te electrica. En 1831 Michael Faraday 
y, casi simultaneamente, Joseph 
Henry mostraron que cuando un alam- 



bre se movia cerca de un iman (0, de 
manera equivalente, cuando un iman 
se movia cerca de un alambre), se es- 
tablecia una corriente electrica en el 
alambre. En 1873 James Clerk Max- 
well uso estas observaciones y otros 
hechos experimentales como base pa- 
ra formular las leyes del electromag- 
netismo que se conocen en la actua- ' 
lidad. (Electromagnetismo es el nom- 
bre que se dio a los campos combina- 
dos de electricidad y magnetismo.) 
Poco tiempo despues (alrededor de 
1888) Heinrich Hertz verifico las pre- 
dicciones de Maxwell al producir on- 
das electromagneticas en el laborato- 
rio. Estos logros condujeron a desa- 
rrollos tan practicos como el radio y 
la television. 

Las contribuciones de. Maxwell al 
campo del electromagnetismo fueron 
especialmente significativas debido a 
que las leyes que el formulo son basi- 
cas para todas las formas de fenome- 
nos electromagneticos. Su trabajo es 
tan importante como el de Newton en 
torno a las leyes del movimiento y la 
teoria de la gravitacion. 



4 Paul y Lindamarie Ambrose/FPG International 



707 










Los leirtes de contacto suaves no son 
incdmodos porque atraen las protefhas 
de las ISgrimas del usuario, incorporan- 
do las moleculas complejas justo en los 
lentes. En cierto sentido se convierten 
en parte del usuario. Algunos tipos de 
maqulllaje explotan esta misma fuerza 
atractiva para adherirse a la piel. iCual 
es la naturaleza de esta fuerza? (Charles 
D. Winters) 



capitulo 




Campos electricos 



tOtriatldA. 






23.1 Propiedades de las cargas electri- 
cas 

23.2 Aistentes y conductores 

23.3 La Ley de Coulomb 

23.4 El campo electrico 

23.5 Campo electrico de una distribu- 
cion de carga continua 



23.6 Lineas de campo electrico 

23.7 Movimiento de particulas carga- 
das en un campo electrico uni- 
forme 



708 



23. 1 Propiedades de las cargas el&tricas 



709 



La fuerza electromagnetica entre particulas cargadas.es unade las fuerzas funda- 
mentales de la naturaleza. Este capitulo inicia con ta'clescripcion de algunas pro- 
piedades furidamehtales de las fuerzas electricas. Cdntiniia con el analisis de la 
ley de Coulomb, que es la ley fundamental que rige la fuerza entre cualesquiera dos 
particulas cargadas. Despues se introduce el concepto de campo electrico asociado 
con una distribucion de carga y se describe su efecto sobre otras particulas cargadas. 
A continuation se analiza como usar la ley de Coulomb para calcular los campos 
electricos de una distribucion de carga determinada. El capitulo concluye con un 
analisis del movimiento de una partfcula cargada en un campo electrico uniforme. 



PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELECTRICAS 



(o) Algunos experimentos sencillos demuestran la existencia de fuerzas y cargas electri- 
11-2 cas. Por ejemplo, despues de pasar un peine por sii cabello en un dia seco, usted 
descubrira que el peine atrae pedacitos de papel. Con frecuencia, la fuerza atracti- 
va es lo suficientemente fuerte para sostener los pedazos de papel. El mismo efecto 
ocurre cuando los. materiales como el vidrio y el caucho se frotan con seda o piel. 
Otro experimento sencillo es frotar con lana un globo inflado. El globo se ad-, 
hiere entonces a una pared, a menudo durante horas. Cuando los materiales se com- 
portan de esta manera se dice que estan ekctrificados o se han cargado electricamen- 
• te. Usted puede electrificar su cuerpo sin dificultad al frotar con vigor sus zapatos 
sobre una alfombra de lana. La carga sobre su cuerpo puede sentirse y eliminarse 
tocando ligeramente (y sorprendiendo) a un amigo. En condiciones adecuadas ob- 
servara una chispa al tocarlo y los dos sentiran un ligero estremecimiento. (Experi- 
mentos como estos funcionan mejor en di'as secos porque una cantidad excesiva de 
humedad en el aire puede ocasionar que cualquier carga que usted acumule se "es- 
cape" de su cuerpo a la tierra.) 

En una serie de sencillos experimentos se encontro que hay dos tipos de cargas 
electricas, a las cuales Benjamin Franklin (1706-1790) les asigno los nombres de po- 
sitiva y negativa. Para demostrar este hecho considere una barra dura de caucho que 
se haya frotado con un pafio y que despues se suspende por medio de un hilo no 
metalico, como se muestra en la figura 23.1. Cuando una barra de cristal que se ha 
frotado con seda se acerca a la barra de caucho, las dos se atraen entre si (Fig. 23.1a) . 
Por otra parte, si dos barras de caucho cargadas (o dos ban-as de vidrio cargadas) se 
acercan una a otra, como en la figura 23.1b, las dos se repelen. Esta observation de- 
muestra que el caucho y el vidrio estan en dos estados de electrification diferentes. 
A partir de estas observaciones se concluye que cargas similares se repelen entre si 
y cargas opuestas se atraen entre si. 

Utilizando la convention sugerida por Franklin, la carga electrica sobre una ba- 
rra de vidrio se denomina positiva, y la que se produce en una barra de caucho se co- 
noce como negativa. En consecuencia, cualquier cuerpo cargado que es atraido por 
una barra de caucho cargada (o repelido por una de vidrio cargada) debe tener una 
carga positiva, y cualquier cuerpo cargado que es repelido por una barra de caucho 
cargada (o atraido haria una barra de vidrio cargada) debe tener una carga negativa. 
Las fuerzas electricas atractivas son responsables del comportamiento de una 
amplia gama de productos comerciales. Por ejemplo, el plastico en muchos lentes 
de contacto, etafilcon, esta hecho de moleculas que atraen electricamente las mo- 
leculas de proteina en las lagrimas humanas. Estas moleculas proteicas son absorbi- 
e§g das y sostenidas por el plastico de tal forma que los lentes al final estan compuestos 
™ sobre todo por lagrimas del usuario. Debido a esto el qjo del usuario no percibe a 
los lentes como un objeto extrano, y los puede usar sin sentir incomodidad. Muchos 
cosmeticos tambien sacan ventaja de las fuerzas electricas al incorporar materiales 
que son atraidos electricamente a la piel o el cabello, provocando que los pigmen- 
tos u otrbs quimicos permanezcan en su lugar una vez aplicados. 



Experimento sorpresa M^ 

Frote un globo inflado contra su ca- 
bello y luego sostengalo cerca de 
una fina corriente de agua que saiga 
de un grifo. jQue ocurre? (Un boli- 
grafo o peine de plastico que se ha- 
yan frotado tambien pueden funcio- 
nar.) 



710 



CAPlTUL 23 Campos el6ctricos 





a) 

Figura 23.1 a) Una barra de caucho cargada negativamente y suspendida por un hilo, es atrafda a 
una barra de vidrio con carga positiva. b)' Una barra de caucho cargada negativamente es repelida por 
otra barra de caucho con carga negativa. 



La carga se conserva 




Figura 23.2 Frotar un globo contra 
su cabello en un dia seco provoca que 
tanto el globo como su cabello se car- 
guen electricamente. (Charles D. 
Winters). 



La carga esta cuantizada 



Otro aspecto importante del modelo de electricidad de Franklin es la implica- 
tion de que la carga electrica siempre se conserva. Es decir, cuando un cuerpo se 
frota contra otro, no se area carga en el proceso. El estado electrificado se debe a 
una transferenda de carga de un cuerpo a otro. Un cuerpo gana cierta cantidad de 
carga negativa mientras el otro gana una cantidad igual de carga positiva. Por ejem- 
plo, cuando una barra de vidrio se frota con seda, esta obtiene una carga negativa 
que es igual en magnitud a la carga positiva en la barra de vidrio. A partir de la com- 
prension de la estructura atomica se sabe que los electrones cargados negativamen- 
te son transferidos del vidrio a la seda en el proceso de frotamiento. De igual mo- 
do, cuando el caucho se frota con piel, los electrones se transfieren de Ja piel al 
caucho, con lo cual este queda con una carga negativa neta y la piel con una carga 
positiva neta. Este proceso es consistente con el hecho de que la materia neutra, sin 
carga, contiene tanto cargas positivas (protones con nucleos atomicos) como cargas 
negativas (electrones). 



Pregunta sorpresa 23.1 



Si usted frota un globo inflado contra su cabello, los dos materiales se atraen entre si, co- 
mo se muestra en la figura 23.2. jLa cantidad de carga presente en el globo y su cabello 
despues de que los frota es a) menor, r b) igual o c) mayor que la cantidad de carga presen- 
te antes del frotamiento? 

En 1909 Robert Millikan (1868-1953) descubrio que la carga electrica siempre 
se presenta como algun multiplo integral de cierta unidad fundamental de carga e. 
En terminos modemos se dice que la carga q esta cuantizada, donde q es el simbo- 
lo estandar uulizado para la carga. Es decir, la carga electrica existe como "paque- 
tes" discretos, y se puede escribir q= Ne, donde iVes algun entero. Otros experimen- 
tos en el mismo periodo muestran que el electron tiene una carga —e y el proton 
tiene una carga de igual magnitud pero opuesta en signo +e. Algunas particulas, co- 
mo el neutron, no tienen carga. Un atomo neutro debe contener el mismo nume- 
ro de protones que de electrones. 

Ya que la carga es una cantidad que se conserva, la carga neta en una region ce- 
rrada permanece constante. Si las particulas cargadas se crean en algun proceso, 
siempre se crearan en pares cuyos miembros tendran cargas de igual magnitud pe- 
ro de signo opuesto. 



23.2 Aislantes y conductores 



711 



A partir de lo analizado hasta ahora se coneluye que la earga electrica tiene las 
siguientes importances propiedades: 

• Hay dos tipos de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas dife- 
rentes se atraen unas a otras,y cargas similares se rechazan entre si. 

• La carga se conserva. 

• La carga esta cuantizada. 



Propiedades de la carga electrica 



:43.2 : ^ AISLANTES Y CONDUCTORES 

(o) Es conveniente clasifkar las sustancias en terminos de su capacidad para conducir 
113 carga electrica: 

Los conductores electricos son materiales en que las cargas electricas se mueven 
con bastante libertad, en tanto que los aislantes electricos son materiales en los 
que las cargas electricas no se mueven con tanta libertad. 



Materiales como el vidrio, el caucho y la madera entran en la categorfa de aislantes 
electricos. Cuando dichos materiales se cargan por frotamiento, solo el area que se 
frota queda cargada y la carga no puede moverse a otras regiones del material. 

En contraste, materiales como el cobre, el aluminio y la plata son buenos con- 
ductores electricos. Cuando estos materiales se cargan en alguna pequena region, la 
carga se distribuye rapidamente por si sola sobre toda la superficie del material. Si 
usted sostiene una barra de cobre en su mano y la frota con lana o piel, no atraera 
un pequerio pedazo de papel. Esto podria sugerir que el metal no puede cargarse. 
Sin embargo, si usted sostiene la barra de cobre por medio de un mango de made- 
ra mientras la frota, la barra permanecera cargada y atraera al pedazo de papel. Es- 
to se explica del modo siguiente: sin la madera aislante las cargas electricas produ- • 
cidas por frotamiento se moveran con rapidez del cobre a traves de su cuerpo y 
finalmente hacia la tierra. El mango de madera aislante evita el flujo de carga hacia 
su mano. 

Los. semiconductores son una tercera clase de materiales y sus propiedades elec- 
tricas se encuentran entre las de los aislantes y las de los conductores. El silicio y el 
germanio son ejemplos bien conocidos de semiconductores utilizados comunmente 
en la fabrication de diversos dispositivos electronicos, tales como transistores y dio- 
dos emisores de luz. Las propiedades electricas de los semiconductores pueden cam- 
biarse en varios ordenes de magnitud anadiendo a los materiales cantidades contro- 
ladas de ciertos atomos. 

Cuando un conductor se conecta a la tierra por medio de un alambre o tubo 
de conduction se dice que esta aterrizado. La tierra puede considerarse entonces 
un "sumidero" infinito al cual las cargas electricas pueden emigrar facilmente. Con 
esto en mente se puede entender de que manera se carga un conductor por medio 
de un proceso conocido como induction. 

Para entender la induction considere una esfera conductora neutra (descarga- 
da) aislada de la tierra, como se muestra en la figura 23.3a. Cuando una barra de 
caucho cargada negativamente se acerca a la esfera, la region de la esfera mas cer- 
cana a la barra obtiene un exceso de carga positiva, mientras que la region de la es- 
fera mas alejada de la barra obtiene un exceso igual de carga negativa, como se 
muestra en la figura 23.3b. (Esto significa que los electrones en la parte de la esfera 
mas cerca de la barra emigran hacia el lado opuesto de la esfera. Esto ocurre aun si 
la barra de hecho nunca toca la esfera.) Si se realiza el mismo experimento con un 
alambre conductor conectado de la esfera a tierra (Fig.23.3c), una parte de los elec- 
trones en el conductor son tan intensamente repelidos por la presencia de la carga 



Los metales son buenos conducto- 
res 



Carga por induction 



712 



CAP/TUL0 23 Campos el&tricos 




a) 



c t ***e'~'Ov 




b) 



40<W0w«A>i 




c) 



*©**©>«*©y 





e) 



Figura 23.3 Cargando un objeto metalico por induction (es decir, los dos objetos nunca se tocan en- 
tre si)- a) Una esfera metalica neutra, con igual numero de cargas positivas y negativas. b) La carga en 
la esfera neutra se redistribuye cuando una barra de caucho cargada se coloca cerca de la esfera. c) 
Cuando la esfera se aterriza, algunos de sus electrones parten a traves del alambre de tierra. d) Cuan- 
do la conexion a tierra se elimina, la esfera tiene exceso de carga positiva que esta distribuida de ma- 
nera no uniforme. e) Cuando la barra se retira, el exceso de carga positiva se distribuye uniformemen- 
te sobre toda la superficie de la esfera. 



23.3 La Ley de Coulomb 



713 



Aislante 




Cargas 
inducidas 




a) 



b) 



Figura 23.4 a) El objeto cargado a la izquierda induce cargas sobre la superficie de un aislante. b) 
Un peine cargado atrae pedazos de papel porque las cargas son desplazadas en el papel. f© 1968 Fun- 
damental Photographs) ' 



Experiments) sorpresa J||^ 

Cone un papel en pedazos muy pe- 
quenos. Peine su cabello y luego 

acerque el peine a los pedazos de 

papel. Advierta que estos se aceleran 
hacia el peine. jComo se compara la 
magnitud de la fuerza electrica con 
la magnitud de la fuerza gravitacio- 
nal ejercida sobre el papel? Siga ob- 
servando y podra ver que unos cuan- 
tos pedazos saltan alejandose del pei- 
ne. Estos no se alejan simplemente; 
son repelidos. jQue ocasiona esto? 



negativa en la barra que salen de la esfera a traves del alambre de aterrizaje y van a 
la tierra. Si el alambre a tierra se quita despues (Fig. 23.3d), la esfera de conduction 
contiene un exceso de carga positiva inducida. Cuando se quita la barra de caucho 
de la vecindad de- la esfera (Fig. 23.3e) , la carga positiya inducida permanece sobre 
la esfera sin aterrizaje. Observe que la carga que permanece sobre la esfera se distri- 
buye uniformemente sobre su superficie debido a las fuerzas repulsivas entre las car- • 
gas similares. Tambien advierta que, durante el proceso, la barra de caucho no pier- 
de nada de su carga negativa. 

Para cargar un objeto por induction no es necesario el contacto con el cuerpo 
que induce la carga. Esto contrasta con la forma en que se carga un objeto por fro- 
tamiento (es decir, por conduction), para lo cual es necesario el contacto entre los 
dos objetos. 

Un proceso similar a la induction en conductores ocurre en aislantes. En la ma- 
yor parte de las moleculas neutras el centro de carga positiva coincide con el centro 
de carga negativa. Sin embargo, en presencia de un objeto cargado esos centros den- 
tro de cada molecula en un aislante pueden desplazarse ligeramente, lo que produ- 
ce mas carga positiva en un lado de la molecula que en el otro. Este realineamien- 
to de carga dentro de moleculas individuales produce una carga inducida sobre la 
superficie del aislante, como se muestra en la figura 23.4. Asf, a partir de esa infor- 
mation usted debe poder explicar por que un peine que se ha pasado por el cabe- 
llo atrae pedazos de papel electricamente neutros, o por que un globo que se ha fro- 
tado contra su ropa puede adherirse a una pared electricamente neutra. 



Prequnta sorpresa 23.2 



El objeto A es atrafdo hacia el objeto B. Si se sabe que la carga del objeto B es positiva, £que 
se puede decir del objeto A? a) Esta cargado positivamente. @ Esta cargado negativamen- 
te. c) Es electricamente neutro. d) No hay suficiente information para responder la pre- 
gunta. 



LA LEY DE COULOMB 

^Charles Coulomb (1736-1806) midio las magnitudes de las fuerzas electricas entre 
114 objetos cargados mediairte la balanza de torsion, que el mismo invento (Fig. 23.5). 




Jeteelec 
trostato-y d jragnetK^Da^e * 
su kda to^finlnwsfigrjla resfe®!;', 
era de los materiaies y determm6 las 
fuerzas que afectan a los objetos so- 
bre las vigas, contribuyendo asi al ■ 
campo de la mecanica estructural. En 
el campo de la ergonomia su investi- 
gaci6n proporcion6 una comprensiin 
fifndamental de las formas en las 
cuales las personas y los animates 
pueden realizar mejor su trabajo. 
(Fotogmfte cortesfa de AIP Niels Bohr 
Library/E. Scott Ban Collection) 



714 



CAPlTULO 23 Campos'elfetricos 




Cabeza de 
suspension 



Fibra 




Figura 23.5 Balanza de torsion de 
Coulomb usada para establecer la ley 
del cuadrado inverso para la fuerza 
K'ctrica entre dos cargas. 



Constante de Coulomb 



Coulomb confinno que. la fuerza electrica entre dos pequenas esferas cargadas es pro- 
porcional al cuadrado inverso de la distan'cia que las separa r — es decir, F e « 1/r 2 . El 
principip operativo de la balanza de torsion es el mismo que el del aparato que uso 
Cavendish para medir la constante gravitacional (vease la section 14.2), con las esfe- 
ras electricamente neutras reemplazadas por unas cargadas. La fuerza electrica entre 
las esferas cargadas A y B en la figura 23.5 provoca que las esferas o se atraigan o se 
repelan entre si, y el movimiento resultante causa que se tuerza la fibra suspendida. 
Ya que el momento de torsion de restitution de la fibra torcida es proporcional al an- 
gulo a traves del cual gira la fibra, una medicion de este angulo proporciona una me- 
dida cuantitativa de la fuerza electrica de atraccion o repulsion. Una vez que las esfe- 
ras se cargan por frotamiento, la fuerza electrica entre ellas es muy grande cornparada 
con la atraccion gravitacional, asf que puede ignorarse la fuerza gravitacioiv. . 

Los experimentos de Coulomb demostraron que la fuerza electrica entre dos 
particulas cargadas estacionarias 

• es inversamente proporcional al cuadrado de la separation rentre las particulas y 
esta dirigida a lo largo de la linea que las une; 

• es proporcional al producto de las cargas q t y q 2 sobre las dos particulas; 

• es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el mis- 
mo signo. 

A partir de estas observaciones se puede expresar la ley de Coulomb como una 
ecuacion dando la magnitud de la fuerza electrica (en ocasiones llamada fuerza de 
Coulomb) entre dos cargas puntuales: 



_ L Iglllftl 



F=k. 



(23.1) 



donde k r es una constante conocida como constante de Coulomb. En este experimeh- 
to Coulomb tambien pudo demostrar que el valor del exponente de rera 2 hasta una 
incertidumbre de un pequeno porcentaje. Los experiroentos modernos han demos- 
trado que el exponente es 2 hasta una incertidumbre de unas cuantas partes % en 10 16 . 
La constante de Coulomb dene un valor que depende de las unidades elegidas. 
La unidad de carga en unidades del SI es el coulomb (C) . La constante de Coulomb 
k, en unidades SI tiene el valor 

A, = 8.987 5xl0 9 N-m7C 2 
Esta constante se escribe tambien en la forma 



k = 



1 



4tt€ 



"arga en un electron o proton 



donde la constante e se conoce como la permitividad del espacio litre y tiene el valor 
de8.854 2xl0- 12 C7N-m 2 . 

La unidad de carga mas pequena conocida en la naturaleza es la carga en un 
electron o proton, 1 el cual tiene un valor absolute de 

\e\ = 1.602 19 xlCr 19 C 

Por tanto, 1 C de carga es aproximadamente igual a la carga de 6.24 x 10 18 electrones 
o protones. Este numero es muy pequeno cuando se le compara con el numero de 



1 Ninguna unidad de carga mas pequena que e se ha detectado como carga libre; sin embargo, algu- 
nas teorias recientes han propuesto la existencia de particulas llamadas quarks que tienen cargas e/S y 
2«/3. Aunque hay considerable evidencia experimental de la existencia de tales particulas dentro de la 
.materia nuclear, nunca se han detectado quarks libres. Se analizan otras propiedades de los quarks en 
el capitulo 46 de la version amplia de este texto. 



23.3 La Ley de Coulomb 



715 



TABLA 23.1 Carga y masa del electron, proton y neutron ; ' 

Particula Carga (C) Masa (kg) 



Electron (e) 
Proton (p) 
Neutron (n) 



-1.602 191 7 x 10" 19 

+1.602 191 7 x lO' 19 





9.109 5 x lO" 31 
1.672 61 x lO' 27 
1.674 92 x lO" 27 



electrones libres 2 en 1 cm 3 de cobre, el cual es del orden de 10 23 . Aun asi, 1 C es una 
cantidad sustancial de carga. En los experimentos ordinarios, donde una barra 
de caucho o vidrio se cargan por friction, se obtiene una carga neta del orden de 
10" 6 C. En otras palabras, solo una fraction muy pequena de la carga total disponi- 
ble se transfiere entre la barra y el material de frotamiento. 

Las cargas y las masas del electron, proton y neutron se proporcionan en la ta- 
bla23.1. 



Ejemplo 23m 



El atomo de hidrogeno 



El electron y el proton de un atomode hidrogeno estan se- 
parados (en promedio) por una distancia de aproximada- 
mente 5.3 x 10 _ " m. Encuentre las magnitudes de la fuerza 
electrica y la fuerza gravitational entre las dos partfculas. 

Solution Con base en la ley de Coulomb se encuentra que 
la fuerza electrica atracuva tiene la magnitud 



f. = A.^ = [8.99xlO°^ 21 
■A I C 2 



(1.60xlO- 19: C) 2 



(5.3 x lO" 11 m) 2 



= 8.2 x 10" 8 N 



Utilizando la ley de la gravitation de Newton y la tabla 23.1 
ra las masas de partfculas se determina que la fuerza gravi- 



para mu mcuaj ut u«u umu 
tacional tiene la magnitud 



/* = G ■ 



T 't"<-p 



= 6.7x10-" 



N-m 2 
kg 2 

(911 x IP' 3 ' kg) (1.67 x 1Q- 27 kg) 
(5.3x10-" m) 2 

= 3.6 x 10" 47 N 



Laraz6n/",/F 8 =2xl0- : 



n ' m . Asi pues, la fuerza gravitational en- 
tre partfculas atomicas cargadas es despreciable comparada 
con la fuerza electrica. Advierta la similitud de forma entre la 
ley de la gravitation de Newton y la ley de Coulomb de fuer- 
zas electricas. Aparte de la magnitud, jcual es la diferencia 
fundamental entre las dos fuerzas? 



Cuando trabaje con la ley de Coulomb recuerde que la fuerza es una cantidad 
vectorial y que debe tratarse como corresponde. Por consiguiente, la ley expresada 
en forma vectorial para la fuerza electrica ejercida por una carga q t sobre una se- 
gunda carga q 2 , escrita F 12 , es 



F - 4 i* 



(23.2) 



donde f es un vector unitario dirigido de g, a q it como se muestra en la figura 23.6a. 
Puesto que la fuerza electrica obedece la tercera ley de Newton, la fuerza electrica 



s Un atomo metalico, como el cobre, contiene uno o mas electrones exteriores, los cuales estan uni- 
dos debilmente al nucleo. Cuando muchos atomos se combinan para formar un metal, los Uamados 
electrones litres son esos electrones exteriof es, los cuales no estan ligados a ningun atomo. Estos electro- 
nes se mueven por el metal de manera similar a las moleculas de gas que se mueven en un recipiente. 



716 



CAPlTULO 23 Campos elfctricos 



V*" 




?2 



?1 



a) 



0> 



^ 




1\ 



b) 



Figura 23.6 Dos cargas puntuales separadas por una distancia r 
ejercen una fuerza entre si, la que esta dada por la ley de Coulomb. 
La fuerza F 2 , ejercida por q 2 sabre q, es igual en magnitud y opuesta 
en direccion a la fuerza F 12 ejercida por q, sobre q v a) Cuando las 
cargas son del mismo signo, la fuerza es repulsiva. b) Cuando las car- 
gas son de signos opuestos, la fuerza es atractiva. 



ejercida por q 2 sobre q x es igual en magnitud a la fuerza ejercida por q x sobre q 2 y 
en la direccion opuesta; es decir, F 2 , = -F 12 . Por ultimo, de acuerdo con la ecuacion 
23.2, se ve que si q x y q 2 tienen el mismo signo, el producto q x q 2 es positivo y la fuer- 
za es repulsiva, como se ve en la figura 23.6a. Si q x y q 2 son de signo opuesto, como 
se muestra en la figura 23.6b, el producto q x q 2 es negativo y la fuerza es atractiva. Ad- 
vertir el signo del producto q x q 2 es una manera sencilla de determinar la direccion 
de las fuerzas que actiian sobre las cargas. 



Pregunta sorpresa 23.3 



El objeto A tiene una carga de +2 fxC y el objeto B tiene una carga de +6 jnC. ^Cual enun- 
ciado es cierto? 



a) F^ = -3F B 



%) F^ = -F B 



c) 3FAB = -F R 



Cuando estan presentes mas de dos cargas la fuerza entre cualquier par de ellas 
esta dada por la ecuacion 23.2, por tanto, la fuerza resultante sobre cualquiera de 
ellas es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las diversas cargas indi- 
viduales. Por ejemplo, si hay cuatro cargas, entonces las fuerzas resultantes ejercidas 
por las particulas 2, 3 y 4 sobre la particula 1 son 

F, = F 2 , + F 31 + F 41 



Ejemplo 



Encuentre la fuerza resultante 



Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de 
un triangulo recto, -como se muestra en la figura 23.7, donde 
q x = q % = 5.0 nC, q 2 = -2.0 nC y a = 0.10 m. Encuentre la fuer- 
za resultante ejercida sobre q 3 . 

Solution Primero observe la direccion de las fuerzas indivi- 
duales ejercidas por q x y q 2 sobre q s . La fuerza F 23 ejercida por 
q 2 sobre q 3 es atractiva debido a que q 2 y ^ s tienen signos 
opuestos. La fuerza F 13 ejercida por q x sobre q s es repulsiva 
debido a que ambas cargas son positivas. 



La magnitud de F 2S es 

• r™ = k, — 



.^W^JM 



xlO^CHS.OxlO^C) 
• (0.10 m) 2 



= 9.0N 



Advierta que, en vista de que q s y q 2 tienen signos opuestos, F& 
esta dirigida hacia la izquierda, como se indica en la figura 23.7. 



23.3 La Ley de Coulomb 



717 




v 

= 11N 



r 9 0J xl()9 N • mM (5.0 x 10-»Q (5.0 x lO^C) 
C 2 J 2(0.10 m) 2 



La fuerza F 13 es repulsiva y forma un angulo de 45° con el eje 
x. En consecuencia, las componentes x y y de F 1S son iguales, 
con la magnitud dada por F I3 cos 45° = 7.9 N. 

La fuerza F 23 esta en la direccion x negativa. Por tanto, las 
componentes x y y de la fuerza resultante que actua sobre q s 
son 

/^,= F 1!te +f2 S = 7.9N-9.0N = -l.lN 

! 4=F,h = 7.9N 

Figura 23.7 La fuerza ejercida por q K sobre q 3 es F| 3 . La fuerza ejer- 

cida por q 2 sobre q s es F 23 . La fuerza resultante F 3 ejercida sobre q, es Tambien se puede expresar la fuerza resultante que actua so- 

el vector suma F I3 + F 2S . . bre q t en forma de vector unitario como 



La magnitud de la fuerza ejercida por g, sobre g s es 

y 13 -■*, — , — 
(V2a) 2 



F 3 = (-l.li + 7.9j) N 

EjerddO . Encuentre la magnitud y direccion de la fuerza re- 
sultante F 3 . 

Respuesta 8.6 N a un angulo de 98° con el eje x. 



EjEMPLtti 



&D6nde es cero la fuerza resultante? 



Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje x, 
como se muestra en la figura 23.8. La carga positiva g, = 
15.0 fiC esti en x = 2.00 m, la carga positiva ^ 2 = 6.00 /iC es- 
ta en el origen, y la fuerza resultante que actua sobre q s es ce- 
ro. jCual es la coordenada x de q s ? 

Solucion Puesto que q 3 es negativa y tanto q t como q 2 son 
positivas, las fuerzas F 13 y F 23 son atractivas, segun se indica en 
la figura 23.8. A partir de la ley de Coulomb F, 3 y F 23 tienen 
magnitudes 



Ft. = k, 



IflWsl 



_ . BilBsl 



' (2.00 - x) 2 



Para que la fuerza resultante sobre ^ 3 sea cero, F 23 debe ser 
igual en magnitud y opuesta en direccion a F w , o 



IgilM _ 



= K 



m\m\ 



(2.00 - x) 2 



Puesto que k e y q s son comunes en ambos lados, y, por ende, 
se pueden excluir, se resuelve para x y se encuentra que 



(2.00-x) 2 y = x%| 
(4.00 - 4.00x + x 2 )(6.00 x 10" 6 C) = x 2 (15.0 x 10" 6 C) 

Al resolver esta ecuacion cuadratica para x se encuentra que 
x= 0.775 m. ,;Por que la rafz negativa no es aceptable? 



■ 2.00 m ■ 



*- 2.00 - x ■ 




?2 



23 ?3 



?1 



Figura 23.8 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x 
Si la fuerza neta que actua sobre q 3 es cero, entonces la fuerza F, 3 ejer- 
cida por g, sobre ^ 3 debe ser igual en magnitud y opuesta en direc- 
cion a la fuerza F 23 ejercida por q s sobre q t . 



Ejemplos* 



Encuentre la carga sobre las esferas 



Dos pequefias esferas identicas cargadas, cada una con 3.0 x 
10" 2 kg de masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la 
figura 23.9a. La longitud de cada cuerda es de 0.15 rh y el an- 
gulo es de 5.0°. Encuentre la magnitud de la carga sobre ca- 
da esfera. 



Solucion De acuerdo con el triangulo recto que se muestra 
en la figura 23.9a, se ve que sen 6 = a/L. Por consiguiente, 

a = L sen 6 = (0.15 m)sen 5.0° = 0.013 m 

La separation de las esferas es 2o = 0.026 m. 



718 



CAPlTUL 23 Campos el&tricos 



Las fuerzas que actiian sobre la esfera izquierda se muestran 
en la figura 23.9b. Ya que la esfera esta en equilibrio, las fuer- 
zas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero 
por separado: 

1) IF s =Tsen 6-F r =0 

2) £F 7 = Tcos 6-mg=0 




L = 0A5m 

0=5.0° 



o'Tsene 



f fflg 



b). 



Figura 23.9 a) Dos esferas identicas, cada una conduciendo la mis- 
ma carga q, suspendidas en equilibrio. b) Diagrama de cuerpo libre 
para la esfera a la izquierda. 



De la ecuacion 2) se ve que T = mg/cos fr, por tanto, T pue- 
de eliminarse de la ecuacion 1) si se hace esta sustitucion. Lo 
anterior proporciona un valor para la magnitud de la fuerza 
electrica F/. 

3) F r =mgxzne 

= (3.0 x 10" 2 kg) (9.80 m/s 2 )tan 5.0° 

= 2.6 x 10" 2 N 

A partir de la ley de Coulomb (Ec. 23.1), la magnitud de la 
fuerza electrica es 

M 2 

r- 

donde r= 2a = 0.026 m y |^| es la magnitud de la carga en ca- 
da esfera. (Advierta que el termino |^| 2 surge aqui porque la 
carga es la misma en ambas esferas.) Esta ecuacion puede re- 
solverse para |^| 2 y asi obtener 

I , 2 _ F^_ _ (2.6 xlO' 2 N) (0.026m) 2 
l9 ' k, 8.99xl0 9 Nm 2 /C 2 ■ 

\q\= 4.4xl0" 8 C 

Ejercido Si la carga sobre las esferas fuera negativa, jcuan- 
tos electrones tendrfan que anadirse a ellas para producir una 
carga neta de —4.4 x 10" 8 C? 

Respuesta 2.7 x 10" electrones. 



Experimento sorpresa JS^r 

Para este experimento usted necesita dos tiras de cinta transparente de 20 cm (masa de cada 1 una = 
65 mg). Doble aproximadamente 1 cm de cinta en un extremo de cada tira para crear una pestana. 
Sostenga ambos trazos de cinta lado a lado sobre una mesa y frote su dedo atras y adelante sobre las 
cintas. Separe de inmediato las cintas de la superficie de modo que queden cargadas. Mantenga junr 
tas las pestanas y las cintas se repeleran una a otra formando una "V" invertida. Mida el angulo entre 
las piezas y estime el exceso de carga sobre cada tira. Suponga que las cargas actiian como si estuvie- 
sen ubicadas en el centro de masa de cada tira. 




% 



Figura 23.10 Una pequena carga de 
prueba positiva q colocada cerca 
de un objeto que conduce una carga 
positiva mucho mayor Q experimenta 
an campo electrico E dirigido como se 
luestra. 



EL CAMPO ELEQRIC0 

(^Hasta ahora se han introducido dos campos de fuerza al analisis — la fuenu* ^» «>'<*»- 
11 s cional y la fuerza electrica. Como se apunto con antelacion, los campos de iatrm 
pueden actuar a traves del espacio segun produciendo un efecto incluso cuando no 
exista contacto ffsico entre los objetos. El campo gravitational g en un punto en el 
espacio segun se deftnio en la section 14.6 es igual a la fuerza gravitational F g que 
actua sobre una particula de prueba de masa m dividida entre dicha masa g = Fg/m. 
Un acercamiento similar a las fuerzas electricas fue desarrollado por Michael Fara- 
day, el cual tiene tal valor practico que se le dedicara mucha atencion en varios de 
los siguientes capftulos. En esta aproximacion se dice que existe un campo electrico 
en la region del espacio que rodea a un objeto cargado. Cuando otro objeto carga- 
do ingresa a este campo electrico, una fuerza electrica actua sobre el. Como ejem- 
plo, considere la figura 23.10, en la cual se muestra una pequena carga positiva de 
prueba q colocada cerca de un segundo objeto portando una carga positiva Q mu- 
cho mayor. La intensidad (en otras palabras, la magnitud) del campo electrico en la 
ubicacion de la carga de prueba se define como la fuerza electrica por unidad de car- 



23.4 El campo electrico 



719 



go, o para ser mas especifico el campo electrico £ eh tin punto' en el espacio se 
define como la fuerza electrica F, que actua.sobre una carga de prueba positiva 
q colocada en dicho punt6, dividida entre la magnitud de la carga de prueba: 






(23.3) 



Advierta que E es el campo producido por alguna carga externa a la carga de prue- 
ba — esto, no es el campo producido por la propia carga de prueba. Ademas, advierr 
ta que la existencia de un campo electrico es una propiedad de su fuente. Por ejem- 
plo, cada electron viene con su propip campo electrico. 

El vector E tiene las unidades del SI de newtons por coulomb (N/C) , y, como 
se muestra en la figura 23.10, su direction es la direction de la fuerza que experi- 
menta una carga de prueba positiva cuando se coloca en el campo. Se dice que un 
campo electrico existe en un punto si una carga de prueba en reposo situada en ese 
punto experimenta una fuerza electrica. Una ver que la magnitud y la direction del 
campo electrico se conocen en algun punto, la fuerza electrica ejercida sobre cual- 
quier paru'cula cargada ubicada en ese punto puede calcularse a partir de la ecua- 
cion 23.3. Ademas, se dice que el campo electrico existe en cierto punto (incluso en 
el espacio vacio) independientemente de si una carga de prueba se localiza en ese 
punto. (Esto es analogo al campo gravitational establecido por cualquier objeto, del 



Definicion de campo electrico 




Esta dramatica fotografTa captura un relampago que golpea un arbol cerca de algunas casas rurales. 
(©Johnny Autery) 



720 



CAPfTUL0 23 Campos el&tricos 



TABLA 23.2^Valores1fpicos de campo electrico " -~~ 

Fuente E(N/C) 

Tubo de luz fluorescente 10 

Atmosfera (buen clima) 100 

Globo frotado en cabello 1 000 

Atmosfera (bajo nubes de tormenta) 10 000 

Fotocopiadora 100 000 

Chispa en el aire > 3 000 000 

Cerca del electron en el atomo de hidrogeno 5 x 10" 



©?'o»?o 





a) 



Figura 23.11 a) Para una carga de 
prueba q a suficientemente pequena, 
la distribution de la carga sobre la es- 
fera es inalterada. b) Cuando la carga 
de prueba q{, es mayor, la distribution 
de carga sobre la esfera se altera como 
resultado de la proximidad de q'„. 



cual se dice que existe en un punto dado sin importar si algun otro objeto esta pre- 
sente en dicho punto para "sentir" el campo.) Las magnitudes del campo electrico 
de varias fuentes de campo se proporcionan en la tabla 23.2. 

Cuando se aplica la ecuacion 23.3, se debe suponer que la carga de prueba q es 
suficientemente pequena para que no interfiera en la distribution de carga responsa- 
ble del campo electrico. Si una pequena carga de prueba casi nula, q , se sinia cerca 
de una esfera metalica uniformemente cargada, como se muestra en la figura 23.11a, 
la carga sobre la esfera metalica que produce el campo electrico permanece distribui- 
da uniformemente. Si la carga de prueba es tan grande (^o >:> ?o) como se ilustra en 
la figura 23.11b, la carga sobre la esfera metalica se redistribuye y la proportion en- 
tre la fuerza y la carga de la prueba es diferente: (F t '/q' ¥* F t /q ). Es decir, debido a 
esta redistribution de la carga sobre la esfera metalica, el campo electrico que esta- 
blece es diferente del campo establetido en presencia de q que es mucho menor. 

Para determinar la direction de un campo electrico considere una carga pun- 
tual q localizada a una distancia r de una carga de prueba q ubicada en un punto 
P, como se muestra en la figura 23.12. De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza 
ejercida por q sobre la carga de prueba es 



F = k 522-r 



,V"« 



of 



a) 



P 




donde f es un vector unitario dirigido desde q hacia q . Ya que el campo electrico 
en P, la position de la carga de prueba, esta definido por E = F e /q , se encuentra 
que el campo electrico en P creado por q es 



E = *.4-r 



(23.4) 



Si q es positiva, como en la figura 23.12a, el campo electrico esta dirigido radialmen- 
te hacia afuera de ella. Si q es negativa, como en la figura 23.12b, el campo esta di- 
rigido hacia ella. 

Con el fin de calcular el campo electrico en un punto P debido a un grupo de 
cargas puntuales, primero se calculan en forma individual los vectores de campo 
electrico en P utilizando la ecuacion 23.4, y a continuation se suman vectorialmen- 
te. En otras palabras, 



Figura 23.12 Una carga de prueba 
q a en el punto P esta a una distancia r 
desde una carga puntual q. a) Si q es 
positiva, entonces el campo electrico 
en Papunta radialmente hacia afuera 
desde q. b) Si q es negativa, entonces 
el campo electrico en P apunta ra- 
dialmente hacia adentro, hacia q. 



en cualquier punto P, el campo electrico total debido a un grupo de cargas es 
igual al vector suma de los campos electricos de las cargas indrviduales. 

Este principio de superposition aplicado a campos se desprende directamente de la 
propiedad de superposition de las fuerzas electricas. De este modo, el campo elec- 
trico de un grupo de cargas puede expresarse como 



23.4 El campo elfctrico 



721 




Esta esfera metalica es cargada por un gene- 
rador de modo que conduce una carga elec- 
trica neta. La alta concentration de carga 
sobre la esfera crea un fuerte campo electri- 
co alrededor de la esfera. Luego las cargas 
escapan a traves del gas que rodea a la esfe- 
ra, produciendo un resplandor rosado. (E. 
R Degginer/H. Armstrong Roberts) 



: E = *.I&*i 



(23.5) 



donde r { es la distancia desde la i-esima carga q, hasta el puntp P (la ubicacion de la 
carga de prueba) y f, es un vector unitario dirigido de q- t a P. . 



Pregunta sorpresa 23.4 



Una carga de +3 /xC esta en un punto P donde el campo electrico est! dirigido hacia la de- 
recha y dene una magnitud de 4 x 10 6 N/C. Si la carga se reemplaza con una carga de 
-3 /aC, ique ocurre con el campo electrico en F? 



ElEMPLOl 



Campo electrico debido a dos cargas 



Una carga q x = 7.0 /u.C se ubica en el origert y una segunda 
carga q 2 = -5.0 fiC se ubica en el eje x a 0.30 m del origen 
(Fig. 23.13). Encuentre el campo electrico en el punto P, el 
cual tiene coordenadas (0, 0.40) m. 

Solution Comience por encontrar la magnitud del campo 
electrico en P producido por cada carga. Los campos E, pro- 
ducidos por la carga de 7.0 nC y E 2 debido a la carga de 
-5.0 fiC se muestran en la figura 23.13. Sus magnitudes son 



£l =AM = [8.99xl0' N - m: 



2\ 



c 2 



(7.0 x lO^C) 



(0.40 m) 2 



= 3.9 x 10 5 N/C 



■*■$-[« 



= 1.8 x 10 5 N/C 



99 x 10 9 ■ 



N-m 2 V 5.0xlQ- 6 C) 
(0.50 m) 2 



El vector E! dene solo una componente y: El vector E 2 dene 
una componente x dada por £j cos 6 = § £ 2 y una - componen- 



0.40 m 




r^_, 



Figura 23.13 El campo electrico total E en Pes igual al vector su- 
ma E, + Ej, donde E, es el campo debido a la carga positiva q % y Ej 
es el campo debido a la carga negadva y 2 . 



722 



CAPiTULO 23 Campos el&tricos 



te y negaiiva dada por -E 2 sen 6 = -\E 2 . Por tanto, se puede 
expresar el vector como 

E, = 3.9 x 10 5 j N/C 


De acuerdo con este resultado se encuentra que E tiene una 
magnitud de 2.7 x 10 5 N/C y forma un angulo <f> de 66° con 
el eje x positive 


E, = (1.1 x 10 5 i - 1.4 x 10 5 j) N/C 
El campo resultante E en P es la superposition de E, y Ej: 


Ejercicio Determine la fuerza electrica ejercida sobre una 
carga de 2.0 x 10~ 8 C situada en P. 


E = E, + Ej, = (1.1 x 10 5 i + 2.5 x 10 5 j) N/C 


Respuesta 5.4 x 10~ s N en la misma direction que E. 



Ejemplo 23% 



Campo electrico de un dipolo 



Un dipolo electrico se define como una carga positiva q y una 
carga negativa —q separadas por alguna distancia. Para el di- 
polo mostrado en la figura 23.14 determine el campo electri- 
co E en P debido a estas cargas, donde P esta a una distancia 
y » a desde el origen. 

Solution En P los campos E, y Ej debidos a las dos cargas 
son iguales en magnitud, ya que P es equidistante de las car- 
gas. El campo total es E = E, + E.^', donde 



£, =fi=*,-V = A, 



r 2 ' y 2 



+ a< 



Las componentes y de E, y E 2 se cancelan entre si y las com- 
ponentes x son iguales, pues ambas estan a lo largo del eje x. 
En consecuencia, E es paralela al eje x y tiene una magni- 
tud igual a 2£, cos 0. En la figura 23.14 se ve que cos 6 = 

a/r= a/(y 2 + a 2 ) W2 . Por consiguiente, 

1 1 



E = 2£,cos0 = 2ft. 



= k 



2qa 



(/ + a 2 ) (f + a 2 )V2 



'■(f + a 2 )V2 



Puesto que y » a, se puede ignorar a 2 y escribir 



E~k t 



2qa 



De este modo, se ve que, a distancias lejanas del dipolo pero 
a lo largo del bisector perpendicular de la linea que une las 
dos cargas, la magnitud del campo electrico creado por el di- 
polo varia con 1/r 5 , en tanto que el campo de variation mas 
lenta de una carga puntual varia con 1/r 2 (vease la Ec. 23.4). 
Esto es porque en puntos alejados los campos de las dos car- 
gas iguales en magnitud y opuestas en signo casi se cancelan 
entre si. La variation de 1/r 3 en E para el dipolo se obtiene 



tambien para un punto distante a lo largo del eje x (vease el 
problema 21) y para cualquier punto distante general. 

El dipolo electrico es un buen modelo de muchas molecu- 
las, como el acido clorhidrico (HC1) . Como se vera en capf- 
tulos posteriores, los atomos y las moleculas neutros se com- 
portan como dipolos cuando se ponen en un campo electrico 
externo. Ademas, muchas moleculas, como el HC1, son dipo- 
los permanentes. El efecto de dichos dipolos sobre el com- 
portamiento de materiales sujetos a campos electricos se ana- 
liza en el capitulo 26. 




Figura 23.14 £1 campo electrico total E en P debido a dos cargas 
de igual magnitud y signo opuesto (un dipolo electrico) es igual al 
vector suma E, + Es- El- campo E] se debe a la carga positiva q, y Ej es 
el campo debido a la carga negativa -q. 



CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION 
DE CARGA CONTINUA 



Con mucha frecuencia las distancias entre cargas en un grupo de cargas es mucho 
menor que la distancia del grupo a algiin punto de interes (por ejemplo, un punto 
donde el campo electrico se va a calcular). En estas situaciones el sistema de cargas 
puede considerarse como continuo. Es decir, el sistema de cargas con un espaciamien- 
to muy proximo es equivalente a una carga total que esta distribuida continuamen- 
te a lo largo de una linea, sobre alguna superficie o por todo un volumen. 



23.5 Campo el&trico de una distribucitin de carga continua 



723 



Para evaluar el campo electrico creado por una distribution de carga continua 
se recurre al siguiente procedimiento: Primero se divide la distribution de carga en 
pequenos elementos, cada uno de ellos con una pequena carga Aq, como se mues- 
tra en la figura 23.15. Luego se emplea la ecuacion 23.4 para calcular el campo elec- 
trico debido a uno de estos elementos en un punto P. Por ultimo se evalua el cam- 
po total en P debido a la distribution de carga sumando las contribuciones de todos 
los elementos de carga (esto es, aplicando el principio de superposition) . 

El campo electrico en P debido a un elemento que porta una carga Ag es 



AE = *,-ff 



4i- 
r2 



Una distribution de carga continua 



i 
i 
i 
i 



donde res la distancia del elemento al punto Py f es un vector unitario dirigido del 
elemento de carga hacia P. El campo electrico total en P debido a todos los elemen- 
tos en la distribution de carga es, aproximadamente, 

i i 

donde el indice ise refiere al i-esimo elemento en la distribution. Puesto que la dis- 
tribution de carga es casi continua, el campo total en Pen el limite Aq s — » es 



r _ u lim y 



r* • 'J r2 r 



(23.6) 



donde la integration es sobre la distribution de carga completa. Esta es una opera- 
tion vectorial y debe tratarse de manera apropiada. 

Este tipo de calculo se ilustra con varios ejemplos, donde se supone que la car- 
ga se distribuye de manera uniforme en una linea, sobre una superficie, o a traves 
de algun volumen. Cuando efectue estos calculos es conveniente que use el concep- 
to de densidad de carga junto con las siguientes anotaciones: 

• Si una carga Q se distribuye uniformemente por un volumen V, la densidad de car- 
ga volumetrica p se define por 



AE 



/ 

/ 



Figura 23.15 El campo electrico en 
P debido a una distribucion de carga 
continua es el vector suma de los cam- 
pos AE debidos a todos los elementos 
Ag de la distribucion de carga. 



Campo electrico de una distribu- 
cion de carga continua 



'-S 



Densidad de carga volumetrica 



donde p tiene unidades de coulombs por metro ciibico (C/m 3 ). 

• Si una carga Qse distribuye uniformemente sobre una superficie de area A, la den- 
sidad de carga superficial a esta definida por 



a-« 



Densidad de carga superficial 



donde a tiene unidades de coulombs por metro cuadrado (C/m 2 ). 

• Si una carga Qse distribuye uniformemente a lo largo de una linea de longitud €, 
la densidad de carga lineal A esta definida por 



X.£ 



Densidad de carga lineal 



donde A tiene unidades de coulombs por metro (C/m) . 



724 



CAPtTUL 23 Campos el&tricos 



• Si la carga se distribuye de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o 
linea, las densidades de carga se pueden expresar como 

H dV dA de 



donde dQ es la cantidad de carga en un pequeno elemento de volumen, superficie 
o longitud. 



Ejemplo 



El campo electrico debido a una barra cargada 



Una barra de longitud € tiene una carga positiva uniforme 
por unidad de longitud A y una carga total Q. Calcule el cam- 
po electrico en un punto P que esta ubicado a lo largo del eje 
de la barra y.a una distancia a de un extremo. (Fig. 23.16.) 

Solution Suponga que la barra esta sobre el eje x, que dx es 
la longitud de un pequeno segmento de la barra y que dq es la 
carga sobre dicho segmento. Puesto que la barra tiene una car- 
ga por unidad de longitud A, la carga dq sobre el pequeno seg- 
mento es dq = A dx. 

El campo dE producido por este segmento en P esta en la 
direccion x negativa (puesto que la fuente del campo porta 
una carga Q positiva), y su magnitud es 



= kA = 



d£ = k t 






Ya que cada elemento produce un campo en la direccion x 
negativa, el problema de sumar dichas contribuciones es par- 
ticularmente simple en este caso. El campo total en P produ- 
cido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran 
a diferentes distancias desde P, esta dado por la ecuacion 
23.6, que en este caso se convierte en s 



-f>* 



donde los lfmites en la integral se extienden desde un extre- 
mo de la barra (x = a) hasta el otro (x = € + a). Las constan- 
tes k t y \ pueden separarse de la integral para.producir 



f e+a dx 






*A 



*£ 



a(Z + a) 



donde se ha usado el hecho de que la carga total Q = A€. 

Si Pesta bastante lejos de la barra (o » €), entonces I 
puede ignorarse en el denominador, y E = k e Q/a 2 . Esta es 
exactamente la forma que usted s esperaria para una carga 
puntual. Por tanto, a grandes valores de a/t, la distribucion 
de carga aparece como una carga puntual de magnitud Q. 
Utilizar la tecnica de lfmite (a/€ -» °°) es un buen metodo 
para verificar una formula teorica. 



AE 



dq-kdx 



dx 



•< L»»M»t— «>iimil Lr 



Figura 23.16 El campo electrico en P debido a una barra cargada 
de manera uniforme yaciendo sobre el eje x. La magnitud del cam- 
po en P debido al segmento de carga dq es k,dq/x s . El campo total en 
P es el vector suma sobre todos los segmentos de la barra. 



Ejemplo £3^^^* El campo electrico de un anillo de carga uniforme 



Un anillo de radio a tiene una carga positiva total Q distribui- 
da uniformemente. Calcule el campo electrico debido al ani- 
llo en un punto P que se encuentra a una distancia x de su 
centro a lo largo del eje central perpendicular al piano del 
anillo (Fig. 23.17a). 

Solucion La magnitud del campo electrico en P debido al 
segmento de carga dq es 



dE = k t ^- 



Este campo tiene una componente dE x = dE cos 6 a lo largo 
del eje y una componente dE± perpendicular al eje. Sin em- 
bargo, como se ve en la figura 23.17b, el campo resultante en 
P debe estar sobre el eje x debido a que la suma de las com- 
ponentes perpendiculares de todos los segmentos de carga es 



\ 



s Es importante que usted comprenda el procedimiento usado para efectuar integraciones como esta. 
Primero, exprese el elemento de carga dqen terminos de las ottas variables en la integral (en este ejem- 
plo existe una variable, x, y de modo que se hace el cambio dq= A dx). La integral debe ser sobre can- 
tidades escalares; por tanto, usted debe expresar el campo electrico en terminos de componentes, si es 
necesario. (En este,ejemplo*el campo tiene solo una componente x, por lo que no es necesario preo- 
cuparse por este detalle.) Despues reduzca su expresion a una integral sobre una sola variable fo a in- 
tegrales multiples, cada una sobre una sola variable). En los ejemplos que tienen simetrias esf- •. .i o ci- 
lindrica la unica variable sera una coordenada radial. 



23.5 ' Campo elfctrico de una distribucifin de carga continua 



725 



igual a cero. Es decir, la componente perpendicular del cam- 
po creado para cualquier elemento de carga es cancelada por 
la componente perpendicular creada por un elemento en el 
lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x 2 + a 2 ) 1/2 y cos 9 = 
x/r, se encuentra que 



dE. = dE cos 6 



4#- 



kjC 



(x 2 + fl 2 )^ 2 



dq 



Todos los segmentos del anilRTproducen la misma contribu- 
cion al campo en P puesto que todos son equidistantes de es- 
te punto. Asf, se puede integrar para obtener el campo total 
en P: 



"J (x 2 + a 2 ) 3 /. 2 ^ ~ (x 2 + a 2 ) 3 / 2 J ^ 



+ a 2 



( X 2 + fl 2)3/2 



Este resultado muestra que el campo es cero en x — 0. iEsto 
le sorprende? 

Ejerdcio Demuestre que, a grandes distancias del anillo 
(x » a), el campo electrico a lo largo del eje mostrado en la 
figura 23.17 se acerca al de una carga puntual de magnitud Q. 





a) 

Figura 23.17 Un anillo de radio a cargado de manera uniforme. a) El campo en P sobre el eje x debido a un elemento de carga dq. b) El 
campo electrico total en Pesta a lo largo del eje x La componente perpendicular del campo en Pdebida al segmento 1 se cancela por la 
componente perpendicular debida al segmento 2. 



/ 



Ejemplo 



El campo electrico de un disco cargado uniformemente 



Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial 
uniforme a. Calcule el campo electrico en un punto Pque se 
encuentra a lo largo del eje central perpendicular del disco y 
a una distancia xde su centro (Fig.^S.lS). 

Solucidn Si se considera al disco como un conjunto. de ani- 
llos concentricos se puede usar el resultado del ejemplo 23.8 
— el cual da el campo creado por un anillo de radio r — y su- 
mar las contribuciones de todos los anillos que conforman el 
disco. Por simetria, el campo sobre un punto axial debe estar 
a lo largo del eje central. 




Figura 23.18 Un disco de radio R cargado de manera uniforme. 
El campo electrico en un punto axial .Pesta dirigido a lo largo del eje 
central, perpendicular al piano del disco. 



El anillo de radio ry ancho dr mostrado en la figura 23.18 
tiene un area de superficie igual a 27rr dr. La carga dq sobre 
este anillo es igual al area del anillo multiplicada por la den- 
sidad de carga superficial: dq = 2ttot dr. Usando este resulta- 
do en la ecuacion dada para E, en el ejemplo 23.8 (con a sus- 
tituida por r) se tiene, para el campo debido al anillo, 



dE = - 



M 



(x 2 + r 2 ) : 



2-13/2 



(2-n-Ordr) 



Para obtener el campo total en Pse integra esta expresion so- 
bre los limites r= hasta r=R, observando que xes una cons- 
tante. Esto produce 



( R 2rdi 
= *,x7ro- 

Jo (x z + r z 

r (x 2 + r 2 )' 3/2 rf(r 2 ) 
Jo 



2rdr^ 

r 2)3/2 



= kfXITO 



= k^XTTI 









-1/2 



= 2irk t a 



|x| (X 2 + i? 2 )" 2 



Este resultado es valido para todos los valores de x. Se puede 
calcular el campo cercano al disco sobre el eje suponiendo 



726 



CAPlTULO 23 Campos el&tricos 



que R » x; en consecuencia, la expresion entre parentesis 
se reduce a la unidad: 

a 

2e 



E = 2irk,C = 



donde e = l/(4irfc f ) es la permitividad del espacio libre. Co- 
mo se vera en el siguiente capftulo, el mismo resultado se ob- 
tiene para el campo creado por una lamina infinita cargada 
uniformemente. 



LINEAS DE CAMPO ELECTRICO 




Ffgura 23.19 Lfneas de campo elec- 
trico penetrando dos superficies. La 
magnitud del campo es mayor sobre la 
superficie A que sobre la superficie B. 



(o) Una forma conveniente de visualizar los patrones de campo electrico es dibujar li- 
115 neas que apunten en la misma direccion que el vector de campo electrico en cual- 
quier punto. Estas lfneas, llamadas lineas de campo electrico, se relacionan con el 
campo electrico en cualquier region del espacio de la siguiente manera: 

• El vector de campo electrico E es tangente a, la linea del campo electrico en cada 
. purito. 

• El numero de lineas por unidad de area a traves de una superficie perpendicular 
a las lineas es proporcional a la magnitud del campo electrico en esa region. Asi, 
E es mas grande cuando las lineas de campo estan proximas entre si y es peque- 
no cuando estan apartadas. 

Estas propiedades se ilustran en la figura 23.19. La densidad de lfneas a traves 
de la superficie A es mas grande que la densidad de lineas a traves de la superficie 
B. En consecuencia, el campo electrico es mas intenso sobre la superficie A que so- 
bre la superficie B. Ademas, el hecho de que las lineas en diferentes situaciones 
apunten en diferentes direcciones indica que el campo no es uniforme. ' 

Algunas lineas de campo electrico representativas para el campo debido a una 
carga puntual positiva individual se muestran en la figura 23.20a. Advierta que en 
este dibujo bidimensional solo se muestran las lineas de campo que estan en el pia- 
no que contiene a la carga puntual. En realidad, las lineas estan dirigidas radialmen- 
te hacia afuera de la carga en tpdas las direcciones; por tamo, en lugar de la "rue- 
da" plana de lfneas mostradas, debera dibujar una esfera de lfneas completa. Ya que 
una carga de prueba positiva situada en este campo serfa repelida por la carga pun- 






Figura 23.20 Lineas de campo electrico para una carga puntual. a) Para una carga puntual positi- 
va, las lineas estan dirigidas radialmente hacia afuera. b) Para una carga puntual negauva, las lineas es- 
tan dirigidas radialmente hacia adentro. Advierta que las figuras muestran solo aquellas lineas de cam- 
po que yacen en el piano que contiene a la carga. c) Las areas oscuras son pequenas piezas de hilo 
suspendidas en aceite, las cuales se alinean con el campo electrico producido en el centra por un pe- 
queno conductor cargado. (c, Corttsia de Harold M. Waage, Princeton University) 



23.6 Lineas de campo elfctrico 



727 



tual positiva, las lineas estan dirigidas radialmente alejandose de la carga puntual po- 
sitiva. Las lineas de campo electrico que representan el campo debido a una carga 
puntual negativa individual estan dirigidas hacia la carga (Fig. 23.20b). En cualquier 
caso, las lineas estan a lo largo de la direction radial y en todas partes se extienden 
hacia el infinite Advierta que las lineas estan ~rr!aT proximas conforme se van acer- 
cando a la carga; esto indica que la intensidad del campo aumenta conforme se mue- 
ve hacia la carga fuente. 

Las reglas para dibujar lineas de campo electrico son como siguen: 



• Las lineas deben empezar en una carga positiva y terminar en una carga nega- 
tiva. 

• El numero de lineas dibujadas saliendo de una carga positiva o aproximando- 
se a una carga negativa es proportional a la magnitud de la carga. 

• Ningun par de lineas de campo puede cruzarse. 



Reglas para dibujar lineas de cam- 
po electrico . . 



<;Esta visualization del campo electrico en terminos de lineas de campo es con- 
sistente con la ecuacion 23.4, la expresion obtenida para E usando la ley de Cou- 
lomb? Para responder esta pregunta considere una superficie esferica imaginaria de 
radio r concentrica con una carga puntual. A partir de la simetria se ve que la mag- 
nitud del campo electrico es la misma en todas. partes sobre la superficie de la esfe- 
ra. El numero de lineas JVque emergen de la carga es igual al numero que penetra 
la superficie esferica. Por tanto, el numero de lineas por unidad de area sobre la es- 
fera esN/lnr 2 (donde el area de la superficie de la esfera es 47rr 2 ). Ya que £es pro- 
portional al numero de lineas por unidad de area, se ve que £varia con 1/r 2 ; este 
descubrimiento es consistente con la ecuacion 23.4. 

Como se ha visto, se usan lineas de campo electrico para describir cualitativa- 
mente el campo electrico. Un problema con este modelo es el hecho de que siem- 
pre se dibuja un numero finito de lineas desde (o hacia) cada carga. De esta forma 
parece como si el campo actuara solo a lo largo de ciertas direcciones, lo cual no es 
cierto. En realidad el campo es continuo — es decir, existe en todo punto. Otro pro- 
blema asociado con este modelo es el riesgo de obtener una impresion erronea de 
un dibujo bidimensional de lineas de campo que se esta usando para describir una 
situation tridimensional. Tenga cuidado con estas deficiencias cada vez que dibuje 
u observe un diagrama donde se muestren lineas de campo electrico. 

Se elige C'q como el numero de lineas de campo que parten de cualquier obje- 
to con carga positiva y C'\q\ como el numero de lineas que terminan en cualquier 
objeto cargado negativamente, donde C es una constante de proporcionalidad ar- 
bitraria. Una vez que se elige C, se fija el numero de lineas. Por ejemplo, si el obje- 
to 1 tiene carga Q x y el objeto 2 tiene carga Q 2 , entonces la proportion del nume- 
ro de lineas es N^/Nj = Qz/Q\- 

Las lineas de campo electrico para dos cargas puntuales de igual magnitud pe- 
ro signos opuestos (el dipolo electrico) se muestran en la figura 23.21. Ya que las 
cargas son de igual magnitud; el numero de lineas que empiezan en la carga positi- 
va debe ser igual al numero de las que terminan en la carga negativa. En puntos muy 
cercanos a las cargas, las lineas son casi radiales. La alta densidad de lineas entre las 
cargas indica una region de intenso campo electrico. 

La figura 23.22 muestra las lineas de campo electrico en la vecindad de dos car- 
gas puntuales positivas iguales. Tambien en este caso las lineas son casi radiales en 
puntos cercanos a cualesquiera de las cargas, y el mismo numero de lineas surge de 
cada carga porque estas son iguales en magnitud. A grandes distancias de las cargas, 
el campo es aproximadamente igual al de una carga puntual individual de magni- 
tud 2q. 

Por ultimo, en la figura 23.23 se bosquejaron las lineas de campo electrico aso- 
ciadas con una carga positiva +2q y una carga negativa — q. En este caso el numero 
de lineas que salen de +2q es el doble del numero que termina en —q. Por tanto, so- 




a) 













b) 

Figura 23.21 a) Lineas de campo 
electrico para dos cargas puntuales de 
igual magnitud y signo opuesto (un 
dipolo electrico). El numero de lineas 
que parten de la carga positiva es igual 
al numero de las que llegan a la car- 
ga negativa. b) Las lineas oscuras son 
pequenas piezas de hilo suspendidas 
en aceite, las cuales se alinean con el 
campo electrico de un dipolo. (b, Cor- 
tesia de Harold M. Waage, Princeton University) 



728 



CAPfTULO 23 Campos el&tricos 




Figura 23.23 Lineas de campo elec- 
trico para una carga puntual +2qy una 
segunda carga puntual -q. Advierta 
que de cada dos lineas que parten de 
+2^, una llega a -q. 





Figura 23.22 a) Lineas de campo electrico para dos cargaspuntuales positivas. (Las posiciones A, B 
y C se analizan en la pregunta sorpresa 23.5.) b) Piezas de hilo suspendidas en aceite, las cuales se ali- 
nean con el campo electrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud. (Fotografia carteaa de Ha- 
mid M. Waage, Princeton. University) 



lo la mitad de las lineas que salen de la carga positiva alcanza a la carga negativa. La 
mitad restante termina en una carga negativa que se supone esta en el infinite A 
distancias que son muy grandes comparadas con la separation de las cargas, las li- 
neas de campo electrico son equivalentes a las de una carga individual +<?. 



Pregunta sorpresa 23.5 



Clasifique la magnitud del campo electrico en los puntos A, By C mostrados en la figura 
23.22a (la magnitud mas grande primero). 



MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS 
EN UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME 

Cuando una particula de carga q y masa m se situa en un campo electrico E, la fuer- 
za electrica ejercida sobre la carga es ^E. Si esta es la unica fuerza ejercida sobre la 
particula, debe ser la fuerza neta y, por ende, debe causar que la particula se acele- 
re. En este caso la segunda ley de Newton aplicada a la particula produce 

F, = ^E = ma 

Por tanto, la aceleracion de la particula es 



a = *E 
m 



(23.7) 



Si E es uniforme (es decir, constante en magnitud y direction), entonces la acelera- 
cion es constante. Si la particula tiene una carga positiva, la aceleracion esta en la 
direction del campo electrico. Si la particula tiene carga negativa, entonces la ace- 
leracion es en la direction opuesta del campo electrico. 



EjemploZI 



Una carga positiva acelerada 



Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el re- 
poso en un campo electrico uniforme E dirigido a lo largo 
del eje x, como se muestra en la figura 23.24. Describa su mo- 
vimiento. 



Solution La aceleracion es constante y esta dada por qE/m. 
El movimiento es lineal simple a lo largo del eje x. Por consi- 
guiente, se pueden aplicar las ecuaciones de la cinematica en 
una dimension (vease el capftulo 2): 



23. 7 Movimiento de partfculas cargadas en un campo e!6ctrico uniforms 



729 



x f = x i + vj + \a x t 2 
v x f = w ri + a x t 
"»/ = «» 2 + 2a*(xy - *,-) 
Si x, = y i/ xf = se obtiene 

*/ 2 a »< 2 « 



i/j,y = a x t = - 1 — £ 



v x f = 2a x xj 



i 



2qE 



■f 



La energfa cinetica de la carga despues de que se, ha movido 
una distancia x = Xj- x, es 



K = W = imf^X = 



\ m / 



Este resultado tambien puede obtenerse del teorema del tra- 
bajo y la energfa cinetica gracias a que el trabajo realizado 
por la fuerza electrica es Fjc = qEx y W= AX 

E <-, 



S 



v = 



Figura 23.24 Una carga puntual positiva q en un campo electrico 
uniforme E experiments una aceleracion constante en la direccion 
del campo. 



El campo electrico en la region entre dos placas metalicas planas con cargas 
opuestas es casi uniforme (Fig. 23.25). Suponga que un electron de carga -e se pro- 
yecta horizontalmente dentro de este campo a una velocidad inicial w,i. Puesto que 
el campo electrico E en la figura 23.25 esta en la direccion y positiva, la aceleracion 
del electron es en la direccion y negativa. Es decir, 



eE . 
a = j 

m 



(23.8) 



Ya que la aceleracion es constante, se pueden aplicar las ecuaciones de la cinemati- 
ca en dos dimensiones (vease el capitulo 4) con u„ = v t y v^ = 0. Despues de que el 
electron ha estado en el campo electrico durante un tiempo t, las componentes de 
su velocidad son 



v x = v t = constante 

eE 

v y = a y t = t 



(23.9) 
(23.10) 



(0,0) 






j y 



mmm?mm%mmfmm$mm\ 




srx v 



Figura 23.25 Un electron se lanza ho- 
rizontalmente en un campo electrico 
uniforme producido por dos placas car- 
gadas. El electron experimenta una ace- 
leracion descendente (opuesta a E) y su 
movimiento es parabolico mientras esta 
entre las placas. ' 



/■ 



730 



. CAPfTULO 23 Campos e!6ctricos 



Sus coordenadas despues de un tiempo t en el campo son 

x = v,4 



\a y 



2 _ _ , eE 

t a ■*■■■ 



? 



(23.11) 
(23.12) 



m 



Al sustituir el valor t = x/v t de la ecuacion 23.11, en la ecuacion 23.12, se ve que y es 
proporcional a x 2 ". Por tanto, la trayectoria es una parabola. Despues de que el elec- 
tron abandona el campo continua moviendose en una lfnea recta en la direction de 
v en la figura 23.25, obedeciendo la primera ley de Newton, a una rapidez v > v { . 
Observe que se ha ignorado la fuerza gravitacional que actiia sobre el electron. 
Esta es una buena aproximacion cuando se trabaja con partfculas atomicas. Para un 
campo electrico de 10 4 N/C, la relation entre la magnitud de la fuerza electrica eE 
y la magnitud de la fuerza gravitacional mges del orden de 10 14 para un electron y 
del orden de 10 11 para un proton. 



Ejemplo 23?£g§s> Un electron acelerado 

En la figura 23.25 se muestra un electron que entra a la re- 
gion de un campo electrico uniforme con v, = 3.00 x 10 6 m/s 
y E = 200 N/C. La longitud horizontal .de las placas es € = 
0.100 m. a) Encuentre la aceleracion del electron mientras es- 
ta en el campo electrico. 

Solution La carga en el electron tiene un valor absoluto de 
1.60 x 10" 19 C y m= 9.11 x lO"*' kg. Por tanto, la ecuacion 23.8 
produce 

eE . _ (1.60 xlQ-' 9 C) (200 N/C) . ; 
m J_ 9.11xl0- 31 kg J 

= -3.51xl0 13 jrri/s 2 

b) Encuentre el tiempo que tarda el electron en viajar a 
traves del campo. 

Solution La distancia horizontal a traves del campo es € = 
0.100 m. Empleando la ecuacion 23.11 con x= €, se encuen- 
tra que el tiempo que transcurre en el campo electrico es 






0.100m 



■ = a^xio^s 



v; 3.00 x 10 6 m/s 

c) jCual es el desplazamiento vertical y del electron mien- 
tras esta en el campo electrico? 

Solucion Utilizando la ecuacion 23.12 y los resultados de las 
partes a).y b), se encuentra que 

y = 2 a / = 2 (~ 3 - 51 x 10 ls m/s 2 )(3.33 x lO^s) 2 
=^■-0.0195 m= -1.95 cm 

Si la separacion entre las placas es mas pequena que esto, el 
electron golpeara la placa positiva. 

Ejerdcio Encuentre la rapidez del electron a medida que sa- 
le del campo. 

Respuesta 3.22 x io 6 m/s. 



El tubo de rayos catodicos 

El ejemplo que se acaba de trabajar describe una portion de un tubo de rayos cato- 
dicos (TRC). Este tubo, ilustrado en la figura 23.26, se usa comunmente para obte- 
ner un despliegue visual de information electronica en osciloscopios, sistemas de ra- 
dar, receptores de television y monitores de computadoras. El TRC es un tubo al 
vacfo en el que un haz de electrones se acelera y desvia bajo la influencia de cam- 
pos electricos o magneticos. El haz de electrones se produce por medio de un con- 
junto de dispositivos llamado canon de electrones localizado en el cuello del tubo. Es- 
tos electrones, si no son perturbados, viajan en una trayectoria en lfnea recta hasta 
que inciden en el frente del TRC, "la pantalla", la cual esta recubierta con un mate- 
rial que emite luz visible cuando se bombardea con electrones. 

En un osciloscopio los electrones se desvian en diversas directiones por medio 
de dos conjuntos de placas situadas en angulos rectos entre si en el cuello del tubo. 
(El TRC de una television dirige el rayo con un campo magnetico, como se estudiara 



Resumen 



731 



Canon de 
electrones 



Placas de Placas de 

desviacion desviacion 

vertical horizontal 




Ingreso Ingreso 
vertical horizontal 



Paritalla 
fluorescente 



Figura 23.26 Diagrama esquematico de 
un tubo de rayos catodicos. Los electrones 
que paFten del catodo caliente C son ace- 
lerados hacia el anodo A. Ademas de ace- 
lerar a los electrones, el canon de electro- 
nes tambien se usa para apuntar el haz de 
electrones y las placas desvian el haz. 



en el capftulo 29.) Un circuito electrico extemo se usa para controlar la cantidad de 
carga presente en las placas. La colocacion de la carga positiva sobre una placa hori- 
zontal y la carga negativa sobre la otra crea un campo electrico eritre las placas y per- 
mite.que el rayo se dirija de lado a lado. Las placas verticales de desviacion actuan de 
la misma manera, excepto que cambiar la carga en ellas desvia el rayo verticalmente. 



Resumen 

Las cargas electricas tienen las siguientes propiedades importantes: 

• Cargas diferentes se atraen entre si y cargas iguales se repelen entre si. 

• La carga se conserva. 

• . La carga esta cuantizada — es decir, existe en paquetes discretos que son algun 
multiple entero de la carga electronica. 

Los conductores son materiales en los que las cargas se mueven libremente. Los 
aislantes son materiales en los que las cargas no se mueven con libertad. 

La ley de Coulomb establece que la fuerza electrica ejercida por una carga q t so- 
bre una segunda carga q 2 es 



F 12 = k, 



9l?2 



(23.2) 



donde r es la distancia entre las dos cargas y f es un vector unitario dirigido desde 
q x hacia q 2 . La constante k„ conocida como constante de Coulomb, tiene el valor 
*, = 8.99xl0 9 N-m7C 2 . 

La unidad de carga mas pequena que se conoce en la naturaleza es la carga so- 
bre un electron 6 proton: |e| = 1.602 19 x 10" 19 C. 

El campo electrico E en algun punto en el espacio se define como la fuerza elec- 
trica F, que actua sobre una pequena carga positiva de prueba en ese punto, dividi- 
da entre la magnitud de la carga de prueba </ : 






(23.3) 



A una distancia r de una carga puntual q, el campo electrico debido a la carga esta 
dado por 



E = *,^rr 



(23.4) 



donde f es un vector unitario dirigido de la carga al punto en cuestion. El campo 
electrico esta dirigido radialmente hacia afuera de una carga positiva y dirigido ra- 
dialmente hacia adentro de una carga negativa. 



732 CAPITUL0 23 Campos elSctricos 



El campo electrico debido a un grupo de cargas puntuales puede obtenerse con 
el principio de superposition. Es decir, el campo electrico total en algun punto es 
igual a la suma vectorial de los campos electricos de todas las cargas: 



E = *.!*'« {23 - 5) 

i ~i 

El campo electrico en algun punto de una distribution de carga continua es 

E = *,j"^-r (23 - 6) 

donde dq es la carga en un elemento de la distribution de carga y r es la distancia 
del elemento al punto en cuestion. 

Las lineas de campo electrico describen un campo electrico en cualquier region 
del espacio. El numero de lineas por unidad de area a traves de una superficie per- 
pendicular a las lineas es proportional a la magnitud de E en esa region. 

Una partfcula cargada de masa m y carga q que se mueve en un campo electri- 
co E tiene una aceleracion 



a = 



ft (23.7) 



Sugerencias para resolver problemas 

Determination del campo electrico 

• Unidades: En calculos que involucren la constante de Coulomb k c (= l/4ire ) 
las cargas deben estar expresadas en coulombs y las distancias en metros. 

• Calculo del campo electrico de cargas puntuales: Para encontrar el cam- 
po electrico total en un punto dado empiece por calcular el campo electrico 
en el punto debido a cada carga individual. El campo resultante en el punto 
es el vector suma de los campos debidos a las cargas individuales. 

• Distriburiiones de carga continuas: Cuando se enfrente a problemas que in- 
volucren una distribution de carga continua, las sumas vectoriales para eva- 
luar el campo electrico total de algun punto deben ser sustituidas por integra- 
tes vectoriales. La distribution de carga se divide en pedazos infinitesimales y 
se calcula la suma vectorial integrando sobre toda la distribution de carga. De- 
be revisar los ejemplos 23.7 a 23.9. 

• Simetria: Siempre que trabaje con una distribution de cargas puntuales o 
con una distribution de carga continua aproveche cualquier simetria en el sis- 
tema para simplificar sus calculos. 



Preguntas 

1. Con frecuencia se observan (o escuchan) chispas al quitar- esta cargada positivamente? jPor que despues de cierto 
se la ropa en la oscuridad en un dfa seco. Explique. tiempo cae el globo? 

2. Se afirma que desde un punto de vista atomico, la carga 4. Una ligera esfera metalica descargada que esta suspendida 
suele transferirse por medio de electrones. Justifique. esta de un hilo es atraida hacia una barra de caucho cargada. 
afirmacion. Despues de tocar la barra esta repele a la esfera. Expli- 

[STI Un globo se carga negativamente por frotamiento y des- que. 

pues se adhiere a una pared. jEsto significa que la pared 5. Explique que se enuende por "atomo neutro". 






££3»? 



Problemas 



733 



6. jPor que algunas prendas se pegan entxe si y a su cuerpo 18. 
despues de sacarlas de una secadora? 

7. Una gran esfera metalica aislada de la tierra se carga con ' 19. 
un generador electrostatko, mientras una persona de pie 
sobre un taburete aislante sostiene la esfera. jPor que es 
seguro hacer esto? jPor que no serfa seguro para otra per- 
sona tocar la esfera despues de que esta se ha cargado?^ 20. 

8. jCuales son las similitudes y diferencias entre la ley de 
Newton de la gravedad, F g = Gm^m^/r 2 , y la ley de Cou- 
lomb, F e = Kq x q 2 /r 2 } 21. 

9. Suponga que alguien propone una teoria segun la cual la 
gente esta unida a la Tierra por fuerzas electricas y no por la 22. 
gravedad. <;C6mo probaria usted que esta teoria es erronea? 

10. jComo distinguiria experimentalmente un campo electri- 

co de un campo gravitacional? 23. 

111. I ^La vida seria diferente si el electron estuviera cargado po- 
sitivamente y el proton negativamente? jLa eleccion de 
signos tiene alguna relacion con las interacciones ffsicas y 
qufmicas? Explique. 24. 

12. Al definir el campo electrico, ipor que es necesario espe- 
cificar que la magnitud de la carga de prueba es muy pe- 
quena (es decir, por que es necesario tomar el lfmite de 25. 
FJq a medida que q — > 0) ? 

13. Dos esferas conductoras cargadas, cada una de radio a, es- 
tan separadas por una distancia r > 2a. ,-La fuerza sobre 

cada esfera esta dada por '.a ley de Coulomb? Explique. 26. 
(Sugermcia: vease el capftulo 14 sobre gravitacion.) 

14. ,:Cuando es valido aproximar una distribution de carga 
por medio de una carga puntual? 

15. jEs posible que un campo electrico exista en el espacio va- 27. 
cfo? Justifique su respuesta. 

16. Explique por que las lfneas de campo electrico nunca se 28. 
cruzan. [Stigerencia: E debe tener una direction unica en 
todos los puntos.) 

17. Un electron libre y un proton libre se ponen en un cam- 
po electrico identico. Compare las fuerzas electricas sobre 29. 
cada partfcula. Compare sus aceleraciones. 



Explique que sucede con la magnitud del campo electrico 
de una carga puntual cuando r tiende a cero. 
Una carga negativa se pone en una region del espacio 
donde el campo electrico esta dirigido verticalmente hacia 
arriba. ^Cual es la direccion de la fuerza electrica experi- 
mentada por esta carga? 

Una carga 4q esta a una distancia r de una carga -q. Com- 
pare el numero de lfneas de campo electrico que salen de 
la carga 4g con el numero que entra a la carga —q. 
En la figura 23.23, ^donde terminan las lfneas adicionales 
que salen de la carga +2^? 

Considere dos cargas puntuales iguales separadas por cier- 
ta distancia d. jEn que punto (aparte de «>) una tercera 
carga de prueba no experimentarfa una fuerza neta? 
Una carga puntual negativa —q se sitiia en el punto P cer- 
ca del anillo cargado positivamente que se muestra en la 
figura 23.17. Si x << a, describa el movimiento de la car- 
ga puntual si esta se libera a partir del reposo. 
Explique las diferencias entre densidades de carga lineal, 
superficial y volumetrica, y de ejemplos de cuando se usa- 
ria cada una. 

Si el electron en la figura 23.25 se lanza dentro del cam- 
po electrico a una velocidad arbitraria v, (a un angulo con 
respecto a E), £su trayectoria seguira siendo paraboliea? 
Explique. 

Se sabe de algunos casos en que la gente que se encuen- 
tra cerca de donde un rayo golpea la Tierra se ha teni- 
do que quitar la ropa. Explique por que podria suceder 
esto. 

jPor que un alambre de tierra debe conectarse a la barra 
de soporte metalico para una antena de television? 
Una pieza ligera de hoja de aluminio envuelve una barra 
de madera. Cuando la barra que transporta una carga pc* 
sitiva se acerca a la hoja, las dos partes de la hoja se sepa- 
ran. jPor que? iQue tipo de carga hay en la hoja? 
^Por que es mas dificil cargar un objeto por frotamiento 
en un dfa hiimedo que en un dia seco? 



Problemas 

1, 2, 3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solucion completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

WEB = solucion disponible en http://www.saunderscollege.com/pfaysics/ jQ = use computadora para resolver el problema flh = Fisica 

interactiva | | = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Section 23.1 Propiedades de las cargas electricas 
Section 23.2 Aislantes y conductores 
Section 23.3 La Ley de Coulomb 

1. a) Calcule el numero de electrones en un pequeno alfiler 
de plata, electricamente neutro, que tiene una masa de 
10.0 g. La plata tiene 47 electrones por atomo, y su masa. 
molar es de 107.87 g/mol. b) Se anaden electrones al al- 
filer hasta que la carga negativa neta sea de 1.00 mC. 
jCuantos electrones se anaden por cada 10 9 electrones ya 
presentes? ^ 

2. a) Dos protones en una molecula estan separados por 
una distancia de 3.80 x 10~ 10 m. Encuentre la fuerza elec- 
trica ejercida por un proton sobre el otro. b) jComo se 



compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de 
la fuerza gravitacional entre los dos protones? c) jCual 
debe ser la relacion carga a masa de una partfcula si la 
magnitud de la fuerza gravitacional entre dos de estas 
partfculas es igual a la magnitud de la fuerza electrica 
entre ellas? 
ebHTI Richard Feynman dijo una vez que si dos personas estuvier 
ran paradas a una distancia de un brazo una de otra y ca- 
da una tuviera 1%. mas de electrones que de protones, la 
fuerza de repulsion entre ellas seria suficiente para levan- 
I tar un "peso" igual al de toda la Tierra. Efecnie un calcu- 
lo de orden de magnitud para sustentar esta afirmacion. 
4. Dos pequenas esferas de plata, cada una con 10.0 g de 
masa, estan separadas 1.00 m. Calcule la fraccion de los 



734 



CAPlTULO 23 Campos el&tricos 



electrones en una esfera que se deben transferir a la otra 
para producir una fuerza atractiva de 1.00 x 10 4 N (apro- 
ximadamerite 1 ton) entxe las esferas. (El numero de 
electrones por atomo de plata es 47, y el numero de ato- 
mos por gramo es el numero de Avogadro dividido en- 
tre la masa molar de la plata, 107.87 g/mol.) 

5. Suponga que 1 .00 g de hidrogeno se separa en electro- 
nes y protones. Suponga tambien que los protones estan 
colocados en el polo none terrestre y que los electrones 
se colocan en el polo sur. jCual es la fuerza de compre- 
sion resultante sobre la Tierra? 

6. Dos pequenas esferas conductoras identicas se colocan 
con sus centros separados 0.300 m. A una se le da una 
carga de 12.0 nC y a la otra una carga de -18.0 nC. a) 
Encuentre la fuerza electrica ejercida sobre una esfera 
por la otra. b) Las esferas se conectan por un alambre 
conductor. Encuentre la fuerza electrica entre las dos 
despues de que se alcanza el equilibrio. 

\j2 Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un 
triangulo equilatero, como se muestra en la figura P23.7. 
Calcule la fuerza electrica neta sobre la carga de 7.00 /xC. 



7.00 fiC 



10. 




0.500 m 



2.00 //C -4.00 MC 

Figura P23.7 Problemas 7 y 15. 



Dos pequenas cuentas que tienen cargas positivas 3qy q 
estan fijas en los extremos opuestos de una barra aislante 
horizontal que se extiende desde el origen al punto x = 
d. Como se muestra en la figura P23.8, una tercera cuen- 
ta pequena cargada es libre de deslizarse sobre la barra. 
iEn que position esta en equilibrio la tercera cuenta? 
■jPuede estar en equilibrio estable? 



Problema de repaso. Dos cargas puntuales identicas, 
cada una con una carga +q, estan fijas en el espacio y se- 
paradas por una distancia d. Una tercera cnzvp puntual 
—Q de masa m puede moverse con libertac v se encuen- 
tra inicialmente en reposo en un bisector ' .-"..(dicular 
de las dos cargas fijas a una distancia x descie et punto 
medio entre las dos cargas fijas (Fig. P23.10). a) Muestre 
que si x es pequena en relation con d, el movimiento de 
-Q es armonico simple a lo largo del bisector perpen- 
dicular. Determine el periodo de ese movimiento. b) 
tQue tan rapido se movera la carga —Q cuando este en 
el punto intermedio entre las dos cargas fijas, si inicial- 
mente se libera a una distancia a« d del punto medio? 



d/2 



d/2 



+9 



-Q 



+? 



Figura P23.10 



Section 23.4 El campo electrico 

111. I <:Cuales son la magnitud y direccion del campo electrico 
que equilibrara el peso de a) un electron y b) un pro- 
ton? (Use los datos de la tabla 23.1.) 

12. Un objeto que tiene una carga neta de 24.0 ^.i.C; se colo- 
ca en un campo electrico uniforme de 610 '■' 'Z que es- 
ta dirigido verticalmente. jCual es la masa oe este obje- 
to si "flota" en el campo? 

13. En la figura P23.13 determine el punto (distinto del in- 
finito) en el cual el campo electrico es cero. 



-1.00 m- 



+Sq 



* A 



Figura P23.8 



Problema de repaso. En la teoria de Bohr del atomo 
de hidrogeno, un electron se mueve en una orbita circu- 
lar en torao a un proton, donde el radio de la orbita es 
0.529 x 10" 10 m. a) Encuentre la fuerza electrica entre los 
dos. b) Si esta fuerza provoca la aceleracion centripeta 
del electron, jcual es la rapidez del electron? 



r^_ 



-© 



-2.50 fiC 6.00 fiC 

Figura P23.13 



14. Un avion vuela a traves de un nubarron a una altura de 
2 000 m. (Esta es una situation muy peligrosa debido a 
corrientes ascendentes, turbulencia y la posibilidad de 
una descarga electrica.) Si hay una concentration 
de carga de +40.0 C a una altura de 3_000 m dentro de 
la nube y de —40.0 C a una altura de 1 000 m, £cual es el 
campo electrico E en la aeronave? 



%& 



Problemas 



735 



En la figura P23.7 se muestran tres cargas colocadas en 
las esquinas de un triangulo equilatero. a) Calcule el 
campo electrico en la position de la carga de 2.00 /xC 
debido a las cargas de 7.00 /xC y -4.00 /xC. b) Utilice su 
respuesta a la parte a) para determinant fuerza sobre la 
carga de 2.00 juC. 

Tres cargas puntuales estan ordenadas como se muestra 
en la figura P23.16. a) Encuentre el vector de campo 
electrico que crean en el origen de manera conjunta las 
cargas de 6.00 nC y -3.00 nC. b) Encuentre el vector 
fuerza sobre la carga de 5.00 nC. 




Figura P23.19 



5.00 nC 6.00 nC 
sK 0.3UU m ^->. 



-3.00 nC 



0.100 m 



Figura P23.16 



del campo electrico en el pun to (x, 31) debidas a esta car- 
ga q son 

F = M( x ~ *o) 

. * [(*-*o) 2 +(?->'o) 2 ]' V2 

F k My - yo) ■ 

'' [(*-*o) 2 +(j-?o) 2 ] 3/2 

Considere el dipolo electrico mostrado en la figura 
P23.21. Demuestre que el campo electrico en un punto 
dislante a lo largo del eje x es E x = 4k/ja/x s . 



Tres cargas positivas iguales, q, estan en las esquinas de 
un triangulo equilatero de lado a, como se muestra en 
la figura P23.17 a) Suponga que las tres cargas juntas ge- 
neran un campo electrico. Encuentre la ubicacion de un 
punto (distinto al inffnito) donde el campo electrico es 
cero. {Sugerencia bosqueje las lineas de campo en el pia- 
no de las cargas.) b) ^Cuales son la magnitud y direction 
del campo electrico en P debido a las dos cargas en la 
base? 




Figura P23.17 

Dos cargas puntuales de 2.00-/tC se localizan sobre el eje 
x. Una esta en x = 1.00 m y la otra en x = -1.00 m. 
a) Determine el campo electrico sobre el eje ' y en y = 
0.500 m. b) Calcule la fuerza. electrica sobre una carga 
de -3.00 /otC situada en el eje y en y = 0.500 m. 
Cuatro cargas puntuales estan en las esquinas de un cua- 
drado de lado a, como se muestra en la figura P23.19. a) 
Determine la magnitud y direction del campo electrico 
en la position de la carga q. b) jCual es la fuerza resul- 
tante sobre q? 

Una paru'cula puntual con una carga ^se localiza en (x , 
y ) en el piano xy. Demuestre que las componentes x y y 



-1 



1 

-o- 



■2a- 



Figura P23.21 



22. Considere n cargas puntuales positivas iguales, cada una 
de magnitud Q/n, situadas simetricamente alrededor de 
un circulo de radio R. a) Calcule la magnitud del cam- 
po electrico E en un punto a una distancia x sobre la li- 
nea que pasa por el centro del circulo y perpendicular 
al piano del circulo. b) Explique por que este resultado 
es identico al obtenido en el ejemplo 23.8. 

23. Considere un numero infinito de cargas identicas (cada 
una con carga q) colocadas a lo largo del eje x a distan- 
cias a, 2a, 3a, 4a, . . . del origen. ^Cual es el campo elec- 
trico en el origen debido a esta distribution? Sugerencioa 
aproveche el hecho de que 

111 -n- 2 

1 + —- + —- + -— + ••• = — 
2 2 3 2 4 2 6 

Section 23.5 Campo electrico de una distribution de carga. 
continua 

24. Una barra de 14.0 cm de largo esta cargada uniforme- 
. mente y tiene una carga total de -22.0 /aC. Determine la 

magnitud y direction del campo electrico a lo largo del 
eje de la barra en un punto a 36.0 cm de su centro. 



736 



CAPITUL 23 Campos el&tricos 



25. 



26. 



28. 



29. 



32. 



WEB|33J 



34. 



Una lfnea de carga continua se encuentra a lo largo del 
eje x, extendiendose desde x - +x hasta el infinito posi-^/ 
tivo. La linea tiene una densidad de carga lineal unifor- 
me \ . jCuales son la magnitud y direccion del campo 
electrico en el origen? 

Una lfnea de carga empieza en x = +x y se extiende has- 
ta el infinito positive Si la densidad de carga lineal es 
\ = XoXo/x, determine el campo electrico en el origen. 
Un anillo cargado uniformemente de 10.0 cm de radio 
tiene una carga total de 75.0 fiC. Encuentre el campo 
electrico sobre el eje del anillo de a) 1.00 cm, b) 5.00 
cm, c) 30.0 cm, y d) 100 cm del centro del anillo. 
Muestre que la intensidad de campo maxima E^ a lo 
largo det-eje de un anillo cargado uniformemente ocu- 
rre en * = a/^2 (vease la Fig. 23.17) y tiene el valor 
Q/(6^ire a 2 ). . 

Un disco cargado de modo uniforme de 35.0 cm de ra- 
dio dene una densidad de carga de 7.90 x 10" 3 C/m 2 . 
Calcule el campo electrico sobre el eje del disco en a) 
5.00 cm, b) 10.0 cm, c) 50.0 cm, y d) 200 cm del centro 
del disco. 

En el ejemplo 23.9 se obtiene la expresion exacta para 
el carnpo electrico en un punto sobre el eje de un disco 
de radio R = 3.00 cm, con una carga de +5.20 fx.C distri- 
buida de manera uniforme. a) Con el resultado del ejem- 
plo 23.9 calcule el campo electrico en un punto sobre el 
eje y a 3.00 mm del centro. Compare esta respuesta con 
el campo calculado a partir de la aproximacion de cam- 
po cercano E = cr/2e Q . b) Utilizando el resultado del 
ejemplo 23.9 calcule el campo electrico en un punto so- 
bre el eje y a 30.0 cm del centro del disco. Compare es- 
te resultado con el campo electrico obtenido tratando al 
disco como una carga puntual de +5.20 /xC a una distan- 
cia de 30.0 cm. 

El campo electrico a lo largo del eje de un disco cargado 
de manera uniforme de radio Ry carga total Qst calculo 
en el ejemplo 23.9. Demuestre que el campo electrico a 
distancias x que son grandes comparadas con R se acerca 
al de una carga puntual Q= crirR 2 . (Sugerencia: demuestre 
primero que x/(x 2 + J? 2 ) ,/2 = (l + R 2 /x 2 y U2 y use la serie 
del binomio (l + 5)" » l + nS cuando S « l.) 
Un pedazo de poliestireno de masa m tiene una carga 
neta de -q y flota sobre el centro de una lamina de plas- 
tico horizontal y muy larga, que tiene una densidad de 
carga uniforme en su superficie. jCual es la carga por 
unidad de area de la lamina de plastico? 
Una barra aislante cargada de manera uniforme de 
14.0 cm de largo se dobla en forma de semicfrculo, como 
se muestra en la figura P23.33. Si la barra dene una car- 
ga total de -7.50 /aC, encuentre la magnitud y direccion 
del campo electrico en 0, el centro del semicfrculo. 
a) Considere un cascaron cilmdrico circular recto carga- 
do uniformemente con una carga total Q, radio R y altu- 
ra h. Determine el campo electrico en un punto a una 
distancia d del lado derecho del cilindro, como se mues- 
tra en la figura P23.34. (Sugerencia. emplee el resultado 
del ejemplo 23.8 y considere al cilindro como una colec- ^ 
cion de anillos de carga.) b) Considere ahora un cilin- 
dro solido con las mismas dimensiones y que conduce la 
misma carga, la- cual esta distribuida de manera unifor- 




Figura P23.33 

L — —h J . 


d . 


V '•'■W-A J 




— Hh — • 

dx 
Figura P23.34 





me a traves de su volumen. Utilice el resultado del ejem- ■ 
plo 23.9 para encontrar el campo creado en el mismo 
punto.. 

Una barra delgada de longitud € y carga uniforme por 
unidad de longitud \ esta a lo largo del eje x como se 
muestra en la figura P23.35. a) Demuestre que el campo 
electrico en P, a una distancia y de la barra, a lo largo 
del bisector perpendicular no tiene componente x y es- 
ta dado por E= 2k,\ sen 6 /y. b) Utilizando su resultado 
del inciso a) muestre que el campo de una barj-a de lon- 
gitud infinita es E= 2k,\/y. (Sugerencia: calcule primero 
el campo Fdebido a un elemento de longitud dx, el cual 
tiene una carga \ dx. Despues cambie variables de x a 6 
aprovechando que x = y tan 6 y dx = y sec 2 6 dd e integre 
sobre 6). 







O dx 

•€ 



Figura P23.35 

36. Tres cilindros plasticos solidos tienen radio de 2.50 cm y 
longitud de 6.00 cm. Uno a) transporta carga con den- 
sidad uniforme de 15.0 nC/m 2 por toda su superficie. 
Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme 

\ 



Problems 



737 



solo sobre su cara lateral curva. El tercero c) tiene carga 
con densidad uniforme de 500 nC/m 3 en todo el plasti- 
co. Encuentre la carga de cada cilindra 
37. Ocho cubos plastkos solidos, cada uno con 3.00 cm por 
lado, se unen para formar cada uno de los objetos (i, ii, 
iii y iv) mostrados en la figura P23.37. a) Si cada objeto 
transporta carga con densidad uniforme de 400 nC/m 3 
a traves de su volumen, £cual es la carga de cada objeto? 
b) Si a cada objeto se le da carga con densidad unifor- 
me de 15.0 nC/m 2 en todas partes sobre su superficie ex- 
puesta, £cual es la carga en cada objeto? c) Si la carga se 
coloca solo sobre los lados donde se encuentran las su- 
perficies perpendiculares, con una densidad uniforme 
de 80.0 pC/m, jcual es la carga de cada objeto? 



\! 












1 


I 






\ 


J\l 


■fi 


*> 


>• 

5 

A 


\ 


P 



\ \ 



\ 









* Lt 



iv) 



i) ii) iii) 

Figura P23.37 

Section 23.6 Lineas de campo electrico 

38. Un disco cargado positivamente tiene una carga unifor- 
me por unida'd de area, como se describe en el ejemplo 
23.9. Dibuje las lfneas de campo electrico en un piano . 
perpendicular al piano del disco que pasa por su centre 

[39] Una barra cargada negativamente de longitud finita tie- 
ne una carga uniforme por unidad de longitud. Dibuje 
las lineas de campo electrico en un piano que contenga 
a la barra. 

40. La figura P23.40 muestra las lineas de campo electrico 
para dos cargas puntuales separadas por una pequena 
distancia. a) Determine la proporcion q^/q^. b) <:Cuales 
son los signos de q x y q 2 7 




Section 23.7 



41. 



Movimiento de particulas cargadas 
en un campo electrico uniforme 



Figura P23.40 



Un electron y un proton se ponen en reposo en un cam- 
po electrico de 520 N/C. Calcule la rapidez de cada par- 
tfcula 48.0 ns despues de liberarlas. 

42. Un proton se lanza en la direccion x positiva dentro de 
una region de un campo electrico uniforme E = -6.00 x 
10 6 i N/C. El proton viaja 7.00 cm antes de detenerse. 
Determine a) la aceleracion del proton, b) su rapidez 
inicial, y c) el tiempo que tarda en detenerse. - 

§3] Un proton acelera desde el reposo eri 'un campo electri- 
co uniforme de 640 N/C. Cierto tiempo despues su ra-' 
pidez es de 1.20 x 10 6 m/s (no relativista, puesto que v 
es mucho menor que la rapidez de la luz) . a) Encuentre 
la aceleracion del proton, b) ^Cuanto tarda el proton en 
alcanzar esta rapidez? c) jQue distancia ha recorrido 
en ese tiempo? d) ^Cual es su energia cinetica en este 
tiempo? 

44. Cada uno de los electrones en un haz de particulas tie- 
ne una energfa cinetica de 1.60 x 10~ 17 J. ^Cuales son la 
magnitud y direccion del campo electrico que detendra 
estos electrones en una distancia de 10.0 cm? 

web|4~1T| Cada uno de los electrones en un haz de particulas tie- 
ne una energia cinetica K. jCuales son la magnitud y di- 
reccion del campo electrico que detendra estos electro- 
nes en una distancia d? 

45. Una cuenta de 1.00 g cargada positivamente cae desde 
el reposo en el vacfo desde una altura de 5.00 m a tra- 
ves de un campo electrico vertical uniforme con una 
magnitud de 1.00 x 10 4 N/C. La cuenta golpea al suelo 
a una rapidez de 21.0 m/s. Determine a) la direccion 
del campo electrico (arriba o abajo), y b) la carga en la 
cuenta. 

[47l Un proton se mueve a 4.50 X 10 5 m/s en la direccion ho- 
rizontal. Entra a un campo electrico vertical uniforme de 
9.60 x 10 s N/C. Ignore todos los efectos gravitacionales 
y encuentre a) el tiempo que tarda el proton en viajar 
5.00 cm en forma horizontal, b) su desplazamiento ver- 
tical despues de que ha recorrido 5.00 cm horizontal- 
mente, y c) las componentes horizontal y vertical de su 
velocidad despues de que ha recorrido 5.00 cm en la di- 
reccion horizontal. 

48. Un electron se proyecta a un angulo de 30.0° sobre la 
horizontal a una rapidez de 8.20 x 10 5 m/s, en una re- 
gion donde el campo electrico es E = 390j N/C. Ignore 
los efectos de la gravedad y determine a) el tiempo que 
tarda el electron en regresar a su altura inicial, b) la al- 
tura maxima que alcanza, y c) su desplazamiento hori- 
zontal cuando alcanza su altura maxima. 

49. Se lanzan . protones a una rapidez inicial u, = 9.55 x 
10 3 m/s dentro de una region donde se presenta un 
campo electrico uniforme E = (-720J) N/C, como se 
muestra en la figura P23.49. Los protones van a incidir 
sobre un bianco que se encuentra a una distancia hori- 
zontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los pro- 
tones. Determine a) los dos angulos de lanzamiento 6 
que daran como resultado un impacto, y b) el tiempo to- 
tal de vuelo para cada trayectoria. 



£v 



738 



CAPITUL 23 Campos el&tricos 



<■ E = (-720j) N/C 




Figura P23.49 



PROBLEMAS ADICIONALES 

5C. Tres cargas puntuales estan alineadas a lo largo del eje x 
como se muestra en la figura P23.50. Encuentre el cam- 
po electrico en a) la posicion (2.00, 0) y b) la posicion 
(0, 2.00). 



en equilibrio cuando la cuerda forma un angulo de 15.0° 
con la vertical, jcual es la carga neta en la bola? 

web|53J Una bola de corcho cargada, de 1.00 g de masa, esta sus- 
pendida en una cuerda ligera en presencia de un cam- 
po electrico uniforme, como se muestra en la figura 
P23.53. Cuando E = (3.00i + 5.00J) x 10 5 N/C, la bola es- 
ta en equilibrio a 8 = 37.0°. Encuentre a) la carga en la 
bola y b) la tension en la cuerda. 
|54j Una bola de corcho cargada, de masa m, esta suspendida 
en una cuerda ligera en presencia de un campo electri- 
co uniforme, como se muestra en la figura P23.53. Cuan- 
do E = (Ai + Bj) N/C, donde Ay B son numeros positi- 
ves, la bola esta en equilibrio a un angulo 6. Encuentre 
a) la carga en la bola y b) la tension en la cuerda. 



-0.500 m- 



-0.800 m- 



- 4.00 nC 



5.00 nC 



Figura P23.50 



3.00 nC 




Figura P23.53 Problemas 53 y 54. 



fp2. 



Un campo electrico uniforme de 640 N/C de magnitud 
existe entre dos placas paralelas que estan separadas 
4.00 cm. Un proton se suelta desde la placa positiva en el 
mismo instante en que un electron se suelta desde la pla- 
ca negativa. a) Determine la distancia desde la placa po- 
sitiva en que las dos particulas se cruzan. (Ignore la atrac- 
cion electrica entre el proton y el electron.) b) Repita el 
inciso a para un ion sodio (Na + ) y un ion cloro (CI"). 
Una pequena bola de plastico de 2.00 g esta suspendida 
de una cuerda larga de 20.0 cm en un campo electrico 
uniforme, como se ve en la figura P23.52. Si la bola esta 



E= 1.00 xl0 3 i N/C 




' m=2.00g 
Figura P23.S2 



Cuatro cargas puntuales identicas (q= +10.0 /uC) se loca- 
lizan en las esquinas de un rectangulo, como se indica en 
la figura P23.55. Las dimensiones del rectangulo son L = 
60.0 cm y W= 15.0 cm. Calcule la magnitud y direccion 
de la fuerza electrica neta ejercida sobre la carga en la es- 
quina inferior izquierda por las otras tres cargas. 




Figura P23.S5 



56. Tres pequerias bolas identicas de poliestireno (m = 
2.00 g) estan suspendidas de un punto fijo por medio de 
tres hilos no conductores, cada uno con una longitud de 
50.0 cm y masa despreciable. En equilibrio, las tres bolas 



' Problemas 



739 



forman un triangulo equilatero con lados de 30.0 cm. 
jCual es la carga comun q que tiene cada bola? 

57. Dos bloques metalicos identicos descansan sobre una su- 
perficie horizontal sin friccion coWctados por un resor- 
te metalico ligero que tiene una constante de fuerza k = 
100 N/m y una longitud no elongada de 0.300 m, como 
se muestra en la figura P23.57a. Una carga total Qse co- 
loca lentamente sobre el sistema, lo cual provoca que el 
resorte se estire a una longitud de equilibrio de 0.400 m, 
como se muestra en la figura P23.57b. Determine el va- 
lor de Q, suponiendo que toda la carga reside sobre los 
bloques y que los mismos son como cargas puntuales. 

58. Dos bloques metalicos identicos descansan sobre una su- 
perficie horizontal sin friccion cbnectados por un resor- 
te metalico ligero que tiene una constante de fuerza k y 
una longitud no elongada L^ como se muestra en la fi- 
gura P23.57a. Una carga total Qse coloca lentamente so- 
bre el sistema, lo cual provoca que el resorte se estire a 
una longitud de equilibrio L, como se muestra en la fi- 
gura P23.57b. Determine el valor de Q suponiendo que 
toda la carga reside sobre los bloques y que los mismos 
son como cargas puntuales. 




Figura P23.59 



campos electricos son mucho mayores a 1 N/C. (La par- 
tfcula cargada permanecera no relativista durante un 
tiempo menor o mayor en un campo electrico mucho 
mas grande? 

Una lfnea de carga positiva se forma dentro de un semi- 
cfrculo de radio R = 60.0 cm, como se muestra en la fi- 
gura P23.61. La carga por unidad de longitud a lo largo 
del semicfrculo se describe por medio de la expresion 
X = Xo cos 0: La carga total en el semicfrculo es 12.0 /aC. 
Calcule la fuerza total en una carga de 3.00 fiC situada 
en el centro de curvatura. 



59. 




b) 
Figura P23S7 Problemas 57 y 58. 



Barras delgadas identicas de longitud 2a conducen car- 
gas iguales, +Q, distribuidas de manera uniforme a lo lar- 
go de sus longitudes. Las barras descansan sobre el eje 
x con sus centros separados por una distancia b > la 
(Fig. P23.59). Demu'estre que la magnitud de la fuerza 
ejercida por la barra izquierda sobre la de la derecha 
esta dada por 



-m^ 



4a 2 



50. Se dice que Una partfcula es no relativista mientras su ra- 
pidez.sea menor a un decimo de la rapidez de la luz, o 
menor a 3.00 x 10 7 m/s. a) ,:Cuanto tiempo permanece- 
ra un electron como no relativista si parte del reposo en 
una region de un campo electrico de 1.00 N/C? b) 
jCuanto tiempo permanecera un proton como no rela- 
tivista en el mismo campo electrico? c) Por lo general los 




Figura P23.61 

'62. Dos esferas pequenas, cada una de 2.00 g de masa, estan 
suspendidas por medio de cuerdas ligeras de 10.Q cm de 
largo (Fig. P23.62). Un campo electrico uniforme se 
aplica en la direccion x Si las esferas tienen cargas igua- 
les a -5.00 x 10 - * C y +5.00 x 10" 8 C, determine el cam- 
po electrico que permite a las esferas estar en equilibrio' 
a un angulo de 6 = 10.0°. 




Figura P23.62 



740 



CAPITUL023 Campos el&tricos 



[63~1 Dos esferas pequenas de masa m estan suspendidas de 
cuerdas de longitud € que estan conectadas a un punto 
comun. Una esfera tiene carga Q la otra tiene carga 2Q. 
Suponga que los angulos 0[ y B t que las cuerdas forman 
con la vertical son pequenos. a) jComo se relacionan 0, 
y 2 ? b) Demuestre que la distancia r entre las esferas es 



4k t Q 2 £ 



{ n i 



J3, 64. Tres cargas de igual magnitud q estan fijas en los vertices 
de un triangulo equilatero (Fig. P23.64). Una cuarta car- 
ga Q tiene la libertad de movimiento a lo largo del eje x 
positivo bajo la influencia de las fuerzas ejercidas por las 
tres cargas fijas. Encuentre un valor de s para el cual Q 
este en equilibrio. Usted necesitara resolver una ecua- 
cion trascendental. 




-QQ 




+?P" 



-P+? 



/ 



-O +? 



Figura P23.64 



Figura P23.65 



56. Problema de repaso. Una bola de corcho de 1.00 g que 
tiene una carga de 2.00 /xC esta suspendida verticalmen- 
te de una cuerda ligera que mide 0.500 m de largo, en 
un campo eiectrico uniforme dirigido hacia abajo cuya 
magnitud es £= 1.00 x 10 5 N/C. Si la bola se desplaza li- 
geramente de la vertical, oscila como un pendulo sim- 
ple, a) Determine el periodo de esta oscilacion. b) jLa 
gravedad debe incluirse en el calculo del inciso a)? Ex- 
plique. 

57. Tres cargas de igual magnitud q se encuentran en las es- 
quinas de un triangulo equilatero de longitud de lado a 
(Fig. P23.67) . a) Encuentre la magnitud y direction del 
campo eiectrico en el punto P, en el punto medio de las 
cargas negativas, en terminos de k„ q y a. b) jDqnde de- 
be situarse una carga -Aq de manera que cualquier car- 
ga localizada en P no experimente fuerza electrica neta? 
En el inciso b) deje que Psea el origen y que la distan- 
cia entre la carga +q y P sea 1.00 m. 



65. Problema de repaso. Cuatro cargas puntuales identi- 
cas, cada una con carga +q, estan fijas en las esquinas de 
un cuadrado de lado L. Una quinta carga puntual -Q es- 
ta a una distancia z a lo largo de la linea perpendicular 
al piano del cuadrado y que pasa por el centro del cua- 
drado (Fig. P23.65). a) Muestre que la fuerza ejercida so- 
bre -Q por las otras cuatro cargas es 



F = - 



W/iQz 



MY 




Figura P23.67 



Advierta que esta fuerza esta dirigida hacia el centro del 
cuadrado si z es positiva (-Q arriba del cuadrado) o ne- 
gativa (-Qdebajo del cuadrado) . b) Si z es pequena com- 
parada con L, la expresion anterior se reduce a F = - 
(constante) dc. £Por que este resultado implica que el 
movimiento de -Qes armonico simple, y cual seria el pe- 
riodo de este movimiento si la masa de -Qfuese m? 



68. Dos cuentas idendcas tienen cada una masa m y carga q. 
Cuando se ponen en un tazon esferico de radio R con 
paredes no conductoras y sin friccion, las cuentas se 
mueven hasta que en la position de equilibrio estan se- 
paradas una distancia R (Fig. P23.68). Determine la car- 
ga en cada cuenta. 



Problemas 



741 



69. 



70. 



71. 



72. 




Figura 923.68 



Ocho cargas puntuales, cada una de magnitud q, se lo- 
calizan en las esquinas de un cubo de lado s, como se 
muestra en la figura P23.69. a) Determine las coppo- 
nentes x, y y z de la fuerza resultante ejercida sobre la 
carga localizada en el punto A por las otras cargas. b) 
jCuales son la magnitud y direccion de esta fuerza resul- 
tante? 




Figura P23.701 Problemas 69 y 70 



Considere la distribution de carga mostrada en la figura 
P23.69. a) Demuestre que la magnitud del campo elec- 
trico en el centra de cualquier cara del cubo tiene un va- 
lor de 2.18A,^/5 2 . b) jCual es la direccion del campo 
electrico en el centro de la cara superior del cubo? 
Una linea de carga con una densidad uniforme de 
35.0 nC/m reposa a lo largo de la h'nea y = -15.0 cm, en- 
tre los puntos con coordenadas x = y x = 40.0 cm. En- 
cuentre el campo electrico creado en el origen. 
Tres cargas puntuales q,-2qyq estan ubicadas a lo largo 
del eje x como se. muestra en la figura P23.72. Demues- 
tre que el campo electrico en P (y » a) a lo largo del 
eje y es 



E = -A, 



2>qa? 



q -2q q 

Figura P23.72 



Esta distribution de carga, que es en esencia la. de dos 
dipolos electricos, recibe el nombre de cuadrupolo electri- 
co. Observe que E varfa con r" 4 para e.1 cuadrupolo, com- 
parado con las variaciones de r" 3 para el dipolo y r" 2 pa- 
ra el monopolo (una carga individual). 
Problema de repaso. Una partfcula cargada negativa- 
mente -q se coloca en el centro de un anillo cargado de 
modo uniforme, donde el anillo tiene una carga positi- 
va total Q, como se muestra en el ejemplo 23.8. La par- 
tfcula, restringida a moverse a lo largo del eje x, se des- 
plazauna pequena distancia x a lo largo del eje (donde 
x « a) y se libera. Demuestre que la partfcula oscila con 
movimiento armonico simple con una frecuencia 



1/2 



2ir{ ma 3 , 



74. Problema de repaso. Un dipolo electrico en un campo 
electrico uniforme se desplaza ligerarriente de su posi- 
tion de equilibrio, como se muestra en la figura P23.74, 
donde 6 es pequeno. El momento de inertia del dipolo 
es /. Si el dipolo se libera desde esta position, demues- 
tre'que su orientation angular presenta movimiento ar- 
monico simple con una frecuencia 



2qaE 



~2u"V / 



^P< 



-!(Q 



Figura P23.74 



742 



CAPlTULO 23 Campos el&tricos 



Respuestas a las preguntas sorpresa 

23.1 b) . La cantidad de carga presente despues del frotamien- 
to es la misma que antes; solo se distribuye de modo di- 
ferente. 

23.2 d) . El objeto A pudiera tener carga negativa, pero tam- 
bien podria ser electricamente neutro con una separa- 
tion de carga inducida, como se muestra en la figura si- 
guiente: ' 




23.3 b). A partir de la tercera ley de Newton, la fuerza elec- 
trica ejercida por el objeto B sobre el objeto A es igual 
en magnitud a la fuerza ejercida por el objeto A sobre el 
objeto B y en la direction opuesta — es decir, F^ = -F^. 

23.4 Nada, si se supone que la fuente de carga que produce- 
el campo no se altera por nuestras acciones. Recuerde 
que el campo electrico no se crea por la carga +3 fiC o 
por la carga -3 fiC sino por la fuente de carga (que no 
se ve en este caso) . 

23.5 A, By C. El campo es mayor-en el punto A porque es ahi 
donde las lfneas de campo estan mas juntas entre si. La 
ausencia de lineas en el punto C indica que ahi el cam- 
po electrico es cero-.- 



9AVJ»i wmi swine z m 






ijj^sw^Jr^ 




Algunas compafifas feiroyianas esttnv . : 
planeando revestir las ventanas de s'us 
trenes inte'rurbanos mh\s0imt^i s 
metSjica. (El revestimiefitd es ten ~ 
delgado que usted puede ver a travfe de 
el) Las companias estSn haciendo esto 
en respuesta a las quejas de los 
usuarios acerca de las ruidosas plalicas 
de algunos pasajeros a travfe de sus 
telSfonos celulares. ^Cdmo puede 
resolver este problema un revestimiento 
metalico que s6lo tiene unos cientos de 
nan6metras de ancho? (Arthur Tilley/FPG 
International) 



Ley de Gauss 



capitulo 



24 



Ltn* a s~g'e ne r a I e s del capitulo 



/ 



24.1 Flujo electrico 

24.2 Ley de Gauss 

24.3 Aplicacion de la ley de Gauss a 
aislantes cargados - 

24.4 Conductores en equilibrio elec- 
trostatico 



24.5 (Opcional) Verificacion experi- 
mental de las leyes de Gauss y 
de Coulomb 

24.6 (Opcional) Deduccion formal de 
la ley de Gauss 



743 



744 



CAP/TUL0 24 Ley de Gauss 



Area = A 




fn el capitulo anterior se mostro como usar la ley de Coulomb para calcular el 
campo electrico generado por una distribution de carga dada. En este capitu- 
lo se describira la ley de Gauss y un metodo alternativo para calcular campos 
electricos. La ley se basa en el hecho de que la fuerza electrostatica fundamental en- 
tire cargas puntuales exhibe un comportamiento del cuadrado inverso. Si bien la ley" 
de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb, es mucho mas conveniente pa- 
ra calcular el campo electrico de distribuciones de carga altamente simetricas y ha- 
ce posible un razonamiento cualitativo litil cuando se trata con problemas mas com- 
plicados. 



FLUJO ELECTRICO 



Figura 24.1 Lineas de campo que 
representan un campo electrico uni- 
forme penetrando un piano de area A 
perpendicular al campo. El flujo elec- >~ ,_, , ,. , , , ,,.-,• •• i 

trico 4> £ a u-aves de esta area es iguai & E1 concepto de lineas de campo electrico se descubno de manera cualitauva en el 
a EA. 11 6 capitulo 23. Ahora se utilizara el concepto de flujo electrico para tratar las lineas de 

campo electrico sobre una base mas cuantitativa. 

Considere un campo electrico que es uniforme tanto en magnitud como en di- 
rection, como el que se muestra en la figura 24.1. Las lineas de campo penetran una 
superficie rectangular de area A, la cual es perpendicular al campo. Recuerde de la 
section 23.6 que el numero de lineas por unidad de area (en otras palabras, la den- 
sidad de lined) es proportional a la magnitud del campo electrico. Por tanto, el nu- 
mero total de lineas que penetra la superficie es proportional al producto EA. El 
producto de la magnitud de campo electrico E y el area de la superficie A perpen- 
dicular al campo recibe el nombre de flujo electrico <J> £ : 



<& E =EA 



(24.1) 



A partir de las unidades del SI correspondientes a E y A, se ve que 3> £ tiene unida- 
des de newton-metros cuadrados por coulomb (N • m 2 /C) . El flujo electrico es pro- 
portional al numero de lineas de campo electrico que penetran alguna superficie. 



Ejemplo 2k 



Flujo a traves de una esfera 



dCual es el flujo electrico a traves de una esfera que tiene un 
radio de 1.00 m y porta una carga de +1.00 /uC en su centro? 

Solution La magnitud del campo electrico a 1.00 m de es- 
ta carga esta dada por la ecuacion 23.4, 

£ .*.4o (8 .99xl0-N.m./C.)12^£ 

r l (l.OOmf 

= 8.99 x 10 s N/C 



a traves de la esfera (cuya area de superficie' es A = Airr' 1 = 12.6 
m 2 ) es, por consiguiente, 

4> £ = EA = (8.99 x 10' N/C) (12.6 m 2 ) 

= 1.13 x 10 s N-mVC 

Ejerdrio ^Cuales serfan a) el campo electrico y b) el flujo a 
traves de la esfera si esta tuviese un radio de 0.500 m? 



El campo apunta radialmente hacia afuera y, por tanto, es per- 
pendicular en todo punto a la superficie de la esfera. El flujo Respuesta a) 3.60 x 10 4 N/C; b) 1.13 x 10 5 N • m 2 /C. 



Si la superficie que se esta considerando no es perpendicular al campo, el flujo 
a traves de ella debe ser menor que el dado por la ecuacion 24.1. Para entender lo 
anterior vease la figura 24.2, donde la normal a la superficie del area A forma un 
angulo 6 con el campo electrico uniforme. Advierta que el numero de lineas que 
cruzan esta area A es igual al numero que cruza el area A', la cual es una proyeccion 
del area A alineada perpendicular al campo. De acuerdo con la figura 24.2, las dos 



24. 1 Flujo el&trico 



745 



Normal 



Figura 24.2 Lineas de campo que repre- 
sentan un campo electrico uniforme pe- 
netrando un area A que esta a un angulo 8 
con el campo. Debido a que el numero de 
lineas que van a traves del area A' es igual al 
numero de las lineas que atraviesan A, el flu- 
jo a traves de A' es igual al flujo a traves de 
A y esta dado por <& E = EA cos 6. 

areas estan relacionadas por A' = A cos 6. Ya que el flujo a traves de A es igual al flu- 
jo a traves de A', se concluye que el flujo a traves de A es 



A' = A cos 




* £ = EA' = EA cos 6 



(24.2) 



A partir de este resultado se ve que el flujo a traves de una superficie de area fija A 
tiene un valor maximo EA cuando la superficie es perpendicular al campo (en otras 
palabras, cuando la normal a la superficie es paralela al campo, es decir, = 0° en la 
figura 24.2) ; el flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo (en otras pala- 
bras, cuando la normal a la superficie es perpendicular al campo, es decir, 6 = 90°). 
En el analisis anterior se supuso un campo electrico uniforme. En situaciones 
mas generales, el campo electrico puede variar sobre una superficie considerada. 
Por consiguiente, la definicion de flujo dada por la ecuacion 24.2 tiene sentido so- 
lo sobre un pequeno elemento de area. Considere una superficie general dividida 
en un gran numero de elementos pequenos, cada uno de area AA. La variation en 
el campo electrico sobre un elemento puede ignorarse si el elemento es suficiente- 
mente pequeno. Resulta cohveniente definir un vector AA, cuya magnitud represen- 
te el area del i-esimo elemento de la superficie y cuya direction se define corrw perpen- 
dicular al elemento de superficie, como se muestra en la figura 24.3. El flujo electrico 
A<I>£- a traves de este elemento es 

A<I> £ = EfiiAi cos 6 = E,- AA, 

donde se ha usado la definicion del producto escalar de dos vectores (A-B = AB cos 
6). Al sumar las contribuciones de todos los elementos se obtiene el flujo total a tra- 
ves de la superficie. 1 Si se deja que el area de cada elemento tienda a cero, enton- 
ces el numero de elementos tiende al infinite y la suma se sustituye por una inte- 
gral. En consecuencia, la definicion general de flujo electrico es 



4> £ = h'mXE.AA, = | E 



d\ 



(24.3) 



superficie 



La ecuacion 24.3 es una integral de superficie, que debe ser evaluada sobre la superfi- 
cie en cuestion. En general, el valor de <E> £ depende tanto del patron del campo co- 
mo de la superficie. 

Casi siempre se esta interesado en la evaluation del flujo a traves de una super- 
ficie cerrada, la que se define como una que divide el espacio en una region inte- 
rior y en otra exterior, de manera que uno no puede moverse de una region a la 
otra sin cruzar la superficie. La superficie de una esfera, por ejemplo, es una su- 
perficie cerrada. 

Considere la superficie cerrada de la figura 24.4. Los vectores AA; apuntan en 
diferentes direcciones en los diversos elementos de superficie, pero en cada punto 



Experiment) sorpresa j§^ 

Proyecte la luz de una lampara de 
escritorio sobre una baraja y observe 
como el tamano de la sombra sobre 
su escritorio depende de la orienta- 
cion de la baraja con respecto al ra- • 
yo de luz. jUna formula como la 
ecuacion 24.2 podria usarse para 
describir cuanta luz ha sido bloquea- 
da por la baraja? 



AA,- 



r^ 



Figura 24.3 Un pequeno elemento 
de superficie con area AA ; . El campo 
electrico forma un angulo 6 con el 
vector AAj, definido como normal al 
elemento de superficie, y el flujo a 
traves del elemento es igual a £,AA( 
cos 6. 



Definicion de flujo electrico 



1 Es imponante advertir que los dibujos con lineas de campo tienen^us imprecisiones, puesto que pue- 
de suceder que un pequeno elemento de area (segun su posicion) tenga muchas o muy pocas lineas 
que lo penetren. Se subraya que la definicion basica del flujo electrico es / E- dA. Las lineas se utilizan 
solo como una ayuda: para visualizar el concepto. 



746 



CAP(TUL024. Ley de Gauss 




figure 24.4 Una superficie cerra- 
da en un campo electrico. Los vecto- 
res de area AA.son, por convention, 
normales a la superficie y apuntan 
hacia afuera. El flujo a traves de un 
elemento de area puede ser positivo 
(elemento ©), cero (elemento ©), 
o negativo (elemento ®) . 




Karl Friedrich Gauss 

MatemStco y astr6nomo aleman 
(1777-1855) 



son normales a la superficie y, por convention, siempre apuntan hacia afuera. En 
los eiementos marcados como ©, las lineas de campo estan cruzando la superficie 
desde el interior hacia afuera y 6 < 90°; por tanto, el flujo AO £ = E- AA, a traves de 
estos eiementos es positivo. Para el elemento © las lineas de campo rozan la super- 
ficie (perpendicular al vector AAJ ; por tanto, 8 = 90° y el flujo es cero. Para eiemen- 
tos como (D, donde las lineas de campo estan atravesando la superficie desde el ex- 
terior hacia el interior, 180° > 6 > 90° y el flujo se vuelve negativo puesto que 
cos 6 es negativo. El flujo neto a traves de la superficie es proportional al numero ne- 
to de lineas que abandonan la superficie, donde el numero neto significa el numero 
de las que abandonan la superficie menos el numero de las que entran a la superficie. Si sa- 
len mas lfneas de las que entran, el flujo neto es positivo. Si entran mas lineas de las 
que salen, el flujo neto es negativo. Con el simbolo j representando una integral so- 
bre una superficie cerrada, se puede escribir el flujo neto 4> £ a traves de la superfi- 
cie cerrada como 



<J>, = E • dA = (P EJA 



(24.4) 



donde £„ representa la componente del campo electrico normal a la superficie. La 
evaluation del flujo neto a traves de una superficie cerrada podria ser muy proble- 
matica. Sin embargo, si el campo es normal a la superficie en cada punto y de mag- 
nitud constante, el calculo es directo, como lo fue en el ejemplo 24.1. El siguiente 
ejemplo tambien ilustra este punto. 



Ejemplo 24& 



Flujo a traves de un cubo 



Considere un campo electrico uniforme E orientado en la di- 
rection x. Encuentre el flujo electrico neto a traves de la su-- 
perficie de un cubo de lados t orientado como se indica en 
la figura 24.5. 

Solution El flujo neto es la suma de los flujos a traves de ca- 
da cara del cubo. En primer lugar, observe que el flujo a traves 



de cuatro de las caras (®, © y las que no tienen numero) es 
cero, puesto que E es perpendicular a dA. en estas caras. 
El flujo neto a traves de las caras © y © es 



«D £ = I E • dA + E • rfA 



24.2 K Ley de Gauss 



747 




Para ©, E es constante y dirigido hacia adentro, en tamo que 
dA se dirige hacia afuera (6 = 180°); por tanto, el flujo a tra- 
ves de esta cara es 



l EdA =l 



E(cosl80°)dA 



= -E\ dA = -EA=-FJ 2 



puesto que el area de cada cara es A = H 2 . 

Para ©, E es constante y apunta hacia afuera y en la mis- 
ma direction que dA(0 = 0°); por ende, el flujo a traves de es- 
ta cara es 

I E • dA = I £(cos 0°)dA = E J dA = + EA = Et 1 

Figura 24.5 Una superficie cerrada en la forma de un cubo en un 

campo electrico uniforme orientado de manera paralela al eje x El Por tanto, el flujo neto sobre las seis caras es 

flujo neto a traves de la superficie cerrada es cero. El lado © es el 

fondo del cubo, y el lado © es opuesto a! lado ©. <I> £ =-£€ 2 + EC* + + + + = 



jjlj§|§ |> LEY DE GAUSS 

/p) En esta seccion se describira una relacion general entre el flujo electrico neto a tra- 
il. 6 ves de una superficie cerrada (coriocida en ocasiones como superficie gaussiana) y la 
carga encerrada por la superficie. Esta relacion, conocida como ley de Gcrnss, es de 
importancia fundamental en el estudio de los campos electricos. 

Considere de nuevo una carga puntual positiva q localizada en el centro de una 
esfera de radio r, como la' que se muestra en la figura 24.6. De acuerdo con la ecua- 
cion 23.4 se sabe que la magnitud del campo electrico en cualquier punto sobre la 
superficie de la esfera es E= k r q/r 2 . Como se apunto en el ejemplo 24.1, las lfneas 
de campo apuntan radialmente hacia afuera y por ello son perpendiculares a la su- 
perficie en cada punto de la misma. Esto significa que en cada punto superficial, E 
es paralelo al vector AA„ que representa al elemento de area local AA { que rodea al 
punto superficial. Por tanto, 

E-AA,. = £AA,. 

y de la ecuacion 24.4 se encuentra que el flujo neto a traves de la superficie gaussia- 
na es 



® E = <P E • dA =<f>EdA = E <fdA 

donde se ha movido E fuera de la integral porque, por simetrfa, E es constante so- 
bre la superficie y esta dada por E = kjq/r 2 . Ademas, como la superficie es esferica, 
j dA=A = 4nr 2 . Por tanto, el flujo neto a traves de la superficie gaussiana es 

<D £ = -4(47rr 2 ) = 477% 



\ 



Superficie 
gaussiana 



h-Ss^U 



Figura 24.6 Una superficie gaussia- 
na esferica de radio r rodeando una 
carga puntual q. Cuando la carga esta 
en el centro de la esfera, el campo 
electrico es normal a la superficie y 
constante en magnitud en todas par- 
tes. 



Recordando de la seccion 23.3 que k e = 1/(41760), se puede escribir esta ecuacion en 
la forma 



*r = ± 



(24.5) 



Se puede verificar que esta expresion para el flujo neto proporciona el mismo resul- 
tado que el del ejemplo 24.1: <J> £ = (1.00 x 10" 6 C)/(8.85 x 10" 12 C 2 /N-m 2 ) = 1.13 x 
10 5 N-m 2 /C. 



748 



CAPITUL0 24 Ley de Gauss 




Figura 24.7 Superficies cerradas de varias formas, rodeando 
una carga q. El flujo electrico neto es el mismo a traves de todas 
las superficies. 




Figura 24.8 Una carga puntual ubi- 
cada afuera de una superficie cerrada. 
El numero de lineas que ingresan a la 
superficie es igual al numero de las 
que salen de la superficie. 

El flujo electrico neto a traves de 
una superficie cerrada es cero si 
no existe carga en su interior 



Advierta en la ecuacion 24.5 que el flujo neto a traves de la superficie esferica 
es proporcional a la carga interna. El flujo es independiente del radio r porque el 
area de la superficie esferica es proporcional a r 2 , mientras que el campo electrico 
es proporcional a 1/r 2 . En consecuencia, en el producto del area y el campo elec- 
trico, la dependencia de r se cancela. 

Considere ahora varias superficies cerradas que rodean a una carga q, como se 
muestra en la figura 24.7. La superficie S, es esferica, en tanto que las superficies S 2 
y S, no lo son. De la ecuacion 24.5, el flujo que pasa por S, tiene el valor q/e . Co- 
mo se analizo en la section anterior, el flujo es proporcional al numero de lineas de 
campo electrico que atraviesan una superficie. La construction de la figura 24.7 
muestra que el numero de lineas que pasan por 5, es igual al numero de lineas que 
atraviesan las superficies no esfericas S 2 y S 3 . Por consiguiente, es razonable concluir 
que el flujo neto a traves de cualquier superficie cerrada es independiente de la for- 
ma de esa superficie. El flujo neto a traves de cualquier superficie cerrada que ro- 
dea a una carga puntual q esta dado por q/e . 

Considere a continuation una carga puntual localizada afuera de una superficie 
cerrada de forma arbitraria, como la de la figura 24.8. Como usted puede observar 
en esta construccion, cualquier linea de campo electrico que entra a la superficie sa- 
le de ella en otro punto. El numero de lineas de campo electrico que entran a la su- 
perficie es igual al numero de las que salen de la superficie. Por tanto, se concluye 
que el flujo electrico neto a traves de una superficie cerrada que rodea a n i ng u n a 
carga es cero. Si se aplica este resultado al ejemplo 24.2, se puede ver facilmente que 
el flujo neto a traves del cubo es cero, puesto que no hay carga dentro del cubo. 



Pregunta sorpresa 24.1 



Suponga que la carga en el ejemplo 24.1 esta apenas afuera de la esfera, a 1.01 m de su cen- 
tre jCual es el flujo total que atraviesa la esfera? 



Extienda estos argumentos a dos casos generalizados: 1) el de muchas cargas 
puntuales y 2) el de ; una distribution de carga continua. Una vez mas se usa el prin- 
cipio de superposition, el cual indica que el campo electrico producido por muchas 
cargas es la suma vectorial de los campos electricos producidos por las cargas indi- 
viduales. Por tanto, se puede expresar el flujo a traves de cualquier superficie cerra- 
da como 



<PE-rfA = 4> 



dA = CP (E, + E 2 +•■•) dA 

donde E es el campo electrico total en cualquier punto sobre la superficie produci- 
do por la adicion vectorial de los campos electricos en dicho punto debido a las car- 
gas individuales. 



24.2 Ley de Gauss 



749 



Considere el sistema de cargas mostrado en la figura 24.9. La superficie 5 rodea 
solo una carga, q Y ; por tanto, el flujo neto a traves de 3^es qi/e - El flujo a traves de 
5 debido a las cargas q 2 y q$ fuera de ella es cero porque.cada linea de campo elec- 
trico que entra a 5 en un punto sale de ella en otro. La superficie S rodea las car- 
gas q 2 y q s ; por tanto, el flujo neto a traves de S* es (q 2 + q s )/e . Por ultimo, el flujo 
neto a traves de la superficie S' es cero debido a que no hay carga dentro de esta 
superficie. Es decir, todas las lmeas de campo electrico que entran a 5" en un pun- 
to salen de S" en otro. 

La ley de Gauss, que es una generalization de lo que se acaba de describir, es- 
tablece que el flujo neto a traves de cualquier superficie cerrada es 



o £ =f 



■dA = ^ 



(24.6) 



Ley de Gauss 



donde q m representa la carga neta dentro de la superficie y E representa el campo 
electrico en cualquier punto sobre la superficie. 

Una prueba formal de la ley de Gauss se presenta en la section 24.6. Cuando 
emplee la ecuacion 24.6 debe advertir que, aunque la carga q in es la carga neta den- 
tro de la superficie gaussiana, E representa el campo electrico total, que incluye contri- 
buciones de cargas tanto dentro como fuera de la superficie. 

En principio, se puede resolver la ley de Gauss para E y asi determinar el cam- 
po electrico de un sistema de cargas o de una distribution continua de carga. Sin 
embargo, en la practica, este tipo de solution solo es aplicable en un numero limi- 
tado de situariones donde haya un alto grado de simetria. Como vera en la section 
siguiente, la ley de Gauss puede usarse para evaluar el campo electrico de distribu- 
ciones de carga que tienen simetria esferica, cilindrica o plana. Si uno elige con cui- 
dado la superficie gaussiana que rodea a la distribution de carga, la integral en la 
ecuacion 24.6 puede simplificarse. Tambien debe observar que una superficie gaus- 
siana es una construction matematica y no necesita coincidir con cualquier superfi- 
cie fisica real. 



La ley de Gauss es util para evaluar 
£ cuando la distribution de la 
carga tiene alta simetria 



• ?2 



?1 



?S 



Pregunta sorpresa 24.2 



Para una superficie gaussiana a traves de la cual el flujo neto es cero, los siguientes cuatro 
enunciados podrian ser ciertos. jCuales afirmaciones deben ser verdaderas} a) No hay cargas den- 
tro de la superficie. b) La carga neta dentro de la superficie es cero. c) El campo electrico 
es cero en cualquier punto sobre la superficie. d) El numero de lineas de campo electri- 
co que entran a la superficie es igual al numero de las que salen de la superficie. 



Figura 24.9 El flujo electrico neto 
a traves de cualquier superficie cerra- 
da depende solo de la carga dentro de 
dicha superficie. El flujo neto a traves 
de la superficie 5 es ?i/€ , el flujo ne- 
to a traves de la superficie S* es (q 2 + 
?s)/ e o» y e l flujo neto a traves de la su- 
perficie S" es cero. 



Ejemplo concepjua 

Una superficie gaussiana esferica rodea una carga puntual q. 
Describa que sucede con el flujo total a traves de la superfi- 
cie si a) la carga se triplica, b) el radio de la esfera se dupli- 
ca, c) la superficie se cambia a un cubo, y d) la carga se co- 
loca en otra position dentro de la superficie. 

Solution a) El flujo a traves de la superficie se triplica, ya 
que el flujo es proportional a la cantidad de carga dentro de 
la superficie. 

b) El flujo no cambia porque todas las lineas de campo 
electrico desde la carga pasan a traves de la esfera, sin impor- 
tar el radio de la misma. 



c) El flujo no cambia cuando lo hace la forma de la super- 
ficie gaussiana, ya que todas las lineas de campo electrico des- 
de la carga pasan a traves de la superficie, sin importar la for- 
ma de la misma. 

d) El flujo no cambia cuando la carga se mueve a otra po- 
sition dentro de esa superficie, pues la ley de Gauss se refie- 
re a la carga total encerrada, sin importar donde se ubica la 
carga dentro de la superficie. 



750 



CAP/TUL0 24 Ley de Gauss 



APLICACION DE LA LEY DE GAUSS A AISLANTES CARGADOS 

Como se menciono antes, la ley de Gauss es util para determinar campos electricos 
cuando hay un alto grado de simetria en la distribution de la carga. Los siguientes 
ejemplos demuestran maneras de elegir la superficie gaussiana sobre la cual la inte- 
gral de superficie dada por la ecuacion 24.6 puede simplificarse y determinar el cam- 
po electrico. Al elegir la superficie siempre se debe sacar ventaja de la simetria de la 
distribucion de la carga para que se pueda eliminar E de la integral y resolverla. La 
meta eri este tipo de calculos es determinar una superficie que satisfaga una o mas 
de las siguientes condiciones: 

1. El valor del campo electrico puede considerarse, gor simetria, como constante so- 
bre toda la superficie. 

2. El producto punto en la ecuacion 24.6 puede expresarse como un producto alge- 
braico simple E dA porque E y dA son paralelos. 

3. El producto punto en la ecuacion 24.6 es cero porque E y dA son perpendicu- 
lares. 

4. Puede decirse que el campo sobre la superficie es cero. 

Estas cuatro condiciones se usan en ejemplos a lo largo del resto de este capitulo. 



Ejemplo i?4§§|l> Ei campo electrico debido a una carga puntual 



A partir de la ley de Gauss calcule el campo electrico debido 
a una carga puntual aislada q. 

Solution Una sola carga representa la distribucion de carga 
mas simple posible, y se usa este caso conocido para mostrar 
como resolver el campo electrico con la ley de Gauss. Elija 
una superficie gaussiana esferica de radio r y centrada en la 
carga puntual, como se muestra en la figura 24.10. El campo 
electrico debido a una carga puntual positiva apunta radial- 
mente hacia afuera por simetria y es, por tanto, normal a la' 
superficie en cada punto. Por consiguiente, como en la con- 
dition 2), E es paralelo a dA en cada punto. Por tanto, E- dA 
= E dA y la ley de Gauss produce 



<&* = 



dA = $£dA=-£- 



Por simetria, E es constante en todos los puntos sobre la su- 
perficie, lo cual satisface la condition 1), asf que puede sacar- 
se de la integral. Por tanto, 



donde se ha aprovechado el hecho de que el area de la su- 
perficie de una esfera es 4irr 2 . Ahora, se resuelve para el cam- 
po electrico: 



E- 



? _ 



4ire r 2 



— K, O 



Este es el campo electrico conocido debido a una carga pun- 
tual que se ha desarrollado a partir de la ley de Coulomb en 
el capitulo 23. 



\ 



Superficie 
gaussiana 



■m 



dA 



$? 



E dA = E <P dA= £(4Ilr 2 ) = 



_ 1 



Figura 24.10 La carga puntual q esta en el centre- de la superficie 
gaussiana esferica, y E es paralelo a dXen cada punto sobre la super- 
ficie. 



5? 

1.6 



Ejemplo >' : 21m 



Una distribucion de carga simetrica esfericamente 



Una esfera solida aislante de radio a dene una densidad de 
carga volumetrica uniforme p y lleva una carga positiva total 
Q (Fig. 24.11). a) Calcule la magnitud del campo electrico en 
un punto fuera de la esfera. 




Solution Puesto que la distribucion de carga es simetrica es- 
fericamente, seleccione de nuevo una superficie gpussiana es- 
ferica de radio r, concentrica con la esfera, como se muestra 
en la figura 24.11a. Para esta election las condiciones 1) y 2) 



24. 3 Aplicaci6n de la ley de Gauss a aislantes cargados 



751 



se satisfacen, como lo fueron para la carga puntual en el 
ejemplo 24.4. Siguiendo la linea de razonamiento dada-^n . 
el ejemplo 24.4 se encuentra que 



E= k e 



0. 



(para r> a) 



Observe que este resultado es identico al obtenido para una 
carga puntual. Por tanto, se concluye que, para una esfera 
cargada uniformemente, el campo en la region externa a la 
esfera es equivalente al de una carga puntual localizada en el 
centro de la esfera. 

b) Encuentre la magnitud del campo electrico en un pun- 
to dentro de la esfera. 

Solucidn En este caso se elige una superficie gaussiana es- 
ferica con radio r < a, concentrica con la esfera aislada (Fig, 
24.11b). Exprese el volumen de esta esfera mas pequena me- 
diante V. Para aplicar la ley de Gauss en esta situation es im- 
portante observar que la carga q in dentro de la superficie 
gaussiana de volumen V es menor que Q. Para calcular la car- 
ga q in , aproveche el hecho de que q,„ = pV: 

Por simetria, la magnitud del campo electrico es constante en 
cualquier punto de ,1a superficie gaussiana esferica y es nor- 
mal a la superficie en cada punto — ambas condiciones la 1) 



y la 2) se satisfacen. Por consiguiente, la ley de Gauss en la re- 
gion r < a produce 

VEdA = E kdA= E(4vr 2 ) = %*■ 



Al despejar E se obtiene 



E = 



_ gin 



p-f-Trr 3 



47re r 2 47re r 2 3e 



Puesto que, por definition, p = QJ\ttcP y dado que k, = 
l/(4ire ), esta expresion para E puede escribirse de la si- 
guiente manera: 



E = 



Qr _ KQ_ 



47re a 3 



= Ts" r (parar< a) 



Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en 
el inciso a). Este muestra que E — » a medida que r — » 0. En 
consecuencia, el resultado elimina el problema que existiria 
en r= si £variaxemo 1/r 2 dentro de la esfera como lo ha- 
ce afuera de la misma. Es decir, si E « 1/r 2 para r < a, el cam- 
po serfa infinito en r= 0, lo cual es imposible ffsicamente. Ad- 
vierta tambien que las expresiones para las partes a) y b) son 
equiparables cuando r = a. 

Una grafica de £ versus rse muestra en la figura 24.12. 




Esfera 
gaussiana 



Figura 24.11 Una esfera de radio ay carga total Q aislada y carga- 
da de manera uniforme. a) La magnitud del campo electrico en un 
punto exterior a la esfera es hQ/r*. b) La magnitud del campo elec- 
trico dentro de la esfera aislante se debe solo a la carga dentro de la 
esfera gaussiana, definida por el circulo punteado, y es k r Qr/a 3 . 




Figura 24.12 Grafica de E contra r para una esfera aislante carga- 
da de manera uniforme. El campo electrico dentro de la esfera (r < 
a) varia linealmente con r. El campo afuera de la esfera (r > a) es el 
mismo que el de una carga puntual Qubicada en r= 0. 



E3EMPUO§2^, 



El campo electrico debido a un cascaron esferico delgado 



Un cascaron esferico delgado de radio a tiene una carga to- 
tal Q distribuida uniformemente sobre su superficie (Fig. 
24.13a). Encuentre el campo electrico en puntos a) fuera y 
b) dentro del cascaron. 

Solucidn a) El calculo del campo fuera del cascaron es iden- 
tico al ya realizado para la esfera solida que se muestra en el 
ejemplo 24.5a. Si se construye una superficie gaussiana esfe- 
rica de radio r> a, concentrica con el cascaron (Fig. 24.13b), 
la carga dentro de esta superficie es Q. En consecuencia, el 



campo en un punto fuera del cascaron es equivalente al de 
una carga puntual Q ubicada en el centro: 



£ = 



kA 



(para r> a) 



b) El campo electrico dentro del cascaron esferico es ce- 
ro. Esto se desprende de la ley de Gauss aplicada a una su- 
perficie esferica de radio r < a concentrica con el cascaron 
(Fig. 24.13c). Debido a la simetria esferica de la distribution 



752 



CAPITUL024 Ley de Gauss 



de carga, y a que la carga neta dentro de la superficie es ce- 
ro — lo que satisface de nuevo las condiciones 1) y 2) — la 
aplicacion de la ley de Gauss muestra que E = en la region 
r < a. 

Superficie 
gaussiana 



Los mismos resultados pueden obtenerse con la ecuacion 
23.6 e integrando sobre la distribucion de carga. Este calculo 
es mucho mas complicado. La ley de Gauss permite determi-. 
nar estos resultados en una manera mucho mas sencilla. 

Superficie 
gaussiana 




a) 



b) 



c) 



Figura 24.13 a) El campo electrico dentro de un cascaron esferico cargado de manera uniforme es 
cero. El campo afuera es el mismo que el debido a una carga puntual Q ubicada en el centro del cas- 
caron. b) La superficie gaussiana para r> a. c) Superficie gaussiana para r< a. 



Ejemplo 



Una distribucion de carga simetrica cilindricamente 



■■oj 
11.7 



Encuentre el campo electrico a una distancia r de una linea 
de carga posiuva de longitud infinita cuya carga por unidad 
de longitud X sea constante (Fig. 24.14a). 

Soluddn La simetria de la distribucion de carga requiere 
que E sea perpendicular a la linea de carga y apuntar hacia 
afuera, como se muestra en la figura 24.14a y b. Para reflejar 
la simetria de la distribucion de carga se selecciona una su- 
perficie gaussiana cilindrica de radio r y longitud i que es 
coaxial con la lfnea de carga. Para la parte curva de esta su- 
perficie E es constante en magnitud y perpendicular a la 
superficie en cada pun to — se satisfacen las condiciones 1) y 
2). Ademas, el flujo a traves de los extremos del cilindro gaus- 
siano es cero debido a que E es paralelo a estas superficies 
— la primera aplicacion que se ha visto de la condicion 3). 

Tome la integral de superficie en la ley de Gauss sobre to- 
da la superficie gaussiana. Sin embargo, debido al valor cero 
de E- dA para los extremos del cilindro, se puede restringir la 
atencion solo a la superficie curva del cilindro. 

La carga total dentro de la superficie gaussiana es \€. Al 
aplicar la ley de Gauss y las condiciones 1) y 2) se encuentra 
que, para la superficie curva, 



<D K = 



V-dA = E<PdA=EA = ^ = ¥- 



Ffgura 24.14 a) Una linea de carga infinita rodeada por una su- 
perficie cilindrica gaussiana, concentrica con la linea. b) Una vista 
del extremo muestra que el campo electrico en la superficie cilindri- 
ca es constante en magnitud y perpendicular a la superficie. 



Superficie 
gaussiana 




a) 




b) 



24.3 Aplicacifln de la ley de Gauss a aislantes cargados 



753 



El area de la superficie curva es A = 2irrt; por tanto, 



E(2m() = ^ 



E = 



2ire r r 



(24.7) 



Asf, se ve que el campo electrico de una distribution de car- 
ga simetrica cilfndricamente varia como 1/r, en tanto que el 
campo externo a una distribucion de carga simetrica esferica- 
mente varia como 1/r 2 . La ecuacion 24.7 tambien se derivo 
en el capftulo 23 (vease el problema 35 [b]), mediante la in- 
tegration del campo de una carga puntual. 

Si la lfnea de carga en este ejemplo tiene una longitud fi- 
nita, el resultado para E no es el dado por la ecuacion 24.7. 
Una lfnea de carga finita no posee suficiente simetria para tra- 



cer uso de la ley de Gauss. Esto se debe a que la magnitud del 
campo electrico ya no es constante sobre la superficie del ci- 
lindro gaussiano — el campo cerca de los extremos de la lfnea 
serfa diferente de aquel para los extremos Iejanos. Por tanto, 
la condition 1) no serfa satisfecha en esta situation. Ademas, 
E no es perpendicular a la superficie cilfndrica en todos los 
puntos — los vectores de campo cerca de los extremos ten- 
drian una componente paralela a la linea. Por consiguiente, 
la condition 2) no serfa satisfecha. Cuando hay poca simetria 
en la distribucion de la carga, como en este caso, es necesa- 
rio calcular E utilizando la ecuacion 23.6. 

Para puntos cerca de una lfnea de carga finita y alejados 
de los extremos, la ecuacion 24.7 ofrece una buena aproxima- 
cion del valor del campo. 

Se deja como un problema (vease el problema 29) demos- 
trar que el campo electrico dentro de una barra cargada uni- 
formemente de longitud finita es proporcional a r. 



Ejemplo 



Un piano de carga no conductor 



Encuentre el campo electrico debido a un piano infinito no 
conductor de carga positiva con densidad de carga superficial 
uniforme a. 

Solucidn Por simetria, E debe ser perpendicular al piano y 
debe tener la misma magnitud en todos los. puntos equidis- 
tantes desde el piano. El hecho de que la direction de E se 
aleja de las cargas positivas indica que la direction de E en un 
lado del piano debe ser opuesta a su direction en el otro la- 
do, como se muestra en la figura 24.15. Una superficie gaus-: 
siana que refleja la' simetria es un cilindro pequefio cuyo eje 
es perpendicular al piano y cuyos extremos tienen cada uno 
un area A y son equidistantes del piano. Como E es paralelo 
a la superficie curva — y, por tanto, perpendicular a </Aen 
cualquier parte de la superficie — la condition 3) se satisface 
y no existe contribution a la integral de superficie a partir de 
esta superficie. Para los extremos pianos del cilindro se satis- 
facen las condiciones 1) y 2). El flujo a traves de cada extre- 
mo del cilindro es EA; por consiguiente, el flujo total a traves 
de toda la superficie gaussiana esjusto la que atraviesa los ex- 
tremos, <l> £ = 2EA. 

Al advertir que la carga total dentro de la superficie es q in 
= (tA, se emplea la ley de Gauss y se encuentra que 



«V = 2EA = % = 



o-A 



E = 



a 

2^" 



(24.8) 



Puesto que la distancia de los extremos pianos del cilindro 
al piano no aparece en la ecuacion 24.8, se'concluye que E = 
cr/2e a cualquier distancia desde el piano. Es decir, el cam- 
po es uniforme en todos lados. 

Una configuration de carga importante relacionada con 
este ejemplo consta de dos pianos paralelos, uno cargado po- 
sitivamente y el otro cargado negativamente, y cada uno con 
una densidad de carga superficial a (vease el problema 58) . 
En esta situation los campos electricos debidos a los dos pia- 
nos se anaden en la region entre los pianos, lo que resulta en 
un campo de magnitud cr/^,, y se cancelan en cualquier sitio 
para producir un campo cero. 




Cilindro 
gaussiano 



Figura 24.15 Una superficie gaussiana cilindrica penetra un piano 
de carga infinito. El flujo es EA a traves de cada extremo de la super- 
ficie gaussiana y cero a traves de su superficie curva. 



Ejemplo conceptval 

Explique por que la ley de Gauss no puede utilizarse para calcular el campo electrico 
cerca de un dipolo electrico, un disco cargado, o un triangulo con una carga puntual en 
cada esquina. 



754 



CAPITUL0 24 Ley de Gauss 



Solution Las distribuciones de carga de estas configuraciones no tienen suficiente si- 
metria para hacer uso practico de la ley de Gauss. No se puede encontrar una superfi- 
cie cerrada que rodee cualquiera de estas distribuciones y satisfaga una o mas de las con- 
diciones 1) a 4) listadas al principio de esta seccion. 



CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO 



Propiedades de uh conductor en 
equilibrio electrostatico t 



+ ► 

+ ► 

+ ► 

+ '■ » 

+ » 

+ - ► 

+ » 

+ » 



Figtira 24.16 Una placa conducto 
ra en un campo electrico extemo E. 
Las cargas inducidas sobre las dos su- 
perficies de la placa producen un cam- 
po electrico que se opone al campo 
extemo, dando como resultado un 
campo cero dentro de la placa. 



Superficie . 




Figura 24.17 Conductor de forma 
arbitraria. La lfnea punteada repre- 
senta una superficie gaussiana justo 
dentro del conductor. 



Como aprendio en la seccion 23.2, un buen conductor electrico contiene cargas 
(electrones) que no estan unidas a ningun atomo y, por tanto, se pueden mover en 
la proximidad dentro del material. Cuando no hay movimiento neto de carga den- 
tro del conductor, este esta en equilibrio electrostatico. Como se vera, un conductor 
en equilibrio electrostatico dene las siguientes propiedades: 

1. El campo electrico es cero en cualquier parte dentro del conductor. 

2. Si un conductor aislado transporta una carga, esta ultima reside en su superficie. 

3. El campo electrico afuera de un conductor cargado es perpendicular a la super- 
ficie del conductor y tiene una magnitud de <r/e , donde a es la densidad de car- 
ga superficial en ese punto. 

4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es mayor en 
puntos donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeno. 

En el analisis que sigue se veiificaran las primeras tres propiedades. La cuarta 
propiedad se presentara aqui sin profundizar demasiado, de modo que se tenga una 
lista completa de propiedades para conductores en equilibrio electrostatico. 

La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductors si- 
tuada en un campo externo E (Fig. 24.16). Se puede argumentar que el campo elec- 
trico dentro del conductor debe ser cero bajo la suposicion de que existe equilibrio 
electrostatico. Si el campo no fuese cero, las cargas libres se acelerarian bajo la ac- 
tion del campo. Sin embargo, este movimiento de electrones significaria que el con- 
ductor no esta en equilibrio electrostatico. Por ende, la existencia de equilibrio elec- 
trostatico es consistente solo con un campo cero en el conductor. 

Ahora investigue como se logra este campo cero. Antes de que se aplique el cam- 
po externo los electrones libres se distribuyen uniformemente por todo el conduc- 
tor. Cuando se aplica el campo extemo, los electrones libres aceleran hacia la iz- 
quierda en la figura 24.16 y producen una acumulacion de carga negativa en la 
superficie izquierda. El movimiento de electrones hacia la izquierda da como resul- 
tado un piano de carga positiva sobre la superficie derecha. Estos pianos de carga 
crean un campo electrico adicional dentro del conductor, el cual se opone al cam- 
po externo. La densidad de carga superficial aumenta conforme se mueven los elec- 
trones hasta que la magnitud del campo electrico intemo es igual a la del campo ex- 
terno, y el resultado es un campo neto igual a cero dentro del conductor. El tiempo 
que tarda un buen conductor en alcanzar el equilibrio es del orden de 10~ 16 s, 
lo que para la mayor parte de los propositos puede considerarse instantaneo. 

Se puede usar la ley de Gauss para comprobar la segundapropiedad de un con- 
ductor en equilibrio electrostatico. La figura 24.17 muestra unconductor de forma 
arbitraria. Se dibuja una superficie gaussiana dentro del conductor y£§ta puede es- 
tar tan cerca de la superficie de este como se quiera. Como se acaba de oemostrar, 
el campo electrico en todos los puntos dentro del conductor es cero cuando este se 
encuentra en equilibrio electrostatico. Por tanto, el campo electrico debe ser cero 
en cualquier punto sobre la superficie gaussiana, en concordancia con la condition 
4) de la seccion 24.3. Por tanto, el flujo neto a traves de esta superficie gaussiana es 
cero. A partir de este resultado y de la ley de Gauss, se concluye que la carga 
neta dentro de la superficie gaussiana es cero. Puesto que puede no haber carga ne- 



24.4 Conductors en equilibrio electrostStico 



755 














Patrones de campo electrico rodeando una placa conductora car- 
gada colocada cerca de un cilindro conductor cargado de mane- 
ra opuesta. Pequenas piezas de hilo suspendidas en aceite se ali- 
nean con las lineas de campo electrico. Advierta que 1) las lineas 
de campo son perpendiculares a ambos conductores y 2) no hay 
lineas dentro del cilindro (£ = 0) . (Cortesia de Harold M. Waage, Prin- 
ceton University) 



ta dentro de la superficie gaussiana (la cual esta arbitrariamente cercana a la supejr- 
ficie del conductor), cualquier carga neta sobre el conductor debe residir sobre su 
superficie. La ley de Gauss no indica como se distribuye este exceso de carga sobre 
la superficie de un conductor. 

Tambien se puede utilizar la ley de Gauss para verificar la tercera propiectad. Se 
dibuja una superficie gaussiana en la forma de un pequeno cilindro cuyas caras en 
los extremos son paralelas a la superficie del conductor (Fig. 24.18). Parte del cilin- 
dro esta apenas afuera del conductor, y parte esta adentro. El campo es normal a la 
superficie del conductor de la condition de equilibrio electrostatico. (Si E tiene una 
, componente paralela a la superficie del conductor, las cargas libres se moverfan a lo 
largo de la superficie; en tal caso, el conductor no estaria en equilibrio.) En conse- 
cuencia, se satisface la condicion 3) en la section 24.3 para la parte curva de la su- 
perficie gaussiana cilihdrica — no hay flujo a traves de esta parte de la superficie 
gaussiana porque E es paralelo a la superficie. No hay flujo a traves de la cara plana 
del cilindro en el interior del conductor debido a que E = — se satisface la condi- 
cion 4). Por consiguiente, el flujo neto a traves de la superficie es el que pasa solo a 
traves de la cara plana afuera del conductor, donde el campo es perpendicular a la 
superficie gaussiana. Usando las condiciones 1) y 2) para esta' cara el flujo es EA, 
donde E es el campo electrico afuera del conductor, y A es el area de la cara del ci- 
lindro. La aplicacion de la ley de Gauss a esta superficie produce 




Figura 24.18 Una superficie gaus- 
siana con forma de un pequeno cilin- 
dro se usa para calcular el campo elec- 
trico justo afuera de un conductor 
cargado. El flujo a traves de la super- 
ficie gaussiana es E„A. Recuerde que 
E es cero dentro del conductor. 



® F = <pEdA=EA = 



_ ?in _ cTA 



donde se ha aprovechado el hecho de que q in = crA. Al despejar £se obtiene 



E = ?- 

e 



(24.9) 



Campo electrico afuera de un con- . 
ductor cargado 



EjemploM 



Una esfera dentro de un cascardn esferico 



Una esfera conductora solida de radio a tiene una carga posi- 
tiva neta 2Q. Un cascaron esferico conductor de radio interior 
b y radio exterior c es concentrico con la esfera solida y tiene 
una carga neta —Q. Con la ley de Gauss determine el campo 
electrico en las regiones marcadas como ©, ©, (D y © en la 
figura 24.19, y la distribucion de carga sobre el cascaron cuan- 
do todo el sistema esta en equilibrio electrostatico. 



Solucidn Advierta primero que las distribuciones de carga 
. tan to en la esfera como en el cascaron se caracterizan por si- 
metrfa esferica alrededor de sus centres comunes. Para deter- 
minar el campo electrico a diversas distancias r desde este 
centro se construye una superficie esferica gaussiana para ca- 
da una de las cuatro regiones de interns. Una superficie tal 
para la region @ se muestra en la figura 24.19. 



756 



.CAPITUL0 24 Ley de Gauss 




Figura 24.19 Una esfera conductora solida de radio a y que trans- 
porta una carga 2£rodeada por un cascaron esferico conductor 
que porta una carga —Q. 



Para encontrar E en el interior de la esfera solida' (region 
©), considere una superficie gaussiana de radio r < a. Pues- 
to que no hay carga dentro de un conductor en equilibrio 
electrostatico, se ve que q,„ = 0, por lo que, con base en la ley 
de Gauss y la simetrfa, £, = para r < a. 

En la region © — entre la superficie de la esfera solida y 
la superficie interior del cascaron — se construye una super- 
ficie gaussiana esferica de radio r donde a < r < b, y se ad- 
vierte que la carga dentro de esta superficie es +2Q (la carga 
sobre la esfera solida) . Debido a la simetrfa esferica las lfneas 



de campo electrico deben apuntar radialmente hacia afuera 
y ser de magnitud constante sobre la superficie gaussiana. Si- 
guiendo el ejemplo 24.4, y utilizando la ley de Gauss, se en- 
cuentra que 



E 2 A = £ 2 (4Trr 2 ) = ^. = ^, 



Sii 
e 



2Q 

e 



E, = 



2Q 

4ire r 2 



2k& 



(para a < r < b) 



En la region ©, donde r > c, la superficie gaussiana esfe- 
rica construida rodea a una carga total q in = 2Q+ (-0 = Q. 
En consecuencia, la ley'cle Gauss aplicada a esta superficie 
produce 



E, 



KQ 



(para r> c) 



En la region (3) el campo electrico debe ser cero debido a 
que el cascaron esferico es tambien un conductor en equili- 
brio. Si se construye una superficie gaussiana de radio r don- 
de b < r < c, se ve que q,„ debe ser cero puesto que £ 3 = 0. 
De acuerdo con este argumento, se concluye que la carga so- 
bre la superficie interior del cascaron esferico debe ser -2Q 
para cancelar la carga +2 Q sobre la esfera solida^Puesto que 
la carga neta sobre el cascaron es -Q, se concluye que la su- 
perficie exterior del cascaron debe tener una carga +Q. 



Pregunta sorpresa 24.3 



ijComo cambiaria el flujo electrico a traves de una superficie gaussiana que rodea al casca- 
ron en el ejemplo 24.10 si la esfera solida estuviese descentrada pero aiin dentro del cas- 
caron? 



Section optional 



VERIFICACION EXPERIMENTAL DE LAS LEYES DE GAUSS 
Y DE COULOMB 



Cuando una carga neta se pone sobre un conductor, la carga se distribuye por si so- 
la sobre la superficie de una manera tal que el campo electrico dentro del conduc- 
tor es cero. La ley de Gauss indica que no puede haber carga neta dentro del con- 
ductor en esta situation. En esta section se investiga una verification experimental 
de la ausencia de esta carga. 

Se ha visto que la ley de Gauss es equivalente a la ecuacion 23.6, la expresion 
para el campo electrico de una distribution de carga. Puesto que esta~situaci6n sur- 
ge de la ley de Coulomb, se puede declarar teoricamente que las leyes de'Gauss y 
de Coulomb son equivalentes. Por tanto, es posible probar la validez de ambas reyes 
intentando detectar una carga neta dentro de un conductor o, de manera equiv 
lente, un campo electrico no cero dentro del conductor. Si se detecta un campo no 
cero en el conductor, la ley de Gauss y la de Coulomb son invalidas. Muchos expe- 



24.5 Verificacifln experimental de las leyes de Gauss y de Coulomb 



757 



rimentos, incluyendo los primeros trabajos de Faraday, Cavendish y Maxwell, se han 
realizado para detectar el campo dentro de un conductor. En todos los casos repor- 
tados no se pudo detectar ningiin campo electrico dentro de un conductor. 

He aqui uno de los experimentos que se pueden desarrollar. 2 Una bola metali- 
ca cargada positivamente en el extremo de un hilo de seda se introduce por una pe- 
quena abertura a un conductor hueco descargado aislado del suelo (Fig. 24.20a). La 
bola cargada positivamente induce una carga negativa/sobre la pared interna del 
conductor hueco, dejando una carga positiva igual sobre la pared exterior (Fig. 
24.20b) . La presencia de carga positiva sobre la pared exterior se indica mediante la 
desviacion de la aguja de un electrometro (un dispositivo utilizado para medir car- 
gas, las cuales solo se miden en la superficie exterior del conductor). Luego la bola 
se baja y se le permite tocar la superficie interior del conductor hueco (Fig. 24.20c) . 
La carga se transfiere entre la bola y la superficie interior de modo que ya no esta 
cargada despues de que se produce el contacto. La desviacion de la aguja permane- 
ce inalterada mientras esto ocurre, indicando que la carga sobre la superficie exte- 
rior no es afectada. Cuando la bola se retira, los registros del electrometro perma- 
necen iguales (Fig. 24.20d) . Ademas, se encuentra que la bola esta descargada; esto 
comprueba que la carga fue transferida entre la bola y la superficie interior del con- 
ductor hueco. El efecto global es que la carga que estaba originalmente en la bola 
ahora aparece en el conductor hueco. El hecho de que la desviacion de la aguja en 
el electrometro que mide la carga sobre la superficie exterior permanezca invaria- 
ble sin importar lo que ha ocurrido dentro del conductor hueco indica que la. car- 
ga neta en el sistema siempre residio en la superficie exterior del conductor. 

Si ahora se aplica otra carga positiva a la bola de metal y se le coloca cerca del 
exterior del conductor, esta es repelida por el conductor. Esto demuestra que E * 
afuera del conductor, un descubrimiento consistente con el hecho de que el con- 
ductor porta una carga neta. Si la bola metalica cargada ahora se baja en el interior 
del conductor hueco cargado, no muestra evidencia de una fuerza electrica. Esto 
muestra que E = dentro del conductor hueco. 

Este experimento verifica las predicciones de la ley de Gauss y, por tanto, com- 
prueba la ley de Coulomb. La equivalencia de las leyes de Gauss y de Coulomb se 
debe al comportamiento cuadrado-inverso de la fuerza electrica. Por tanto, se pue- 
de interpretar este experimento como verificador del exponente 2 en el comporta- 
miento 1/r 2 de la fuerza electrica. Los experimentos de Williams, Faller y Hill en 
1971 mostraron que el exponente de r en la ley de Coulomb es (2 + 5), jdonde 8 = 
(2.7 ± 3.1) x 10- 16 ! 

En el experimento que se ha descrito, la bola cargada que cuelga en el conduc- 
tor hueco no exhibiria desviacion aun en el caso en el cual un campo electrico ex- 
temo se aplicara al sistema entero. El campo dentro del conductor todavia es cero. 
Esta capacidad de los conductores de "bloquear" los campos electricos extemos se 
utiliza en muchos lugares, desde los escudos electromagneticos para los componen- 
tes de computadora hasta los finos recubrimientos metalicos en los vidrios de las to- 
rres de control en los aeropuertos para evitar que la radiation originada fuera de la 
torre afecte la electronica en el interior de la misma. Los usuarios de telefonos ce- 
\ lulares que viajan en los trenes interurbanos como el mostrado al inicio del capitu- 
lo deben- hablar muy alto para ser escuchados sobre el ruido del tren. En respuesta 
a las quejas de otros pasajeros, las companias ferroviarias estan considerando reves- 
tir las ventanas con un delgado conductor metalico. Este revestimiento, combinado 
con el marco metalico del carro del tren, bloquea las transmisiones del telefono ce- 
lular hacia el interior y fuera del tren. 



Conductor hueco 




Figura 24.20 Un experimento don- 
de se demuestra que cualquier carga 
transferida a un conductor reside en 
su superficie en equilibrio electrosta- 
tico. El conductor hueco esta aislado 
de tierra y la pequena bola metalica 
esta sostenida por un hilo aislante. 



Experimento sorpresa __J^- 

Envuelva un radio o telefono inalam- 
brico en papel aluminio y vea si to- 
davia trabaja. jTiene importancia si 
el aluminio toca la antena? 



2 Con frecuencia el experimento se conoce como experimento del balde de hielo de Faraday, ya que Fara- 
day, quien lo realizo por priniera vez, utilizo un balde de hielo como conductor hueco. 



758 



CAP/TUL0 24 Ley de Gauss 



Section opci pnal 

DEDUCCION FORMAL DE LA LEY DE GAUSS 

Una manera de deducir la ley de Gauss involucra dngulos solidos. Considere una su- 
perficie esferica de radio r que contiene un elemento de area AA. El angulo solido 
Aft subtendido por este elemento en el centra de la esfera se define como 

~ AA 

Aft s 

r 2 

Segun esta expresion, se ve que AH no tiene dimensiones, puesto que AA y r 2 tie- 
nen dimensiones L 2 . La unidad adimensional de un angulo solido es el estereorra- 
dian. (Usted quiza quiera comparar esta ecuacion con la ecuacion 10.1b, la defini- 
tion del radian.) Puesto que el area de la superfine de una esfera es 4ttt 2 , el angulo 
solido total subtendido por la esfera es 

^ 477T 2 

12 = — - — = 47T estereorradianes 




Figura 24.21 Una superficie cerra- 
da de forma arbitraria rodea una car- 
ga puntual q. El flujo electrico neto a 
traves de la superficie es independien- 
te de la forma de la superficie. 



Considere ahora una carga puntual q rodeada por una superficie cerrada de for- 
ma arbitraria (Fig. 24.21). El flujo electrico total a traves de esta superficie puede 
obtenerse al evaluar E-AA para cada pequefio elemento de area AA y al sumar to- 
dos los elementos. El flujo a traves de cada elemento es 

AAcosf? 
A3> £ = E • AA = £AAcos0 = k e q 

donde r es la distancia desde la carga al elemento de area, 6 es el angulo entre el 
campo electrico E y AA para el elemento, y E= k,q/r 2 para una carga puntual. En la 
figura 24.22 se ve que la proyeccion del elemento de area perpendicular abradio vec- 
tor es AA cos 6. En consecuencia, la cantidad AA cos 6/r 2 es igual al angulo solido 
Aft que el elemento de superficie AA subtiende a la carga q. Tambien se ve que AH 
es igual al angulo solido subtendido por el elemento de area de una superficie esfe- 




Figura 24.22 El elemento de area AA subtiende un angulo solido Afl = (AA cos flj/r 2 en la carga q. 



Resumen 



759 



rica de radio r. Puesto que el angulo solido total en un punto es 4tt estereorradia- 
nes, el flujo total a traves de la superficie cerrada es 

De este modo, se ha deducido la ley de Gauss, ecuacion 24.6. Observe que este re- 
sultado es independiente de la forma de la superficie cerrada, asi como de la posi- 
cion de la carga dentro de la superficie. 



Resumen 

El flujo electrico es proporcional al numero de lineas de campo electrico que pe- 
netran una superficie. Si el campo electrico es uniforme y forma un angulo 6 con la 
normal a la superficie de area A, el flujo electrico a traves de la superficie es 

4> £ = £Acos0 (24.2) 

En general, el flujo electrico a traves de una superficie es 

**= J 



E<£A. 



(24.3) 



superficie 



Usted necesita poder aplicar las ecuaciones 24.2 y 24.3 en una variedad de situacio- 
nes, particularmente aquellas en las cuales la simetria simplifica los calculos. 

La ley de Gauss establece que el flujo electrico neto 4> £ a traves de cualquier su- 
perficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida en- 

tre e : 



<b F = <p E • dA = So. 



(24.6) 



Utilizando la ley de Gauss usted puede calcular el campo electrico debido a diversas 
distribuciones de carga simetricas. La tabla 24.1 registra algunos resultados caracte- 
risticos. 



TABLA 24.i Cllculos de campo el^cUicotipicomediahte la ley de Gaiiss ' w i ' 


Distribudon de carga Campo electrico 


Ubicadon 


Esfera aislante de radio R, densidad 
de carga uniforme y carga total Q 


. R 3 


r> R 
r< R 


Cascaron esferico delgado de radio R 
y carga total Q 





r> R 
r< R 


Linea de carga de longitud infinita 
y carga por unidad de longitud \ 


r 


Afuera de la linea 


Piano no conductor, infinito y cargado, 
que tiene densidad de carga 
superficial a 


a 

2^ 


Cualquier parte 
afuera del piano 


Conductor con densidad 
de carga superficial cr < 





Justo afuera del 

conductor 
Dentro del conductor 



760 CAPITUL0 24 Ley de Gauss 

Un conductor en equilibrio electrostatico tiene las siguientes propiedades: 

1. El campo electrico es cero en todos los puntos dentro del conductor. 

2. Cualquier carga neta sobre el conductor reside por completo en su superficie. 

3. El campo electrico justo afuera del conductor es perpendicular a su superficie 
y tiene una raagnitud cr/e , donde a es la densidad de carga superficial en ese 
pun to. 

4. En un conductor de forma irregular la densidad de carga superficial es mayor 
donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeno. 

Sugerencias para resolver problemas 

La ley de Gauss, como se ha visto, es muy poderosa para resolver problemas que 
involucren distribuciones de carga altamente simetricas. En este capftulo encon- 
trara tres tipos de simetria: plana, cilindrica y esferica. Es importante repasar los 
ejemplos del 24.4 al 24.10 y seguir el siguiente metodo cuando use la ley.de 
Gauss: 

• Elija una superficie gaussiana que tenga una simetria que corresponda con la 
distribucion de carga y satisfaga una o mas de las condiciones listadas en la 
seccion 24.3. Para cargas puntuales o distribuciones de carga simetricas esfe- 
ricamente, la superficie gaussiana debe ser una esfera centrada en la carga, 
como en los ejemplos 24.4, 24.5, 24.6 y 24.10. Para lfneas de carga uniformes 
o cilindros cargados uniformemente, su superficie gaussiana debe ser una su- 
perficie cilindrica que sea coaxial con la lfnea de carga o el cilindro, como en 
el ejemplo 24.7. Para pianos de carga una eleccion util es una superficie gaus- 
siana cilindrica que atraviese el piano, como se muestra en el ejemplo 24.8. 
Estas elecciones le permitiran simplificar la integral de superficie que apare- 
ce en la ley de Gauss y representar el flujo electrico total a traves de esa su- 
perficie. 

• Evalue el termino q m /e en la ley de Gauss, lo cual equivale a calculaV la car- 
ga electrica total q in dentro de la superficie gaussiana. Si la densidad de carga 
es uniforme (es decir, si X, o - o p son constantes), simplemente multiplique di- 
cha densidad de carga por la longitud, el area o el volumen encerrado por la 
superficie gaussiana. Si la distribucion de carga no es uniforme, usted debera in- 
tegrar la densidad de carga sobre la region encerrada por la superficie gaus- 
siana. Por ejemplo, si la carga se distribuye a lo largo de una lfnea, debe inte- 
grar la expresion dq=\ dx, donde dq es la carga en un elemento de longitud 
infinitesimal dx. Para tin piano de carga, integre dq= a dA, donde dA es un 
elemento infinitesimal de area. Para un volumen de carga, integre dq= p dV, 
donde dVes un elemento de volumen infinitesimal. 

• Una vez que los terminos de la ley de Gauss se nan evaluado, calcule el cam- 
po electrico sobre la superficie gaussiana si la distribucion de carga se da en 
el problema. Por el contrario, si se conoce el campo electrico, calcule la dis- 
tribucion de carga que produce el campo. 

Preguntas 

1. El Sol esta mas bajo en el cielo durante el invierno de lo 3. Si mas lfneas de campo electrico salen de una superficie 
que esta en el verano. jComo cambia esto el flujo de luz gaussiana de las que entran, ,-que puede usted concluir 
solar que golpea un area dada sobre la superficie de la Tie- acerca de la carga neta encerrada por dicha superficie? 
rra? jComo afecta esto al clima? * 4. Un campo electrico uniforme existe en una region del es- 

2. Si el campo electrico en una region del espacio es cero, pacio en la cual ya no hay cargas. jQue puede usted con- 
jpuede usted concluir que no hay cargas electricas en esa cluir acerca del flujo electrico neto a traves de una super- 
region? Explique. ficie gaussiana ubicada en esta region del espacio? 



Problemas 



761 



m 



Si se conoce la carga total dentro de una superficie cerra- 
da, pero no se especifica la distribution de la carga, ipue- 
de usar la ley de Gauss para encontrar el campo electrico? 
Justifique su respuesta. 

Explique por que el flujo electrico a traves de una super- 
ficie cerrada con una carga encerrada determinada es in- 
dependiente del tamano o forma de la superficie. 
Considere el campo electrico debido a un piano infinito 
no conductor que tiene una densidad de carga uniforme. 
Explique por que el campo electrico no depende de la dis- 
tancia desde el piano en funcion del espaciamiento de las 
h'neas de campo electrico. 

Use la ley de Gauss para explicar por que las h'neas de 
campo electrico deben empezar o terminar en cargas elec- 
tricas. (Sugerencia: cambie el tainano de la superficie gaus- 
siana.) 

Con base en la naturaleza repulsiva de la fuerza entre par- 
ticulas iguales y la libertad de movimiento de carga en el 
conductor, explique por que el exceso de carga : en un con- 
ductor aislado debe residir en su superficie. 
.Una persona se situa dentro de una gran esfera metalica 
hueca que esta aislada de la tierra. Si una gran carga se po- 
ne en la esfera, jla persona se lastimara al tocar el interior 



11 



de la esfera? Explique que sucedera si la persona tiene 
tambien una carga initial cuyo signo es opuesto al de la 
carga en la esfera. 

jComo diferirfan las observaciones descritas en la figura 
24.20 si el conductor hueco estuviera conectado a tierra? 
^Como diferirfan si la pequena bola cargada fuera un ais- 
lador en vez de un conductor? 

12. iQue otro experimento podria efectuarse en la bola de la 
figura 24.20 para demostrar que su carga se transfirio al 
conductor hueco? 

jQue sucederia con la lectura del electrometro si la bola 
cargada en la figura 24.20 tocara la pared interna del con- 
ductor?, jsi tocara la pared externa? 
Usted habra escuchado que uno de los lugares mas segu- 
ros durante una tormenta electrica es dentro de un carro. 
jA que se debe esto? 

15. Dos esferas solidas, ambas de radio R, conducen cargas to- 
tales identicas Q. Una esfera es un buen conductor, mien- 
tras que la otra es un aislante. Si la carga sobre la esfera 
aislante esta distribuida uniformemente por todo su volu- 
men interior, jcomo se comparan los campos electricos ex- 
ternos de estas dos esferas? jLos campos son identicos en 
el interior de las dos esferas? 



13 



14 



Problemas 

1,5,3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solucion completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solucion disponible en http://wiVw.saunderscollege.com/pliysics/ jQ = use computadora para resolver el problema flh = Fisica 

interactiva | [ = problemas pareados: numericos/simbolicos 



/ 

Seccion 24.1 Flujo electrico 



1. 




Un campo electrico de magnitud igual a 3.50 kN/C se 
aplica a lo largo del eje x. Calcule el flujo electrico a 
traves de un piano rectangular de 0.350 m de ancho y 
0.700 m de largo si a) el piano es paralelo al piano yz, b) 
es paralelo al piano xy, y c) el piano contiene al eje y y 
su normal forma un angulo de 40.0° con el eje x. . 
Un campo electrico vertical de 2.00 x 10 4 N/C de mag- 
nitud existe sobre la superficie de la Tierra un dfa en 
el que amenaza una tormenta. Un auto que puede 
considerarse como un rectangulo de aproximadamente 
6.00 m por 3.00 m viaja a lo largo de un camino inclina- 
do 10.0° hacia abajo. Determine el flujo electrico a tra- 
ves de la base inferior del auto. 

Una espira de 40.0 cm de diametro se gira en un campo 
electrico uniforme hasta que se encuentra la position de 
maximo flujo electrico. El valor que se mide del flujo en 
esta position es de 5.20 x 10 5 N • m 2 /C. <;Cual es la mag- 
nitud del campo electrico? 

Un cascaron esferico se pone en un campo electrico uni- 

e. Determine el flujo electrico total a traves del cas- 

caron\ 

Considere una caja triangular cerrada que descansa den- 
tro de un campo electrico horizontal de magnitud E= 7.80 
x 10 4 N/C, como se muestra en la figura P24.5. Calcule el 
flujo electrico a' traves de a) la superficie vertical, b) la su- 
perficie inclinada, y c) toda la superficie de la caja. 



30.0 cm 




Figura P24.5 



Un campo electrico uniforme ax + bj cruza una superfi- 
cie de area A. jCual es el flujo a traves de esta area si la 
superficie se ubica a) en el piano yz, b) en el piano xz, 
c) en el piano xy? 

Una carga puntual q se localiza en el centro de un ani- 
Uo uniforme que tiene densidad de carga lineal \ y ra- 
dio a, como se muestra en la figura P24.7. Determine el 




Figura P24.7 



•J5**.. 



762 



CAPITUL024 Ley de Gauss 



flujo electrico total a traves de la esfera centrada en la 
carga puntual y que tiene radio R, donde R< a. 

8. Una piramide con una base cuadrada de 6.00 m y altu- 
ra de 4.00 m se coloca en un campo electrico vertical de 

. 52.0 N/C. Calcule el flujo electrico total a traves de las 
cuatro superficies inclinadas de la piramide. 

9. Un cono de radio R en la base y altura h esta sobre una 
mesa horizontal. Un campo horizontal uniforme E pe- 
netra el cono, como se muestra en la figura P24.9. De- 
termine el flujo electrico que entra en el lado izquierdo 
del cono. 



14. 



tual q se localiza a muy carta distancia del centro de un 
cuadrado muy grande, sobre la lfnea perpendicular al 
cuadrado que pasa por su centro. Determine el flujo 
electrico aproximado a traves del cuadrado debido a la 
carga puntual. c) Explique por que las respuestas a los 
incisos a) y b) son identicas. 

Calcule el flujo electrico total a traves de la superficie pa- 
raboloide debido al campo electrico constante de mag- 
nitud E en la direction mostrada en la figura P24.14. 




Figura P24.9 



Eo 




Figura P24.14 



Section 24.2 Ley de Gauss 

10. Cuando se mide el campo electrico en cualquier parte 
sobre la superficie de un cascaron esferico delgado con 
0.750 m de radio, se ve que es igual a 890 N/C y apun- 
ta radialmente hacia el centro de la esfera. a) <:Cual es la 
carga neta dentro de la superficie de la esfera? b) <|Que 
puede concluir acerca de la naturaleza y distribution de 
la carga dentro del cascaron esferico? 

[TlTi Las siguientes cargas se localizan dentro de un submari- 
no: 5.00 /xC, -9.00 /xC, 27.0 /xC, y -84.0 fiC. a) Calcule 
el flujo electrico neto a traves del submarino. b) jEl nii- 
mero de lineas de campo electrico que salen del subma- 
rino es mayor, menor o igual al numero de las lineas que 
entran? 

12. Cuatro superficies cerradas, S, a S 4 , junto con las cargas 
-2Q, Qy -Qse dibujan en la figura P24.12. Encuentre el 
flujo electrico a traves de cada superficie. 



web JTJT] Una carga puntual Q se localiza arriba del centro de la 
cara plana de un hemisferio de radio R, como se mues- 
tra en la figura P24.15. £Cual es el flujo electrico a) a tra- 
ves de la superficie curva, y b) a traves de la cara plana? 




Figura 924.15 




Figura P24.12 



23. a) Una carga puntual q se localiza a una distancia d de 
un piano infinito. Determine el flujo electrico a traves 
del piano debido a la carga puntual. b) Una carga pun- 



16. 



17. 



18. 



Una carga puntual de 12.0 /xC se coloca en el centro de 
un cascaron esferico de 22.0 cm de radio. jCual es el flu- 
jo electrico total a traves de a) la superficie del cascaron, 
y b) cualquier superficie hemisferica del cascaron? c) 
jLos resultados dependen del radio? Explique. 
Una carga puntual de 0.046 2 fiC esta dentro de una pi- 
ramide. Determine el flujo electrico total a traves de la 
superficie de la piramide. 

Una linea de carga infinitamente larga que tiene una: 
carga uniforme por unidad de longitud X se encuentra 
a una distancia d de un punto O, como se muestra en la 
figura P24.18. Determine el flujo electrico total a traves 
de la. superficie de una esfera de radio R centrada en O 
resultante de esta linea de carga. (Sugerencia: considere 
tan to R< d como R> d.) 



Problemas 



763 




Figura P24.18 



19. Una carga puntual Q= 5.00 /xC se localiza en el centro 
de un cubo de lado L = 0.100 m. Ademas, otras seis car- 
gas puntuales identicas, cada una con una carga q = 
-1.00 /iC, estan colocadas simetricamente alrededor de 
Q, como se muestra en la figura P24.19. Determine el 
flujo electrico 'a traves de una cara del cubo. 

20. Una carga puntual Q se localiza en el centro de un cu- 
. bo de lado L. De manera adicional, otras seis cargas pun- 
tuales identicas, negativas, estan colocadas simetricamen- 
te alrededor de -Q, como en la figura P24.19. Determine 
el flujo electrico a traves de una cara del cubo. 




21. 



22. 



Figura P24.19 Problemas 19 y. 20. 



Considere una lfnea de carga infinitamente larga que 
tiene una carga uniforme por unidad de longitud \. 
Determine el flujo electrico total a traves de un cilindro 
circular recto cerrado de longitud L y radio R que esta 
paralelo a la lfnea de carga, si la distancia entre el eje del 
cilindro y la lfnea de carga es d. (Sugerencia: considere 
tan to cuando R< d comb cuando R> d.) 
Una carga de 10.0 fiC localizada en el origen de un sis- 
tema de coordenadas cartesianas esta rodeada por una 
esfera hueca no conductora de 10.0 cm de radio. Una 
broca con un radio de 1.00 mm se alinea a lo largo del 
eje z, y se perfora un agujero en la esfera. Calcule el flu-^~ 
•jo electrico a traves del agujero. 



23. Una carga de 170 fiC se encuentra en el centro de un ■ 
cubo de 80.0 cm de lado. a) Determine el flujo total a 
traves de cada cara del cubo. b) Encuentre el flujo a tra- 
ves de toda la superficie del cubo. c) jSus respuestas a 
los incisos a) o b) cambiarfan si la carga no estuviera en 
el centro? Explique. 

24. El flujo electrico total que pasa por una superficie cerra- 
da en la forma de un cilindro es de 8.60 X 10 4 Nm 2 /C. 
a) jCual es la carga neta dentro del cilindro? b) A partir 
de la information proporcionada, £cual es su comenta- 
rio acerca de la carga dentro del cilindro? c) iComo 
cambiarfan sus respuestas a los incisos a) y b) si el flujo 
neto fuera -8.60 x 10 4 N-m 2 /C? 

25. La lfnea agen la figura P24.25 es una diagonal de un cu- 
bo. Una carga puntual q se localiza en la extension de ag 
muy cerca del vertice a del cubo. Determine el flujo elec- 
trico a traves de cada lado del cubo que se encuentra en 
el punto a. 




Section 24.3 



Figura P24.25 



Aplicacion de la ley de Gauss a aislantes 
cargados 



26. Determine la magnitud del campo electrico en la super- 
ficie de un nucleo de plomo-208, el cual contiene 82 
protones y 126 neutrones. Suponga que el nucleo de 
plomo tiene un volumen 208 veces el de un proton, y 
considere un proton como una esfera de radio 1.20 x 
10-'- 5 m. 

27. Una esfera solida de 40.0 cm de radio tiene una carga. 
positiva total de 26.0 fiC distribuida uniformemente por 
todo su volumen. Calcule la magnitud del campo electri- 
co de a) cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm, y d) 60.0 cm del 
centro de la esfera. 

28. Un cascaron cilindrico de 7.00 cm de radio y 240 cm de 
largo tiene su carga distribuida uniformemente sobre su 
superficie curva. La magnitud del campo electrico en 
un punto a 19.0 cm radialmente hacia afuera de su eje 
(medido desde el punto medio del cascaron) es de 
36.0 kN/C. Use relaciones aproximadas para encontrar 
a) la carga neta sobre el cascaron y b) el campo electri- 
co en un punto a 4.00 cm del eje, medido radialmente 
hacia afuera desde el punto medio del cascaron. 

i HI] Considere^una larga distribution de carga cilfndrica de 

FadicTficon densidad de carga uniforme p. Encuentre el 

campo electrico a una distancia r del eje donde r <. R. 



764 



CAPITUL0 24 Ley de Gauss 



30. Una pared no conductora tiene una densidad de carga 
uniforme de 8.60 /xC/cm 2 . jCual es el campo electrico a 
7.00 cm frente a la pared? jObtiene otro resultado cuan- 
do varia la distancia desde la pared? 

[31 .| Considere un delgado cascaron esferico de 14.0 cm de 41. 

radio con una carga total de 32.0 /aC distribuida unifor- 
memente sobre su superficie. Encuentre el campo elec- 
trico de a) 10.0 cm y b) 20.0 cm del centro de la distri- 
bution de carga. 

32. En la fision nuclear un nucleo de uranio-238, el cual 
contiene 92 protones, se divide en dos pequenas esferas, 42. 
cada una de las cuales tiene 46 protones y un radio de 

5.90 x 10~ 15 m. ifCual es la magnitud de la fuerza electri- 
ca repulsiva que aparta a las dos esferas? 

33. Llene dos globos de hule con aire. Suspendalos del mis- 
mo punto sobre cuerdas de igual longitud. Frote cada 

globo con lana o su cabello, de modo que cuelguen apar- 43. 

te con una notable separation entre los dos. Realice esti- 

maciones de orden de magnitud de a) la fuerza en cada 

uno de los globos, b) la carga en ellos, c) el campo que 

crea cada uno de los mismos en el centro del otro, y d) 

el flujo total del campo electrico creado por cada globo. 

En su respuesta establezca las cantidades que tomo como 44. 

datos y los valores que midio o estimo para ellos. 

34. Una esfera aislante de 8.00 cm de diametro tiene una 
carga de 5.70 fiC distribuida de manera uniforme por to- 
do su volumen interior. Calcule la carga encerrada 
por una superficie esferica'c'oncentrica con radio a) r = 

2.00 cm, yb) r= 6.00 cm. . ! |45T 

135-1 Un filamento recto de 7.00 m de largo esta cargado uni- 
formemente con una carga positiva total de 2.00 /xC. Un 
cilindro de carton descargado de 2.00 cm de longitud y 
10.0 cm de radio rodea el filamento en su centro, con el 
filamento como el eje del cilindro. Utilizando aproxima- 
ciones razonables encuentre a) el campo electrico en la 
superficie del cilindro, y b) el flujo electrico total a tra- 
ves del cilindro. 46. 

36. La carga por unidad de longitud en un filamento recto 
y largo es de -90.0 /iC/m. Encuentre el campo electrico 
de a) 10.0 cm, b) 20.0 cm, y c) 100 cm del filamento, 
donde las distancias se miden perpendiculares a la lon- 
gitud del filamento. web [47] 
137] Una larga lamina plana de carga tiene una carga por 
unidad de area de 9.00 /iC/m 2 . Determine la intensidad 
de campo electrico justo arriba de la superficie de la la- 
mina, medida desde su punto medio. 

Section 24.4 Conductores en equilibrio electrostatico 48 ' 

38. En un dia claro y soleado, un campo electrico vertical de 
aproximadamente 130 N/C apunta hacia abajo sobre 
suelo piano. <:Cual es la densidad de carga superficial so- 
bre el suelo en estas condiciones? 

39] Una larga barra metalica recta tiene uh radio de 5.00 cm 49, 

y una carga por unidad de longitud de 30.0 nC/m. En- 
cuentre el campo electrico a a) 3.00 cm, b) 10.0 cm, y c) 
100 cm del eje de la barra, donde las distancias se miden 
perpendiculares a la barra. 

40. Una placa de aluminio muy larga, delgada y plana dene 
un area A y una carga total Q distribuida uniformemente 



sobre su superficie. Si la misma carga esta extendida de 
manera uniforme sobre la superficie superior de una pla- 
ca de vidrio identica, compare los campos electricos justo 
arriba del centro de la superficie superior de cada placa. 
Una placa de cobre cuadrada, con lados de 50.0 cm, no 
tiene carga neta y esta colocada en una region donde 
existe un campo electrico uniforme de 80.0 kN/C diri- 
gido perpendicularmente hacia la placa. Encuentre a) la 
densidad de carga de cada cara de la placa y b) la carga 
total en cada cara. 

Una esfera conductora hueca esta rodeada por un casca- 
ron conductor esferico concentrico y mas grande. La es- 
fera interior tiene una carga -Q y la esfera exterior tie- 
ne una carga SQ. Las cargas estan en equilibrio 
electrostatico. Con la ley de Gauss encuentre ias cargas 
y los campos electricos en todo punto. 
Dos esferas conductoras identicas, cada una con un ra- 
dio de 0.500 cm estan conectadas por medio de un lige- 
ro alambre conductor de 2.00 m de largo. Determine la 
tension en el alambre si se ponen 60.0 /*C en uno de los 
conductores. (Sugerenria: suponga que la distribution su- 
perficial de carga sobre cada esfera es uniforme.) 
El campo electrico sobre la superficie de un conduc- 
tor de forma irregular varia desde 56.0 kN/C hasta 
28.0 kN/C. Calcule la densidad de carga superficial lo- 
cal en el punto sobre la superficie donde el radio de cur- 
vatura de la superficie es a) el mas grande y b) el mas 
pequeno. 

Un alambre largo y recto esta rodeado por un cilindro me- 
talico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alam- 
bre tiene una carga por unidad de longitud de X y el cilin- 
dro tiene una carga neta por unidad de longitud de 2X. De 
acuerdo con esta information, utilice la ley de Oauss para 
encontrar a) la carga por unidad de longitud en las super- 
ficies interior y exterior del cilindro, y b) el campo electri- 
co afuera del cilindro, a una distancia r del eje. 
Un cascaron esferico conductor de 15.0 cm de radio tie- 
ne una carga neta de -6.40 fiC distribuida uniforme- 
mente sobre la superficie. Encuentre el campo electrico 
en puntos a) justo fuera del cascaron y b) dentro del cas- 
caron. 

Una delgada placa conductora de 50.0 cm de lado se 
encuentra en el piano xy. Si una carga total de 4.00 x 
10" 8 C se pone sobre la placa, encuentre a) la densidad 
de carga sobre la placa, b) el campo electrico justo arri- 
ba de la placa, y c) el campo electrico justo debajo de la 
placa. 

Un cascaron esferico conductor que tiene un radio inte- 
rior a y radio exterior b tiene' una carga neta Q. Si una 
carga puntual q se pone en el centro de este cascaron, 
determine la densidad de carga superficial sobre a) 
la superficie interior,, y b) la superficie exterior del cas- 
caron. 

Una esfera conductora solida de 2.00 cm de radio tiene 
una carga de 8.00 /aC. Un cascaron esferico conductor 
de radio interior igual a 4.00 cm y de radio exterior de 
5.00 cm es concentrico con la esfera solida y tiene una 
carga de -4.00 fiC Encuentre el campo electrico en 
a) r= 1.00 cm, b) r= 3.00 cm, c) r= 4.50 cm, yd)r = 
7.00 cm desde el centro de esta configuration de carga. 



Problemas 



765 



50. Una carga puntual positiva esta a una distancia de R/2 
desde el centro de un delgado cascaron esferico conduc- 
tor descargado de radio R. Bosqueje las lfneas de campo 
electrico establecidas por este arreglo tanto en el inte- 
rior como en el exterior del cascaron. 

(Optional) 

Seca'dn 24.5 Verification experimental de las leyes . 

de Gauss y de Coulomb 
(Optional) 
Seccion 24.6 Deduction formal de la ley de Gauss 

WQ Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q lo- 
calizada en su centro. a) Demuestre que el flujo electri- 
co a traves de un casquete circular de medio angulo 
(Fig. P24.51) es 



4>£ = ^-(l-cos«) 



<;Cual es el flujo por b) 6 = 90° y c) = 180"? 




Figure P24.51 



PROBLEMAS ADICIONALES 

52. Un campo electrico no uniforme esta dado por la expre- 
sion E = ayi + bzj + cxk, donde a, by c son constantes. 
Determine el flujo electrico a traves de una superficie 
rectangular en el piano xy, que se extiende de x = a * = 
wydey=0ay=h. 

53. Una esfera aislante solida de radio a tiene una carga po- 
sitiva neta 3 Q, distribuida de manera uniforme a traves 
de su volumen. Concentrico con esta esfera esta un cas- 
caron esferico conductor de radio interior b y radio ex- 
terior c, y que tiene una carga negativa neta -Q como se 
muestra en la figura P24.53. a) Construya una superficie 
gaussiana esferica de radio r > c y determine la carga ne- 
ta encerrada por esta superficie. b) jCual es la direction 
del campo electrico en r > c? c) Encuentre el campo 
electrico en r > c d) encuentre el campo electrico en la 
region con radios r donde c > r> b. e) Construya una 
superficie gaussiana esferica de radio r, donde c> r> b, 
y determine la carga neta encerrada por esta superficie. 
f) Construya una superficie gaussiana esferica de radio r, 
donde b > r > a y encuentre la carga neta encerrada por 
esta superficie. g) Determine el campo electrico en la re- 
gion b > r > a. h) Construya una superficie gaussiana es- 
ferica de radio r < a y encuentre una expresion para la 




Figura P24.53 



carga neta dentro de esa superficie como una funcion 
de r. Observe que la carga dentro de esta superficie es 
menor que SQ i) Encuentre el campo electrico en la re- 
gion r < a. j) Determine la carga en la superficie inte- 
rior del cascaron conductor, k) Determine la carga sobre 
la superficie exterior del cascaron conductor. 1) Dibuje 
una grafica de la magnitud del campo electrico versus r. 
Considere dos esferas conductoras identicas cuyas super- 
ficies estar>8eparadas por una corta distancia. A una es- 
fera se le da una gran carga positiva neta mientras que a 
la otra se le proporciona una pequefia carga positiva ne- 
ta. Se encuentra que la fuerza entre ellas es atractiva aun 
cuando ambas esferas tienen cargas netas del mismo sig- 
no. Explique como es esto posible. 
Una esfera aislante solida de radio a tiene una densidad 
de carga uniforme p y una carga total Q. Concentrica 
c6n ella esta una esfera hueca conductora descargada 
cuyos radios interior y exterior son bye, como se mues- 
tra en fa figura P24.55. a) Determine la magnitud del 
campo electrico en las regiones r<a,a<r<b, b < 
r < c, y r > c. b) Determine la carga inducida por uni- 
dad de area en las superficies interior y exterior de la es- 
fera hueca. 




Figura P24.55 Problemas 55 y 56. 



Para la configuration mostrada en la figura P24.55, su- 
ponga que a = 5.00 cm, b = 20.0 cm, y c = 25.0 cm. Su- 
ponga tambien que el campo electrico en un pun to a 
10.0 cm del centro es de 3.60 x 10 s N/C radialmente ha- 
cia adentro, en tanto que el campo electrico en un pun- 
to a 50.0 cm del centro es 2.00 x 10 2 N/C radialmente 
hacia afuera. Ajpartir de esta information encuentre a) 
la carga j86Sre la esfera aislante, b) la carga neta sobre 




766 



CAP/TUL024 Ley de Gauss 



la esfera conductors hueca, y c) la carga total sobre las 
superficies interior y exterior- de la esfera conductora 
hueca. 

Un cascaron aislante cilindrico e infinitamente largo, de 
radio interior ay radio exterior b, tiene una densidad vo- 
lumetrica de carga uniforme p (C/m 3 ). Una lfnea de 
densidad de carga \ (C/m) se situa a lo largo del eje del 
cascaron. Determine la intensidad del campo electrico 
en cualquier punto. 

Dos laminas de carga no conductoras infinitas son para- 
lelas entre si como se ve en la figura P24.58. La lamina 
de la izquierda tiene una densidad de carga superficial 
uniforme cr y la de la derecha tiene una densidad de car- 
ga uniforme -a. Calcule el valor del campo electrico en 
puntos a) a la izquierda, b) entre, y c) a la derecha de 
las dos laminas. (Sugerencia: vease el ejemplo 24.8.) 



61. 




Figura P24.58 

web 1313 Repita los calculos del problema 58 cuando ambas lami- 
nas tienen densidades de carga superficial uniforme po- 
sitives con valor cr. 
60. Una esfera de radio 2a esta hecha de un material no 
conductor que tiene una densidad de carga volumetrica 
uniforme p. (Suponga que el material no afecta el cam- 
po electrico.) Una cavidad esferica de radio a se separa 
despues de la esfera, como se indica en la figura P24.60. 
Demuestre que el campo electrico dentro de la cavidad 
es uniforme y esta dado por E x = y E = pa/Se . (Suge- 
rencia. el campo dentro 'de la cavidad es la superposicion 
del campo debido a la esfera original sin corte, mas el 





^j\ 




2«X/ 



62. 



campo debido a una esfera del tamano de la cavidad con 
una densidad de carga negativa uniforme -p.) 
Problema de repaso. Un primer (incorrecto) modelo 
del atomo de hidrogeno, sugerido por J. J. Thomson, 
proponia que una nube de carga positiva +e se distribufa 
uniformemente por todo el volumen de una esfera de 
radio R, con el electron como una carga puntual nega- 
tiva de igual magnitud —e en el centre a) Utilizando la 
ley de Gauss, demuestre que el electron estaria en equi- 
librio en el centro y, si se desplazara del centro una dis- 
tancia r<R, experimentaria una fuerza restauradora de 
la forma F= -Kr, donde Kes una constante. b) Muestre 
que K= k e e 2 /R s . c) Encuentre una expresion para la fre- 
cuencia/de oscilaciones armonicas simples que experi- 
mentaria un electron de masa m, si se desplazara una 
corta distancia (<R) del centro y se liberara. d) Calcule 
un valor numerico para R que producirfa una frecuen- 
cia de vibracion del electron de 2.47 x 10' 5 Hz, la fre- 
cuencia de la luz en la lfnea mas intensa en el espectro 
del hidrogeno. 

Una superficie cerrada con dimensiones a= b= 0.400 m 
yc= 0.600 m se localiza como se muestra en la figura 
P24.62. El campo electrico por toda la region no es uni- 
forme y esta dado por E = (3.0 + 2.0x 2 )i N/C, donde x 
esta en metros. Calcule el flujo electrico neto que sale de 
la superficie cerrada. iCual es la carga neta encerrada 
por la superficie? 



64. 




Figura P24.60 



Figura P24.62 



Una esfera aislante solida de radio R tiene una densidad 
de carga no uniforme que varia con r de acuerdo con la 
expresion p = Ar 2 , donde A es una constante yr< R se 
mide desde el centro de la esfera. a) Demuestre que el 
campo electrico exterior a la esfera (r > R) es E = 
AiJ 5 /5e r 2 . b) Muestre que el campo electrico interior 
(r < R) de la esfera es E= Ar s /5e . (Sugerencia: advierta 
que la carga total Q sobre la esfera es igual a la integral 
de p dV, donde r se extiende de a R; observe tambien 
que la carga q dentro de un radio r < Res menor que 
Q. Para evaluar las integrates advierta que el elemento 
de volumen rfFpara un cascaron esferico de radio ry es- 
pesor rfres igual a 4nr 2 dr.) 

Una carga puntual Qse localiza en el eje de un disco de 
radio /Ja una distancia b del piano del disco (Fig. P24.64) . 
Muestre que si un cuarto del flujo electrico de la carga 
pasa por el disco, entonces R = V36. 



Respuestas a las pregunlas sorpresa 



767 




Figura P24.64 



65. Una distribution de carga simetrica esfericamente tiene 
una densidad de carga dada por p = a/r, donde a es cons- 
tante. Encuentre el campo electrico como funcion de r. 
{Sugerencia: advierta que la carga en la esfera d^-radio R 
es igual a la integral de p dV, donde r se extiende de a 
R. Para evaluar la integral, note que el elemento de vo- 
lumen dV para un cascaron esferico de radio r y espesor 
dres igual a 4wr 2 dr.) 

. 66. Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R'.tie- 
ne una densidad de carga volumetrica que varia con el 
radio como 



P = Po 



a 

b) 



donde p , ay b son constantes positivas, y r es la distan- 
cia desde el eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para 
determinar la magnitud del campo electrico a distancias 
radiales a) r < R, y b) r> R. 

Problema de repaso. Una placa de material aislante 
(infinita en dos de sus tres dimensiones) tiene una den- 
sidad de carga positiva uniforme p. Una vista de canto de 
la placa se muestra en la figura P24.67. a) Demuestre 
que la magnitud del campo electrico a una distancia x 
de su centro y en el interior de la placa es E= px/e . b) 
Suponga que un electron de carga —e y masa m, se colo- 
ca dentro de la placa. Si se suelta desde el reposo a una 
distancia x del centro, demuestre que el electron exhibe 



movimiento armonico simple con una frecuencia descri- 
ta por la expresion 



J 9-ir 



pe 



2ir 1 m ' € o 




Figura P24.67 Problemas 67 y 68. 



68. Una placa de material aislante tiene una densidad de 
carga positiva no uniforme p = Cx 2 , donde x se mide des- 
de el centro de la placa como se muestra en la figura 
P24.67, y C es una constante. La placa es infinita en las 
direcciones y y z. Obtenga expresiones para el campo 
electrico en a) las regiones exteriores y b) la region in- 
terior de la placa (-d/2 < x < d/2). 

59. a) A partir de que la ley de gravitacion de Newton es ma- 
tematicamente similar a la ley de Coulomb, demuestre 
que la ley de Gauss para la gravitacion puede escribirse 
como 



* 



g 



d\ = -4wGm„ 



donde m m es la masa neta dentro de la superficie gaus- 
siana, y g = Fg/m representa al campo gravitacional en 
cualquier punto sobre la superficie gaussiana. b) Deter- 
mine el campo gravitacional en un punto a una distan- 
cia r del centro de la Tierra, donde r<R c , suponiendo 
que la densidad de masa de la Tierra es uniforme. 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



24.1 Cero, porque no existe carga neta dentro de la superficie. 

24.2 b) yd). El enunciado a) no necesariamente es cierto 
porque un igual numero de cargas positivas y negativas 
podria estar presente dentro de la superficie. El enun- 
ciado c) no necesariamente es cierto, como se puede ver 
en la figura 24.8: Existe un campo electrico diferente de 
cero en cualquier lugar sobre la superficie, pero la car- 



ga no esta encerrada dentro de la superficie; por tanto, 
el flujo neto es cero. 
24.3 Cualquier superficie gaussiana que rodee el sistema en- 
cierra la misma cantidad de carga, sin importar como se 
mueyan los componentes del sistema. En consecuencia, 
eLflujo a traves de la superficie gaussiana seria el mismo 
'que cuando la esfera y el cascaron fuesen concentricos. 





Fitima sostiene una esfera cargada que 
aicanza un potencial eltetrico de casi 
100 000 volts. El dispositivo que genera 
este alto potencial recibe el nombre de 
generator Van de Graaff. ,j,Qu6 causa 
que el cabello de Fatima se mantenga 
parado como las esplnas de un puerco 
espin? cPor que ella esta" segura en esta 
situacion en vista del hecho de que 
110 V de un tomacorriente de pared 
pueden matarla? (Henry Leap y Jim 
Lehman) 



copitulo 




Potencial electrico 



■ aH ^S?«ii« : ro*is del c a pi tula 



768 



25.1 Diferencia de potencial y poten- 
cial electrico 

25.2 Diferencias de potencial en un 
campo electrico uniforme 

25.3 Potencial electrico y energia po- 
tencial debidos a cargas puntua- 
les 

25.4 Obtencion del valor del campo 
electrico a partir del potencial 
electrico 



25.5 Potencial electrico debido a dis- 
tribuciones de carga continuas 

25.6 Potencial electrico debido a un 
conductor cargado 

25.7 (Optional) El experimento de la 
gota de aceite de Millikan 

25.8 (Opcional) Aplicaciones de la 
electrostatica 



25. 1 Diferencia de potencial y potencial electrico 769 



fl concepto de energia potencial se presento en el capitulo 8 ,en conexion con 
fuerzas conservativas como la fuerza de gravedad y la fuena elastica ejercida 
por un resorte. Al emplear la ley de la conservation de la energia, eon frecuen- 
cia se puede evitar trabajar directamente con fuerzas cuando se resuelven diversos 
problemas en mecanica. En este capitulo se vera que el concepto de energia poten- 
cial tambien es muy valioso en el estudio de la electricidad. Ya que la fuerza electros- 
tatica dada por la ley de Coulomb es conservativa, los fenomenos electrostaticos pue- 
den describirse convenientemente en terminos de energia potencial electrica. Esta 
idea permite definir una cantidad escalar conocida como potencial electrico. Porque el 
potencial electrico en cualquier punto en un campo electrico es una funcion esca- 
lar, este se puede emplear para describir los fenomenos electrostaticos de manera 
mas simplificada que si se confiara solo en los conceptos de campo y fuerzas electri- 
cas. En capitulos posteriores se vera que el concepto de potencial electrico es de 
gran valor practico. 



tm 



^ 



DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ELECTRICO 



® Cuando una carga de prueba q se coloca en un campo electrico E creado por al- 
11-8 gun otro objeto cargado, la fuerza electrica que actua sobreja-carga de prueba es 
^oE. (Si el campo es producido por mas de un objeto cargado, esta fuerza que aetua 
sobre la carga de prueba es el vector suma de las fuerzas individuales ejercidas so- 
bre ella por los otros varios objetos cargados.) La fuerza ^E es conservativa debido 
a que las fuerzas individuales descritas por la ley de Coulomb son conservativas. 
Cuando la carga de prueba se mueve dentro de un campo electrico por un agente 
extemo, el trabajo. hecho por el campo electrico sobre la carga es igual al negativo 
del trabajo hecho por el agente extemo que produce el desplazamiento. Para un 
desplazamiento infinitesimal ds, el trabajo hecho por el campo electrico sobre la car- 
ga es F-ds = qJL-ds. Como esta cantidad de trabajo es realizada por el campo, la ener- 
gia potencial del sistema campo-carga se reduce en una cantidad dll= —qJL-ds. Para 
un desplazamiento finito de la carga entre los puntos Ay B, el cambio de energia 
potencial del sistema AC/= U g — U A es 



= - q °\l 



AU = -q \ E • ds (25.1) Cambio en energia potencial 



La integration se efecuia a lo largo de la trayectoria que sigue q Q cuando se mueve 
de A a B, y la integral recibe el nombre de integral de trayectoria o integral de linea (los 
dos terminos son sinonimos) . Puesto que la fuerza ^E es conservativa, esta integral 
de linea no depende de la trayectoria seguida de A a B. 



Prequnta sorpresa 25.1 



Si la trayectoria entre A y B no hace alguna diferencia en la ecuacion 25.1, £por que no so- 
lo se usa la expresiori AU= —qoEd, donde d es la distancia en linea recta entre A y E? 

La energia potencial por unidad de carga U/q es independiente del valor de q , 
y tiene un valor unico en cada punto en un campo electrico. La cantidad U/q reci- 
be el nombre de potencial electrico (o simplemente el potencial) V. De este modo, 
el potencial electrico en cualquier punto en un campo electrico es 

V = — / (25.2) 



770 



CAPlTULO 25 Potential elfctrico 



Diferencia de potencial 



El hecho de que la energia potencial sea una cantidad escalar significa que el po- 
tencial electrico es tambien una cantidad escalar. 

La diferencia de potencial AV= V B - V A entre cualesquiera dos puntos AyBen 
un campo electrico se define como el cambio en la energia potencial del sistema di- 
vidida por la carga de prueba q : 



AV = 



AC/ 



=-/:■ 



Eds 



(25.3) 



La diferencia de potencial no debe confundirse con la diferencia de energia poten- 
cial. La diferencia de potencial es proporcional al cambio de energia potencial, y se 
ye de la ecuacion 25.3 que las dos se relacionan por medio de A 17= 9 AV- 

El potencial electrico' es una caracteristica escalar del campo electrico, indepen- 
diente de las cargas que pueden ponerse en el campo. Sin embargo, cuando se ha- 
bla de energia potencial, se esta haciendo referenda al sistema carga-campo. Ya que 
por lo general se esta interesado en conocer el potencial electrico en la position de 
una carga, asi como la energia potencial causada por la interaction de la carga con 
el campo, se sigue la convention comun de hablar de la energia potencial como si 
perteneciera a la carga. 

Puesto que el cambio en la energia potential de una carga es el negativo del tra- 
bajo realizado por el campo electrico sobre la carga (como se hace evidente en la 
ecuacion 25.1), la diferencia de potencial A Ventre los puntos A y B es igual al tra- 
bajo por unidad de carga que un agente externo debe efectuar para mover una car- 
ga de prueba de A a B sin un cambio en la energia cinetica de la carga de prueba. 

Lo mismo que con la energia potencial, solo son signifkativas las diferencias en 
el potencial electrico. Sin embargo, para evitar tener que trabajar con diferencias de 
potencial, con frecuencia se puede tomar el valor del potencial electrico como cero 
en algun punto conveniente en un campo electrico. Esto es lo que se hace aquf: fi- 
jar de manera arbitraria el potencial electrico igual a cero en un punto que esta in- 
finitamente lejos de las cargas que producen el campo. Una vez hecha esta election, 
se puede afirmar que el potencial electrico en un punto arbitrario en un campo elec- 
trico es igual al trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prue- 
ba positiva desde el infinito hasta ese punto. Asi, si se considera el punto A en el in- 
finite en la ecuacion 25.3, entonces el potencial electrico en cualquier punto P es 



-\: 



Eds 



(25.4) 



En realidad, 1^> represents la diferencia de potencial A Ventre el punto Py un pun- 
to en el infinito. (La ecuacion 25.4 es un caso especial de la ecuacion 25.3.) 

Puesto que el potencial electrico es una medida de la energia potencial por uni- 
dad de carga, la unidad del SI tanto del potencial electrico como de la diferencia de 
potencial es joules por coulomb, definido como un volt (V): 



Definition de visit 



c 



Es detir, debe efectuarse 1 J de trabajo para mover una carga de 1 C a traves de una 
diferencia de potencial de 1 V. 

La ecuacion 25.3 muestra que la diferencia de potencial tambien dene unida- 
des de campo electrico por distancia. A partir de esto se deduce que la unidad del 
SI de campo electrico (N/C) tambien puede expresarse como volts por metro: 



1» = 1^ 
C m 



25.2 Diferencias de potencial en un campo elfctrico uniforme 



771 



Una unidad de energia utilizada comunmente en, la fifsica atomica y nuclear es el 
electron volt (eV), el cual se define como la energia que un electron (o proton) gana 
o pierde al moverse a traves de una dif erencia de potential de 1 V. Puesto que 1 V = 
1 J/C, y puesto que la carga fundamental es de aproximadamente 1.60 x 10" 19 C, el 
electron volt se relaciona con el joule de la manera siguiente: 

1 eV = 1.60 x 10- 19 C • V = 1.60 x lO" 19 J (25.5) 

Por ejemplo, un electron en el haz de un tubo de imagen de television tfpico pue- 
de tener una rapidez de 3.5 x 10 7 m/s. Esto corresponde a una energia cinetica 
de 5.6 x 10" 16 J, que es equivalente a 3.5 x 10 s eV. Un electron con estas caracteris- 
ticas tiene que acelerarse desde el reposo a traves de una diferencia de potencial de 
3.5 kV para alcanzar esta rapidez. 



El electron volt 



DIFERENCIAS DE POTENCIAL EN UN 
CAMPO ELECTRICO UNIFORME 



Las ecuaciones 25.1 y 25.3 son validas en todos los campos electricos, sin importar 
si son uniformes o variables, aunque pueden ser simplificadas para un campo uni- 
forme. En primer lugar, considere un campo electrico uniforme dirigido a lo largo 
del eje y negativo, como se muestra en la figura 25.1a. Calcule la diferencia de po- 
• tencial entre dos puntos Ay B, separados por una distancia d, donde d se mide pa- 
ralela a las lineas de campo. La ecuacion 25.3 produce 



V B - V A = AV 



= -I Eds=-\ £cos0°dx = - Eds 



Puesto que E es constante, puede eliminarse del signo integral, lo que produce 

AV = -E I ds = -Ed ^ 25 - 6 ) 

El signo menos indica que el punto B esta a un potencial electrico menor que el 
punto A; es decir, V E < V A . Las lineas de campo electrico siempre apuntan en la di- 
rection de potencial electrico decreciente, como se muestra en la figura 25.1a. 

Suppnga ahora que una carga de pnieba q se mueve de A a B. El cambio en su 
energia potencial puede encontrarse de las ecuaciones 25.3 y 25.6: 



A( 



AU=q AV=-q Ed 



Ai < 




(25.7) 



a) 



b) 



Figura 25.1 a) Cuando el campo 
electrico E se dirige hacia abajo, el 
punto B esta en un potencial elec- 
trico menor que el punto A. Una car- 
ga de prueba positiva que se mueve 
desde el punto A hasta el punto B 
pierde energia potencial electrica. b) 
4Jna masa tuque se 1 mueve hacia aba- 
jo en la direccion del campo gravita-' 
cional g pierde energia potencial gra- 
vitacional. 



Diferencia de potencial en un cam- 
po electrico uniforme 



772 



CAPfTULO 25 Potencial el&trico 



Experimento sorpresa J§1> 

Se requiere un campo electrico de 
casi 30 000 V/cm para provocar una 
chispa en aire seco. Camine arras- 
trando los pies sobre una alfombra y 
dinjase hacia la cerradura de una 
puerta. Mediante la estimacion de la 
longitud de la chispa determine la 
diferencia de potencial electrico en- 
tre su dedo y la cerradura despues 
de arrastrar sus pies pero antes de 
tocar la manija. (Si interna hacer 
esto en un dia muy hiimedo no fun- 
cionara. jA que cree que se deba 
esto?) 







E 


— »■ 






j^ B 


— *- 




^^ s 























Figura 25.2 Campo electrico uni- 
forme dirigido a lo largo del eje x po-. 
sitivo. El punto B esta a un potencial 
electrico menor que el punto A. Los 
puntos By C estan al mismo potencial 
electrico. 



A partir de este resultado se ve que si q es positiva, entonces A£/es negativa. Se con- 
cluye que una carga positiva pierde energia potencial electrica cuando esta se mue- 
ve en la direccion del campo electrico. Esto significa que un campo electrico reali- 
za trabajo sobre una carga positiva cuando la carga se mueve en la direccion del 
campo electrico. (Esto es analogo al trabajo efectuado por el campo gravitational so- 
bre una masa que cae, como se muestra en la figura 25.1b.) Si una carga de prueba 
positiva se libera desde el reposo en este campo electrico, experimentara una fuer- 
za electrica q E en la direccion de E (hacia abajo en la figura 25.1a). Por tanto, se 
acelera hacia abajo, ganando energia cinetica. Conforme la particula gana energia 
cinetica, pierde una canndad igual de energia potencial. 

Si q es negativa, entonces AC/es positivo y la situation se invierte: Una carga ne- 
gativa gana energia potencial electrica cuando se mueve en la direction del campo 
electrico. Si una carga negativa se libera desde el reposo en el campo E, esta se ace- 
lera en una direction opuesta a la direccion de campo. 

Considere ahora el caso mas general de una particula cargada que se mueve li- 
bre entre dos puntos cualesquiera en un campo electrico uniforme dirigido a lo lar- 
go del eje x, como se muestra en la figura 25.2. (En esta situation la carga no se mue- 
ve por un agente externo, como antes.) Si s representa el vector desplazamiento 
entre los puntos A y B, la ecuacion 25.3 produce 



AV 



= - E • ds = -E ■ ds = -E • s 



(25.8) 



Una superficie equipotencial 



donde de nuevo se esta en posibilidad de sacar E de la integral, puesto que es cons- 
tahte. El cambio de energia potencial de la carga es 

\U=q AV=-q (l E-s (25.9) 

-s Por ultimo, se concluye a partir de la ecuacion 25.8 que todos los puntos en un 
^fg piano perpendicular a un campo electrico uniforme estan al mismo potencial electri- 
co. Esto puede verse en la figura 25.2, donde la diferencia de potencial V B — V A es igual 
a la diferencia de potencial V c — V A . (Pruebe esto por usted mismo trabajando sobre 
el producto punto E • s para s A _> B , donde el angulo 6 entre E y s es arbitrario, como 
se muestra en la figura 25.2, y el producto punto para s^ _, c , donde 9 = 0.) Por tan- 
to, V B = V c . El nombre superficie equipotencial se da a cualquier superficie compues- 
ta de una distribution continua de puntos que tienen el mismo potencial electrico. 
Advierta que ya que A U= q AV, no se realiza trabajo al mover una carga de prue- 
ba entre dos puntos cualesquiera en una superficie equipotencial. Las superficies 
equipotenciales de un campo electrico uniforme se componen de una familia de pia- 
nos que en su totalidad son perpendiculares al piano. Las superficies equipotencia- 
les para campos con otras simetrias se describen en secciones siguientes. 



tPregunta sorpresa 25.2 



Los puntos marcados en la figura 25.3 estan sobre una serie de superficies equipotenciales 
asociadas con un campo electrico. Ordene (de mayor a menor) el trabajo realizado por el 
campo electrico sobre una particula cargada positivamente que se mueve de A a B, de B a 
C, de C a D, de D a E. 




Figura 25.3 Cuatro superficies equipotenciales. 






25.2 Diferencias de potencial en un campo elfctrico uniforme 



773 



Ejemplo 23i 



El campo electrico entre dos placas paralelas de carga opuesta 



Una bateria produce una diferencia de potencial especifica- 
da entre los conductores unidos a las terminales de la bate- 
: ria. Una bateria de 12 V se conecta entre dos placas parale- 
las, como se ve en la figura 25.4. La separacion entre las placas 
es d = 0.30 cm, y se supone uniforme el campo electrico en- 
tre las placas. 




Figura 25.4 Una bateria de 12 V conectada a dos placas paralelas. 
El campo electrico entre las placas tiene una magnitud dada por la 
diferencia de potencial AVdividida por la separacion de las placas d. 



(Esta suposicion es razonable si la separacion de las placas es 
pequena comparada con el tamano de las placas y si no se 
consideran puntos cerca de los bordes de las placas.) Deter- 
mine la magnitud del campo electrico entre las placas. 

Solution El campo electrico esta dirigido de la placa positi- 
va (A) hacia la placa negativa (B), y la placa positiva esta a un 
potencial electrico mayor que la placa negativa. La diferencia 
de potencial entre las placas debe ser igual a la diferencia de 
potencial entre las terminales de la bateria. Esto puede enten- 
derse observando que todos los puntos en un conductor en 
equilibrio estan al mismo potencial electrico; 1 no hay diferen- 
cia de potencial entre una terminal y cualquier parte de la 
placa a la que esta conectada. Por tanto, la magnitud del cam- 
po electrico entre las placas es, de la ecuacion 25.6, 



F= 



\V„ ~ Va 



12V 



0.30xl0" 2 m 



= 4.0xl0 3 V/m 



Esta configuration, la cual se muestra en la- figura 25.4 y 
se conoce como capacitor de placas paralelas, se examina con 
mayor detalle en el capftulo 26. 



Ejemplo 



Movimiento de un proton en un campo electrico uniforme 



Un proton se suelta desde el reposo en un campo electrico 
uniforme que tiene una niagnitud de 8.0 x 10 4 V/m y esta di- 
rigido a lo largo del eje xpositivo (Fig. 25.5). El proton se des- 
plaza 0.50 m en la direccion de E. a) Encuentre el cambio en 
potencial electrico entre los puntos Ay B. 

Solution Ya que el proton (el cual, como usted recordara, 
porta una carga positiva) se mueve en la direccion del cam- 




Figura 25.5 Un proton se acelera desde A hacia B en la direccion 
del campo electrico. 



po, se espera que se mueva a una position de menor poten- 
cial electrico. De acuerdo con la ecuacion 25.6 se tiene 

AV = -Ed = -(8.0 x 10 4 V/m) (0.50 m) 

= -4.0 x 10 4 V 

b) Determine el cambio de energia potencial del proton 
para este desplazamiento. 

Solution. 

A£/= ? AV= «AV 

= (1.6xl<r 19 C)(-4.0xl0 4 V) 

= -6.4 x 10- 15 J 

El signo negativo significa que la energia potencial del pro- 
ton disminuye cuando este se mueve en direccion del campo 
electrico. Cuando el proton acelera en la direccion del cam- 
po, gana energia cinetica y al mismo tiempo pierde energia 
potencial electrica (porque la energia se conserva). 

Ejercicio Use el concepto de conservation de la energia pa- 
ra determinar la rapidez del proton en el punto B. 

Respuesta 2.77 x 10 6 m/s 



1 El campo electrico se desvanece dentro de un conductor en equilibrio electrostatico; por tanto, la in- 
tegral de trayectoria / E • ds entre dos puntos cualesquiera dentro del conductor debe ser cero. En la 
section 25.6 se proporciona un aoalisis mas amplio de este punto. 



774 



CAPfTULO 25 Potencial el&trico 



POTENCIAL ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL 
DEBIDOS A CARGAS PUNTUALES 




Considere una carga puntual positiva aislada q. Recuerde que este tipo de carga pro- 
duce un campo electrico que apunta radialmente hacia afuera desde la carga. Para 
determinar el potencial electrico en un punto localizado a una distancia rde la car- 
ga, se comienza con la expresion general para la diferencia de potencial: 



— /: 



Eds 



donde Ay B son los dos puntos arbitrarios mostrados en la figura 25.6. En cualquier 
punto del campo, el campo electrico debido a la carga puntual es E = k#r / r 2 (Ec. 
23.4), donde f es un vector unitario dirigido desde la carga al punto del campo. La 
cantidad E-ds puede expresarse como 

q „ 
E • ds = k, — s- r • ds 

Puesto que la magnitud de f es 1, el producto punto f • ds = ds cos , donde 6 es el 
angulo entre f y ds. Asimismo, ds cos 8 es la proyeccion de ds sobre r; en consecuen- 
cia, ds cos 6 = dr. Esto significa que cualquier desplazamiento ds a lo largo de la tra- 
yectoria desde el punto A hasta el punto B produce un cambio dr en la magnitud de 
r, la distancia radial a la carga que crea el campo. Con estas sustituciones, se encuen- 
tra que E-rfs = (k t q/r 2 )dr, de modo que la expresion para la diferencia de poten- 
cial se vuelve 



Figura 25.6 La diferencia de po- 
tencial entre los puntos Ay B debida 
a una carga puntual q depende solo de 
las coordenadas radiates inicial y fi- 
nal, r A y Tg. Los dos circulos punteados 
representan cortes transversales de 
superficies equipotenciales esfericas. 



Potencial electrico creado por una 
carga puntual 






(25.10) 



La integral de E • ds es independiente de la trayectoria entre los puntos Ay B — como 
debe ser, porque el campo electrico de una carga puntual es conservative — . Ademas, 
la ecuacion 25.10 expresa el importante resultado de que la diferencia de potencial 
entre dos puntos cualesquiera A y B en un campo creado por una carga puntual 
depende solo de las coordenadas radiales r A y r B . Es comiin elegir la referencia de 
potencial electrico igual a cero en r A = °°. Con esta eleccion el potencial electrico 
debido a una carga puntual a cualquier distancia r de la carga es 



' r 



(25.11) 



El potencial electrico se grafica en la figura 25.7 como una funcion de r, la dis- 
tancia radial desde una carga positiva en el piano xy. Considere la siguiente analo- 
gia con el potencial gravitacional: Imaginese intentando hacer rodar una canica ha- 
cia la cima de un promontorio como el mostrado en la figura 25.7a. La fuerza 
gravitacional experimentada por la canica es analoga a la fuerza repulsiva experi- 
mentada por un objeto cargado positivamente conforme se acerca otro objeto car- 
gado en la misma forma. De manera similar, la grafica del potencial electrico de la 
region que rodea una carga negativa es similar a un "hoyo" con respecto a cuales- 
quiera objetos con carga, positiva que se acerquen. Un objeto cargado debe estar in- 
finitamente distahte de otra carga antes de que la superficie se "aplane" y tenga un 
potencial electrico cero. 



25. 3 Potencial electrico y energfa-potencial debidos a cargas puntuales 



775 




a) 





































































































































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I 3 






































-/- 















b) 



Figura 25.7- a) El potencial electrico en el piano alrededor de una carga positiva individual se grafi- 
ca sobre el eje vertical. (La funcion de potencial electrico para una carga negativa se vena como un 
hoyo en lugar de un promontorio.) La linea roja muestra la naturaleza 1/rdel potencial electrico, co- 
mo esta dado por la ecuacion 25.11. b) Vista inferior desde el eje vertical de la grafica en la parte a), 
mostrando circulos concentricos donde el potencial electrico es constante. Estos circulos son secciones 
transversales de esferas equipotenciales que tienen la carga en el centre 



776 



CAPlTULO 25 Potencial etectrico 



Potential electrico debido a varias 
cargas puntuales 



Pregunta sorpresa 25.3 



Un globo esferico contiene un objeto con carga positiva en su centre Conforme el globo 
se infla a un volumen mayor mientras el objeto cargado permanece en su centro, <;el poten-' 
cial electrico en la superficie del globo aumenta, disminuye o permanece igual? jQue hay 
acerca de la magnitud del campo electrico? iDel flujo electrico? 

El potencial electrico de dos o mas cargas puntuales se obtiene aplicando el 
principio de superposition. Es decir, el potencial electrico total en algiin punto P de- 
bido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales debidos a las cargas in- 
dividuates. Para un grupo de cargas puntuales se puede escribir el potencial electri- 
co total en P en la forma 



v = *.I- 



(25.12) 



donde el potencial se considera otra vez igual a cero en el infiriito y r, es la distan- 
cia del punto Pa la carga q { . Advierta que la suma en la ecuacion 25.12 es una su- 
ma algebraica de escalares en lugar de una suma vectorial (la cual se utiliza para 
calcular el campo electrico de un grupo de cargas). Asi pues, es mucho mas senci- 
llo evaluar Vque evaluar E. El potencial electrico alrededor de un dipolo se ilustra 
en la figura 25.8. 

Considere ahora la energia potencial de un sistema de dos particulas cargadas. 
Si V, es el potencial electrico en el punto P debido a la carga q u entonces el trabajo 
que un agente extemo debe realizar para Uevar una segunda carga q 2 del infinito al 
punto Psin aceleracion es q 2 V t . Por definition, este trabajo es igual a la energia po- 
tencial U del sistema de dos particulas cuando estas estan separadas por una distan- 
cia r 12 (Fig. 25.9). En consecuencia, se puede expresar la energia potencial como 2 



Energia potencial electrica debida 
a dos cargas 



_. Ml 



u = k 



(25.13) 



Observe que si las cargas son del mismo signo, t/es positiva. Esto es consistente con 
el hecho de que un agente externo debe efectuar trabajo positivo sobre el sistema pa- 
ra acercar las dos cargas entre si (porque las cargas se repelen). Si las cargas son de 
signo opuesto, C/es negativa; esto significa que debe realizarse trabajo negativo con- 
tra la fuerza atractiva entre las cargas distintas para que se las pueda acercar entre si. 
Si en el sistema hay mas de dos particulas cargadas, la energia potencial total 
puede obtenerse calculandof/para cada par de cargas y sumando los terminos al- 
gebraicamente. Por ejemplo, la energia potencial total de tres cargas mostrada en la 
figura 25.10 es 



U = k. 



?1?2 . ?1?S 



*2S 



(25.14) 



Fisicamente esto se puede interpretar como sigue. Imagine que q Y esta fija en la 
position indicada en la figura 25.10, pero que q t y q 3 estan en el infinito. El trabajo 
que un agente externo debe efectuar para llevar q 2 desde el infinito hasta su posi- 
tion cerca de q x es k l q l q 2 /r i2 , que es el primer termino en la ecuacion 25.14. Los 
ultimos dos terminos representan el trabajo requerido para llevar ^r 3 del infinito has- 
ta su position cerca de q^ y de q 2 . (El resultado es independiente del orden en el 
cual se transportan las cargas.) 



2 La expresion para la energia potencial electrica de un sistema constituido por dos cargas puntuales, 
ecuacion 25.13, es de la misma forma que la ecuacion para la energia potencial gravitational de un sis- 
tema integrado con dos masas puntuales, Om x m. i /r (vease el capitulo 14). La similitud no es sorpren- 
dente en vista de que ambas se deducen de una ley de fuerza del cuadrado inverse 



25.3 Potencial el&trico y energfa potential debidos a cargas puntuales 



777 




r \2 



?2 



a) 





























-e** ■* ^ & 






A&s*' -^N. 


""liiBii^ 




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v-.v ~l 








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:_:~"^|-2— i^L: 


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_^ = E:^t__. 






__3i : 






;L_. 






..r.\ — 






. v 





9i 



Figura 25.9 Si dos cargas puntuales 
estan separadas por una distancia r vi , 
la energia potencial del par de cargas 
esta dada por Kq^/r^ 





. ?2 






■o 






s' \ 




r 12 • 


\ 




s 




. 


s 




\ r 2i 


C^. 




\ 
\ 


?1 


ni"~-- 


^b 



ft 



Figura 25.10 Tres cargas puntuales 
estan fijas en las posiciones mostra- 
das. La energfa potencial de este siste- 
ma de cargas esta dada por la ecua- 
cion 25.14. 



b) 



Figura 25.8 a) Potencial electrico en el piano que contiene un dipolo. b) Vista superior de la fun- 
cion graficada en la parte a). 



778 



CAPiTULO 25 Potencial el&trico 



EjemploH2£ 



El potencial electrico debido a dos cargas puntuales 



Una carga q t = 2.00 /xC se localiza en el origen, y una carga q 2 = Solution Cuando la carga esta en el infinito, U t = 0, y cuan- 
-6.00 juC se encuentra en (0, 3.00) m, como se muestra en la do la carga esta en P, U f = q^Vp, por tanto, 
figura 25.11a. a) Encuentre el potencial electrico total debido a 



estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (4.00, 0) m. 

Soludon Para dos cargas, la suma en la ecuacion 25.12 pro- 
duce 



v P = k.\3i. + 3i 



„™ ,„« N ■ m 2 ( 2.00 x 10-«C -6.00 x lO" 6 ^ 

= 8.99 x10 s — + 

C 2 ^ 4.00 m 5.00 m J 

= -6.29 x 10 s V 



AI/= fe V,- = (3.00 x 10-«C) (-6.29 x 10 3 V) 

= -18.9 x 10- 3 J 

Por consiguiente, puesto que W= -At/, tendrfa que efectuar- 
se trabajo positivo por un agente externo para quitar la car- 
ga desde el punto P de regreso al infinito. 

Ejercido Encuentre la energia potencial total del sistema 
■ mostrado en la figura 25JJb. 



b) Encuentre el cambio eh energia potencial de una car- Respuesta -5.48 x 10* J 
ga de 3.00 /xC que se mueve desde el infinito hasta el punto 
P (Fig. 25.11b).' 



-6.00 /iC 



vJ 



3.00 m 



2.00 /iC 



4.00 m 



P 



-y 



-6.00 nC 



0- 



3.00 m 



2.00 nC 



0- 



4.00 m 



3.00 HC 



a) 



b) 



Figura 25.11 a) El potencial electrico en P debido a las dos cargas es la suma algebraica de los po- 
tenciales debidos a las cargas individuales. b) jCual es la energia potencial del sistema de tres cargas? 



0BTENCI0N DEL VALOR DEL CAMP0 ELECTRICO A PARTIR 
DEL POTENCIAL ELECTRICO 

En la ecuacion 25.3 se indico como se relacionan el campo electrico E y el poten- 
cial electrico V. Ahora se mostrara como calcular el valor del campo electrico si se 
conoce el potencial electrico en una cierta region. 

A partir de la ecuacion 25.3 se puede expresar la diferencia de potencial dV en- 
tire dos puntos separados una distancia ds como 



dV=-E-ds 



(25.15) 



Si el campo electrico dene solo una componente E x , entonces E -ds — E x dx. Por tan- 
to, la ecuacion 25.15 se transforma en dV= -E x dx, o 



E r = — 



dV_ 
dx 



(25.16) 



25.4 Obtencifin del valor del campo el&trico a partir del potencial el&trico 



779 



Es decir, la magnitud del campo electrico en la direction de alguria coordenada es 
igual al negativo de la derivada del potencial .electrico en relation con dicha coor- 
denada. Recuerde del analisis que siguio a la ecuacion 25.8 que el potencial electri- 
co no cambia para cualquier desplazamiento perpendicular al campo electrico. Es- 
to es consistente con la notion, desarrollada en la section 25.2; de que las superficies 
equipotenciales son perpendiculares al campo, como se puede ver en la figura 25.12. 
Una pequena carga positiva colocada en reposo sobre una linea de campo electrico 
comienza a moverse a lo largo de la direction de E, porque esa es la direction de la 
fuerza ejercida sobre la carga por la distribution de carga que crea el campo elec- 
trico (y, por ende, es la direction de a). Puesto que la carga parte con velocidad ce- 
ro, se mueve en la direction del cambio en velocidad — es decir, en la direction de 
a. En las figuras 25.12a y 25.12b la carga se mueve en una linea recta porque su vec- 
tor aceleracion siempre es paralelo a su vector velocidad. La magnitud de v aumen- 
ta, pero su direction no cambia. La situation es diferente en la figura 25.12c. Una 
carga positiva colocada en algun punto cerca del dipolo primero se mueve en una 
direction paralela a E en dicho punto. Sin embargo, como la direction del campo 
electrico es diferente en distintas ubicaciones, la fuerza que actua sobre la carga cam- 
bia de direction, y a ya no es paralela a lo largo de v. Esto provoca que la carga en 
movimiento cambie de direction y rapidez, pero no necesariamente sigue las lineas 
de campo electrico. Recuerde que no es el vector- velocidad sino el vector acelera- 
cion el que es proportional a la fuerza. 

Si la distribution de carga que crea un campo electrico tiene simetria esferica, 
donde la densidad de carga volumetrica depende solo de la distancia radial r, enton- 
ces el campo electrico es radial. En este caso, E -ds = E T dr, de modo que dVse pue- 
de expresar en la forma dV= —E r dr. Por tanto, 



E r = — 



dV 
dr 



(25.117) 



Por ejemplo, el potencial electrico de una carga puntual es V= k e q/r. Puesto que V 
es una funcion solo de r, la funcion potencial tiene simetria esferica. Al aplicar la 
ecuacion 25.17 se encuentra que el campo electrico debido a una carga puntual es 
E r = k t q/r 2 , un resultado familiar. Advierta que el potential cambia unicamente en 



» 

— — m> 
— * 

E 





a) 



b) 



Figura 25.12 Superficies equipotenciales (lineas punteadas azules) y lineas de campo electrico (li- 
neas rojas) para a) un campo electrico uniforme producido por una lamina infinita de carga, b) una 
carga puntual, y c) un dipolo electrico. En todos los casos las superficies equipotenciales son perpen- 
diculares a las lineas de campo electrico en cada punto. Compare estos dibujos con las figuras 25.2, 25.7b 
y 25.8b. ^ 



c) 



780 



• CAPITUL0 25 Potential el&trico 



Las superficies equipotenciales 
siempre son perpendiculares a las 
lineas de campo electrico 



la direccion radial, no en cualquier direction perpendicular a r. De modo que V (al 
igual que £ r ) es una funcion solo de r. De nuevo, esto es consistente con la idea de 
que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las lineas de campo. En 
este caso las superficies equipotenciales son una familia de esferas concentricas con 
la distribution de carga simetrica esfericamente (Fig. 25.12b). 

Las superficies equipotenciales para un dipolo electrico se dibujan en la figura 
25.12c. Cuando una carga de prueba se somete a un desplazamiento ds a lo largo 
de una superficie equipotencial, entonces dV= 0, puesto que el potential es cons- 
tante a lo largo de una superficie equipotencial. A partir de la ecuacion 25.15, en- 
tonces, dV= -E-ds = 0; por tanto, E debe ser perpendicular al desplazamiento a lo 
largo de la superficie equipotencial. Esto muestra que las superficies equipotencia- 
les siempre deben ser perpendiculares a las lineas decampo electrico. 

En general, el potential electrico es una funcion de las tres coordenadas espa- 
ciales. Si V(r) esta dada en terminos de coordenadas cartesianas, las componentes 
del campo electricd E„, E y y E z pueden encontrarse facilmente a partir de V(x, y, z) 
como las siguientes derivadas parciales 3 



E=- 



dV 



Ej = ~ 



dy 



E = 



dV_ 
dz 



Por ejemplo, sr V= 3x 2 y + y 2 + yz, entonces 



|^ = A (3x 2 y + y 2 + yz) = ^-(Sx'y) = Sy-^-(x 2 ) = 6xy 
ox ox ox dx 



Ejemplo 25^^> El potencial electrico debido a un dipolo 



Un dipolo electrico se compone de dos cargas de igual mag- 
nitud y signo opuesto, separadas por una distancia 2a, como 
se ve en la figura 25.13. El dipolo esta a lo largo del eje x y 
centrado en el origen. a) Calcule el potencial elecui'co en el 
punto P. 

Solution Para el punto Pen la figura 25.13, 

r { \ x — a x + a J x*— ar 



-1 



O- 



P 



Figura 25.13 Un dipolo electrico ubicado sobre el eje x 



( jComo cambiaria este resultado si el punto P estuviese loca- 
lizado a la izquierda de la carga negauva?) 

b) Calcule Vy E x en un punto alejado del dipolo. 

Solution Si el punto Pesta lejos del dipolo, de'modo que 
x » a, entonces o 2 puede ignorarse en el termino x 2 - a 2 y 
Vse convierte en 



V 



2k^a 



(* » a) 



Con este resultado y con la ecuacion 25.16 se puede calcu- 
lar el campo electrico en un punto alejado del dipolo: 



£,= — 



dV 
dx 



X s 



(x » a) 



c) Calcule Vy E x si el punto P esta ubicado en cualquier 
parte entre las dos cargas. 



Solution 



a- x x + a) x 2 - a 2 



' dx dx( * 2 -«*J *« 



(x 2 - a 2 ) 



2\2 



3 En notacion vectorial E a menudo se escribe 



1 a* dy dz 



donde V recibe el nombre de opercular gradunte. 



25. 5 Potential elfetrico debido a distribuciones de carga continuas 



781 



Se puede verificar este resultado considerando la situa- 
tion en el centro del dipolo, donde x = 0, V = y E x = 
-2k.q/a*. 



Ejercido Compruebe el campo electrico resultante en la 
parte c) calculando la suma de los vectores individuates de 
campo electrico en el origen, debidos a las dos cargas. 



POTENCIAL ELECTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES 
DE CARGA CONTINUAS 

El potencial electrico debido a una distribution de carga continua puede calcularse 
de dos maneras. Si conoce la distribution de carga puede empezar con la ecuacion 
25.11 para el potencial electrico de una carga puntual. A continuation se considera 
el potencial debido a un pequeno elemento de carga dq, tratando a este elemento 
como una carga puntual (Fig. 25.14). El potencial electrico dVen algun punto Pde- 
bido al elemento de carga dq es 



d v = kA 



(25.18) 



donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P. Para obtener el po- 
tencial total en Pse integra la ecuacion 25.18 con el fin de incluir las contribucio- 
nes de todos los elementos de la distribution de carga. Puesto que cada elemento 
esta, en general, a una distancia diferente de P, y como k, es constante, puede expre- 

sar Kcomo 



V 



-4 



dq 



(25.19) 




Figura 25.14 El potencial electrico 
en el punto P debido a una distribu- 
tion de carga continua se puede calcu- 
lar al dividir el cuerpo cargado en seg- 
mentos de carga dq y sumando las 
contribuciones de potencial electrico 
sobre todos los segmentos. 



En efecto, se ha sustituido la suma en la ecuacion 25.12 por una integral. Observe 
que esta expresion para Vemplea una referencia particular: El potencial electrico se 
considera igual a cero cuando Pesta infinitamente lejos de la distribution de carga. 

Si el campo electrico ya se conoce a partir de otras consideraciones, como la ley 
de Gauss, se puede calcular el potencial electrico debido a una distribution de car- 
ga continua empleando la ecuacion 25.3. Si la distribution de carga es altamente si- 
metrica, evaliie primero E en cualquier punto usando la ley de Gauss y despues sus- 
tituya el valor obtenido en la ecuacion 25.3 para determinar la diferencia de potencial 
A Ventre dos puntos cualesquiera. Despues elija el potencial electrico V igual a cero 
en algun punto conveniente. 

Ambos metodos se ilustran con algunos ejemplos. 



EjEMPLOZi 



Potencial electrico debido a un anillo con carga uniforme 



a) Encuentre una expresion para el potencial electrico en un 
punto P localizado sobre el eje central perpendicular de 
un anillo con carga uniforme de radio a y^earga total Q. 

Solution Oriente el anillo dcfaTmodo que su piano sea 
perpendicular a un eje xy su centro este en el origen. Enton- 
ces se puede considerar que P se encuentra a una distancia x 
del centro del anillo, como se muestra en la figura 25.15. El 

elemento de carga dq esta a una distancia igual a yx 2 + a 2 
del punto Pjpor tamo, se puede expresar Vcomo 

.«.j4.„r_ft_ 



v 



47 



+ a" 



Puesto que cada elemento dq esta a la misma distancia del 

punto P, el termino \x 2 + a 2 puede quitarse de la integral, 
y Vse reduce a 



V = 



K 



4x 2 



+ a' 



r\dq = 



KQ. 



V^F 



(25.20) 



+ a' 



La unica variable en esta expresion para Ves x. Esto no es una 
sorpresa, puesto que este calculo' es valido solo para puntos a 
lo largo del eje x, donde tanto y como z son cero. 

b) Encuentre una expresion para la magnitud del campo 
electrico en el punto P. 



782 



CAPfTULO 25 Potencial electrico 



Solution De acuerdo con la simetria, se ve que E a lo largo 
del eje xpuede tener solo una componente x. For consiguien- 
te, es posible usar la ecuacion 25.16: 



Respuesta V = k e Q/a. Debido a que E x = -dV/dx = en el 
centro, V debe tener un valor maximo o minimo; este es, en 
realidad, un maximo. 



ax ax 



k e Qx 



(x 2 + a 2 ) i/2 



(25.21) 



Este resultado concuerda con el obtenido por integracion di- ; 
recta (vease el ejemplo 23.8). Advierta que £, = 0enx=0 (el 
centro del anillo) . jSe podria pronosticar lo anterior a partir 
de la ley de Coulomb? 

Ejerdcio ^Cual es el potencial electrico en el centro del ani- 
llo? jQue le dicen los valores del campo en el centro acerca 
del valor de Ven el centro? 




Figura 25.15 Un anillo de radio a, cargado de manera uniforme, 
colocado sobre un piano perpendicular al eje x Todos los segmentos 
dq del anillo estan a la misma distancia de cualquier punto P sobre el 
eje x 



Ejemplo 2zm 



Potencial electrico debido a un disco con carga uniforme 



Encuentre a) el potencial electrico y b) la magnitud del cam- 
po electrico a lo largo del eje central perpendicular de un dis- 
co con carga uniforme de radio a y densidad de carga super- 
ficial a. 

Solution a) De nuevo se elige el punto P a una distancia x 
del centro del disco y se considera el piano del disco perpen- 
dicular al eje x. El problema se simplifica dividiendo el disco 
en una serie de anillos cargados. El potencial electrico de ca- 
da anillo esta dado por la ecuacion 25.20. Considere uno de 
dichos anillos de radio r y ancho dr, como se indica en la fi- 
gura 25.16. El area superficial del anillo es dA = 2irr dr; a par- 



tir de la definition de la densidad de carga superficial (vease 
la section 23.5) , se sabe que la carga en el anillo es dq = 
a dA = alixr dr. Por tanto, el potencial en el puhto P debido 
al anillo es 

. _ k/lq _ k c o2irrdr 



St 



4? 



+ x< 



Para encontrar el potencial electrico total en P se suma sobre 
todos los anillos que integran el disco. Es decir, se integra dV 

de r= a r= a; 

V = vk J' ~fi^= = **.* f V + **>-"*** 

Jo Vr 2 + x 2 Jo 




»/^dA = 2mdr 



Figura 25.16 Un disco de radio a, cargado de manera uniforme, 
colocado sobre un piano perpendicular al eje x. El calculo del poten- 
cial electrico en cualquier punto P sobre el eje x se simplifica al divi- 
dir el disco en muchos anillos, cada uno de area 2irr dr. 



Esta integral es de la forma u" du y tiene el valor m" +1 /(« + 
1), donde n = — | y u = r 2 + x 2 . De esto resulta 



V= 2ir*„<x[(x 2 + a 2 ) I/2 -x] 



(25.22) 



b) Como en el ejemplo 25.5, se puede encontrar el cam- 
po electrico en cualquier punto axial a partir de 



= -^L= 2**.<T|1- 

dx ' 



Vx 2 + a 2 



(25.23) 



El calculo de Vy E para un punto arbitrario fuera del eje es 
mas difTcil de realizar, y no se tratara dicha situacion en este 
texto. 



25. 5 Potencial electrico debido a distribuciones de carga continuas 



783 



EjemploJ^^^^- Potencial electrico debido a una Imea de carga finita 










Una barra de longitud (, localizada a lo largo del eje x tiene 
una carga total Qy densidad de carga lineal uniforme \ = 
Q/€. Encuentre el potencial electrico localizado en el punto 
P a lo largo del eje y a una distancia a del origen (Fig. 25. 1 7) . 


Al evaluar Vse 


encuentra 


que 




= -^-ln 


t + 4(? +a 2 
. a 


(25.24) 


Solution El elemento de longitud dx dene una carga dq = 
\ dx. Puesto que este elemento esta a una distancia 




v / 


r = V* 2 + a 2 del punto P, el potencial en P debido a este e j e . 




y 


mento se puede expresar como 




Pi, 


dv _ h dq_ \dx 






\ 
\ 


■r K j x > +a > 


\ 
\ 


Para obtener el potencial total en P se integra esta expresion 
sobre los limites x = a x = i. Si advierte que *,y\ son cons- 




a 


V 

\ 
\ 


tantes, se encuentra que 


A . 

Figura 25.17 
ca a lo largo de 
nea de carga es 
carga dq=\ dx. 





■ X ± 


J— X 


."■■> -'••<■-; ••.•,■.■!■•..- 




Jo Vx 2 + a 2 t Jo .^ x 2 + a 2 
Esta' integral tiene el siguiente valor (vease el apendice B): 
f dx ' 


x »| dx|«— 




Una If nea de carga uniforme, de longitud €, se ubi- 

eje x. Para calcular el potencial electrico en P, la li- 

dividida en segmentos, cada uno de longitud dxy con 




J Vx 2 + a 1 



EjEMPWvZi. 



Potencial electrico de una esfera con carga uniforme 



Una esfera solida aislante de radio R tiene una densidad de 
carga volumetrica positiva uniforme con carga total Q. a) 
Determine el potencial electrico en un punto fuera de la es- 
fera, es decir, en r > R Considere el potencial igual a cero en 



r= <x>. 



Solution En el ejemplo 24.5 se encontro que la magnitud 
del campo electrico afuera de una esfera con carga uniforme 
de radio R es , 






(para r> R) 



donde el campo esta dirigido radialmente hacia afuera cuan- 
do Qes positiva. En este caso, para obtener el potencial elec- 
trico en un punto exterior, como B en la figura 25.18, se usa 
la ecuacion 25.4 y la expresion para E T dada en li'neas anterio- 
res: 



V B = - E r dr = -k,Q ^ 

Jte Joe y 



V B = k e ^ (para r>.R) 

' • r * 

Observe que el resultado es identico a la expresion para el po- 
tencial electrico debido a una carga puntual (Ec. 25.11). 



En vista de que el potencial debe ser conunuo en r= R, se 
puede usar esta expresion para obtener el potencial en la su- 
perficie de la esfera. Esto es, el potencial en un punto como 
Cen la figura 25.18 es 



V c = k r 



(para r= R) 



b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfe- 
ra, es decir, para r<R 




Figura 25.18 Esfera aislante de radio R y cargada de manera uni- 
forme con una carga total Q. Los potenciales electricos en los puntos 
By C son equivalences a los producidos por una carga puntual Q_ ubi- 
cada en el centro de la esfera, pero esto no es cierto para el punto D. 



784 



CAPtTUL 25 Potential elfctrico 



Solution En el ejemplo 24.5 se encontro que el campo elec- 
trico dentro de una esfera aislante con carga uniforme es 

E ' = ¥r r (Para r<i?) 
R 3 

Se puede utilizar este resultado y la ecuacion 25.3 para eva- 
luar la diferencia de potencial V D - V c , en algun punto inte- 
rior Z>. 

Sustituyendo V c = k,Q/R dentro de esta expresion y al despe- 
jar V u , se obtiene 

Vd= w[ s -1p) ( P arar</?) (25 - 25) 

En r= R esta expresion proporciona.un resultado que con- 
cuerda con el potencial en la superficie, esto es, V c . En la fi- 
gure 25.19 se presenta una grafica de V contra r para esta dis- 
tribution de carga. 

Ejercido ,;Cuales son las magnitudes del campo electrico y 
del potencial electrico en el centre de la esfera? 



Respuesta E = 0; V = 2>k e Q/2R 



v 


3A,Q 
2R 




v D - 


2R v 


r 2 


— • 


\ Vb 


= M 




i >. 

i 

i 

i 

i 

l 





Figure 25.19 Grafica del potencial electrico V versus distancia r 
desde el centro de una esfera aislante con carga uniforme de radio 
R. La curva para V,, dentro de la esfera es parabolica y s." line suave- 
mente con la curva para V B en el exterior de la esfera. uue ci una hi- 
perbola. El potencial tiene un valor maximo V en el cemro de la es- 
fera. Se puede hacer esta grafica en tres dimensiones (parecida a las 
Figs. 25.7a y 25.8a) girandola alrededor del eje vertical. 



!-3j«ag^ss>. 



POTENCIAL ELECTRICO DEBIDO 
A UN CONDUQOR CARGADO 



En la section 24.4 se encontro que, cuando un conductor solido en equilibrio tiene 
una carga neta, la carga reside sobre la superficie exterior del conductor. Ademas, 
se mostro que el campo electrico afuera de la superficie de un conductor es perpen- 
dicular a la superficie y que el campo interior es cero. 

Ahora se mostrara que cada punto sobre la superficie de un cow ; rargado 
en equilibrio esta al mismo potencial electrico. Considere dos punu ->re la 

superficie de un conductor cargado, como se muestra en la figura u 2ti.&>. t>. so largo 
de la trayectoria de la superficie que une a estos puntos, E siempre es peipcndicu- 




S"j*m( x e 



Figura 25.20 Un conductor de forma arbitraria porta una carga po- 
sitiva. Cuando el conductor esta en equilibrio electrostatico, toda la car- 
ga reside en la superficie, E = dentro del conductor y la direccion de 
£justo afuera del conductor es perpendicular a la superficie. El poten- 
cial electrico es constante dentro del conductor y es igual al potencial' 
en la superficie. Advierta del espaciamiento de los signos mas que la 
densidad de carga superficial no es uniforme. 



^ 



25. 6 Potencial elSctric'o debido a un conductor cargado 



785 



lar al desplazamiento ds; por tanto, E • ds = 0. Con este resultado y la ecuacion 25.3 
se concluye que la diferencia de potencial entre Ay B necesariamente es cero: 



v B -v A = -\ B A 



E • ds = 



Este resultado se aplica a cualesquiera dos puntos sobre la superficie. Por tanto, V 
es constante en todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en 
equilibrio. Esto es, 

la superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio electrostatico es una 
superficie equipotencial. Ademas, puesto que el campo electrico es cero dentro 
del conductor, se concluye de la relation E r = -dV/dr, que el potencial electrico 
es constante en todos lados en el interior del conductor e igual a su valor en la 
superficie. 

Como esto es cierto para el potencial electrico, no se requiere trabajo para mover 
una carga de prueba del interior de un conductor cargado a su superficie. 

Considere una esfera conductors metalica solida de radio R y carga positiva to- 
tal Q, como se muestra en la figura 25.21a. El campo electrico fuera de la esfera es 
k t Q/r 2 y apunta radialmente hacia afuera. Siguiendo el ejemplo 25.8, se sabe que el 
potencial electrico en el interior y en la superficie de la esfera debe ser k,Q/R en 
relation con el infinite El potencial afuera de la esfera es k,Q/r. La figura 25.21b 
es una grafica del potencial electrico como una funcion de r, y la figura 25.21c mues- 
tra las variaciones del campo electrico con r. 

Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor esferico, la densidad de 
carga superficial es uniforme, como se indica en la figura 25.21a. Sin embargo, si el 
conductor no es esferico, como en la figura 25.20, la densidad de carga superficial 
es mas alta donde el radio de curvatura es pequeno y convexo (como se noto en la 
section 24.4) y baja donde el radio de curvatura es pequeno y la superficie es con- 
cava. Puesto que el campo electrico afuera de un conductor es proportional a la 
densidad de carga superficial, se ve que el campo electrico es mas grande cerca de 
puntos convexos que tienen pequenos radios de curvatura y alcanza valores muy al- 
tos en puntos afilados. 

La figura 25.22 muestra las lineas de campo electrico alrededor de dos conduc- 
tores esfericos: uno con una carga neta Qy uno mas grande con carga neta cero. En 
este caso la densidad de carga superficial no es uniforme sobre ninguno de los con- 
ductores. La esfera con carga neta cero tiene cargas negativas inducidas sobre su la- 
do que se encuentra frente a la esfera cargada, y cargas positivas inducidas sobre su 




Patron de campo electrico de una placa conductora cargada, co- 
locada cerca de un conductor puntiagudo con carga opuesta. Pe- 
quenos pedazos de hilo suspendidos en aceite se alinean con las 
lineas de campo electrico. El campo que rodea al conductor 
puntiagudo es mas intenso cerca del extremo en punta y en 
otros lugares donde el radio de curvatura es pequeno. (Cortesia 
de Harold M. Waage, Princeton University) 



La superficie de un conductor 
cargado es una superficie equipo- 
tencial 




Figura 25.21 a) El exceso de carga 
en una esfera conductora de radio R 
es uniformemente distribuida sobre 
su superficie. b) Potencial electrico 
versus la distancia rdesde el centro de 
la esfera conductora cargada. c) Mag- 
nitud de campo electrico contra dis- 
tancia r desde el centro de la esfera 
conductora cargada. 



786 



CAPlTUL 25 Potencial el&trico 




Figura 25.22 Li'neas de campo electrico (en rojo) alrededor de dos conductores esfericos. La esfe- 
ra pequena tiene una carga neta Q y la grande Dene una carga neta cero. Las curvas azules son seccio- 
nes transversales de superficies equipotenciales. 



lado opuesto a la esfera cargada. Las curvas azules en la figura representan las seccio- 
nes transversales de las superficies equipotenciales para esta configuration de carga. 
Como es usual, las lirieas de campo son perpendiculares a las superficies conducto- 
ras en todos los puntos, y las superficies equipotenciales son perpendiculares a las li- 
neas de campo en todo sitio. Intentar mover una carga positiva en la region de estos 
conductores seria como mover una canica sobre una colina que esta plana en su ci- 
ma (representado por el conductor a la izquierda) y tiene otra area plana n^.rcialmen- 
te hacia abajo del lado de la colina (representado por el conductor a la derecha). 



EjempuB 



Dos esferas cargadas unidas 



Dos conductores esfericos de radios r, y r 2 estan separados 
por una distancia mucho mayor que el radio de cualquiera de 
las esferas. Estas estan unidas por medio de un alambre con- 
ductor, como se ve en la figura 25.23. Las cargas sobre las es- 
feras en equilibrio son q x y ^> , respectivamente, y estan carga- 
das de manera uniforme. Encuentre la proportion de las 
magnitudes de los campos electricos en las superficies de 
las esferas. 

Solution ,Puesto que las esferas estan conectadas por un 
alambre conductor, deben estar al mismo potencial electrico: 



n r 2 




Por tanto, la razon de cargas es 



Figura 25.23 Dos conductores esfericos cargados conectados 
por un alambre conductor. Las esferas estan al mismo potencial elec- 
trico V. 



25. 6 Potencial ef6ctrico debido a un conductor cargado 



787 



1) 



3l 

?2 






En vista de que las esferas estan muy alejadas y sus superficies 
estan cargadas de manera uniforme, se puede expresar la 
magnitud de los campos electricos en sus superficies como 



£i = K-% 



c -2 K e 9 



Tomando la razon de estos dos campos, y utilizando la ecua- 
cion 1 ) , se encuentra que 



E, 



n 



Por consiguiente, el campo es mas intenso en la vecindad de 
la esfera mas pequena aun cuando los potenciales electricos 
de ambas esferas sean iguales. 



Una cavidad dentro de un conductor 

Considere ahora un conductor de forma arbitraria que contiene una cavidad, como 
se muestra en la figura 25.24. Suponga que no hay cargas dentro de la cavidad. En 
este caso el campo electrico dentro de la cavidad debe ser cerp, independientemen- 
te de la distribucion de carga sobre la superficie exterior del conductor. Ademas, el 
campo en la cavidad es cero, incluso si existe un campo electrico afuera del con- 
ductor. 

Para probar este punto aproveche el hecho de que todo punto sobre un con- 
ductor se encuentra al mismo potencial electrico y, por ello, dos puntos cualesquie- 
ra A y B sobre la superficie de la cavidad deben estar al mismo potencial. Imagine 
ahora que el campo E existe en la cavidad, y evaliie la diferencia de potencial V B — 
V A definida por la ecuacion 25.3: 



V B -V A 



-/: 



E - ds 



Si E es diferente de cero, siempre puede existir una trayectoria entre Ay B para la 
cual E -ds sea un numero positivo; por tanto, la integral debe ser positiva. Sin em- 
bargo, puesto que V B — V A = 0, la integral de E • ds debe ser cero para todas las tra- 
yectorias entre cualesquiera dos puntos sobre el conductor, lo cual implica que E es 
cero en todas partes. Esta contradiction puede reconciliarse solo si E = dentro de 
la cavidad, Asi, se concluye que una cavidad rodeada por paredes conductoras es una 
region libre de campo siempre y cuando no haya cargas dentro de la cavidad. 

Descarga en corona 

Un fenomeno conocido como descarga en corona se observa cerca de un conduc- 
tor tal como una h'nea de potencia de alto voltaje. Cuando el campo electrico en la 
vecindad del conductor es suficientemente intenso, las moleculas de aire son despo- 
jadas de electrones. Esto provoca que las moleculas se ionicen, con lo cual se incre- 
menta la capacidad conductora del aire. El brillo observado (o descarga de corona) 
resulta de la recombinacion de los electrones libres con las moleculas de aire ioni- 
zadas. Si un conductor tiene una forma irregular, el campo electrico puede ser muy 
alto cerca de puntos o bordes filosos del conductor; en consecuencia, es mas proba- 
ble que ocurran el proceso de ionizacion y la descarga en corona alrededor de tales 
puntos. 




Figura 25.24 Un conductor en 
equilibrio electrostatico que contiene 
una cavidad. El campo electrico en la 
cavidad es cero, sin importar la carga 
sobre el conductor. 



Pregunta sorpresa 25.4 



a) <;Es posible que la magnitud del campo electrico sea cero en una posicion donde el po- 
tencial electrico no es cero? b) jEl potencial electrico puede ser cero donde el campo elec- 
trico sea diferente de cero? 



788 



CAPITUL025 Potential el&trico 



Seccion opcionat 

EL EXPERIMENTO DE LA GOTA OE ACEITE DE MILLIKAN 



v^ 



;? 



Durante el periodo que va de 1909 a 1913, Robert Millikan desarrollo un brillante 
conjunto de experimentos en los cuales midio e, la carga elemental en un electron, 
y demostro la naturaleza cuantizada de esta carga. El aparato utilizado por Millikan, 
representado por el esquema en la figura 25.25, incluye dos placas metalicas parale- 
las. Gotas de aceite cargadas que salen de un atomizador pasan a traves de un pe- 
quefio agujero en la placa superior. Un haz luminoso dirigido horizontalmente (no 
mostrado en el diagrama) se usa para iluminar las gotas de aceite, las cuales se ob- 
servan mediante un telescopio cuyo eje esta en angulo recto con el haz de luz. Cuan- 
do las gotas se ven de esta manera, aparecen como estrellas brillantes contra un 
fondo oscuro, y se puede determinar la rapidez de caida de las gotas individuales. 4 

Suponga que se esta observando una gota individual de masa m, que tiene una 
carga q, y que su carga es negativa. Si no hay campo electrico presente entre las pla- 
cas, las dos fuerzas que actiian sobre la carga" son la gravedad m§, que actua hacia 
abajo, y la fuerza de arrastre viscosa hacia arriba F^, como se indica en la figura 
25.26a. La fuerza de arrastre es proporcional a la rapidez de la gota. Cuando la go- 
ta alcanza su rapidez terminal v, las dos fuerzas se equilibran entre sf (mg= F D ). 

Suponga ahora que un campo electrico se establece entre las placas al conectar 
una.bateria de manera tal que la placa superior esta a un potential electrico mas al- 
to. En este caso una tercera fuerza ^E actua en la gota cargada. Puesto que q es ne- 
gativa y E es hacia abajo, esta fuerza electrica esta dirigida hacia arriba, como se mues- 
tra en la figura 25.26b. Si esta fuerza es sufkientemente grande, la gota se mueve ha- 
cia arriba y la fuerza de arrastre F u ' actua hacia abajo. Cuando la fuerza electrica 
hacia arriba ^E equilibra la suma de la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre ha- 
cia abajo F fl ', la gota alcanza una'nueva rapidez terminal v' en direction ascendente. 

Con el campo activado una gota se mueve lentamente hacia arriba, a rapidez ca- 
racteristica de centesimas de centfmetro por segundo. La rapidez de cafda en ausen- 
cia de un campo es comparable. Por consiguiente, uno puede observar durante ho- 
ras como una gota individual asciende y cae de manera alternada, activando y 
desactivando el campo electrico. 



vmg 
a) Campo desactivado 



t 
\ 



mgy 



b) Campo activado 



Figura 25.26 Fuerzas que actuan 
sobre una gota de aceite cargada ne- 
gativamente en el experimento de Mi- 
llikan. 



Gotas de aceite 



• A-,. 



Atomizador 



Agujero * . 
Bateria dealfiler • • . 




Telescopio 



Figura 25.25 Diagrama esquematico del aparato de la gota de aceite de Millikan. 



4 Durante algun tiempo las gotas de aceite se denominaron "Estrellas brillantes de Millikan". Quiza es- 
ta descripcion se haya vuelto menos popular debido a que generaciones de estudiantes de flsica han 
experimentado alucinaciones, han estado cerca de la ceguera, han sufrido dolores de cabeza, y cosas 
por el estilo, jmientras repiten el experimento de Millikan! 



25. 8 Aplicaciones de la electrostatica 



789 



Despues de hacer mediciones sobre miles de gotas, Millikan y sus colaboradores 
encontraron que todas las gotas, hasta dentro de una precision de aprqximadamen- 
te 1%, tenfan una carga igual a un multiplo entero de la carga elemental e: 

q= ne n= 0, -1, -2, -3, . . . 

donde e= 1.60 x 10" 19 C. El experimento de Millikan establece evidencia concluyen- 
te de que la carga esta cuantizada. Por este trabajo Millikan fue honrado con el Pre- 
mio Nobel de Fisica en 1923. 



Seed on optional 



&2SI&Q* APLICACIONES DE LA ELECTROSTATICA 



La aplicacion practica de la electrostatica esta represehtada por dispositivos como 
barras luminosas y precipitadores electrostaticos, asi como por la xerografla y la pin- 
tura de automoviles. Los dispositivos cienu'ficos basados en los principios de la elec- 
trostatica incluyen generadores electrostaticos, el microscopio de campo-ion y los 
motores cohetes conducidos por iones. 



\ 



El generador Van de Graaff 



11.10 



En la section 24.5 se describio un experimento que demuestra un metodo para 
transferir carga a un' conductor hueco (el experimento del balde de hielo de Fara- 
day) . Cuando un conductor cargado se pone en contacto con el interior de un con- 
ductor hueco, toda la carga del primer conductor se transfiere al conductor hueco. 
En principio, la carga en el conductor hueco y su potencial electrico pueden incre- 
mentarse sin limite repitiendo el proceso. 

En 1929 Robert J. Van de Graaff (1901-1967) utilizo este principio para diseriar 
y construir un generador electrostatico. Este tipo de generador se usa de manera ex- 
tensa en la investigation de fisica nuclear. Una representation esquematica del ge- 
nerador se presenta en la figura 25.27. Se entrega carga de manera continua a un 
electrodo de alto voltaje mediante una banda movil de material aislante. El electro- 
do de alto voltaje es un conductor hueco mqntado sobre una columna aislante. La 
banda se carga en A por medio de una descarga en corona entre las agujas metali- 
cas similares a un peine y la rejilla conectada a tierra. Las agujas se mantienen a un 
potencial positivo tipico de 10 4 V. La carga positiva sobre la banda movil se transfie- 
re al conductor hueco por medio de un segundo peine de agujas en el punto B. 
Puesto que el campo electrico dentro del conductor hueco es despreciable, la carga 
positiva sobre la banda se transfiere facilmente al conductor sin tomar en cuenta su 
potencial. En la practica es posible aumentar el potencial electrico de un conductor 
hueco hasta que la descarga electrica ocurra a traves del aire. Puesto que el campo 
electrico "de ruptura" en el aire es aproximadamente 3 x 10 6 V/m, una esfera de 
1 m de radio puede elevarse a un potencial maximo de 3 x 10 6 V. El potencial pue- 
de aumentarse aun mas al incrementar el radio del conductor hueco y al poner 
todo el sistema en un recipiente lleno con un gas a presion elevada. 

Los generadores Van de Graaff pueden producir diferencias de potencial tan al- 
tas como 20 millones de volts. Los protones acelerados a traves de estas diferencias 
de potencial tan grandes reciben suficiente energia para iniciar reacciones nuclea- 
res entre ellos mismos y varios nucleos bianco. En museos y laboratorios en las es- 
cuelas se pueden ver pequenos generadores. Si una persona aislada de tierra toca la 
esfera de un generador Van de Graaff, su cuerpo puede alcanzar un gran potencial 
electrico. El cabello adquiere una carga positiva neta y cada mechon es repelido por 
todos los demas. El resultado es una escena tal como la que se muestra en la foto- 
grafia al principio de este capitulo. Ademas de estar aislada de tierra, la persona que 



Conductor hueco 



Banda 



Rejilla 
aterrizada 




Aislant 



Tierra ~ 

Figura 25.27 Diagrama esquemati- 
co de un generador Van de Graaff. 
La carga es transferida al conductor 
hueco en la parte superior mediante 
una banda movil. La carga se deposi- 
ta sobre la banda en el punto A y se 
transfiere al conductor hueco en el 
punto B. 



790 



CAPI'TULO 25 Potencial el&trico 



sostiene la esfera esta segura en esta demostracion porque la carga total sobre la es- 
fera es muy pequena (del orden de 1 fiC) . Si esta cantidad de carga pasara acciden- 
talmente de la esfera a la tierra a traves de la persona, la corriente correspondiente 
no lastimaria. 



Experimento 

Espolvoree algo de sal y pimienta so- 
bre un plato y mezclelos. Ahora pase 
un peine a traves de su cabello varias 
veces y acerquelo a 1 cm de la mez- 
da de sal y pimienta. jQue ocurre? 
jComo se relaciona este suceso con 
la operation de un precipitador 
electrostatico? 



El precipitador electrostatico 

Una importante aplicacion de la descarga electrica en gases es el precipitador electros- 
tatico. Este aparato se utiliza para eliminar particulas de materia de los gases de com- 
bustion, reduciendo de ese modo la contaminacion del aire. Los precipitadores'son 
especialmente utiles en las centrales carboelectricas y en operaciones industrials 
que generan grandes cantidades de humo. Los sistemas actuales son capaces de eli- 
minar mas del 99% de la ceniza del humo. 

La figura 25.28a muestra un diagrama esquematico de un precipitador electros- 
tatico. Se mantiene una alta diferencia de potencial (por lo comun de 40 a 100 kV) 
entre el alambre que corre hacia abajo por el centro de un ducto y las paredes del 
mismo, la cual esta conectada a tierra. El alambre se mantiene a un potencial elec- 
trico negativo respecto de las paredes, de modo que el campo electrico esta dirigi- 
do hacia el alambre. El campo electrico cerca del alambre alcanza valores suficien- 
temente altos para producir una descarga en corona alrededor del alambre; la 
descarga ioniza algunas moleculas de aire para formar iones positivos, electrones y 
iones negativos como 2 ~. El aire a ser limpiado ingresa al ducto y se mueve cerca 
del alambre. Cuando los electrones y los iones negativos creados por la descarga se 
aceleran hacia la pared exterior por medio de un campo electrico, las particulas de 
polvo en el aire se cargan a partir de los choques y la captura de iones. Puesto que 
la mayor parte de las particulas de polvo cargadas son negativas, pueden ser extrai- 
das hacia la pared exterior mediante un campo electrico. Al sacudir el ducto de ma- 
nera periodica, las particulas se desprenden, caen y se colectan en el fondo. 



Aislante 




Salida de 
aire limpio 



Entrada 
de aire sucio 1 



Peso 




b) 



c) 



Figura 25.28 a) Diagrama esquematico de un precipitador electrostatico. El elevado potencial elec- 
trico negativo mantenido sobre el alambre enrollado central crea una descarga electrica en la vecin- 
dad del mismo. Compare la contaminacion del aire cuando el precipitador electrostatico esta b) ope- 
rando y c) apagado. (b, Rei O'Hara/Black Star/PNI; c, Greig Cranna Stock, Boston/PNI) 



25. 8 Aplicaciones de la electrostatics 



791 



Ademas de reducir el nivel de particulas de materia en la atmosfera (compare 
las figuras 25.28b y c), el precipitador electrostatico recupera materiales valiosos en 
forma de oxidos metalicos. 

Xerografia e impresoras laser 

La idea basica del proceso de xerografia 5 fue desarrollada por Chester Carlson, 
quien por ello obtuvo una patente para el proceso xerografico en 1940. La princi- 
pal idea que hace unico al proceso es el empleo de un material fotoconductor para 
formar una imagen. (Un fotoconductor es un material que es mal conductor en la os- 
curidad pero que se vuelve un buen conductor electrico cuando se expone a la luz.) 
El proceso xerografico se ilustra en la figura 25.29a a d. Primero se recubre la 
superficie de una placa o tambor con una pelicula delgada del material fotoconduc- 
tor (en general, selenio o algiin compuesto de selenio) , y se le proporciona una car- 
ga electrostatica positiva en la oscuridad. La imagen de la ; pagina que se va a copiar 
se proyecta entonces, con una lente, sobre la superficie cargada. La superficie foto- 
conductora se vuelve conductora solo en areas donde la luz incide. En estas areas la' 
luz produce portadores de carga en el fotoconductor, los cuales mueven la carga po- 
sitiva del tambor. Sin embargo, las cargas positivas permanecen en aquellas areas del 




Tambor cubieno 
de selenio 

a) Cargando el tambor 




La luz provoca que algunas 
areas del tambor se vuelvan 
electricamente conductoras 
rue ^yeliminen carga positiva 




b) Reflejando el documento. 



Toner 
cargado 
negativamente 
c) Aplicacion de toner 




Patron entrelazado 
de lineas laser 




d) Transferencia de 
toner al papel 



e) Tambor de impresora laser 



Figura 25.29 El proceso de xerografia: a) La superficie fotoconductiva del tambor se carga positiva- 
mente. b) Mediante el uso de una fuente de luz y lentes, una imagen se forma sobre la superficie en 
la forma de cargas positivas. c) La superficie que contiene la imagen se cubre con un polvo con carga 
negativa, el cual se adhiere solo al area de la imagen. d) Un pedazo de papel se coloca sobre la super- 
ficie y se le da una carga positiva. Esto transfiere la imagen al papel conforme las particulas del polvo 
cargado negativamente emigran al papel. Luego el papel se trata con calor para "fijar" el polvo. e) Una 
impresora laser opera de manera similar, excepto que la imagen se produce al hace'r que un rayo laser 
se encienda y apague conforme barre un tambor cubierto de selenio. 



5 El prefijo xero- es una palabra griega que significa "seco". Advierta que no se usa tinta liquida en nin- 
guna parte de la xerografia. 



792 . CAPfTUL0 25 Potencial elfictrico 



fotoconductor no expuestas a la luz, lo que deja una imagen latente del objeto en 
la forma de una distribution de carga superficial positiva. 

Luego, un polvo con carga negativa llamado toner se esparce sobre la superficie 
fotoconductora. El polvo cargado se adhiere solo a aquellas areas de la superfi- 
cie que contienen la imagen con carga positiva. En este punto la imagen se vuelve 
visible. El toner (y, por tanto, la imagen) se transfiere despues a la superficie de una 
hoja de papel cargado positivamente. 

Por ultimo, el toner se "fija" a la superficie del papel conforme el toner se fun- 
de mientras pasa a traves de cilindros a alta temperatura. Esto produce una copia 
permanente del original. 

Una impresora laser (Fig. 25.29e) opera por el mismo principio, con la excep- 
tion de que se usa un rayo laser dirigido por computadora para iluminar el fotocon- 
ductor, en lugar de una lente. 



Resumen 

Cuando una carga de prueba positiva q se mueve entre los puntos A y B en un cam- 
po electrico E, el cambio en la energia potencial es 



=•-4. 



AU = rqo\ E • ds (25.1) 

El potencial electrico V= U/q es una cantidad escalar y tiene unidades de joules por 
coulomb (J/C), donde 1 J/C = 1 V. 

La diferencia de potencial A Ventre los puntos A y B en un campo electrico E 
se define como 

• At/ f B 
AV = = - Eds (25.3) 

?o . jA 

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo elecjrico uni- 
forme E es 

AV=-Ed (25.6) 

donde d es la magnitud del desplazamiento en la direction paralela a E. 

Una superficie equipotencial es aquella en la cual todos los puntos estan al mis- 
mo potencial electrico. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las lf- 
neas de campo electrico. 

Si se define V= en r A = <», el potencial electrico debido a una carga puntual a 
cualquier distancia r de la carga es 

y = K~: (25.11) 

Se puede obtener el potencial electrico asociado con un grupo de cargas puntuales 
al sumar los potenciales debidos a las cargas individuales. 

La energia potencial asociada con un par de cargas puntuales separadas por una 
distancia r 12 es 

U = k r ^- (25.13) 

'12 

Esta energia representa el trabajo requerido para llevar las cargas desde una separa- 
tion infinita hasta una separation r 12 . La energia potencial de una distribution de 
cargas puntuales se obtiene sumando terminos como la ecuacion 25.13 sobre todos 
los pares de particulas. 



Resumen 



793 



tabla 25.1 Potential electrico debido a varias distribuciones de carga 
Distribution de carga Potential electrico Ubicaaon 



Anillo de radio a cargado 
de manera uniforme 



Disco de radio a 
cargado de manera 
uniforme 



Esfera solida aislante de 
radio /?, cargada de 
manera uniforme con 
una carga total Q 

Esfera conductora 
aislada, de radio R 
y carga total Q_ 



V = k e 



V* 2 + a 2 



V = 2irft,a[(x 2 + a 2 )" 2 - x] 



r 



2R I R 2 



V = k.Q- 



R 



A lo largo del eje central 
perpendicular del 
anillo, a una distancia x 
del centro del anillo 

A lo largo del eje central 
perpendicular del disco, 
a una distancia x del 
centro del disco 

r > R 
r< R 



r> R 

r< R 



Si se conoce el potential electrico como una funcion de las coordenadas x, y, z, 
las componentes del campo electrico pueden obtenerse tomando la derivada nega- 
tiva del potential 'electrico respecto de las coordenadas. Por ejemplo, la componen- 
te x del campo electrico es 



E, =- 



dV 
dx 



(25.16) 



El potential electrico debido a una distribucion de carga continua es 

V = k <}7' (25 - 19) 

Todo punto sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electros- 
tatico se encuentra al mismo potential electrico. El potential es constante en todos 
los puntos dentro del conductor e igual a su valor en la superficie. 

La tabla 25.1 registra potenciales electricos debidos a varias distribuciones de 
carga. 



Sugerencias para resolver problemas 

Calculo del potential electrico 

• Recuerde que el potential electrico es una cantidad escalar, por tanto, no 
hay que preocuparse por componentes. En consecuencia, al usar el princi- 
pio de superposition para evaluar el potential electrico en cualquier punto 
debido a un sistema de cargas puntuales, simplemente se toma la suma al- 
gebraica de los potenciales debidos a las varias cargas. Sin embargo, es ne- 
cesario que cuide los signos. El potential es positivo para cargas positivas, y 
negativo para cargas negativas. 



794 



CAPlTUL 25 Potencial el&trico 



• Al igual que con la energia potencial gravitational en mecanica, solo los cam- 
bios en el potencial electrico son importantes; por tanto, el punto dpnde se 
elige el potencial igual a cero es arbitrario. Cuando se trabaje con cargas pun- 
tuales o una distribution de carga de tamano finito, suele definirse V= en 
un punto infinitamente alejado de las cargas. 

• El potencial electrico en algiin punto P debido a una distribution continua 
de carga puede evaluarse al dividir la distribution de carga en elementos in- 
finitesimales de carga dq localizados a una distancia r desde el punto P. Des- 
pues se trata este elemento de carga como una carga puntual, de manera 
que el potencial en P debido al elemento es dV= K e dq/r. El potencial total 
en?se obtiene al integrar dV sobre toda la distribution de carga. Al reali- 
zar la integration en la mayor parte de los preblemas es necesario expresar 
dq y r en funcion de una sola variable. Para simplificar la integration consi- 
dere con cuidado la geometria implicada en el problema. Revise los ejem- 
plos del 25.5 al 25.7 como guias. 

• Otro metodo que puede emplearse para obtener el potential electrico de- 
bido a una distribution de carga continua y finita es empezar con la defini- 
tion de diferencia de potencial dada por la ecuacion 25.3. Si E se conoce o 
puede obtenerse con facilidad (de la ley de Gauss), entonces usted puede 
evaluar la integral de linea E • ds. Un ejemplo de este metodo se proporcio- 
na en el ejemplo 25.8. 

• Una vez que conozca el potencial electrico en un punto, podra obtener el 
campo electrico en dicho punto recordando que la componente del campo 
electrico en una direction especifica es igual al negativo de la derivada del 
potencial electrico respecto de esa direccion. El ejemplo 25.4 ilustra este 
procedimiento. : 



Preguntas 



1. Establezca la distincion entre potencial electrico y energia 
potencial electrica. 

2. Una carga negativa se mueve en direccion de un campo 
electrico uniforme. jLa energia potencial de la carga au- 
menta o disminuye? <:Esta se mueve a una posici6n de po- 
tencial mayor o menor? 

[3i| Proporcione una explication fisica del hecho de que la 
energia potencial de un par de cargas iguales es positiva 
mientras que la potencial de un par de cargas diferentes 
es negativa. 

4. Un campo electrico uniforme es paralelo al eje x. £En que 
direccion puede desplazarse una carga en este campo sin 
que se haga riingtin trabajo externo sobre la misma? 

5. Explique por que las superficies equipotenciales son siem- 
pre perpendiculares a las lineas de campo electrico. 

6. Describa las superficies equipotenciales para a) una linea 
infinita de carga y b) una esfera con carga uniforme. 

7. Explique por que, en condiciones estaticas, todos los pun- 
tos en un conductor deben estar al mismo potencial elec- 
trico. 

8. El campo electrico dentro de una esfera hueca con carga 
uniforme es cero. ^Esto significa que el potencial es cero 
en el interior de la esfera? Explique. 



9. El potencial de una carga puntual se define igual a cero a 
una distancia infinita. {Por que no se puede definir el po- 
tencial de una linea de carga infinita igual a cero en 
r— oo? 

10. Dos esferas conductoras cargadas de diferentes radios se 
conectan por medio de un alambre conductor, como se 
muestra en la figura 25.23. jCual de las esferas tiene la ma- 
yor densidad de carga? 

11. iQue determina el maximo potencial al cual el domo de 
un generador Van de Graaff puede aumentarse? 

12. Explique el origen del brillo que se observa algunas veces 
alrededor de los cables de alto voltaje de una linea de 
transmision electrica. 

13. iPor que es importante evitar los bordes o puntos afilados 
sobre los conductores utilizados en equipo de alto voltaje? 

14. jComo protegeria un circuito electronico o laboratorio de 
campos electricos parasitos? ^Por que funciona esto? 

15. iPor que es relativamente seguro permanecer en un auto- 

movil con una carroceria metalica durante una intensa 
tormenta electrica? 

16. Caminar sobre la alfombra y despues tocar a alguien pue- 

de producir una descarga electrica. Explique por que ocu- 
rre lo anterior. 



Problemas 



795 



Problemas 

1, 2, 3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solution' completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solution disponible en http://ww.saunderscollege.com/physics/ J^l = use computadora para resolver el problema flfa = Ffsica 

interactiva | J = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seccion 25.1 Diferencia de potencial y potencial electrico 

1. jCuanto trabajo se realiza (por una bateria, generador u 
otra fuente de energia electrica) al mover un numero de 
Avogadro de electrones a partir de un punto inicial don- 
de el potencial electrico es 9.00 V hasta un punto don- 
de el potencial es -5.00 V? (El potencial en cada caso se 
mide en relation con un punto de referencia comiin.) 

2. Un ion acelerado mediante una diferencia de potencial 
de 115 V experimenta un aumento en su energia cineti- 
ca de 7.37 x 10" !7 J. Calcule la carga en el ion. 

[371 a) Calcule la rapidez de un proton que es acelerado des- 
de el reposo a traves de una diferencia de potencial de 
120 V. b) Calcule la rapidez de un electron que se acele- 
ra a traves de la misma diferencia de potencial. 

4. Problema de repaso. ^A traves de que diferencia de po- 
tencial se necesitaria acelerar un electron para que al- 
canzara el 40% de la rapidez de la luz empezando desde 
el reposo? La rapidez de la luz es c = 3.00 x 10 8 m/s; re- 
vise la seccion 7.7. 

5. jQue diferencia de potencial se necesita para frenar un 
electron que tiene una rapidez inicial de 4.20 x 10 5 m/s? 



Seccion 25.2 



Diferencias de potencial en un 
campo electrico uniforme 



7. 



8. 



6. Un campo electrico uniforme de 250 V/m de magnitud 
esta dirigido en la direccion x positiva. Una carga de 
+12.0 /xC se mueve desde el origen hacia el punto (x, y) = 
(20.0 cm, 50.0 cm), a) jCual fue el cambio en la ener- 
gia potencial de esta carga? b) jA traves de que diferen- 
cia de potencial se moviola carga? 
La diferencia en potencial entre las placas aceleradoras 
de una TV es de casi 25 000 V. Si la distancia entre di- 
chas placas es de 1.50 cm, encuentre la. magnitud del 
campo electrico uniforme en esta region. 
Suponga que un electron es liberado desde el reposo 
en un campo electrico uniforme cuya magnitud es de 
5.90 x 10 3 V/m. a) jA traves de que diferencia de poten- 
cial habra pasado despues de moverse 1.00 cm? b) £Cuan 
rapido estara moviendose el electron despues de que ha- 
ya viajado 1.00 cm? 
web [97] Un electron que se mueve paralelo al eje x tiene una ra- 
pidez inicial de 3.70 x 10 6 m/s en el origen. Su rapi- 
dez se reduce a 1.40 x 10 5 m/s en el punto x= 2.00 cm. 
Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este 
punto. £Cual punto esta a mayor potencial? 
10. Un campo electrico uniforme de 325 V/m de magnitud 
esta dirigido en la direccion y negativa, como se muestra 
en la figura P25.10. Las coordenadas del punto A son 
(-O.200, -0.300) m, y las del punto B son (0.400, 0.500) m. 
Calcule la diferencia de potencial V B - V^ usando la tra- 
yectoria azul. . 



12. 



3 


t 






I 




A 




i 




t / 
X / 

A 
















E 







Figura P25.10 



Un bloque de 4.00 kg con una carga Q = 50.0 /aC se co- 
necta a un resorte para el cual k = 100 N/m. El bloque 
esta sobre una pista horizontal sin friccion, y el sistema 
esta inmerso en un campo electrico uniforme de magni- 
tud E— 5.00 x 10 5 V/m, dirigido como se indica en la fi- 
gura P25.ll. Si el bloque se suelta desde el reposo cuan- 
do el resorte esta sin estirar (en x = 0) , a) ^cual es la 
cantidad maxima a la que se alarga el resorte? b) ^Cual 
sera la posicion de equilibrio del bloque? c) Muestre que 
el movimiento del bloque es armonico simple y determi- 
ne su periodo. d) Repita el inciso a) si el coeficiente de 
friccion cinetica entre el bloque y la superficie es 0.200. 
Un bloque de masa m y carga Q se conecta a un resorte 
de constante k. El bloque esta sobre una pista horizontal 
sin friccion y el sistema esta inmerso en un campo elec- 
trico uniforme de magnitud E, dirigido como se indica 
en la figura P25.ll. Si el bloque se suelta desde el repo- 
so cuando el resorte esta sin estirar (en * = 0) , a) jen que 
cantidad maxima se alarga el resorte? b) jCual sera la 
posicion de equilibrio del bloque? c) Muestre que el mo- 
vimiento del bloque es armonico simple y determine su 
periodo. d) Repita el inciso a) si el coeficiente de fric- 
cion cinetica entre el bloque y la superficie es ju*. 




c = 



Figura P25.ll Problemas 11 y.12. 



796 



CAPfTULO 25 Potencial el&trico 



La aceleracion debido a la gravedad del planeta Tehar es 
igual que la de la Tierra, pero en Tehar hay tambien un 
intenso campo electrico que apunta hacia abajo y es uni- 
forme cerca de la superficie del planeta. Una bola de 
2.00 kg que tiene una carga de 5.00 fiC se lanza hacia 
arriba a una rapidez de 20.1 m/s y golpea el suelo des- 
pues de un intervalo de 4.10 s. <;Cual es la diferencia de 
potencial entre el punto de initio y el punto mas alto 
de la trayectoria? 

Una barra aislante que tiene una densidad de carga li- 
neal X = 40.0 /xC/m y densidad de masa lineal ix = 
0.100 kg/m se suelta desde el reposo en un campo elec- 
trico uniforme E = 100 V/m dirigida en forma perpen- 
dicular a la barra (Fig. P25.14). a) Determine la rapidez 
de la barra despues de que esta se ha desplazado 2.00 m. 
b) jComo cambia su respuesta al inciso a) si el campo 
electrico no es perpendicular a la barra? Explique. 



do la cuerda forma un angulo 9 = 60.0° con uri campo 
electrico uniforme de magnitud E = 300 V/m. Determi- 
ne la rapidez de la partfcula cuando la cuerda es parale- 
la al campo electrico (punto a en la figura P25.15). 

Section 25.3 Potencial electrico y energia potencial 
debidos a cargas puntuales 

Noteu a menos que se establezca de otro modo, suponga un ni- 
vel de referenda de potencial V=0enr=». 

16. a) Encuentre el potencial a una distancia de 1.00 cm de 
un proton, b) jCual es la diferencia- de potencial entre 
dos puntos que estan a 1.00 cm y 2.00 cm de un proton? 
c) Repita las partes a) y b) para un electron. 

17. Dadas dos cargas de 2.00 fiC, como se muestra en la fi- 
gura P25.17, y una carga de prueba positiva q = 1.28 x 
10~ 18 C en el origen, a) jcual es la fuerza neta ejercida so- 
bre q por las dos cargas de 2.00 /tC? b) <:Cual es el cam- 
po electrico en el origen debido a las dos cargas de 2.00 
/xC? c) iCual es el potencial electrico en el origen debi- 
do a las dos cargas de 2.00 /xC? 



2.00 /iC | ? 2.00 nC 



x = -0.800 m x = 0.800 m 
Figura P2S.17 



Figura P25.14 



Una partfcula que tiene carga q = +2.00 /xC y masa m = 
0.010 kg esta conectada a una cuerda cuya longitud es 
L = 1 .50 m y que a su vez esta amarrada al punto pivote 
Pque se ve en la figura P25.15. La partfcula, la cuerda y 
el punto de pivote todos se encuentran sobre una mesa 
horizontal. La partfcula se suelta desde el reposo cuan- 




Vista superior 
Figura P25.15 



IS. Una carga +q se encuentra en el origen. Una .carga —2q 
esta eh x = 2.00 m sobre el eje x. jPara que valor(es) fi- 
nito(s) de x es a) el campo electrico cero?, b) el poten- 
cial electrico cero? 

IT9] EI modelo de Bohr del atomo de hidrogeno establece 
que el electron puede existir solo en ciertas orbitas per- 
mitidas alrededor del proton. El radio de cada orbita de 
Bohr es r= »j 2 (0.052 9 nm) donde n= 1, 2, 3, . . . Calcu- 
le la energia potencial electrica de un atomo de hidro- 
geno cuando el electron esta en a) la primera orbita per- 
midda, n = 1; b) la segunda orbita permioda, n = 2; y c) 
cuando el electron ha escapado del atomo (r= °°). Ex- 
prese sus respuestas en electron volts. 

20. Dos cargas puntuales, (?, = +5.00 nC y Q 2 = -3.00 nC, es- 
tan separadas 35.0 cm. a) {Cuil es la energia potencial 
del par? jCual es la importancia del signo algebraico de 
su respuesta? b) jCual es el. potencial electrico en un 
punto a la mitad entre las cargas? 

121 J Las tres cargas de la figura P25.21 estan en los vertices 
de un triangulo isosceles. Calcule el potencial electrico 
en el punto medio de la base, considerando q = 7.00 ju.C. 

22. Compare este problema con el problema 55 del capitulo 23. Cua- 
tro cargas puntuales idenucas (q= +10.0 /xC) estan ubi- 
cadas en las esquinas de un rectangulo, como se mues- 
tra en la figura P23.55. Las dimensiones del rectangulo 
son L= 60.0 cm y W= 15.0 cm. Calcule la energia poten- 
cial electrica de la carga en la esquina inferior izquierda 
debida a las otras tres cargas. 



Problemas 



797 




-? 



2.00 cm 



chocan? (Sugerencia: considere la conservacion de la 
energia y la del momento lineal.) b) Si las esferas fuesen 
conductoras, £la rapidez serfa mayor o menor que la 
calculada en la parte a)? 

29. Un pequeno objeto esferico tiene una carga de 8.00 nC. 
lA que distancia desde el centro del objeto el potencial 
es igual a 100 V? £50.0 V? £25.0 V? £E1 espaciamiento de 
las equipotenciales es proportional al cambio en el po- 
tencial? 

30. Dos cargas puntuales de igual magnitud se localizan a lo 
largo del eje y a distancias iguales sobre y debajo del eje 
x, como se muestra en la figura P25.30. a) Dibuje una 
grafica del potencial en puntos a lo largo del eje x sobre 
el intervalo -3a < x < 3a Debe graficar el potencial en 
unidades de k,Q/ a. b) Deje que la carga localizada en 
-a sea negativa y grafique el potencial a lo largo del eje 
y sobre el intervalo -4a < y < 4a. 



Figura P25.21 



wtt |23] Demuestre que la cantidad de trabajo necesario para 
agrupar cuatro cargas puntuales identicas de magnitud 
Qen las esquinasdeun cuadradode lado ses5.41/s,Q 2 /-S- 
~2~. Compare este problema con el problema 18 del capitulo 23. Dos 
cargas puntuales, cada una de 2.00 /zC de magnitud, es- 
tan colocadas en el eje x. Una esta en x - 1.00 m, y la 
otra esta en x= -1.00 m. a) Determine el potencial elec- 
trico sobre el eje y en y = 0.500 m. b) Calcule la energia 
potencial electrica de una tercera carga, de -3.00 /nC, 
ubicada sobre el eje y en y = 0.500 m. 

25. Compare este problema con el problema 22 del capitulo 23. ■ 
Cinco cargas puntuales negativas iguales -q estan coloca- 
das simetricamente alrededor de un cfrculo de radio R. 
Calcule el potencial electrico en el centro del circulo. 

26. Compare este problema con el problema 17 del capitulo 23. Tres 
cargas positivas iguales q estan ubicadas en las esquinas 
de un triangulb equilatero de lado a, como se muestra 
en la figura P23.17. a) jEn que punto, si es que existe al- 
guno, en el piano de las cargas el potencial electrico es 
cero? jCual es el potencial electrico en el punto P debi- 
do a las dos cargas en la base del triangulo? 

27. Problema de repaso. Dos esferas aislantes con radios 
de 0.300 cm y 0.500 cm, masas de 0.100 kg y 0.700 kg y 
cargas de -2.00 fiC y 3.00 fiC se liberan desde el reposo 
cuando sus centros estan separados 1.00 m. a) jA que ve- 
locidad se mueve cada una cuando chocan? (Sugerencia: 
considere la conservacion de la energia y la del momen- 
to lineal.) b) Si las esferas fuesen conductoras, <:la rapi- 
dez serfa mayor o menor que la calculada en la parte a)? 
Explique. 

28. Problema de repaso. Dos esferas aislantes con radios r, 
y r 2 , masas m, y r» 2 y cargas -q-i y q 2 se liberan desde el 
reposo cuando sus centros estan separados por una dis- 
tancia d. a) (A que velocidad se mueve cada una cuando 



Q>0 



Lis 



Figura P25.30 



En los famosos experimentos de dispersion de Ruther- 
ford, que llevaron al modelo planetario del atomo, las 
partfculas alfa (carga +2e, masa = 6.64 x 10" 27 kg) fueron 
disparadas a un nucleo de oro (carga +79«) . Una particu- 
la alfa, al principio muy alejada del nucleo de oro, se dis- 
para a una velocidad de 2.00 x 10 7 m/s directamente ha- 
cia el centro del nucleo. jQue tanto se acerca la partfcula 
alfa a este centro antes de regresarse? Suponga que el 
nucleo de oro permanece estacionario. 
Un electron parte desde el reposo a 3.00 cm del centro 
de una esfera aislante cargada de manera uniforme cu- 
yo radio es de 2.00 cm y su carga total es de 1.00 nC. 
^Cual es la rapidez del electron cuando llega a la super- 
ficie de la esfera? 

Calcule la energia requerida para conformar el arreglo 
de cargas que se muestra en la figura P25.33, donde a = 
0.200 m, b = 0.400 m,yp 6.00 fiC. 
Cuatro partfculas identicas tienen cada una carga q y 
masa m. Se liberan desde el reposo en los vertices de 
un cuadro de lado L. jQue tan rapido se mueve cada car- 
ga cuando su distancia desde el centro del cuadro se du- 
plica? 



798 



CAPlTUL 25 Potencial el&trico 




Figura P25.33 



35. jCuanto trabajo se requiere para juntar ocho cargas pun- 
tuales identicas, cada una de magnitud q en las esquinas 
de un cubo de lado s? 

Section 25.4 Obtencion del valor del campo electrico 
a partir del potencial electrico 



36. 



WEB (3/\] 



38. 



El potencial en una region entre x = y x = 6.00 m es 
V= a + bx, donde a = 10.0 V y * = -7.00 V/m. Determi- 
ne a) el potencial en x = 0, 3.00 m y 6.00 m, y b) la mag- 
nitud y direccion del campo electrico en x = 0, 3.00 m y 
6.00 m. 

Sobre cierta region del espacio, el potencial electrico es 
V= 5x - 3x 2 y + 2yz 2 . Encuentre las expresiones para las 
componentes x, y y z del campo electrico sobre esa re- 
gion. jCual es la magnitud del campo en el pun to P, el 
cual tiene coordenadas (1, 0, -2) m? 
El potencial electrico dentro de un conductor esferico 
cargado de radio R esta dado por V= k e Q/Ry en el ex- 
terior el potencial esta dado por V = k,Q/r. Utilizando 
£,= -dV/dr, obtenga el campo electrico a) en el interior 
y b) afuera de esta distribucion de carga. 
En el ejemplo 25.7 se demostro que el potencial en un 
punto P a una distancia a sobre uri extremo de una ba- 
rra de longitud € cargada uniformemente que se encuen- 
tra a lo largo del eje x es 



V = ^ln 



/ + V* 2 + a 2 " 



40. 



Utilice este resultado para obtener la expresion corres- 
pondiente a la componente y del campo electrico en P. 
(Sugerencia: sustituya a con y.) 

Cuando una esfera conductora descargada de radio a se 
coloca en el origen de un sistema de coordenadas xyz 
que esta en un campo electrico inicialmente uniforme 
E = £ k, el potencial electrico resultante es 



V(x,y,z) = V -Eoz + 



EqcPz 



(x l + y 2 + z z )- 



2\S/2 



para los puntos afuera de la esfera, donde V es el poten* 
cial electrico (constante) en el conductor. Utilice esta 
ecuacion para.determinar las componentes x, y y z del 
campo electrico resultante. 



Seccfon 25.5 Potencial electrico debido a distribuciones 
de carga continuas 

41. Considere un anillo de radio R con carga total Qdistri- 
buida uniformemente sobre su perimetro. jCual es la di- 
ferencia de potencial entre el punto en el centro del ani- 
llo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro? 

42. Compare este problema con el problema 33 del capitulo 23. Una 
barra aislante de 14.0 cm de longitud cargada de mane- 
ra uniforme se dobla en la forma de un semicfrculo, co- 
mo se muestra en la figura P23.33. Si la barra tiene una 
carga total de -7.50 fiC, encuentre el potencial electrico 
en O, el centro del semicfrculo. 

143] Una barra de longitud L (Fig. P25.43) se encuentra a lo 
largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y 
tiene una densidad de carga no uniforme \= ax (don- 
de a es una constante positiva). a) jCuales son las uni- 
dades de a? b) Calcule el potencial electrico en A.. 



B»- 



Figura P2S.43 Problemas 43 y 44. 



Para el arreglo descrito en el problema anterior calcule 
el potencial electrico en un punto B que esta sobre el bi- 
sector perpendicular de la barra a una distancia b enci- 
ma del eje x. 

Calcule el potencial electrico en el punto P sobre el eje 
del anillo mostrado en la figura P25.45, el cual tiene una 
densidad de carga uniforme a. 




46. 



Figura P25.45 

Un alambre de longitud finita, que tiene una densidad 
de carga lineal uniforme X., se dobla en la forma indica- 
da en la figura P25.46. Encuentre el potencial electrico 
en el punto O. 



Problemas 



799 




Figura P25.46 



Section 25.6 



47. 



Potencial electrico debido 
a un conductor cargado 



jCuantos electrones deberfan extraerse de un conductor 
esferico, inicialmente descargado, de 0.300 m de radio, 
para producir un potencial de 7.50 kV en la superficie? 
48. Dos conductores esfericos cargados se conectan median- 
te un largo alambre conductor, y una carga de 20.0 jtC 
se pone en la combinacion. a) Si una esfera tiene un ra- 
dio de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, ^cual 
es el campo electrico cerca de la superficie de cada esfe- 
ra? b) ^Cual es el potencial electrico de cada esfera? 
web |49.| .Un conductor esferico tiene un radio de 14.0 cm y una 
carga de 26.0 /aC. Calcule el campo electrico y el poten- 
cial electrico en a) r= 10.0 cm, b) r= 20.0 cm, y c) r = 
14.0 cm del centro. 

Dos cascarones conductores esfericos y concentricos de 
radios a = 0.400 m y b = 0.500 m estan conectados por 
medio de un alambre delgado, como se muestra en la fi- 
gura P25.50. Si una carga total Q = 10-0 MC se pone en 
el sistema, <;cuanta carga queda sobre cada esfera? 



50. 




Figura 925.50 



(Optional) 

Seccidn 25.7 El experimento de la gota de aceite 

de Millikan 
(Optional) 
Seccidn 25.8 Aplicaciones de la electrostdtica 

[513 Considere un generador Van de Graaff con un domo de 
30.0 cm de diametro que opera en aire seco. a) jCual es 
el potencial maximo del domo? b) ^Cual es la carga ma- 
xima sobre el domo? 

52. El domo esferico de un generador Van de Graaff puede 
elevarse a un potencial maximo de 600 kV; entonces car- 
ga adicional se fuga en chispas, al. presentarse fallas del 
aire seco circundante. Determine a) la carga sobre el do- 
mo y b) el radio del domo. 



PROBLEMAS ADICIONALES 

1533 El modelo de gota liquida del nucleo sugiere que oscila- 
ciones de alta energfa de ciertos nucleos pueden dividir 
el nucleo en dos fragmentos disuntos mas unos cuantos 
neutrones. Los fragmentos adquieren energfa cinetica 
de su mutua repulsion de Coulomb. Calcule la energfa 
potencial electrica (en electron volts) de dos fragmentos 
esfericos de un nucleo de uranio que dene las siguientes 
cargas y radios: 38ey 5.50 x 10" 15 m; 54ey 6.20 x 10" 15 m. 
Suponga que la carga esta distribuida de manera unifor- 
me por todo el volumen de cada fragmento esferico y 
que sus superficies estan inicialmente en contacto en re- 
pose (Los electrones que rodean el nucleo pueden ig- 
norarse.) 

54. En un di'a seco de invierno usted arrastra sus zapatos con 
suela de cuero sobre una alfombra y recibe una descar- 
ga cuando extiende la punta de su dedo hacia una ma- 
nija metalica. En un cuarto oscuro usted ve una chispa 
quiza de 5 mm de largo. Realice estimaciones de orden 
de magnitud de a) su potencial electrico y b) la carga so- 
bre su cuerpo antes de que usted toque la manija. Expli- 
que sus razonamientos. 

55. La distribution de carga que se muestra en la figura 
P25.55 se conoce como cuadrupolo lineal, a) Demuestre 

, que el potencial en un punto sobre el eje x, donde 
x > a, es 



58. 



b) Muestre que la expresion obtenida en a) cuando x 
a se reduce a 



» 



+2 



-o- 



-2Q +a 



(-a,0) 



(o,0) 



56. 



Cuadrupolo 
Figura P25.55 



a) Emplee el resultado exacto del problema 55 para de- 
terminar el campo electrico en cualquier punto a lo lar- 
go del eje del cuadrupolo lineal para x > a. b) Evalue E 
en x = 3a si a = 2.00 mm y Q= 3.00 fiC. 
A una cierta distancia de una carga puntual, la magnitud 
del campo electrico es de 500 V/m, y el potencial elec- 
trico es igual a -3.00 kV. a) ,;Cual es la distancia a la car- 
ga? b) iCual es la magnitud de la carga? 
Un electron es liberado desde el reposo sobre el eje de 
un anillo uniforme cargado positivamente, a 0.100 m del 



800 



CAPiTULO 25 Potencial el&trico 



centro del anillo. Si la densidad de carga lineal del anillo 
es de +0.100 /xC/m y el radio del anillo es de 0.200 m, 
,:cuan rapido se movera el electron cuando alcance el 
centro del anillo? 
59. a) Considere un cascaron cilfndrico cargado uniforme- 
mente que dene una carga total Q radio Ry altura h. De- 
termine el potencial electrostatico en un punto a una 
distancia d del lado derecho del cilindro, como se mues- 
tra en la figura P25.59. (Sugerencia: emplee el resultado 
del ejemplo 25.5 tratando al cilindro como una colec- 
cion de anillos de carga.) b) Utilice el resultado del 
ejemplo 25.6 para resolver el mismo problema en el ca- 
so de un cilindro solido. 



Catodo 




Figura P25.62 




web [^3 Segun la ley de Gauss, el campo electrico establecido por 
una lfnea de carga uniforme es 



Figura P25.S9 



.:... Dos placas paralelas que tienen carga de igual magnitud 
pero signos opuestos estan separadas 12.0 cm. Cada pla- 
ca tiene una densidad de carga superficial de 36.0 nC/m 2 . 
Un proton se libera desde el reposo en la placa positiva. 
Determine a) la diferencia de potencial entre las placas, 
b) la energfa del proton cuando llega a la placa negati- 
va, c) la rapidez del proton antes de incidir en la placa 
negativa, d) la aceleracion del proton, y e) la fuerza so- 
bre el proton, f) A partir de la fuerza encuentre la 
magnitud del campo electrico y muestre que es igual a 
la encontrada a partir de las densidades de carga sobre 
las placas. 

|B ". J Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un 
cascaron esferico de radio R hasta una carga total Q. 

62. Un contador Geiger-Muller es un detector de radiation 
que se compone de un cilindro hueco (el catodo) de ra- 
dio interior r„ y un alambre cilfndrico coaxial (el anodo) 
de radio r b (Fig. P25.62). La carga por unidad de longi- 
tud del anodo es \, en tanto que la carga por unidad de 
longitud del catodo es -\. a) Muestre que la magnitud 
de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilin- 
dro en la region sensible del detector es 



(*) 



A V = 2M In 



b) Muestre que la magnitud del campo electrico sobre 
esa region esta dada por 



AE = 



\n(r a /r b ) {r ) 



-{— > 



donde f es un vector unitario que apunta radialmente 
alejandose de la lfnea y \ es la carga por unidad de lon- 
gitud a lo largo de la lfnea. Obtenga una expresion pa- 
ra la diferencia de potencial entre r = r, y r = r 2 . 
Una carga puntual q se localiza en x = —R y una carga 
puntual -2q se encuentra en el origen. Demuestre que la 
superficie equipotencial que dene potencial cero es una 
esfera centrada en (-4/J/3, 0, 0) y tieneun radio r = 
•2«/3. 

Considere dos cascarones esfericos delgados y conducto- 
res, como los que se muestran en la vista transversal de 
la figura P25.65. El cascaron interno dene un radio r, = 
15.0 cm y una carga de 10.0 nC. El' cascaron exterior de- 
ne un radio r 2 = 30.0 cm y una carga de -15.0 nC. En- 
cuentre a) el campo electrico E y b) el potencial electri- 
co Ven las regiones A, By C, con V= en r= ». 




donde res la distancia desde el centro del anodo al pun- 
to donde se va a calcular el campo. 



Figura P25.65 



El eje x es el eje de simetrfa de un anillo con carga uni- 
forme, de radio R y carga Q (Fig. P25.66). Una carga 
puntual Q de masa Af se localiza en el centro del anillo. 
Cuando este se desplaza ligeramente la carga puntual se 



Problemas 



801 



acelera a lo largo del eje * hacia el infinito. Demuestre 
que la rapidez final de la carga puntual es 



MR 



VI 



A 

.; r \ 



_i.X 



'•, I Anillo cargado 
V_y de manera uniforme 

Figura P25.66 



Una hoja infinita de carga que tiene una densidad de 
carga superficial de 25.0 nC/m 2 colocada en el piano yz, 
pasa a traves del origen y esta a un potencial de 1 .00 kV 
en el punto y = 0, z = 0. Un alambre largo que tiene una 
densidad de carga lineal de 80.0 nC/m esta paralelo al 
eje y y cruza al eje x en x = 3.00 m. a) Determine, como 
una funcion de.x, el potencial a lo largo del eje x entre 
el alambre y la hoja. b) jCual es la energia potencial de 
una carga de 2.00 nC-colocada en x — 0.800 m? 
La delgada barra cargada uniformemente que se mues- 
tra en la figura P25.68 tiene una densidad de carga lineal 
A. Encuentre una expresion para el potencial electrico 
en P. 



Figura P25.68 



Un dipolo se localiza a lo largo del eje y como se mues- 
tra en la figura P25.69. a) En el punto P, el cual esta ale- 
jado del dipolo (r» a), el potencial electrico es 




Figura P25.69 



b) Para el arreglo de dipolo mostrado, exprese Ven fun- 
cion de coordenadas cartesianas usando r= (x 2 + )i 2 ) 1/2 y 



COS0 = 



(x 2 + f)V* 



Con estos resultados, y considerando r » a, calcule las 
componentes de campo E^ y £J,. 

La figura P25.70 muestra varias lineas equipotenciales, 
cada una marcada por su potencial en volts. La distancia 
entre lfneas de cuadriculado' representa 1.00 cm. a) jLa 
magnitud del campo es mas grande en A o en B? jPor 
que? b) jCual es el valor de E en 5? c) Represente como 
se observa el campo dibujando al menos ocho lineas de 
campo. 




Figura P25.70 



v = k e 



pcosd 



donde p = 2qa. Calcule las componentes radial E r y per- 
pendicular Eg del campo electrico asociado. Advierta que 
E e = -(l/r)(3 V/d 0). i Estos resultados parecen razona- 
bles para 6 = 90° y 0°?, «para r= 0? 



71. Un disco de radio R tiene una densidad de carga super- 
ficial no uniforme cr = Cr, donde C es una constante y r 
se mide desde el centro del disco (Fig. P25.71). Encuen- 
tre (por integration directa) el potencial en P. 



802 



CAPlTULO 25 Potential el&trico 




Figura P25.71 

72. Una esfera solida de radio R tiene una densidad de car- 
ga uniforme p y una carga total Q. Derive una expresion 



para su energia potencial electrica total. (Sugerencia: ima- 
gine que la esfera se construye anadiendo capas sucesi- 
vas de cascarones concentricos de carga dq = (4OT 2 dr)p 
y use dU = V dq.) 
O 73. Los resultados del problema 62 se aplican tambien a un 
precipitador electrostatico (veanse las Figs. 25.28a y 
P25.62). Un voltaje aplicado A V= V e - V„ = 50.0 kV pro- 
duce un campo electrico de 5.50 MV/m de magnitud en 
la superficie del alambre central. La pared cilfndrica ex- 
terior tiene un radio uniforme r a = 0.850 m. a) £Cual se- 
ria el radio r b del alambre central? Usted necesitara re- 
solver una ecuacion trascendental. b) jCual es la 
magnitud del campo_electrico en la pared exterior? 



Respuestas a las precuntas sorpresa 

25.1 Esto se hace si el campo electrico es uniforme. (Esto es 
precisamente lo que se hace en la siguiente section.) Sin 
embargo, en general, un campo electrico cambia de un 
lugar a otro. 

25.2 B -» C, C -» D, A -» B, D -> E. Moverse de B a C dismi- 
nuye el potencial electrico por 2 V, de modo que el cam- 
po electrico realiza 2 J de trabajo sobre cada coulomb de 
carga que se mueve. Moverse de C a D disminuye el po- 
tencial electrico en 1 V, por lo que se realiza 1 J de tra- 
bajo sobre el campo. No se realiza trabajo para mover la 
carga de A a B.porque el potencial electrico -no cambia. 
Moverse de D a E incrementa el potencial electrico en 
1 V, y, en consecuencia, el campo realiza -1 J de trabajo, 
al igual que elevar una masa a una elevacion mayor pro- 
voca que el campo gravitacional efecuie trabajo negativo 
sobre la masa. 

25.3 El potencial electrico disminuye en proporcion inversa 
al radio (vease la Ec. 25.11). La magnitud del campo 
electrico disminuye como el recfproco del radio al cua- 
drado (vease la Ec. 23.4). Dado que el area de la super- 
ficie se incrementa como r 2 mientras la magnitud del 
campo electrico disminuye con 1/r 2 , el flujo electrico a 
traves de la superficie permanece constante. (vease la Ec. 
24.1). 

25.4 a) Si. Considere cuatro cargas iguales colocadas en las 
esquinas de un cuadrado. La grafica de potencial electri- 
co para esta situation se muestra en la figura. En el cen- 
tro del cuadrado, el campo electrico es cero porque los 
campos individuales de las cuatro cargas se cancelan, pe- 
ro el potencial no es cero. Esta tambien es la situation 



dentro de un conductor cargado. b) Si de nuevo. En la 
figura 25.8, por ejemplo, el potencial electrico es cero 
en el centro del dipolo, pero la magnitud del campo en 
dicho punto no es cero. (Las dos cargas en un dipolo 
son, por definition, de signo opuesto; por ende, las li- 
neas de campo electrico creadas por las dos cargas se ex- 
tienden desde la carga positiva a la negativa y no se can- 
celan en ningun sitio.) Esta es la situation presentada en 
el ejemplo 25.4c, en el cual las ecuaciones obtenidas dan 
V=0y£,*0. 








!\ DANGER 






HAZARDOUS VOLTAGE INSIDE/ DO NOT OPEN. s ' ' 

GEFAHRLICHE SPANNUNG. ABDECKUNG NICHT OFFNEN. 

TENSION DANGEREUSE A L'INTERIEUR NE PAS OOVRIR. 

VOLTAJE PELI6R0S0 EN EL INTERIOR. NO ABRA. 

TENSIONE PERICOLOSA ALL'INTERNO. NON APRIRE. 

FARLIG ELEKTRISK SPAENDING INDENI, LUK 1KKE OP. 

HIERBINNEN GENAARLIJK VOLTAGE. NIET OPENMAKEN. 

SBAPUOLELLAVAARALLINENJANNITE.AIAAVAA. • 

FARLIG SPENNIN6.MA1KKEAPNES. r - 

NAO ABRA. VOLTAGEM PERIGOSA NO INTERIOR. 

FARLIG SPANWN6INNUTL6PPNAS EX .\ 

101-7931 



m 



A C E R T I J 



Muchos componentes electrfnicos por- 
tan una etiqueta de advertencta como 
feta. ^Qu§ conbenen estos dispositivos 
que los hace tan pehgrosos' £Por quS 
no estaria seguro si no se desconectara 
el equipo antes de abnr la cubierta? 
(George Semple) 




c a p f t u I o 



Capacitancia y dielectricos 





26.1 Definicion de capacitancia 

26.2 Calculo de la capacitancia 

26.3 Combinaciones de capacitores 

26.4 Energia almacenada en un 
capacitor cargado 



26.5 Capacitores con dielectricos 

26.6 (Optional) Dipolo electrico en un 
campo electrico 

26.7 (Optional) Una descripcion 
atomica de los dielectricos 



803 



804 



CAPlTULO 26 Capacitancia y diel&tricos 



fn este capitulo se analizan los capacitores — dispositivos que almacenan carga 
electrica — . Los capacitores se utilizan por lo comun en una variedad muy am- 
plia de circuitos electricos. Por ejemplo, se usan para sintonizar la frecuencia 
de receptores de radio, como filtros en suministro de energia electrica, para elimi- 
nar chispas en los sistemas de encendido de automoviles y como dispositivos de al- 
macenamiento de energia en unidades de destellos electronicas. 

Un capacitor se compone de dos conductores separados por un aislante. Se ve- 
ra que la capacitancia de un capacitor dado depende de su geometria y del material 
— Uamado dieUctrico — que separa a los conductores. 



^ISlfe* DEFINICION DE CAPACITANCIA 



Definition de capacitancia 



/5?Considere dos conductores que tienen cargas de igual magnitud pero de signo 
13.5 opuesto, como se muestra en la figura 26.1. Tal combination de dos conductores se 
denomina capacitor. Los conductores se conocen como placas. Debidp a la presen- 
cia de las cargas existe una diferencia de potential A Ventre los conductores. Pues- 
to que la unidad de diferencia de potential es el volt, una diferencia de potential 
suele ser Uamada voltaje. Se usara este termino para describir la diferencia de po- 
tential a craves de un elemento de circuito o entre dos puntos en el espacio. 

iQue determina cuanta carga esta sobre las placas del capacitor para un voltaje 
determinado? En otras palabras, ^cual es la capacidad del dispositivo para almacenar 
carga a un valor particular de AV? Los experimentos muestran que la cantidad 
de carga Q sobre un capacitor 1 es linealmente proporcional a la diferencia de po- 
tential entre los conductores; es decir, Q« AV. La cpnstante de proporcionalidad 
depende de la forma y separation de los conductores. 2 Esta relation se puede escri- 
bir como £?= C AVsi se define a la capacitancia como sigue: 

La capacitancia C de un capacitor es la razoh entre la magnitud de la carga en 
cualquiera de los dos conductores y la magnitud de la diferencia de potencialen- 
tre ellos: " 



c-2- 

AV 



(26.1) 




Figura 26.1 Un capacitor consiste 
de dos conductores que conducen car- 
gas de igual magnitud pero signos 
opuestos. 



Advierta que, por definition, la capacitancia siempre es una cantidad positiva. Ademas, 
la diferencia de potential A Vsiempre se expresa en la ecuacion 26.1 como una can- 
tidad positiva. Puesto que la diferencia de potential aumenta linealmente con la car- 
ga almacenada, la proportion Q/AVes constante para un capacitor dado. En con- 
secuencia, la capacitancia es una medida de la capacidad del capacitor para almacenar 
carga y energia potential electrica. 

En la ecuacion 26.1 se ve que la capacitancia se expresa en el SI con las unida- 
des coulomb por volt La unidad de capacitancia del SI es el farad (F) , denomina- 
da asi en honor a Michael Faraday: 

1 F = 1 C/V 

El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la practica los dispositi- 
vos comunes tienen capacitancias que varian de microfarads (10" 6 F) a picofarads 
(10' 12 F). Para propositos practicos los capacitores casi siempre se marcan con "mF" 
para microfarads y "mmT para micromicrofarads o, de manera equivalente, "pF" pa- 
ra picofarads. 



1 Aunque la carga total en los capacitores es cero (porque existe tanto exceso de carga positiva en un 
conductor como exceso de carga negativa en el otro), es una practica comun referirse a la magnitud 
de la carga sobre cualquiera de los dos conductores como "la carga en el capacitor". 

2 La proporcionalidad entre AVy Q puede probarse a partir de la ley de Coulomb o por medio de ex- 
perimentos. 



26.2 Calculo de la capacitancia 



805 




Coleccion de capacitores empleados en una variedad de apli- 
caciones. (Henry Leap y Jim Lehman) 



Considere un capacitor formado a partir de un par de placas paralelas comose 
muestra en la figura 26.2. Cada placa esta conectada a la terminal de una baterfa 
(no mostrada en la Fig. 26.2), que actua comb fuente de diferencia de potencial. Si 
el capacitor inicialmente esta descargado, la bateria establece un campo electrico en 
los alambres conectores cuando se realizan las conexiones. Centre la atencion sobre 
la placa conectada a la terminal negativa de la bateria. El campo electrico aplica una 
fuerza sobre los electrones en el alambre afuera de esta placa; esta fuerza provoca 
que los electrones se muevan hacia la placa. Este movimiento continiia hasta'que la 
placa, el alambre y la terminal estan todos al mismo potencial electrico. Una vez al- 
canzado este punto de equilibrio, ya no existe mas una diferencia de potencial en- 
tre la terminal y la placa, y como resultado no existe un campo electrico en el alam- 
bre, por tanto, el movimiento de los electrones se detiene. La placa ahora porta una 
carga negativa. Un proceso similar ocurre en la otra placa del capacitor, con los elec- 
trones moviendose desde la placa hacia el alambre, dejando la placa cargada positi- 
vamente. En esta configuracion final la diferencia de potencial a Graves de las placas 
del capacitor es la misma que la que existe entre las terminales de la bateria. 

Suponga que se tiene un capacitor especificado en 4 pF. Esta clasificacion signi- 
fica que el capacitor puede almacenar 4 pC de carga por cada volt de diferencia de 
potencial entre los dos conductores. Si una bateria de 9 V se conecta a traves de es- 
te capacitor, uno de los conductores terminara con una carga neta de -36 pC y el 
otro finalizara con una carga neta de +36 pC. 




Area = A 



Figura 26.2 Un capacitor de placas 
paralelas consta de dos placas conduc- 
toras paralelas, cada una de area A, 
separadas por una distancia d. Cuan- 
do. el capacitor se carga, las placas 
transportan iguales cantidades de car- 
ga. Una placa conduce carga positiva, 
y la otra conduce carga negativa. 



26.2 



CALCULO DE LA CAPACITANCIA 



La capacitancia de un par de conductores con cargas opuestas se puede calcular de 
la siguiente manera: se supone una carga de magnitud Q, y la diferencia de poten- 
cial se calcula usando las tecnicas descritas en el capitulo anterior. Entonces se usa 
la expresion C= Q/AVpara evaluar la capacitancia. Como se podria esperar, el 
calculo se efectiia con relativa farilidad si la geometria del capacitor es simple. 

Se puede calcular la capacitancia de un conductor esferico aislado de radio R y 
carga £? si se supone que el segundo conductor que forma al capacitor es una esfe- 
ra hueca concentrica de radio infinito. El potencial electrico de la esfera de radio R 
es simplemente k e Q/R, y V= se establece en el infinito, como de costumbre, con 
lo que se tiene 



C = 



AV 



KQ./R 



= - = A7f€ R 



(26.2) 



Esta expresion muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada es propor- 
cional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera como de la di- 
ferencia de potencial. 



Experimento sorpresa jj£> 

Enrolle algunos calcetines en peloti- 
tas y rellene con ellos una caja de za- 
patos. iQue determina cuantos calce- 
tines caben en la caja? Relacione 
cuan fuerte empuja los calcetines 
con A V para un capacitor. jComo in- 
fluye el tamano de la caja en su "ca- 
pacidad calcetinera"? 



806 



■CAPlTULO 26 Capacitancia y dietectricos 



La capacitancia de un par de conductores depende de la geometria de los mis- 
mos. Se ilustra esto con tres geometrfas familiares, es decir, placas paralelas, cilindros 
concentricos y esferas concentricas. En estos ejemplos se supone que los conducto- 
res cargados estan separados por el vacio. El efecto de un material dielectrico colo- 
cado entre los conductores se trata en la section 26.5. 

Capacitor de placas paralelas 

Dos placas metalicas paralelas de igual area A estan separadas por una distancia d, 
como se muestra en la figura 26.2. Una placa tiene una carga Q; la otra, carga -Q. 
Considere como influye la geometria de estos conductores en la capacidad de la 
combination para almacenar carga. Recuerde que las cargas de signos iguales se re- 
pelen entre si. Conforme un capacitor se carga por una bateria, los elec'trones flu- 
yen a la placa negativa y fuera de la placa positiva. Si las placas del capacitor son 
grandes, las cargas acumuladas se pueden distribuir sobre un area sustancial, y la 
cantidad de carga que se puede almacenar sobre una placa para una diferencia de 
potencial dada se incrementa conforme aumenta el area de la placa. En consecuen- 
cia, se espera que la capacitancia sea proportional al area de la placa A. 

Ahora considere la region que separa a las placas. Si la bateria tiene una dife- 
rencia de potential constante entre sus terminales, entonces el campo electrico en- 
tre las placas debe incrementarse conforme disminuye d. Imagine que las placas se 
mueven para acercarlas y considere la situation antes de que alguna carga haya te- 
nido oportunidad de moverse en respuesta a este cambio. Puesto que ninguna car- 
ga se ha movido, el campo electrico entre las placas tiene el mismo valor, pero se ex- 
tiende sobre una distancia mas corta. Por ende, la magnitud de la diferencia de 
potencial entre las placas AV= Ed (Ec. 25.6) ahora es mas pequena. La diferencia 
entre este nuevo voltaje de capacitor y el voltaje de terminal de la bateria ahora exis- 
te como una diferencia de potencial a traves de los alambres que conectan la bate- 
ria al capacitor. Esta diferencia de potencial resulta en un campo electrico en los 
alambres que conducen mas carga a las placas, incrementando la diferencia de po- 
tencial entre las placas. Cuando la diferencia de potencial entre las placas de nuevo 
se empareja con la de la bateria, la diferencia de potencial a traves de los alambres 
cae de vuelta a cero, y el flujo de carga se detiene. En consecuencia, mover las pla- 
cas para que se acerquen provoca que aumente la carga sobre el capacitor. Si d au- 
menta, la carga disminuye. Como resultado, se espera que la capacitancia del dispo- 
sitivo sea inversamente proportional ad. 




+Q 



<M1IMTO 



a) 





1 - *~; — _ 



b) 



Figura 26.3 a) El campo electrico entre las placas de un capacitor de placas paralelas es uniforme 
cerca del centro pero no lo es cerca de los extremos. b) Patron de campo electrico de dos placas pa- 
ralelas conductoras cargadas de manera opuesta. Pequenas piezas de hilo sobre una superficie de acei- 
te se alinean con el campo electrico. (b, Cartesia de Harold M. Waage, Princeton University) 



26.2 Cdlculo de la capacitancia 



807 



Estos argumentos fisicos se pueden verificar con la siguiente derivation. La den- 
sidad de carga superficial sobre cualquier placa es a = Q/A. Si las placas estan muy 
cercanas una de la otra (en comparacion con su longitud y ancho), se puede supo- 
ner que el campo electrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra par- 
te. De acuerdo con el ultimo parrafo del ejemplo 24.8, el valor del campo electrico 
entre las placas es 

£ = _ = -*- 

e « A 



Puesto que el campo electrico entre las placas es uniforme, la magnitud de la dife- 
rencia de potential entre las placas es igual a Ed (vease la Ec. 25.6) ; por tanto, 



AV 



E d =® 

e A 



'h 



Al sustituir este resultado en la ecuacion 26.1 se encuentra que la capacitancia es 



c = 



c = 



AV Qd/e A 
e A 



(26.3) 



Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proportional al area 
de sus placas e inversamehte proportional a la separation de estas, tal como se es- 
peraba a partir del argument© conceptual. 

Un examen cuidadoso de las lineas del campo electrico de un capacitor de pla- 
cas paralelas revela que el campo es uniforme en la region central entre las placas, 
como se muestra en la figura 26.3a. Sin embargo, el campo rio es uniforme en los 
bordes de las placas. La figura 26.3b es una fotografia del patron del campo electri- 
co de un capacitor de placas paralelas. Advierta la naturaleza no uniforme del cam- 
po electrico en lbs extremos de las placas. Tales efectos de borde se pueden despre- 
ciar si la separacion de la placa es pequena en comparacion con la longitud de las 
placas. 



Pregunta sorpresa 26.1 



Muchos botones del teclado de una computadora estan construidos de capaci tores, como 
se muestra en la figura 26.4. Cuando las teclas se oprimen, el aislante suave entre las placas 
moviles y las fijas se comprime. Cuando la tecla se presiona, la capacitancia a) aumenta, b) 
disminuye o c) cambia en una forma que no se puede determinar debido a que el compli- 
cado circuito electrico conectado al boton del teclado puede provocar un cambio en AV. 



Tecla- 



Placa 
movil 




Figura 26.4 Un tipo de boton de 
un teclado de computadora. 



EJEMPUJl 



Capacitor de placas paralelas 



Un capacitor de placas paralelas tiene un area A = 2.00 x 
10~ 4 m 2 y una separacion de placa d= 1.00 mm. Encuentre su 
capacitancia. 

Solution De la ecuacion 26.3 se encuentra que 



C = e ^ = (8.85 x 10-CVN - m ,{ *»xl<r>vP 
d I 1.00xl0- 3 m 



= 1.77xl0- 12 F= 1.77 pF 

Ejertido ^Cual es la capacitancia para una separacion de 
placa de 3.00 mm? 

Respuesta 0.590 pF. 



808 



CARlTUL 26 Capacitancia y diel&tricos 



Capacitores cilindricos y esfericos 

A partir de la definition de capacitancia es posible, en principio, encontrar la capa- 
citancia de cualquier aiTeglo geometrico de conductores. Los siguientes ejemplos 
demuestran el uso de esta definition para calcular la capacitancia de las otras geo- 
metrias familiares que se han mencionado: cilindros y esferas. 



Ejemplo 26$£$0> El capacitor cilindrico 

Un conductor cilindrico solido de radio a y carga Q es co- 
axial con un cascaron cilindrico de grosor despreciable, radio 
b> ay carga -Q (Fig. 26.5a). Encuentre la capacitancia de es- 
te capacitor cilindrico si su longitud es €. 

Solution Es dificil aplicar argumentos fisicos a esta configu- 
ration, aunque se puede esperar razonablemente que la capa- 
citancia sea proportional a la longitud del cilindro € por la 
misma razon que la capacitancia de placas paralelas es propor- 
tional al area de las placas: las cargas almacenadas tienen mas 
espacio en las cuales ser distribuidas. Si se supone que € es 
grande comparada con ay b, se puede ignorar los efectos de 
borde. En este caso el campo electrico es perpendicular a los 
ejes largos de los cilindros y esta confinado a la region entre 
ellos (Fig. 26.5b). Debe calcular primero la diferencia de po- 
tential entre los dos cilindros, la cual en general esta dada por 



'■vf 



Eds 



donde E es el campo electrico en la region a < r < b. En el 
capitulo 24 se demostro, mediante la ley de Gauss, que la 
magnitud del campo electrico de una distribution de carga 
cilindrica que tiene densidad de carga lineal X. es E, = 2k,k/r 
(Ec. 24.7). El mismo resultado se aplica aqui debido a que, 
de acuerdo con la ley de Gauss, la carga sobre el cilindro ex- 
terior no contribuye al campo electrico dentro de el. Con es- 
te resultado, y notando que en la figura 26.5b E esta a lo lar- 
go de r, se encuentra que 

V„-V a = -[ E r dr = -2*,)J o * = -2*.>ln f £ J 

Al sustituir este resultado en la ecuacion 26.1, y utilizar el he- 
cho. de que \ = Q./Z, se obtiene 



C = 



AV 2k 



¥*(:)" *■(:) 



(26.4) 



mo se predijo, la capacitancia es proportional a la longitud 
de los cilindros. Como podria esperarse, la capacitancia de- 
pende tambien de los radios de los dos cilindros conductores. 
De acuerdo con la ecuacion 26.4 se ve que la capacitancia por 
unidad de longitud de una combination de conductores ci- 
lindricos concentricos es 



1 



2Wn(i) 



(26.5) 



Un ejemplo de este tipo de arreglo geometrico es un cable co- 
axial, el cual consta de dos conductores cilindricos concentri- 
cos separados por un aislante. El cable conduce senales elec- 
tricas en los conductores interior y exterior. Tal geometrfa es 
especialmente util para proteger las senales de cualquier po- 
sible influencia externa. 





Superficie 
gaussiana 



a) 



b) 



Figura 26.5 a) Un capacitor cilindrico consta de un conductor ci- 
lindrico solido de radio ay longitud f.rodeado por un cascaron cilin- 
drico coaxial de radio b. b) Vista transversal. Las lineas punteadas re- 

donde AVes la magnitud de la diferencia de potential, dada presentan la frontera de la superficie gaussiana cilindrica de radio r 

por A V= | V b - V a | = 2k, A. In (b/a) , una cantidad positiva. Co- y longitud €. 



Ejemplo '26% 



El capacitor esferico 



Un capacitor esferico consta de un cascaron conductor esfe- 
rico de radio Ay carga -Qconcentrico con una esfera conduc- 
tora mas pequena de radio ay carga Q (Fig. 26.6). Encuentre 
la capacitancia de este dispositive 



Solution Como se demostro en el capitulo 24, el campo 
afuera de una distribution de carga simetrica esfericarr.erae 
es radial y esta dado por la expresion A.Q/r 2 . En esi el 

resultado se aplica al campo entre las esferas (a <" >e 



26.3 Combinaciones de capacitores 



809 



acuerdo con la ley de Gauss solo la esfera interior contribuye 
a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre 
las esferas es 



V b -V a = -\ E,dr = -k t Q\ -^ = k e Q 

La magnitud de la diferencia de potencial es 

(b-a) 



AV= \V b -V e \ = k e Q- 



ab 



Sustituyendo este valor por A V en la ecuacion 26.1 se obtiene 



C = 



ab 



(26.6) 



AV k t {J> -a) 




Figura 26.6 Un capacitor esferico consta de una esfera interior de 
radio a rodeada por un cascaron esferico concentrico de radio b. El 
campo electrico entre las esferas esta dirigido radialmente hacia afue- 
ra cuando la esfera interior tiene carga positiva. 



EjerciciO Demuestre que conforme el radio b de la esfera 
exterior se acerca al infinito, la capacitancia tiende al valor 
a/k f = 4ire„a. 



Pregunta sorpresa 26.2 



jCual es la magnitud del campo electrico en la region afuera del capacitor esferico descri- 
to en el ejemplo 26.3? 



COMBINACIONES DE CAPACITORES 



(°) Es comun que dos o mas capacitores se combinen en circuitos electricos. La capaci- 
13 5 tancia equivalente de ciertas combinaciones puede calcularse utilizando los metodos 
descritos en esta section. Los simbolos de circuitos para capacitores y baterias, jun- 
to con sus codigos de color usados en este texto, se proporcionan en la figura 26.7. 
El simbolo para el capacitor refleja la geometria del modelo mas comun para un 
capacitor — un par de placas paralelas — . La terminal positiva de la bateria esta al 
potencial mas alto y se representa en el simbolo del circuito por la lfnea vertical mas 
larga. 

Combination en paralelo 

Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.8a se conocen como 
una combination en paralelo de capacitores. La figura 26.8b muestra un diagrama de 
circuito para esta combination de capacitores. Las placas de la izquierda de los ca- 
pacitores se conectan por un alambre conductor en la terminal positiva de la bate- 
ria y estan, por tanto, al mismo potencial electrico que la terminal positiva. De igual 
modo, las placas de la derecha estan conectadas a la terminal negativa de la bateria 
y, por ello, se encuentran al mismo potencial que la terminal negativa. De este mo- 
do, las diferencias de potencial individuales a traves de los capacitores conectados 
en paralelo son todas las lnismas y son iguales a la diferencia de potencial aplicada 
a traves de la combination. 

En un circuito como el mostrado en la figura 26.8 el voltaje aplicado a traves de 
la combination es el voltaje terminal de la bateria. Pueden ocurrir situaciones en las 



Simbolo 
de capacitor 



Simbolo 
de bateria 



^k 



Simbolo 
de interrupter 



Figura 26.7 Simbolos de circuito 
para capacitores, baterias e interrup- 
tores. Advierta que los capacitores es- 
tan en azul y las baterias e interrupto- 
res estan en rojo. 



810 



CAPlTULO 26 Capacitancia y diel&tricos 





av, = av 2 = av 




C eq = c l + c 2 




AV 



AV 



a) 



b) 



c) 



Figura 26.8 a) Combinacion en paralelo de dos capacitores en un circuito electrico en el cual la di- 
ferencia de potencial a traves de las terminales de la bateria es AK b) El diagrama de circuito para la 
combinacion en paralelo. c) La capacitancia equivalente es C^ = C, + C 2 . 



cuales la combinacion en paralelo este en un circuito con otros elementos de circui- 
to; en tales situaciones se debe determinar la diferencia de potencial a traves de la 
combinacion mediante el analisis del circuito complete 

Cuando los capacitores se conectan primero en el circuito mostrado en la figu- 
ra 26.8, los electrones se transfieren entre los alambres y las placas; esta transferen- 
cia deja las placas de la izquierda cargadas positivamente y a las placas derechas car- 
gadas negativamente. La fuente de energia para esta transferencia de carga es la 
energia quimica interna almacenada en la bateria, la cual se convierte en energia 
potencial electrica asociada con la separation de las cargas. El flujo de carga cesa 
cuando el voltaje a traves de los capacitores es igual al que cruza las terminales de 
la bateria. Los capacitores alcanzan su carga maxima cuando se interrumpe el flujo 
de carga. Denomine a las cargas maximas en los dos capacitores como Q] y Q 2 . La 
carga total Q almacenada por los dos capacitores es 



(1=0.1 + 0.2 



(26.7) 



Esto es, la carga total en los capacitores conectados en paralelo es la suma de las car- 
gas en los capacitores individuales. Puesto que los voltajes a traves de los capacitores 
son los mismos, las cargas que ellos conducen son 

Q, = C,AV Q 2 =C 2 AV 

Suponga que desea sustituir estos dos capacitores por un capacitor equivalente con 
una capacitancia C eq , como se muestra en la figura '26.8c. Este capacitor equivalen- 
te debe tener exactamente el mismo efecto sobre el circuito que el efecto de la com- 
binacion de los dos carjacitores individuales. Es decir, el capacitor equivalente debe 
almacenar <2 un >dades de carga cuando este conectado a la bateria. Se puede ver en 
la figura 26.8c que el voltaje a traves del capacitor equivalente tambien es AVpor- 



26. 3 Combinaciones de capacitores 



811 



que el capacitor equivalence esta conectado en forma directa a traves de las termi- 
nales de la bateria. En consecuencia, para el capacitor equivalente, 

Q= C^AV 

La sustitucion de estas tres relaciones para la carga en la ecuacion 26.7 produce 

Q q AV= QAV+ QAV 



r _ r r ^combinacion > 

c eq -c,+c 2 ^ enparalelo 



Si se extiende este tratamiento a tres o mas capacitores conectados en paralelo, 
se encuentra que la capacitancia equivalente es 



C =C 1 + C 2 -^Cs + 



(combinaci6n en paralelo) 



(26.8) 



Asi pues, la capacitancia equivalente de una combinacion de capacitores en parale- 
lo es mayor que cualesquiera de las capacitancias individuales. Esto tiene sentido 
porque, en esencia, se estan combinando las areas de todas las placas de los capaci- 
tores cuando se conectan con alambre conductor. 



Combinacion en serie 

Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.9a se conocen como 
combinacion en serie de capacitores. La placa izquierda del capacitor 1 y la placa dere- 
cha del capacitor 2 estan conectadas a las terminales de una bateria. Las ptras dos 
placas estan conectadas en'tfe si y a nada mas; en consecuencia, forman un conduc- 
tor aislado que inicialmente esta descargado y debe continuar asi para tener carga 
cero. Para analizar esta combinacion comience por considerar los capacitores des- 
cargados y vea que sucede despues de que una bateria se conecta al circuito. Cuan- 




+Q -Q 



a) 



+Q. -Q 






b) 



Figura 26.9 a) Combinacion en serie de dos capacitores. Las cargas en los dos capacitores son las 
mismas. b) Los capacitores reemplazados por un capacitor individual equivalente. La capacitancia equi- 
valente se puede calcular a partir de la relacion 



1 



C\ C 2 






812 CAPITUL0 26 Capacitancia y diel^ctricos 



do la bateria se conecta se transfieren electrones de la placa izquierda de C Y a la pla- 
ca derecha de C 2 . A medida que esta carga negativa se acumula en la placa derecha 
de C 2 , una cantidad equivalente de carga negativa es obligada a salir de la placa iz- 
quierda de C 2 , y deja a esta con un exceso de carga positiva. La carga negativa que 
sale de la placa izquierda de Q viaja a traves del alambre conductor y se acumula en 
la placa derecha de C, . Como resultado, todas las placas derechas ganan una carga 
-Q mientras que todas las placas izquierdas tienen una carga +Q. De esta manera, 
las cargas en los capacitores conectados en serie son las mismas. 

A partir de la figura 26.9a se ve que el voltaje A Va traves de las terminales de la 
bateria esta dividido entre los dos capacitores: 

AV=&V ] + AV 2 . (26.9) 

donde AV, y AV 2 son las diferencias de potencial a traves de los capacitores C, y C<>, 
respectivamente. En general, la diferencia de potencial total a traves de cualquier 
numero de capacitores conectados en serie es la suma de las diferencias de poten- 
cial a traves de los capacitores individuates. 

Suponga que un capacitor equivalente tiene el mismo efecto sobre el circuito 
que la combination en serie. Despues de que esta cargado completamente, el capa- 
citor equivalente debe tener una carga de -Qen su placa derecha y de +Qen su pla- 
ca izquierda. Aplicando la definition de capacitancia al circuito mostradoen la figu- 
ra 26.9b se tiene 

AV = -^- 

Puesto que la expresion Q= CAVpuede aplicarse a cada capacitor mostrado en la 
figura 26.9a, la diferencia de potencial a traves de cada uno de ellos es 

AV, = -2- AV 2 = -2- 
C, C 2 

Al sustituir estas expresiones en la ecuacion 26.9, y observar que AV= Q/C cq , se 
tiene 

Cm C, Co 



■'tq 



Cancelando Q se llega a la relation 

1 _ 1 1 f combination j 
C^ ~ C[ + Q len serie J 

Cuando este analisis se aplica a tres o mas capacitores conectados en serie, la rela- 
tion para la capacitancia equivalente es 

1 _ 1 1 1 ^combination^ 

C^~CJ" + C 2 ~ + Q + "' \,en serie J- (26.10) 

Esto demuestra que la capacitancia equivalente de una combination en serie siem- 
pre es menor que cualquier capacitancia individual en la combination. 



Ejemplo 26P4M^ Capacitancia equivalente 

Encuentre la capacitancia equivalente entre ay b para la com- Solution Con las ecuaciones 26.8 y 26.10 se reduce la com- ■ 

binacion de capacitores que se muestra en la figura 26.10a. binacion paso a paso, como se indica en la figura. Los capa- 

Todas las capacitancias estan en microfarads. citores de 1.0 yd y 3.0 /aF estan en paralelo y se combinan de 



26. 4 Energfa almacenada en un capacitor cargado 



813 



acuerdo con la expresion C cq = C t + Cz = 4.0 /u.F. Los capaci- 
tores de 2.0 /aF y 6.0 tiF tambien estan en paralelo y tienen 
una capacitancia equivalence de 8.0 tiF. En consecuencia, la 
rama superior en la figura 26.10b consta ahora de dos capa- 
citores de 4.0 tiF en serie, los cuales se combinan como sigue: 



111 11 


1 


C cq C, C 2 4.0 /aF 4.0 aiF 

r — ° n frF 


2.0 /aF 


cq 1/2.0 ^F 





•4.0/ 



r^;-^ 




La rama inferior en la figura 26.10b se compone de dos ca- • 
pacitores de 8.0 aiF en serie, la cual produce una capaci- 
tancia equivalente de 4.0 /aF. Por ultimo, los capacitores de 
2.0 /aF y 4.0 /aF de la figura 26.10c estan en paralelo y tienen, 
por tanto, una capacitancia equivalente de 6.0 tiF. 

Ejercicio Considere tres capacitores con capacitancias de 
3.0 /aF, 6.0 /aF y 12 /aF. Encuentre su capacitancia equivalen- 
te cuando se conectan a) en paralelo y b) en serie. 

Respuesta a) 21 aiF, b) 1.7 tiF. 



2.0 



a) 



b) 



4.0 



c) 



a 6.0 b 



d) 



Figura 26.10 Para encontrar la capacitancia .equivalente de los capacitores en la parte a) se reducen 
las varias combinaciones en pasos como se indican en las partes b) , c) y d) usando las reglas para pa- 
ralelos y "series descritas en el texto. 



: :2Mi 



H$» ; 



ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR CARGADO 



'Sp Casi todos quienes trabajan con equipo electronico han comprobado en alguna oca- 
sion que un capacitor puede almacenar energfa. Si las placas de un capacitor carga- 
do se conectan por medio de un conductor, como un alambre, la carga se mueve 
entre las placas y el alambre de conexion hasta que el capacitor se descarga. A me- 
(°) nudo la descarga puede observarse como una chispa visible. Si usted toca acciden- 
1 talmente las placas opuestas de un capacitor cargado, sus dedos acttian como una 
via por la cual el capacitor podria descargarse, y el resultado es un choque electri- 
co. El grado del choque que usted recibe depende de la capacitancia y del voltaje 
aplicado al capacitor. Dicho choque seria fatal si se presentaran altos voltajes, como 
en la alimentation electrica de un aparato de television. Puesto que las cargas se pue- 
den almacenar en un capacitor aunque el aparato este apagado, no basta con des- 
conectar la television para que sea mas seguro abrir la cubierta y tocar los compo- 
nentes internos. 

Considere un capacitor de placas paralelas inicialmente descargado, por lo que 
la diferencia de potential initial entre las placas es cero. Ahora imagine que el ca- 
pacitor esta conectado a una bateria y adquiere una carga maxima Q. (Suponga que 
el capacitor se carga poco a poco de modo que el problema puede considerarse co- 
mo un sistema electrostatico.) Cuando el capacitor esta conectado a la bateria, los 
electrones en el alambre afuera de la placa conectada a la terminal negativa se mue- 
ven hacia la placa para darle una carga negativa. Los electrones en la placa conecta- 
da a la terminal positiva se mueven afuera de la placa hacia el alambre para dar a la 
placa una carga positiva. Por tanto, las cargas solo se mueven una pequena distan- 
cia en los alambres. 

Para calcular la energia del capacitor se supondra un proceso diferente — uno 
que de hecho no ocurre pero que proporciona el mismo resultado final. Se puede 



814 



CAPlTUL 26 Capacitancia y dietectricos 



Experimento sorpresaW^ 

He aqui como encontrar si su calcu- 
ladora tiene un capacitor para prote- 
ger valores o programas durante 
cambios de bateria. Almacene un 
numero en la memoria de su calcu- 
ladora, saque la bateria de la calcula- 
dora durante un momento y a conti- 
nuacion vuelvala a poner de inme- 
diato. jEl numero que almaceno per- 
manecio mientras la bateria estaba 
afuera de la calculadora? (jTal vez 
deba respaldar cualquier numero o 
programa que este almacenado en 
su calculadora antes de intentar es- 
to!) 



hacer esta suposicion porque la energia en la configuration final no depende del 
proceso real de transferencia de carga. Suponga que se entrega y se captura una pe- 
quena cantidad de cafga positiva en la placa conectada a la terminal negativa y se 
aplica una fuerza que causa que esta carga positiva se mueva sobre la placa conecta- 
da a la terminal positiva. De este modo, se efectua trabajo sobre la carga conforme 
esta se transfiere desde una placa a la otra. Al principio no se requiere trabajo para 
transferir una pequena cantidad de carga dq desde una placa a la otra. 3 Sin embar- 
go, una vez que se ha transferido esta carga, existe una pequena diferencia de po- 
tential entre las placas. Por tanto, se debe realizar trabajo para mover carga adicio- 
nal a traves de esta diferencia de potential. Mientras mas y mas carga se transfiera 
de una placa a la otra, la diferencia de potential se incrementa en la misma propor- 
tion, y se requiere mas trabajo. 

Suponga que q es la carga en el capacitor en cierto instante durante el proceso 
de carga. En el mismo instante la diferencia de potential en el capacitor es AV = 
q/ C. A partir de la section 25.2 se sabe que el trabajo necesario para transferir un 
incremento de carga dq de la placa que porta la carga —q a la placa que tiene la car- 
ga q (la cual esta a mayor potential electrico) es 



dW = AVdq = - L dq 

Esto se ilustra en la figura 26.11. El trabajo total requerido para cargar el capacitor 
de q = hasta cierta carga final q = Q es 



W 



Jo C^ Cjo 



0. Q 2 



El trabajo hecho al cargar el capacitor aparece como energia potential electrica U 
almacenada en el capacitor. Por tanto, se puede expresar la energia potential alma- 
cenada en un capacitor cargado en las siguientes formas: 



Energia almacenada en un capaci- 
tor cargado 



U = ^ = ±QAV = iC(AVY 



(26.11) 



Este resultado se aplica a cualquier capacitor, sin que importe su geometria. Se ve 
que para una capacitancia dada, la energia almacenada aumenta a medida que la 




Figura 26.11 La grafica de diferencia de potencial versus carga 
para un capacitor es una h'nea recta que tiene una pendiente 1/C 
El trabajo requerido para mover la carga dqa\o largo de la diferen- 
cia de potencial A V'a traves de las placas del capacitor esta dado por 
el area del rectangulo sombreado. El trabajo total requerido para 
cargar el capacitor a una carga final Q es el area triangular bajo la 
linea recta, W= |Q A V. (No olvide que 1 V = 1 J/C; por tanto, la uni- 
dad para el area es el joule.) 



3 Se usara la q minuscula para la carga variable en el capacitor mientras se esta cargando, para distin- 
guirla de la Qmayuscula, que es la carga total en el capacitor despues de que esti completamente car- 
gado. 



26. 4 Energfa almacenada en un capacitor cargado 



815 



carga se incremental y conforme crece la diferencia de potencial. En la practica hay 
un limite para la energia (o carga) maxima que puede almacenarse porque, a 
un valor suficientemente grande de AV^ al final ocurre una descarga entre las pla- 
cas. Por esta razon los capacitores suelen etiquetarse con un voltaje de operation 



maximo. 



Pregunta sorpresa 26.3 



Usted tiene tres capacitores y una bateria. {Como combinarfa los capacitores y la baterfa en 
un circuito de modo que los capacitores almacenaran la maxima energfa posible? 



La energfa almacenada en un capacitor puede considerarse como si se estuvie- 
ra almacenando en el campo electrico creado entre las placas cuando se carga el ca- 
pacitor. Esta description es razonable en vista del hecho de que el campo electrico 
es proportional a la carga en el capacitor. Para un capacitor de placas paralelas la 
diferencia de potencial se relaciona con el campo electrico por medio de la relation 
AV= Ed. Asimismo, su capacitancia es C= e A/'d (Ec. 26.3) La sustitucion de estas 
expresiones en la ecuacion 26.11 produce 



U = l£°l(£V) = -(e Ad)E* 
2d 2 



(26.12) 



Energfa almacenada en un capaci- 
tor de placas paralelas 



Ya que el volumen V (volumen, ;no voltaje!) ocupado por el campo electrico es Ad, 
la energia por unidad de volumen u E = U/V= U/Ad, llamada densidad de energia, es 

% = KE 2 (26.13) 

Aunque la ecuacion 26.13 se obtuvo para un capacitor de placas paralelas, en gene- 
ral la expresion es valida. Es decir, la densidad de energia en cualquier campo elec- 
trico es proportional al cuadrado de la magnitud del campo electrico en'un punto 
dado. 



Densidad de energia en un campo 
electrico 




Este banco de capacitores almacena energia elec- 
trica para ser usada en el acelerador de paru'cu- 
las en FermiLab, ubicado en las afueras de Chi- 
cago. Como la companfa electrica no puede 
proveer una cantidad de energia tan grande co- 
mo para operar el equipo, estos capacitores se 
cargan lentamente de energia, la cual luego 
se "descarga" con rapidez en el acelerador. En 
este sentido la estructura es muy parecida al tan- 
que de agua contra incendios en la parte alta de 
un edificio. El tanque colecta agua y la almace-' 
na para situaciones en las cuales sea necesario 
suministrar una gran cantidad de agua en corto 
tiempo. (FermiLab Visual Media Services) 



816 



CAPlTULO 26 Capacitancia y dielfictricos 



Ejemplo32£ 



Canalization electrica de dos capacitpres cargados 



Dos capacitores C, y C 2 (donde C, > C 2 ) estan cargados a la 
misma diferencia de potencial inicial AV;, pero con polaridad 
opuesta. Los capacitores cargados se separan de la bateria y 
sus placas se conectan como se indica en la figura 26.12a. Los 
interruptores S, y S 2 se cierran despues, como se muestra en 
la figura 26.12b. a) Determine la diferencia de potencial final 
kVj entre ay* despues de que se cierran los interruptores. 

Solucion Identifique las placas del lado izquierdo de los ca- 
pacitores como un sistema aislado porque no estan conecta- 
das por conductores a las placas del lado derecho. Las cargas 
en las placas de la izquierda de los capacitores antes de que 
los interruptores se cierren son 

Q W =C,AV, y ft a = -C,AV, 

El signo negativo de Q 2 , es necesario porque la carga sobre la 
placa izquierda del capacitor C 2 es negativa. La carga total Q 
en el sistema es 

i) 'e=e„+a*,= (c 1 -c)Av i 

Despues de que se cierran los interruptores, la carga total en 
el sistema permanece sin cambio: 

2) Q=Q,/+Q 2/ 

Las cargas se redistribuyen- hasta que el sistema entero esta al 
mismo potencial AVj. En consecuencia, la diferencia de po- 
tencial final a traves. de C, debe ser la misma que la diferen- 
cia de potencial final a traves de C 2 . Para satisfacer este reque- 
rimiento las cargas en los capacitores despues de que los 
interruptores se cierran son 



Q.^C.AV, y G V =C,AV/ 
Dividiendo la primera ecuacion entre la segunda se tiene 



Qu 



Q« 



■ + 
c 2 



a) 



■ + !!- 



b) 



Figura 26.12 



Q*/ c, 



AV . = Q. /= {c ]+ c 2 ) = q 



AV 2/ = 






_*5U+&|_ 



Ci 



c, 



Como.se noto con anterioridad, AVy= AV 2 j= AVy. 

Para expresar AVy en terminos de las cantidades dadas C,, 
C 2 y A V; se sustituye el valor de Q de la ecuacion 1 ) para ob- 
tener 

'Q-QY 



AV f = 



Q + Ca j 



AV,- 



b) Encuentre la energia total almacenada en los capacito- 
res antes y despues de que los interruptores se cierran y la 
proporcion de la energia final a la energia inicial. 



9dL 

tin. 



C X AV { _ C, 
CAV f ~ C, 



3) 



Q./ = — Q-u 



Combinando las ecuaciones 2) y 3) se obtiene 



c 2 



0.2 1=0. 



+ Qa S = 0. 



2/ 



1 + 



c, 



{c l+ c 2 ) 



Usando la ecuacion 3) para encontrar Qiyen terminos de Q 
se tiene 



C, C, 

Q 1/ = - L a 2 /=- i Q 



[C.+C,) 



^ ( 
= 0, 



\ 



l c > 



Finalmente, usando la ecuacion 26.1 para encontrar el volta- 
je a traves de cada capacitor se encuentra que 



Solucion Antes de cerrar los interruptores la energia total 
almacenada en los capacitores es 

u, = | c, (A v,) 2 + 1 c 2 (A v f ) 2 = i (c, + c 2 ) (A vy 

Despues de que los interruptores se cierran, la energia total 
almacenada en los capacitores es 

17,. = l C, (AV f ) 2 + 1 C 2 (A V ; ) 2 = i (C, + C 2 ) (AV,) 2 



= l (c i ci g T = 1 QS 

2 ' \C] +Ci) 2Q + 



c« 



Usando la ecuacion 1) esto se puede expresar como 



U, = - 



i e 2 



2 (C, + Ct) 



2 (Q+Cj) 



: Por tanto, la proporcion entre las energias almacenadas final 
e inicial es 



'/ _ 



U, 



1 (C, - C 2 ) 2 (AV,) 8 

2 (C, + C,) 

^(Cj-CjXAV,)* 



[ck + c,) 



26. 4 Energfa almacenada en un capacitor cargado 



817 



Esta proportion es menor que la unidad, lo cual indica que 
la energfa final es menor que la energfa inicial. En principio 
se podria pensar que se ha violado la ley de conservation de 



la energfa, pero este no es el caso. La energfa "faltante" se ra- 
dia en forma de ondas electromagneticas, como se vera en el 
capftulo 34. 



Pregunta sorpresa 26.4 



Usted carga un capacitor de placas paralelas, lo quita de la baterfa y evita que los alambres 
conectados a las placas se toquen entre si. Cuando usted separa las placas, jlas siguientes 
cantidades se incrementan, disminuyen o permanecen iguales? a) C; b) Q; c ) E entre las 
placas; d) AV; e) la energfa almacenada en el capacitor. 



Pregunta sorpresa 26.5 



Repita la pregunta sorpresa 26.4, pero en esta ocasion responda los cuestionamientos para 
la situation en la cual la bateria permanece conectada al capacitor mientras usted separa 
las placas. 

Un dispositivo en el cual los capacitores desempenan un importante papel es el 
desfibrilador (Fig. 26.13). Cuando esta completamente cargado, se almacenan hasta 
360 J en el campo electrico de un gran capacitor en el desfibrilador. El aparato pue- 
de entregar toda esta energfa a un paciente en aproximadamente 2 ms. (jEsto es po- 
co mas o menos el equivalente a 3 000 veces la potencia de salida de un foco de 
60 W!) El repentino choque electrico detiene la fibrilacion (contracciones aleato- 
rias) del corazon que con frecuencia acompana los ataques cardiacos y ayuda a res- 
taurar el ritmo correcto. 

La unidad de destello de una camara tambien usa un capacitor, aunque la can- 
tidad total de energfa almacenada es mucho menor que la almacenada en un desfi- 
brilador. Despues de que el capacitor de la unidad de destello se ha cargado, activar 
el disparador de la camara provoca que la energfa almacenada sea enviada a traves 
de un foco especial que ilumina brevemente al sujeto que sera fotografiado. 



Para aprender mas acerca de la destibrilaci6n vi- 
sile www.physiocontrol.com 




Figura 26.13 En un hospital o 

en una escena de emergencia, us- 
ted podra ver a un paciente mien- 
tras es revivido con un desfibrila- 
dor. Las paletas del desfibrilador 
se aplican aj pecho del paciente 
y se envia un choque electrico al 
corazon a traves de la cavidad to- 
racica. El objetivo de esta tecnica 
es restaurar el ritmo cardiaco nor- 
mal. (Adam Hart-Davis/Science 
Photo Library/Photo Researchers, 
Inc.) 



818 



CAPITULO 26 Capacitancia y dielSctricos 



CAPACITORES CON DIELECTRICOS 

Un dielectrico es un material no conductor, como el caucho, el vidrio o el papel en- 
cerado. Cuando un material dielectrico se inserta entre las placais de un capacitor 
aumenta la capacitancia. Si el dielectrico llena por completo el espacio entre las pla- 
cas, la capacitancia aumenta en un factor adimensional k, conocido como constan- 
te dielectrica. La constante dielectrica es una propiedad del material y varia de un 
material a otro. En esta section se analiza este cambio en capacitancia en terminos 
de parametros electricos tales como carga electrica, campo electrico y diferencia de 
potencial; en la seccion 26.7 se estudiara el origen microscopico de estos cambios. 
Es posible efectuar el siguiente experimento para ilustrar el efecto de un dielec- 
trico en un capacitor. Considere un capacitor de placas paralelas que sin un dielec- 
trico tiene carga Q y capacitancia C . La diferencia de potencial en el capacitor es 
AV = Q /C . La figura 26.14a ilustra esta situation. La diferencia de potencial se 
mide mediante un xioUimetro, aparato que se estudiara con mayor detalle en el capf- 
tulo 28. Advierta que no se muestra ninguna bateria en la figura; ademas, debe su- 
poner que no puede fluir carga a traves de un voltimetro ideal, como se aprendera 
en la seccion 28.5. En consecuencia, no existe una trayectoria por la cual pueda fluir 
la carga y alterar la carga en el capacitor. Si ahora se inserta un dielectrico entre las 
placas, como se muestra en la figura 26.14b, el voltimetro indica que el voltaje en- 
tre las placas disminuye a un valor AV. Los voltajes con y sin dielectrico se relacio- 
nan mediante el factor k del modo siguiente: 



AV = 



AV a 



La capacitancia de un capacitor lie- 
no es mas grande que la de uno 
vacfo por un factor k. 



Puesto que AV< AV , se ve que k > 1. 

En vista de que la carga Q en el capacitor no cambia, se concluye que la capa- 
citancia debe cambiar hacia el valor 



AV 
C = kC 



AV /k AV 



(26.14) 



Es decir, la capacitancia aumenta en el factor k cuando el dielectrico llena por com- 
pleto la region entre las placas. 4 Para un capacitor de placas paralelas, donde C = 
e A/d (Ec. 26.3), se puede expresar la capacitancia cuando el capacitor esta lleno 
con un dielectrico como 



C = K 



e„A 



(26.15) 



De acuerdo con las ecuaciones 26.3 y 26.15, pareceria que la capacitancia pue- 
de hacerse muy grande mediante la reduccion de d, la distancia entre las placas. En 
la practica el valor mas bajo de d esta limitado por la descarga electrica que puede 
ocurrir a traves del medio dielectrico que separa las placas. Para cualquier separa- 
cion dada d, el maximo voltaje que puede aplicarse a un capacitor sin producir una 
descarga depende de la resistencia dielectrica (campo electrico maximo) del dielec- 
trico. Si la magnitud del campo electrico en el dielectrico supera a la resistencia die- 
lectrica, las propiedades aislantes se deterioran y el dielectrico empieza a conducir. 
Los materiales aislantes tienen valores de k mas grandes que la unidad y resistencias 



* Si el dielectrico se introduce mientras la diferencia de potencial permanece constante por mfr 
una bateria, la carga aumenta hasta un valor Q= kQ . La carga adicional la proporciona la b" 
la capacitancia seguira aumentando por el factor k. 



26.5 Capacitores con diel&tricos 



819 



Dielectrico 
J- 





a) 



b) 



Figura 26.14 Un capacitor cargado a) antes y b) despues de la insertion de un dielectrico entre las 
placas. La carga en las placas permanece invariable, pero la diferencia de potencial disminuye desde 
AVJ, hasta A V= AV /k. Por tanto, la capaci'tancia aumenta de Q a kQ. 



dielectricas mayores que las del aire, como indica la tabla 26.1- De este modo, se ve 
que un dielectrico brinda las siguientes ventajas: 

• Aumenta la capacitancia 

• Aumenta el voltaje de operation maximo 

• Posible s'oporte mecanico entre las placas, lo cual permite que las placas esten muy 
juntas sin tocarse, de este modo d disminuye y C aumenta 






Material 



materiales a temperature ambiente 

Constante Reastencia 

dielectrica k dielectrica" (V/m) 



Aire (seco) 


1.000 59 


3x 10 6 


Baquelita 


4.9 


24 x 10 6 


Vidrio de cuarzo 


3.78 


8 x 10 6 


Goma de neopreno 


6.7 


12 x 10 6 


Nsdlon 


3.4 


14 x 10 6 


Papel 


3.7 


16 x 10 6 


Poliestireno 


2.56 


24 x 10 6 


Cloruro de polivinilo 


3.4 


40 x 10 6 


Porcelana 


6 


12 x 10 6 


Vidrio pyrex 


5.6 


14 x 10 6 


Aceite de silicio 


' 2.5 


15 x 10 6 


Titanato de estroncio 


233 


8x 10 6 


Teflon 


2.1 


60 x 10 6 


Vacio 


1.000 00 


— 


Agua 


80 


— 



* La resistencia dielectrica es igual al campo electrico maximo que puede exis- 
tir en un dielectrico sin ruptura electrica. Advierta que estos valores dependen 
enormemente de la presencia de impurezas e imperfecciones en los materiales. 



820 



CAPITULO 26 Capacitancia y dieltetricos 





a) Fotografia Kiriian creada al dejar caer una bola de acero en un cartipo electrico de alta energia. La 
fotografia Kiriian tambien se conoce como electrofolografia. b) Chispas de una descarga de electricidad 
estatica entre un tenedor y cuatro electrodos. Para crear esta imagen se usaron muchas chispas, pues 
solo se forma una chispa para una descarga dada. Observe que el diente inferior descarga a los dos 
electrodos en la parte inferior derecha. La luz de cada chispa es creada por la excitacion de los atp- 
mos de gas a lo largo de su trayectoria. (a, Henry Dakin/Scimce Photo Library; b, Adam Hart-Davis/Scimce Photo 
Library) . , 



Tipos de capacitores 

Los capacitores comerciales suelen fabricarse utilizando laminas metalicas intercala- 
das con delgadas hojas de papel impregnado de parafina o Mylar, los cuales sirven 
como material dielectrico. Estas capas alternadas de hoja metalica y dielectrico des- 
pues se enrollan en un cilindro para formar un pequerio paquete (Fig. 26.15a). Los 
capacitores de alto voltaje por lo comun constan de varias placas metalicas entrela- 
zadas inmersas en aceite de silicio (Fig. 26.15b). Los capacitores pequerios en mu- 
chas ocasiones se construyen a partir de materiales ceramicos. Los capacitores varia- 
bles (por lo comun de 10 a 500 pF) suelen estar compuestos de dos conjuntos de 
placas metalicas entrelazadas, uno fijo y el otro movil, con aire como dielectrico. 
Un capacitor electrolitico se usa con frecuencia para almacenar grandes cantidades 
de carga a voltajes relativamente bajos. Este dispositivo, mostrado en la figura 26.15c, 
consta de una hoja metalica en contacto con un electrolito — una solution que con- 
duce electricidad debido al movimiento de iones contenidos en la solution. Cuan- 
do se aplica un voltaje entre la hoja y el electrolito, una delgada capa de oxido me- 
talico (un aislante) se forma en la hoja y esta capa sirve como el dielectrico. Se 



Hoja de metal 



Placas 




Empaque 



Electrolito 




Contactos 
Hoja metalica + capa de oxido 

c) 



Figura 26.15 Tres disenos de capacitores comerciales. a) Un capacitor tubular, con las placas sepa- 
radas por papel y enrolladas en un cilindro. b) Un capacitor de alto voltaje consta de muchas placas 
paralelas separadas por aceite aislante. c) Un capacitor electrolitico. 



26.5 Capacitores con dielfectricos 



821 



pueden obtener valores muy grandes de capacitancia en un capacitor electrolndco 
debido a que la capa dielectrica es muy delgada y por ello la separation de placas es 
muy pequena. ' 

Los capacitores electroliticos no son reversibles, como lo son muchos otros ca- 
pacitores — restos tienen polaridad, lo cual esta indicado por signos positivo y nega- 
tivo marcados sobre el dispositive Cuando se utilizan capacitores electroliticos en 
circuitos, la polaridad debe alinearse de manera apropiada. Si la polaridad del vol- 
taje aplicado es opuesta a la que se pretende, la capa de oxido se elimina y el capa- 
citor conduce electricidad en lugar de almacenar carga. 



Pregunta sorpresa 26.6 



St usted ha intentado en alguna ocasion colgar un cuadro, sabe que puede ser dificil Ioca- 
lizar un taquete de madera en el cual colocar su clavo o tornillo. El buscador de taquete de 
un carpintero basicamente es un capacitor con sus placas arregladas lado a lado en lugar 
de enfrentarse una a la otra, como se nvuestra en la figura 26.16. Cuando el dispositivo se' 
mueve sobre un taquete, jla capacitancia se incrementa o disminuye? 



Taquete 



Placas del 
capacitor 




Busca taquetes 



Pared 




a) 



b) 



Figura 26.16 Un busca taquetes. a) Los materiales entre las placas del capacitor son la pared y el ai- 
re, b) Cuando el capacitor se mueve a traves de un taquete en la pared, los materiales entre las placas 
son la pared y la madera. El cambio en la constante dielectrica provoca que una luz de serialization se 
ilumine. 



Ejemplo 



Un capacitor relleno de papel 



Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2.0 cm papel es de 1.0 mm, el maximo voltaje que se puede aplicar 
por 3.0 cm y estan separadas por un espesor de papel de antes de la ruptura es 



1.0 mm. a) Determine la capacitancia. 

Solucidn Puesto que k = 3.7 para el papel (vease la tabla 
26.1), se tiene : 

C = k^I = 3 .7( 8.85 x 10- CVN • „«) f^iH^l 
d ^1.0xl0- 3 m 

= 20xl0" 12 F= 20 pF 

b) jCual es la carga maxima que se puede colocar en el ca- 
pacitor? 

* 
Solucidn A partir de la tabla 26.1 se ve que la resistencia 
dielectrica del papel es 16 x 10 6 V/m. Como el espesor del 



AV^ = E^d = (16 x 10 6 V/m)(1.0 x 10" 3 m) 
= 16xl0 3 V 
Por tanto, la carga maxima es 

Q_^ = CA V^ = (20 x 10- 12 F) (16 x 10 s V) = 0.32 ,<£ 

Ejercido <;Cual es la maxima energia que puede almacenar- 
se en el capacitor? 

Respuesta 2.6 x io- 3 J. 



822 



CAPfTUL 26 Capacitancia y diel&tricos 



EjEMPUfff 



Energia almacenada antes y despues 



Un capacitor de placas paralelas se carga con una bateria has- 
ta una carga Q,, como se muestra en la figura 26.17a. Despues 
se elimina la bateria y se inserta entre las placas una lamina 
de material que tiene una constante dielectrica k, como se 
muestra en la figura 26.17b. Encuentre la energia almacena- 
da en el capacitor antes y despues de insertar el dielectrico. 

Solucion La energia almacenada en ausencia del dielectri- 
co es (vease la Ec. 26. 1 1 ) : 



U n = 



01 

2C 



Despues de que se quita la bateria y se inserta el dielectrico, 
la carga en el capacitor permanece iguaL Por consiguiente, la 
energia almacenada en presencia del dielectrico es 



U = 



Sol 
2C 



Pero la capacitancia en presencia del dielectrico es C= /cC„, 
por tanto, Use convierte en 



U = ^° = ~ u 

2KC n 



U ± 
K 



Puesto que k > 1-, la energia final es menor que la energia ini- 
cial. Esta energia "faltante" puede explicarse observando que, 
cuando Se inserta el dielectrico, este es atraido hacia el inte- 
rior del dispositivo (vease el siguiente analisis y la figura 
26.18). Un agente externo debe efectuar trabajo negativo pa- 
ra evitar que el dielectrico acelere. Este trabajo es simplemen- 
te la diferencia U— U . (De manera alternativa, el trabajo po- 
sitivo hecho por el sistema sobre el agente externo es U — U.) 



Ejercitio Suponga que la capacitancia en ausencia de un 
dielectrico es 8.50 pF y que el capacitor se carga hasta una di- 
ferencia de potencial de 12.0 V. Si la bateria se desconecta y 
se inserta una lamina de poliestireno entre las placas, £cual es 
U -V7 

Respuesta 373 pj. 



do 



AV n 



a) 







Dielectrico 


/ 


Go! 






+ ■ 








b) 




Figui 


a 26.17 



Como se expuso, la energia de un capacitor no conectado a una bateria se re- 
duce cuando se inserta un dielectrico entre las placas, lo que significa que el agen- 
te externo que inserta el dielectrico en el capacitor efectua trabajo negativo sobre el 
dielectrico. Esto, a su vez, supone que debe funcionar en el dielectrico una fuerza 
que lo atrae hacia el interior del capacitor. Esta fuerza se origina de la naturaleza no 
uniforme del campo electrico del capacitor cerca de sus bordes, como se indica en 
la figura 26.18. La componente horizontal de este campo del fconieactua sobre las car- 
gas inducidas en la superficie del dielectrico produciendo una fuerza horizontal ne- 
ta dirigida hacia el espacio entre las placas del capacitor. 



Pregunta sorpresa 26.7 



Un capacitor de placas paralelas completamente cargado permanece conectado a una ba- 
teria mientras usted desliza un dielectrico entre las placas. ^Las siguientes cantidades se in- 
crementan, disminuyen o permanecen iguales? a) C; b) Q; c) £ entre las placas; d) AV; e) 
la energia almacenada en el capacitor. 



26.6 Dipolo el&trico en un campo elfctrico 



823 




Figura 26.18 El campo electrico no uniforme cerca de los extremos de un capacitor de placas para- 
lelas provoca que un dielectrico sea atraido hacia el capacitor. Advierta que el campo acttia sobre las 
cargas superficiales inducidas en el dielectrico, las cuales estan distribuidas de manera no uniforme. 



Section optional 

DIPOLO ELECTRICO EN UN CAMPO ELECTRICO 



Se ha analizado el efecto sobre la capacitancia de colocar un dielectrico entre las 
placas de un capacitor. En la seccion 26.7 se describira el origen microscopico de es- 
te efecto. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario abundar en el estudio del di- 
polo electrico que se comerizo en la seccion 23.4 (vease el ejemplo 23.6). El dipolo 
electrico consta de dos cargas de igual magnitud pero signo opuesto separadas por 
una distancia 2a, como se muestra en la figura 26.19. El momento de dipolo electri- 
co de esta configuration se define como el vector p que esta dirigido de -q a +q a 
lo largo de la liriea que une las cargas, y cuya magnitud es 2a q: 

ps2aq (26.16) 

Suponga ahora que se pone un dipolo electrico en un campo electrico unifor- 
me E como se ilustra en la figura 26.20. Se idendfica E como el campo extemo al di- 
polo, distinguiendolo del campo debido al dipolo, el cual se analizo en la seccion 23.4. 
El campo E es establecido por alguna otra distribution de carga, y el dipolo se colo 
ca en este campo. Imagine que el momento de dipolo forma un angulo 9 con el 
campo. 

Las fuerzas electricas que actuan sobre las dos cargas son iguales en" magnitud 
pero opuestas en direction, como se indica en la figura 26.20 (cada una tiene una 
magnitud F= qE). Asf, la fuerza neta sobre el dipolo es cero. Sin embargo, las dos 
fuerzas producen un momento de torsion neto sobre el dipolo; como resultado, el 
dipolo tiende a girar en la direction que proporciona al vector momento de dipo- 
lo la mayor alineacion con el campo. El momento de torsion debido a la fuerza 
sobre la carga positiva en torno de un eje que pasa por O en la figura 26.20 es Fa 
sen 0, donde a sen 6 es el brazo de momento de Falrededor de O. Esta fuerza tien- 
de a producir una rotation en la direction de las manecillas del reloj. El momen- 
to de torsion alrededor de O sobre la carga negativa es tambien Fa sen 8; aqui, de 
nuevo, la fuerza tiende a producir una rotation en la direction de las manecillas del 
reloj. Por tan to, el momento de torsion neto respecto de O es 

t = 2Fa sen 6 



Ya que F= qEy p = 2aq, se puede expresar t como 

t = 2aqE sen 6 = pE sen 



+ 9 




Figura 26.19 Un dipolo electrico 
consta de dos cargas de igual magni- 
tud pero signo opuesto separadas por 
una distancia de 2a. El momento de 
dipolo electrico p esta dirigido de -q 
a +q. 




(26.17) 



Figura 26.20 Un dipolo electrico 
en un campo electrico extemo uni- 
forme. El momento de dipolo p esta 
a un angulo al campo, lo que provo- 
ca que el dipolo experimente un mo- 
mento de torsion. 



824 



CAPiTULO 26 Capacitancia y diel&tricos 



Momento de torsion sobre un di- 
polo electrico en un campo electri- 
co externo . 



Energia potential de un dipolo en 
un campo electrico 



Es conveniente expresar el momento de torsion en forma vectorial como el produc- 
to cruz de los vectores p y E: 

r = pxE (26.18) 

Se puede determinar la energia potencial del sistema de un dipolo electrico en 
un campo electrico externo como una funcion de su orientation respecto del cam- 
po. Para hacerlo debe tenerse en cuenta que un agente extemo debe realizar traba- 
jo para rotar el dipolo un angulo tal que haga que el vector del momento de dipo- 
lo se vuelva menos alineado con el campo. El trabajo efectuado se almacena como 
energia potencial en el sistema, el cual se compone del dipolo y el campo externo. 
El trabajo dWrequerido para rotar el dipolo a traves de un angulo dd es dW= r d6 
(Ec. 10.22). Ya que t = pE sen 6, y en vista de que el trabajo se transforma en ener- 
gia potencial U, se encuentra que, para una rotation de 0, a 8 f , el cambio de ia 
energia potencial es 

U f - Ui = y Td9 = ypE senOdd = pEysenddf) 

= pE[- cos of' = pE(cos6 t -cos fly) 

El termino que contiene cos 0, es una constante que depende de la orientation 
initial del dipolo. Es conveniente elegir B { = 90°, de modo que cos 0, = cos 90° = 0. 
Ademas, elija ^=0en 0, = 90° como la energia potencial de referencia. En conse- 
cuencia, se puede expresar un valor general de U= Lycomo 

U=-pE cos 6 (26.19) 

Esta expresion para la energia potencial de un dipolo en un campo electrico se pue- 
de escribir como el producto punto de los vectores p y E: 

t/=-p-E (26.20) 

Para desarrollar una interpretation conceptual de la ecuacion 26.19 compare es- 
ta expresion con la que se describe la energia potencial de un objeto en el campo 
gravitational de la Tierra, U= mgh (vease el capitulo 8). La expresion gravitational 
incluye un parametro asociado con el objeto que se coloca en el campo — su masa 
to. De manera similar, la ecuacion 26.19 incluye un parametro del objeto en el cam- 
po electrico — su momento de dipolo p. La expresion gravitational incluye la mag- 
nitud del campo gravitational g. De igual modo, la ecuacion 26.19 incluye la magni- 
tud del campo electrico E. Hasta aqui estas dos contribuciones a las expresiones de 
la energia potencial aparecen analogas. Sin embargo, la contribution final es algo 
diferente en los dos casos. En la expresion gravitational la energia potencial depen- 
de de cuan alto se eleve al objeto medido por h. En la ecuacion 26.19 la energia po- 
tential depende del angulo 6 a traves del cual se gira el dipolo. En ambos casos se 
esta haciendo un cambio en el sistema. En el caso gravitational el cambio involucra 
mover un objeto en un sentido traslacional, mientras que en el caso electrico el cam- 
bio involucra mover un objeto en un sentido rotational. Sin embargo, en ambos ca- 
sos, una vez realizado el cambio, el sistema tiende a regresar a su configuration ori- 
ginal cuando el objeto es liberado: el objeto de masa to cae de vuelta al suelo, y el 
dipolo comienza a rotar de regreso hacia la configuration en la cual estaba alinea- 
do con el campo. En consecuencia, aparte del tipo de movimiento, las expresiones 
para la energia potencial en estos dos casos son similares. 

Se afirma que las moleculas estan polarizadas cuando hay una separation entre 
la position promedio de las cargas negativas y la position promedio de las cargas po- 
sitivas en la molecula. En algunas moleculas, como el agua, esta condition siempre 
esta presente. Tales moleculas se conocen como moleculas polares. Las moleculas 
que no poseen una polarization permanente se Hainan moleculas no polares. 



26.6 Dipolo elfctrico en un campo electrico 



825 



Se puede comprender la polarization permanente del agua al examinar la geo- 
metria de la molecula del agua. Esta se encuentra arreglada de modo que el atomo 
de oxfgeno esta ligado a los atomos de hidrogeno con un angulo de 105° entre los 
dos enlaces (Fig. 26.21). El centro de la distribution de carga negativa esta cerca del 
atomo de oxigeno, y el centro de la distribution de carga positiva esta en un punto 
a la mi tad de la lfnea que une los atomos de hidrogeno (el punto marcado con x 
en la figura 26.21). Se puede modelar la molecula de agua y otras moleculas pola- 
res como dipolos porque las posiciones promedio de las cargas positiva y negativa 
actuan como cargas puntuales. Como resultado, se puede aplicar el analisis de los 
dipolos al comportamiehto de las moleculas polares. 

Los homos de microondas sacan ventaja de la naturaleza polar de la molecula 
del agua. Cuando estan funcionando, los homos de microondas generan un campo 
electrico que cambia rapidamente, lo cual provoca que las moleculas polares se ba- 
lanceen hacia atras y hacia adelante absorbiendo energia del campo en el proceso. 
Puesto que las moleculas amontonadas chocan una cori otra, la energia que absor- 
ben del campo se convierte en energia interna, lo cual corresponde a un incremen- 
to en la temperatura de la comida. 

Otro escenario casero en el cual se explota la estructura dipolar del agua es al 
lavar con agua y jabon. La grasa y el aceite estan hechos de moleculas no polares, 
las cuales generalmente no son atrafdas hacia el agua. El agua del grifo no es muy 
litdl para remover este tipo de mugre. El jabon contiene grandes moleculas denomi- 
nadas surfactantes. En una gran molecula las caracteristicas de polaridad de un ex- 
tremo de la molecula pueden ser diferentes de las caracteristicas en el otro extre- 
me En una molecula surfactante un extremo actiia como una molecula no polar y 
el otro actiia como una molecula polar. El extremo no polar puede iinirse a una mo- 
lecula de grasa o aceite, y el extremo polar puede unirse a una molecula de agua. 
En consecuencia, el jabon funciona como una cadena que enlaza las moleculas de 
mugre y agua. Cuando el agua se hace correr, la grasa y el aceite se van con ella. 

Una molecula simetrica (Fig. 26.22a) no tiene polarization permanente, aun- 
que se podria inducir una polarization al colocar la molecula en un campo electri- 
co. Un campo dirigido hacia la izquierda, como se ilustra en la figura 26.22b, oca- 
sionaria que el centro de la distribution de carga positiva se desplazara hacia la 
izquierda desde su position initial, y que el centro de la distribution de carga nega- 
tiva se moviera hacia la derecha. Esta polarizaci&n inducida es el efecto que predomi- 
na en la mayor parte de los materiales usados como dielectricos en capacitores. 



O 




Figura 26.21 La molecula de agua 
H 2 tiene una polarization perma- 
nente debido a su geometria curva. El 
centro de la distribution de carga po- 
sitiva esta en el punto x. 



a) 



. b) 

Figura 26.22 a) Una molecula 
simetrica no tiene polarizacion per- 
manente. b) Un campo electrico ex- 
terno induce una polarizacion en la 
molecula. 



EjEMPU>Wt 



La molecula de H,0 



La molecula de agua (H 2 0) tiene un momento de dipolo 
electrico de 6.3 x 10 _so C • m. Una muestra contiene 10 21 mo- 
leculas de agua, cuyos momentos de dipolo estan orientados 
en su totalidad en la direction de un campo electrico de 
2.5 x 10 5 N/C de magnitud. ^Cuanto trabajo se requiere pa- 
ra girar los dipolos a partir de esta orientation (6 = 0°) hasta 
una en la cual todos los momentos de dipolo son perpen- 
diculares al campo (0 = 90°)? 

Solution El trabajo necesario para girar una molecula en 
90° es igual a la diferencia de energia potential entre la orien- 
tation de 90° y la orientation de 0°. Con la ecuacion 26.19 se 
obtiene 



W = Ugo - U = (-pE cos 90°) - (-/>£cos0°) 
= pE = (6.3 x 10- M C m)(2.5 x 10 5 N/C) 
= 1.6xl0" 24 J 

Puesto que hay 10 21 moleculas en la muestra, el trabajo total 
requerido es 

W«d = (10 2l )(1.6 x 10- 24 J) = 1.6 x 10- S J 



826 



CAPITULO 26 Capacitancia y diel&tricos 



Section optional 

UNA DESCRIPCION ATOMICA DE LOS DIELECTRICOS 




a) 




•►Eo 



b) 



Figura 26.23 a) Las moleculas po- 
lares estan orientadas de manera alea- 
toria en ausencia de un campo elec- 
trico externo. b) Cuando se aplica un 
campo externo, las moleculas se ali- 
nean parcialmente con el campo. 



En la seccion 26.5 se encontro que la diferencia de potencial A V entre las placas de 
un capacitor se reduce a AV /k cuando se introduce un dielectrico. Puesto que la 
diferencia de potencial entre las placas es igual al producto del campo electrico y la 
separacion d, el campo electrico tambien se reduce. De este modo, si E es el cam- 
po electrico sin el dielectrico, el campo en presencia del dielectrico es 



K 



(26.21) 



Considere primero un dielectrico hecho de moleculas polares colocadas en el 
campo electrico entre las placas de un capacitor. Los dipolos (es decir, las molecu- 
las polares que configuran el dielectrico) se orientan aleatoriamente en ausencia de 
campo electrico, como se muestra en la figura 26.23a. Cuando se aplica un campo 
externo E debido a las cargas en las placas del capacitor, se ejerce un momento de 
torsion sobre los dipolos, lo que origina que estos esten parcialmente alineados con 
el campo, como se muestra en la figura 26.23b. Ahora se puede describir el dielec- 
trico como polarizado. EI grado de alineacion de las moleculas con el campo elec- 
trico depende de la temperatura y de la magnitud del campo. En general, el alinea- 
miento aumenta con la reduccion de temperatura y con el aumento de la intensidad 
del campo electrico. 

Si las moleculas del dielectrico son no polares, entonces el campo electrico de- 

"bido a las placas produce cierta separacion de carga y un momento de dipolo inducido. 

Dichos momentos de dipolo inducidos tienden a alinearse con el campo externo, y 

el dielectrico esta polarizado. Por tanto, se puede polarizar un dielectrico con un 

campo externo sin irnportar si las moleculas son polares o no polares. 

A partir de estas ideas, considere una lamina de material dielectrico colocada 
entre las placas de un capacitor de modo que este en un campo electrico uniforme 
E„, como se muestra en la figura 26.24a. El campo electrico debido a las placas esta 
dirigido hacia la derecha y polariza al dielectrico. El efecto neto en el dielectrico es 
la formacion de una densidad de carga superficial positiva inducida cr ind sobre la ca- 
ra derecha y una densidad de carga superficial negativa igual -o- ini sobre la cara iz- 
quierda, como se ilustra en la figura 26.24b. Estas cargas superficiales inducidas en 
el dielectrico producen el aumento hasta un campo electrico inducido E ind que se 
opone al campo externo E ..Por consiguiente, el campo electrico neto E en el die- 
lectrico tiene una magnitud \ 



■*-E„ 












-*"E 




- 












E ind 




°"ind 































b) 



Figura 26.24 a) Cuando un dielectrico se polariza, los momentos de dipolo de las moleculas en el 
dielectrico estan parcialmente alineadas con el campo externo E„. b) Esta polarizacion causa una car- 
ga superficial inducida negativa sobre un lado del dielectrico y una carga superficial inducida positiva 
igual sobre el lado opuesto. Esta separacion de carga resulta en una reduccion en el campo electrico 
neto en el dielectrico. 



26. 7 Una descripcidn afomica de los diel&tricos. 



827 



E=E -E„ 



(26.22) 



En el capacitor de placas paralelas mostrado en la figura 26.25 el campo exter- 
no E se relaciona con la densidad de carga a sobre las placas por medio de la rela- 
tion E = o/e . El campo electrico inducido en el dielectrico se relaciona con la den- 
sidad de carga inducida <x ind por medio de la relation £ ind = <r ind /e . Puesto que E = 
E /k = ct/k€ , la sustitucion en la ecuacion 26.22 produce 



a _ a 
( 

0"ind = 



0"ind 



K-\ 



\ 



(26.23) 



Ya que k > 1, esta expresion muestra que la densidad de carga a ind inducida en el 
dielectrico es menor que la densidad de carga cr sobre las placas. Por ejemplo, si 
k = 3, se ve que la densidad de carga inducida.es dos tercios de la densidad de car- 
ga sobre las placas. Si no hay dielectrico presente,, k = 1 y a,„ d = 0, como se espera- 
ba. Sin embargo, si el dielectrico se sustituye por un conductor electrico, para el cual 
E = 0, entonces la ecuacion 26.22 muestra que E = £ ind ; esto corresponde a a in6 = 
or. Es decir, la carga superficial inducida sobre el conductor es igual en magnitud pe- 
ro opuesta en signo a la correspondiente a las placas, lo que produce un campo elec- 
trico neto de cero en el conductor. 



-°"ind °"ind -O 



I 

- + - 

i 

I- 

+ i- 

+ ;- 

- + i-: 

- ' + hi 

- + 1 .-] 



Figura 26.25 Carga inducida en un 
dielectrico colocado entre las placas 
de un capacitor cargado. Advierta que 
la densidad de carga inducida en el 
dielectrico es menor que la densidad 
de carga en las placas. 



Ejemplo^M 



Efecto de una lamina metalica 



Un capacitor de placas paralelas tiene una separation de pla- 
ca d y un area de placa A. Una lamina metalica descargada de 
espesor a se inserta en la parte media entre las dos placas. (a) 
Determine la capacitancia del dispositivo. 

Solution Este problema puede resolverse al observar que 
cualquier carga que aparezca sobre una placa del capacitor 
debe inducir una carga de igual magnitud pero signo opues- 
to sobre el lado mas cercano de la lamina metalica, como se 
muestra en la figura 26.26a. En consecuencia, la carga neta 
sobre la lamina metalica permanece igual a cero, y el campo 
electrico dentro de la misma es cero. Por tanto, el capacitor 
es equivalente a dos capacitores en serie, cada uno con una 
separation de placas {d - a)/2, como se ilustra en la figura 
26.26b. 

Al usar la regla para sumar dos capacitores en serie (Ec. 
26.10) se obtiene 

i-_L 1 _ 1 1 

C Q Cj epA e a A ■ 

{d - a)/2 (d - a)/2 

d — a 

Advierta que C tiende al infinito cuando a se acerca a d. jPor 
que? 

b) Muestre que el hecho de que la lamina metalica sea in- 
finitesimalmente delgada no afecta a la capacitancia. 



Solution En el resultado de la parte a) se hace que a — » 0: 

o-»o d — a d 
que es la capacitancia original. 



(d-a)/2 



|.4a» Btivjaw^wjil (J 



. T 

a a 



(d-a)/2 



#'■■ --i*:-: -■■■*" ■'>■?■■ .+' 



(d-a)/2 



\{d-a)/2 



a) 



b) 



Figura 26.26 a) Un capacitor de placas paralelas cuya separacion 
de placa d esta parcialmente llena con una lamina metalica de espe- 
sor a. b) El circuito equivalente del dispositivo de la parte a) consta 
de dos capacitores en serie, cada uno con una separacion de placa 
igual a (d- a)/2. 



828 



CAPiTULO 26 Capacitancia y diel&tricos 



c) Muestre que la respuesta a la parte a) no depende de 
donde se inserte la lamina. 

Solution Imagine que la lamina en la figura 26.26a se mue- 
ve hacia arriba de modo que la distancia entre el extremo su- 
perior de la lamina y la placa superior es 6. Entonces, la dis- 
tancia entre el extremo inferior de la lamina y la placa inferior 
es d - b — a. La capacitancia total de la combinacion en serie 
se encuentra como en la parte a) : 



1 



1 




1 




1 




1 


c 


~ * 


c, 


+ 


c 2 




e n A 



€ A 



d - b — a 



C = 



b 

e A 
e A 
d - a 



d-b- 



e A 



enA 



Este es el mismo resultado que el de la parte a), y es indepen- 
diente del valor de b, asf que no importa donde este ubicada 
la lamina. 



Ejemplo 26i$]Q^ Un capacitor parcialmente lleno 

Un capacitor de placas paralelas con una separacion de pla- 
cas d tiene una capacitancia Q, en ausencia de un dielectrico. 
jCual es la capacitancia cuando una lamina de material die- 
lectrico de constante dielectrica k y espesor ^d se inserta en- 
tre las placas (Fig. 26.27a)? 



> d \ 




■ 


1 

K | 


_3 




J 


i 

■ 



a) 



H 



Ci 



b) 
Figura 26.27 a) Un capacitor de placas paralelas de separacion de 
placas d lleno parcialmente con un dielectrico de espesor d/3. 
b) El circuito equivalente del capacitor se compone de dos capaci- 
tores conectados en serie. 



Solution En el ejemplo 26.9 se encontro que se podia in- 
sertar una lamina metalica entre las placas de un capacitor y 
considerar la combinacion como dos capacitores en serie. La 
capacitancia resultante fue independiente de la ubicacion de 
la lamina. Ademas, si el espesor de la lamina tiende a cero, 
entonces la capacitancia del sistema tiende a la capacitancia 
cuando la lamina esta ausente. A partir de esto se concluye 
que se' puede insertar una lamina metalica infinitesimalmen- 
te delgada en cualquier parte entre las placas de un capacitor 
sin afectar la capacitancia. En consecuencia, imagine que des- 
liza una lamina metalica infinitesimalmente delgati, „• lo lar- 
go de la cara inferior del dielectrico mostrado en ia figura 
26.27a. Entonces se puede considerar este sistema como la 
combinacion en serie- de los dos capacitores mostrados en 
la figura 26.27b: urio con una separacion de placa d/3 y lle- 
no con un dielectrico, y el otro con una separacion de placas 
2d/S y aire entre las placas. 

De las ecuaciones 26.15 y 26.3, las dos capacitancias son 



C, = 



K€ A 

d/3 



C 2 = 



K€ A 

2d/3 



Al emplear la ecuacion 26.10 para los dos capacitores combi- 
nados en serie se obtiene 

d/3 2 d/3 



1 = J_ 1 

C C] C^ K€qA €nA 

3e A{K ) 3coA{ .* ) 

c _( 3/c y A 

{2K+1) d 

Puesto que la capacitancia sin el dielectrico es Q = eoA/d, se 
•ve que 



C = 



3k 



2k + 1 



Q 



Resumen 829 



Resumen 

Un capacitor se compone de dos conductores que tienen cargas de igual magnitud 
pero signo opuesto. La capacitancia C de cualquier capacitor es la relation entre la 
carga £) en cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial A Ventre ellos: 

C=-^- (26.1) 

AV 

Esta relacion se puede usar en situaciones en las cuales se conozca cualesquiera dos 
de las tres variables. Es importante recordar que esta proportion es constante para 
una configuration dada de conductores porque la capacitancia depende solo de la 
geometria de los conductores y no de una fuente de carga, externa o diferencia de 
potencial. 

La unidad de capacitancia del SI es el coulomb por volt, o el farad (F), y 1 F = 
1 C/V. 

Se resumen expresiones de la capacitancia para varias geometrfas en la tabla 26.2.- 
Si dos o mas capacitores estan conectados en paralelo, entonces la diferencia de 
potencial es la misma a traves de todos ellos. La capacitancia equivalente de una 
combinacion de capacitores en paralelo es 

C eq =C, + C 2 +C s +... 126.8) 

Si dos o mas capacitores estan conectados en serie, la carga es la misma en to- 
dos ellos, y la capacitancia equivalente de la combinacion en serie esta dada por 

1111 

7^~ = F + r~ + 7 r + ••• (26.10) 

Estas dos ecuaciones le permitiran simplificar muchos circuitos electricos al reem- 
plazar capacitores multiples con un solo capacitor equivalente. 

Se necesita trabajo para cargar un capacitor en virtud de que el proceso de car- 
ga equivale a la transferencia de cargas de un conductor a un potencial electrico me- 
nor a otro conductor a un potencial mas alto. El trabajo efectuado al cargar el ca- 
pacitor hasta una carga Qes igual a la energia potencial electrica f/almacenada en 
el capacitor, donde 

2C 2K *. (26.11) 



T/»fiL4 26.2 Capacitancia y geometria 

Geometxia Capacitancia Ecuaci6h 

Esfera cargada aislada de radio 
R (segundo conductor C = lire^R 26.2 

cargado supuesto en el infinito) 

Capacitor de placas paraielas ^ 

con area de placa Ay C = e o ~ 26.3 

separacion de placa d 



Capacitor cilindrico de longitud C = 



€ y radios interior y exterior 2fe,lrJ — 26.4 

a y b, respectivamente >■ a ' 



Capacitor esferico con radios . 

interior y exterk ' " 

respectivamente 



interior y exterior ay b, , C = 26.6 

k e {b - a) 



830 CAPfTUL0 26 Capacitancia y diel6ctricos 



Cuando un material dielectrico se inserta entre las placas de un capacitor, la ca- 
pacitancia aumenta en un factor adimensional k, conocido como constante dielec- 
trica: 

C=kC (26.14) 

donde C es la capacitancia en ausencia del dielectrico. El incremento en la capaci- 
tancia se debe a una reduction en la magnitud del campo electrico en presencia del 
dielectrico y a una disminucion correspondiente en la diferencia de potencial entre 
las placas — suponiendo que la bateria de carga se elimina del circuito antes de que 
se inserte el dielectrico. La reduction de la magnitud de E surge de un campo elec- 
trico interno producido por dipolos alineados en el dielectrico. Este campo intemo 
producido por los dipolos se opone al campo aplicado debido a las placas del capa- 
citor, y el resultado es una reduction del campo electrico neto. 

El momento de dipolo electrico p de un dipolo electrico tiene una magnitud 

ps2aq (26.16) 

La direction del vector de momento de dipolo electrico es desde la carga negativa 
hacia la carga positiva. 

El momento de torsion que actua sobre un dipolo electrico en un campo elec- 
trico uniforme E es 

r = pxE (26.18) 

La energfa potencial de un dipolo electrico en un campo electrico extemo uni- 
forme E es 

t/=-p-E (26.20) 



Sugerencias para resolver problemas 
Capacitores 

• Sea cuidadoso con las unidades. Cuando calcule capacitancia en farads, cer- 
ciorese de que las distancias estan en metros y use el valor del SI de e^. Cuan- 
do verifique la consistencia de las unidades, recuerde que las unidades para 
los campos electricos pueden ser N/C o V/m. 

• Cuando dos o mas capacitores estan conectados en paralelo, la diferencia de 
potencial a traves de cada uno es la misma. La carga de cada capacitor es pro- 
portional a su capacitancia; por tanto, las capatitancias se suman directamen- 
te para dar la capacitancia equivalente de la combination en paralelo.. La ca- 
pacitancia equivalente siempre es mayor que las capatitancias individuales. 

• Cuando dos o mas capacitores estan conectados en serie, tienen la misma car- 
ga, y la suma de las diferencias de potencial es igual a la diferencia de poten- 
cial total aplicada a la combination. La suma de los reciprocos de las capati- 
tancias es igual al reciproco de la capacitancia equivalente, la cual siempre es 
menor que la capacitancia del capacitor individual mas pequeno. 

• Un dielectrico incrementa la capacitancia de un capacitor en un factor k (la 
constante dielectrica) sobre su capacitancia cuando tiene aire entre sus placas. 

• Para problemas en los cuales se esta conectando o desconectando una bate- 
ria, advierta si se hacen modificaciones al capacitor mientras esta conectado a 
la bateria o despues de que la misma se haya desconectado. Si el capacitor per- 
manece conectado'a la bateria, el voltaje a traves del capacitor permanece in- 
variable (igual al voltaje de la bateria), y la carga es proportional a la capati- 



Problemas 



831 



tancia, aunque pueda ser modificada (por ejemplo, insertando un dielectri- 
co). Si usted desconecta el capacitor de la bateria antes de hacer cualquier 
modification al capacitor, entonces su carga permanece fija. En este caso, 
cuando listed varia la capacitancia, el voltaje entre las placas cambia de acuer- 
do con la expresion A V= Q/C. 



Preguntas 



fXn St se le pidiera disenar un capacitor para una situacion en 
la cual se requiriese de tamano pequeno y gran capacitan- . 
cia, ique factores serian importantes en su diseno? 

2. Las placas de un capacitor estan conectadas a una bateria. 
cQue ocurre con la carga en las placas si los alambres de 
conexion se quitan de la bateria? jQue pasa con la carga si 
los alambres se quitan de la bateria y se cpnectan entre si? 

3. Un farad es una unidad muy grande de capacitancia.. 
Calcule la longitud de un lado de un capacitor cuadrado 
lleno de aire que tiene una separacion de placa de 1 m. 
Suponga que tiene una capacitancia de 1 F. 

~4. Un par de capacitores se conectan en paralelo mientras 
un par identico se conecta en serie'. jQue par seria mas pe- 
ligroso de manejar despues de haberse conectado a la mis- 
ma fuente de voltaje? Explique. 

5. Si a usted se le'dan tres capacitores diferentes C„ C 2 , C 3 , 
^cuantas combinaciones diferentes de capacitancia puede 
usted producir? 

6. iQue ventaja habria al usar dos capacitores identicos en 
paralelo conectados en serie con otro par en paralelo iden- 
tico, en lugar de usar un solo capacitor? 
^Siempre es posible reducir una combination de capacito- 
res a un capacitor equivalente con las reglas que se han 
desarrollado? Explique. 

Puesto que la carga neta en un capacitor siempre es cero, 
ique almacena un capacitor? 

9. En vista de que las cargas sobre las placas de un capacitor 
de placas paralelas son de signos opuestos, se atraen entre 
si. En consecuencia, se requeriria trabajo positivo para au- 
mentar la separacion de placas. iQue sucede con el traba- 
jo externo efectuado en este proceso? 
10. Explique por que el trabajo necesario para mover una car- 
ga Q a traves de una diferencia de potencial AVes W = 



7. 



8 



Qp. V, en tanto que la energia almacenada en un capacitor 
cargado es U= jQAV! ^De donde proviene el factor |? 

|11.| Si la diferencia de potencial a traves de un capacitor se du- 
plica, jen que factor cambia la energia almacenada? 
dPpr que : es peligroso tocar las terminates de un capacitor 
de alto voltaje incluso despues de que el voltaje aplicado 
se ha eliminado? iQue puede hacerse para lograr que un 
capacitor se maneje con seguridad despues de que se ha 
quitado la fuente de voltaje? 

Describa como puede aumentar el voltaje de operacion 
maxima de un capacitor de placas paralelas para una se- 
paracion de placa fija. 

Un capacitor lleno de aire se carga, luego se desconecta 
del suministro de energia electrica, y por ultimo se conec- 
ta a un voltimetro. Explique como y por que las lecturas 
de voltaje cambian cuando se inserta un dielectrico entre 
las placas del capacitor. 

Con la description de la molecula polar de un dielectrico, 
explique como un dielectrico afecta el campo electrico en 
el interior de un capacitor. 

16. Explique por que un dielectrico aumenta el voltaje de 
operacion maximo de un capacitor aunque el tamano fisi- 
co de este no cambie. 

jCual es la diferencia entre resistencia dielectrica y la cons- 
tante dielectrica? 

Explique por que una molecula de agua esta polarizada 
permanentemente. iQue tipo de molecula no tiene pola- 
rization permanente? 

Si un capacitor lleno de dielectrico se calienta, jcomo 
cambiara su capacitancia? (Ignore la expansion termica y 
suponga que las orientaciones de dipolo dependen de la 
temperatura.) 



12 



13 



14, 



15. 



17. 



18. 



19. 



Problemas 

1, 2f 3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solucion completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solucion disponible en http://www.saundeTscollege.com/phvsics/ JD = use computadora para resolver el problema flh = Ffsica 

interactiva | | = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seccfon 26.1 Defin'ici6n de capacitancia 

1. a) ,-Cuanta carga existe en cada placa de un capacitor de 
4.00 ftF cuando se conecta a una bateria de 12.0 V? b) 
Si este mismo capacitor se conecta a una bateria de 
1.50 V, £que carga se almacena? 



2. Dos conductores con cargas netas de +10.0 /xC y -10.0 /jC 
tienen una diferencia de potencial de 10.0 V. Determine 
a) la capacitancia del sistema y b) la diferencia de poten- 
cial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se 
incrementan hasta +100 /aC y -100 ^iC. 



832 



CAPlTUL 26 Capacitancia y diel&tricos 



4. 



web rn 



Seccion 26.2 Calculo de la capacitancia 

[11 Una esfera conductora cargada y aislada de 12.0 cm de 
radio crea un campo electrico de 4.90 x 10 4 N/C a una 
distancia de 21.0 cm de su centre a) ^Cual es su densi- 
dad de carga superficial? b) <;Cual es su capacitancia? 
a) Si una gota de h'quido tiene una capacitancia de 
1 .00 pF, (Oxkl es su radio? b) Si otra gota tiene un radio 
de 2.00 mm, jcual es su capacitancia? c) £Cual es la car- 
ga en la gota mas pequena si su potencial es de 100 V? 
Dos esferas conductoras con diametros de 0.400 m y 
1.00 m estan separadas por una distancia que es grande 
comparada con los diametros. Las esferas estan conecta- 
das por medio de un alambre delgado y se cargan hasta 
7.00 ju.C. a) jComo se comparte esta carga total entre las 
esferas? (Ignore cualquier carga en el alambre.) b) <Cual, 
es el potencial del sistema de esferas cuando el potencial 
de referenda se toma como V= en r= °°? 
Considerando a la Tierra y una capa de nubes 800 m so- 
bre la superficie terrestre como las "placas" de un capa- 
citor, calcule la capacitancia si la capa de nubes tiene un 
area de 1.00 km 2 . Suponga que el aire entre la nube y el 
suelo es p'uro y seco. Suponga que la carga acumulada 
en la nube y el suelo hasta un campo electrico uniforme 
con una magnitud de 3.00 x 10 6 N/C a traves del espa- 
cio entre ellos hace que el aire se rompa y conduzca 
electricidad como un relampago. jCual es la maxima 
carga que puede soportar la nube? 
Un capacitor lleno de aire esta compuesto de dos placas 
paralelas, cada una con un area de 7.60 cm 2 , separadas 
por una distancia de 1.80 mm. Si se aplica una diferen- 
cia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule a) el 
campo electrico entre las mismas, b) la densidad de car- 
ga superficial, c) la capacitancia, y d) la carga sobre ca- 
da placa. 

Un chip de memoria de computadora de un megabit 
contiene muchos capacitores de 60.0 f F. Cada capacitor 
tiene un area de placa de 21.0 x 10" 12 m 2 . Determine la 
separacion de placas de tal capacitor (suponga una con- 
figuration de placas paralelas). El diametro atomico ca- 
racteristico es de 10" 10 m = 0.100 nm. Exprese la separa- 
cion de placas en nanometros. 

Cuando se aplica una diferencia de potencial de 150 V 
a las placas de un capacitor de placas paralelas, las pla- 
cas tienen una densidad de carga superficial de 
30.0 nC/cm 2 . jCual es el espaciamiento entre las placas? 
Un capacitor de aire variable que se usa en circuitos de 
sintonizacion esta hecho de N placas semicirculares, ca- 
da una de radio R y separadas por una distancia d una 
de otra. Como se muestra en la figura P26.10, un segun- 
do conjunto de placas identico, que tiene libertad para 
girar, se intercala con sus placas a la mitad entre aque- 
llas del primer juego. El segundo conjunto puede rotar 
como unidad. Determine la capacitancia como una fun- 
cion del angulo de rotation 0, donde 0=0 corresponde 
a la maxima capacitancia. 

Un cable coaxial de 50.0 m de largo tiene un conductor 
interior con un diametro de 2.58 mm que conduce una 
carga de 8.10 /aC. El conductor circundante tiene un 
diametro interior de 7.27 mm y una carga de -8.10 jaC. 



8. 




WEB |I1. | 



Figura P26.10 

a) iCual es la capacitancia de este cable? b) iCual es la 
diferencia de potencial entre los dos conductores? Su- 
ponga que la region entre los conductores es aire. 
: 2. Un capacitor esferico de 20.0 /xF esta compuesto de dos 
esferas metalicas, una con radio dos veces mayor que la 
otra. Si la region entre las esferas es el vacio, determine 
el volumen de esta region. 

1 3. Un pequeoo objeto con una masa de 350 mg tiene una 
carga de 30.0 nC y esta suspendido por medio de un hi- 
lo entre las placas verticales de un capacitor de placas pa- 
ralelas. La separacion de las placas es de 4.00 cm. Si el 
hilo forma un angulo de 15.0° con la vertical, <;cual es la 
diferencia de potencial entre las placas? 

14. Un pequeiio objeto con una masa m tiene una carga !}y 
esta suspendido por medio de un hilo entre las placas 
verticales de un capacitor de placas paralelas. La separa- 
cion de las placas es d. Si el hilo forma un angulo d con 
la vertical, ^cual es la diferencia de potencial entre las 
placas? 

115.1 Un capacitor esferico lleno de aire se construye con u"n 
cascaron interior y uno exterior de 7.00 y 14.0 cm de ra- 
dio, respectivamente. a) Calcule la capacitancia del dis- 
positivo. b) (•Que diferencia de potencial entre las esfe- 
ras resulta en una carga de 4.00 ttC sobre el capacitor? 

15. Determine la capacitancia de la Tierra. (Sugerencia. el 
conductor exterior del "capacitor esferico" puede consi- 
derarse como una esfera* conductora en el infinito don- 
de Ftiende a 0.) 

Seccion 26.3 Combinaciones de capacitores 

17. Dos capacitores C, = 5.00 /xF y C 2 = 12.0 aiF estan conec- 
tados en paralelo, y la combinacion resulta*£te esta co- 
nectada a una baterfa de 9.00 V. a) jCual es el valor de 
la capacitancia equivalente de la combinacion? jCuales 
son b) la diferencia de potencial a traves de cada capa- 
citor y c) la carga almacenada en cada capacitor? 

18. Los dos capacitores del problema 17 ahora estan conec- 
tados en serie y a una baterfa de 9.00 V. Encuentre a) el 
valor de la capacitancia equivalente de la combinacion, 
b) el voltaje a traves de cada capacitor y c) la carga en 
cada capacitor. 

19. Dos capacitores, cuando estan conectados en paralelo, 
producen una capacitancia equivalente de 9.00 pF, y una 



Problemas 



833 



capacitancia equivalente de 2.00 pF cuando se conectan 
en serie. jCual es la capacitancia de cada capacitor? 
20. Dos capacitores, cuando estan conectados en paralelo, 
producen una capacitancia equivalente C p , y una capaci- 
tancia equivalente C, cuando se conectan en serie. <:Cual 
es la capacitancia de cada capacitor? 

V 

web [2T3 Cuatro capacitores se conectan como se muestra en la fi- 
gura P26.21. a) Encuentre la capacitancia equivalente 
entre los puntos a y b. b) Calcule la carga en cada capa- 
citor si A V ai = 15.0 V. 



15.0 /jF 3.00 /J 



20.0 fiF 



6.00 ^F 
Figura P26.21 



24'. De acuerdo con sus especificaciones de diseno, el circui- 
to de tiempo que retrasa el cerrado de la puefta de un 
elevador debe tener una capacitancia de 32.0 /xF entre 
dos puntos A y B. a) Cuando se construye un circuito, se 
encuentra que el capacitor mas barato instalado entre 
dichos dos puntos tiene 34.8 /xF de capacitancia. Para sa- 
tisfacer las especificaciones se puede colocar un capaci- 
tor adicional entre los dos puntos. £Este deben'a estar en 
serie o en paralelo con el capacitor de 34.8 ^iF? jCual se- 
ria su capacitancia? b) El siguiente circuito baja la linea 
de montaje con capacitancia de 29.8 fiF entre Ay B. 
iQue capacitor adicional deben'a instalarse, en serie o 
en paralelo, en dicho circuito para satisfacer la especifi- 
cacion? 

.." . El circuito en la figura P26.25 se compone de dos placas 
metalicas paralelas identicas conectadas mediante resor- 
tes metalicos identicos a una bateria de 100 V. Con el in- 
terruptor abierto las placas estan descargadasj se encuen- 
tran separadas por una distancia d = 8.00 mm y tienen 
una capacitancia C = 2.00 fiF. Cuando se cierra el inte- 
rruptor, la distancia entre las'placas disminuye en un fac- 
tor de 0.500! a) jCuanta carga recogecada placa, y b) 
cual es la constante de fuerza de cada resorte? (Sugeren- 
cia: uulice el resultado del problema 35.) 



Evalue la capacitancia equivalente de la configuration 
mostrada en la figura P.26.22. Todos los capacitores son 
identicos y cada uno tiene capacitancia C. 



Figura P26.22 



+ 



AV . 
Figura P26.25 



Considere el circuito mostrado en la figura P26.23, don- 
de C, = 6.00 /aF, C, = 3.00 /xF y AV= 20.0 V. El capaci- 
tor Ci se carga primero cerrando el interruptor S,. Este 
interruptor se abre despues, y el capacitor cargado se co- 
necta al capacitor descargado al cerrar S 2 . Calcule la car- 
ga inicial adquirida por C, y la carga final en cada uno. 



AV 



Sj s 2 

Figura P26.23 



2;-. La figura P26.26 muestra seis esferas conductoras con- 
centricas, A, B, C, D, E y F, que tienen radios R, 2R, 3R, 
4i?, 5R y 6R, respectivamente. Las esferas B y C estan co- 
nectadas mediante un alambre conductor, del mismo 
modo que las esferas D y E. Determine la capacitancia 
equivalente de este sistema. 

IIt] Un grupo de capacitores identicos se conectan primero 
en serie y despues en paralelo. La capacitancia combina- 
da en paralelo es 100 veces mayor que la correspondien- 
te a la conexion en serie. jCuantos capacitores estan en 
el grupo? 

£6. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a ' 
y b para el grupo de capacitores conectados como se in- 
dica en la figura P26.28 si C, = 5.00 pF, C 2 = 10.0 ^iF y 
C s = 2.00 n¥. 

29. Para'la red descrita en el problema previo, si la diferen- 
cia de potencial entre los puntos a y b es de 60.0 V, £que 
carga se almacena en C 3 ? 



834 



CAPfTULO 26 Capacitancia y diel&tricos 




Figura P26.26 



■■a 
C, C 

c. T Cs c 



__ C 2 -r- L 2 



calcule la energia total almacenada en los dos capacito- 
res. b) iQue diferencia de potencial se requerirfa a tra- 
ves de los mismos dos capacitores conectados en serie de 
modo que la combination almacene la misma energfa 
que en la parte a)? Dibuje un diagrama de circuito de 
esta configuration. 

33. Se carga un capacitor de placas paralelas y luego se des- 
conecta de una baterfa. jEn que fraction cambia (incre- 
menta o disminuye) la energia almacenada cuando la se- 
paration de las placas se duplica? 

34. Un campo electrico uniforme £=3 000 V/m existe den- 
tro de cierta region. iQue volumen de espacio contiene 
una energia igual aJ.OO x 10~ 7 J? Exprese su respuesta 
en metre* cubicos y en litros. 

web [M] Un capacitor de placas paralelas tiene una carga Qy pla- 
cas de area A. Demuestre que la fuerza ejercida en cada 
placa por la otra es F= Q 2 /2e A. {Sugerencia: deje que 
C~ e A/x para una separation de placas arbitraria x; en 
ese caso se requiere que el trabajo efectuado en la sepa- 
ration de las dos placas cargadas sea W-- ■ " V t 
So. La placa a de un capacitor de placas par.» : . . -io de 
aire esta conectada.a un resorte de constante dt raerza 
k y la placa b esta fija. Ambas descansan sobre la parte su- 
perior de una mesa, como se indica (vista de arriba) en 
la figura P26.36. Si una carga +Qse pone en la placa a y 
una carga -Q se pone en la placa b, jcuanto se estira el 
resorte? 



Figura P26.28 Problemas 28 y 29. 




a b 



Encuentre la Capacitancia equivalente entre los puntos a 
y b en la combination de capacitores mostrada en la fi- 
gura P26.30. 




Figura P26.30 



Section 26 A Energia almacenada en un capacitor cargado 

31. a) Un capacitor de 3.00 /xF esta conectado a una bateria 
de 12.0 V. jCuanta energia se almacena en el capacitor? 
b) Si el capacitor hubiese estado conectado a una bate- 
ria de 6.00 V, jcuanta energia se habria almacenado? 

32. Dos capacitores, C, = 25.0 /xF y C 2 = 5.00 /iF, estan co- 
nectados en paralelo y cargados con un suministro de 
potencia de 100 V. a) Dibuje un diagrama de circuito y 



Figura P26.36 

37. Problema de repaso. Cierto nubarron tiene una dife- 
rencia de potencial de 1.00 x 10 8 V respecto de un ar- 
bol. Si durante una tormenta electrica 50.0 C de carga 
se transfieren a traves de esta diferencia de potencial y 
1.00% de la energia la absorbe el arbol, jcuanta agua 
(savia en el arbol) inicialmente a 30.0°C puede hervir? 
El agua tiene un calor especifico de 4 186J/kg-°C, un 
punto de ebullition de 100°C y un calor de evaporation 
de 2.26 x 10 6 J/kg. 

38. Muestre que la energia asociada a una esfera conducto- 
ra de radio R y carga Q rodeada por el vacfo es U — 
fe,Q72fi. 

3S. Con su famosa relation E = mc 2 , Einstein dijo que la 
energia esta asociada a la masa. Calcule el radio de un 
electron, suponiendo que su carga esta distribuida de 
manera uniforme sobre la superficie de una esfera de ra- 
dio R y que la masa-energia del electron es igual a la 
energia total almacenada en el campo electrico diferen- 
te de cero que resulta entre Ry el infinite (Vease el pro- 
blema 38. No obstante, de manera experimental, un 
electron aparece como una particula puntual. El campo 
electrico cerca del electron debe ser descrito por electro- 
dinamica cuantica en lugar de la electrodinamica clasica 
que aqui se estudia.) 



^ 



Problemas 



835 



Section 26.5 Capacitores con dielectricos 



40. 



41v 



42. 



44. 



45. 



Encuentre la capacitancia de un capacitor de placas pa- 
ralelas que usa baquelita como dielectrico, si cada una 
de las placas dene un area de 5.00 cm 2 y la separacion 
de placas es de 2.00 mm. 

Determine a) la capacitancia y b) el voltaje maximo que 
se puede aplicar a un capacitor de placas paralelas lleno 
de teflon, que dene un area de placa de 1.75 cm 2 y sepa- 
racion de placa de 0.040 mm. 

a) jCuanta carga se puede colocar en un capacitor con 
aire entre las placas antes de que pierda la resistencia, si 
el area de cada una de las placas es de 5.00 cm 2 ? b) En- 
cuentre la maxima carga si se usa poliestireno en lugar 
de aire entre las placas. 

Un capacitor comercial se construye como se muestra en 
la figura 26.15a. Este capacitor particular se en rolla 
a partir de dos tiras de aluminio separadas por dos tiras 
de papel cubierto de parafina.- Cada tira de lamina y de 
papel mide 7.00 cm de ancho. La lamina tiene un es- 
pesor de 0.004 00 mm; el papel tiene un espesor de 
0.025 mm y una constante dielectrica de 3.70. iQue lon- 
gitud deben tener las tiras si se desea una capacitancia de 
9.50 x 10" 8 F? (Emplee la formula de placas paralelas.) 
En el supermercado se venden rollos de papel aluminio, 
plastico para envolver y- papel encerado. Describa un ca- 
pacitor hecho con materiales de supermercado. Calcule 
una estimacion del orden de magnitud para su capaci- 
tancia y su voltaje de ruptura. 

Un capacitor que tiene aire entre sus placas se conecta 
a una diferencia de potencial de 12.0 V y almacena 
48.0 (jlC de carga. Entonces se desconecta de la fuente 
mientras aun esta cargado. a) Encuentre la capacitancia 
del capacitor, b) Una pieza de teflon se inserta entre las 
placas. Encuentre su nueva capacitancia. c) Encuentre el 
voltaje y la carga que existen ahora en el capacitor. 
Un capacitor de placas paralelas en aire tiene una sepa- 
racion de placas de 1.50 cm y un area de placas de 
25.0 cm 2 . Las placas estan cargadas a una diferencia de 
potencial de 250 V y se encuentran desconectadas de la 
fuente. Despues se sumerge el capacitor en agua destila- 
da. Determine a) la carga en las placas antes y despues 
de la inmersion, b) la capacitancia y el voltaje des- 
pues de la inmersion, y c) el cambio de la energia del ca- 
pacitor. Ignore la conductancia del liquido. 
Un cascaron esferico conductor tiene radios interior a y 
exterior c. El espacio entre las dos superficies se llena 
con un dielectrico para el cual la constante dielectrica es 
k, entre ay b, y k 2 entre by c (Fig. P26.47). Determine 
la capacitancia de este sistema. 

Una oblea de dioxido de titanio (k = 173) tiene un area 
de 1.00 cm 2 y un espesor de 0.100 mm. Se evapora alu- 
minio sobre las caras paralelas para formar un capacitor 
de placas paralelas. a) Calcule la capacitancia. b), Cuan- 
do el capacitor se carga con una bateria de 12.0 V, jcual 
es la magnitud de la carga entregada a cada placa? c) Pa- 
ra la situation en la parte b) , jcuales son las densidades 
de carga superficial libre e inducida? d) jCual es la mag- 
nitud E del campo electrico? 




Figura P26.47 



Cada capacitor en la combinacion mostrada en la figura 
P26.49 tiene un voltaje de ruptura de 15.0 V. jCual es el 
voltaje de ruptura de la combinacion? 



20.0 ^F 



20.0 fiF 




10.0 /iF 



Figura P26.49 




(Opdonal) 
Seccion 26.6 



Dipolo electrico en un campo electrico 



."". Un pequeno objeto rfgido porta cargas positiva y negati- 
va de 3.50 nC. Esta orientado de modo que la carga po- 
sitiva esta en el punto (-1.20 mm,. 1.10 mm) y la carga 
negativa esta en el punto (1.40 mm, -1.30 mm), a) En- 
cuentre el momento de dipolo electrico del objeto. El 
objeto se coloca en un campo electrico E = (7 8001 - 
4 900j) N/C. b) Encuentre el momento de torsion que 
actua spbre el objeto. c) Encuentre la energia potencial 
del objeto en esta orientacion. d) Si la orientacion del 
objeto puede cambiar, encuentre la diferencia entre sus 
energfas potenciales maxima y minima. 

.", '. . Un pequeno objeto con momento de dipolo electrico p 
se coloca en un campo electrico no uniforme E = E(x)i. 
Es decir, el campo esta en la direction x y su magnitud 
depende de la coordenada x Sea 6 la representation del 
angulo entre el momento de dipolo y la direccion x a) 
Pruebe que el dipolo experimenta una fuerza neta F = 
p(dE/dx) cos den la direccion hacia la cual se incremen- 
ta el campo. b) Considere el campo creado por un glo- 
. bo esferico centrado en el origen. El globo tiene un ra- 
dio de 15.0 cm y porta una carga de 2.00 /xC. E value 
dE/dx en el punto (16 cm, 0, 0). Suponga que una gota 
de agua en este punto tiene un momento de dipolo in- 
ducido de (6.30i) nC • m. Encuentre la fuerza sbbre ella. 

(Opdonal) 

Seccion 26.7 Una description atomica de los dielectricos 

52. Un detector de radiation conocido como contador Gei- 
ger-Muller se compone de un cilindro conductor hueco 



836 



CAPl'TULO 26 Capacitancia y diel&tricos 



y cerrado con un alambre delgado a lo largo de su eje. 
Suponga que el diametro interno del cilindro es de 
2.50 cm y que el alambre a lo largo del eje tiene un dia- 
metro de 0.200 mm. Si la resis^encia dielectrica del gas 
entre el alambre central yel cilindro es de 1.20 x 10 6 
V/m, calcule el voltaje maximo que puede aplicarse en- 
tre el alambre y el cilindro antes de que ruptura dielec- 
trico ocurra en el gas. 

La forma general de la ley de Gauss describe como se 
crea una carga en un campo electrico en un material, asi 
como en el vacio. Esto es 



EdA = 2 - 

e 



donde e= Ke n es la permitividad del material, a) Una ho- 
ja con carga Q distribuida de manera uniforme sobre su 
area A es rodeada por un dielectrico. Demuestre que la 
hoja crea un campo electrico uniforme con magnitud E 
= Q/2Ae en puntos cercanos. b) Dos grandes hojas de 
area A que portan cargas opuestas de igual magnitud Q 
estan separadas una pequena distancia d.- Demuestre que 
ellas. crean un campo electrico uniforme de magnitud E 
= Q/Ae entre ambas. c) Suponga que la placa negauva 
esta a potencial cero. Demuestre que la placa positiva es- 
ta a un potencial Qd/Ae. d) Demuestre que la capacitan- 
cia del par de placas es Ae/d= KAe u /d. 

PROBLEMAS ADICIONALES 

."••:-. Para el sistema de capacitores mostrado en la figura 
P26.54, encuentre a) la capacitancia equivalente del sis- 
tema, b) la diferencia de potencial a traves de cada ca- 
pacitor, c) la carga sobre cada capacitor, y d) la energfa 
total almacenada por el grupo. 



56. 





3.00 /zF 


6.00 /iF 

1 ] 






!• •! 






2.00juF 


4.00 juF 
I 








1 





WEB 157. 



90.0 V 
Figura P26.54 

Considere dos largos alambres paralelos y con cargas 
opuestas, de radio d y con sus centros separados por una 
distancia D. Suponiendo que la carga se distribuye de 
manera uniforme sobre la superficie de cada alambre, 
muestre que la capacitancia por unidad de longitud de 
este par de alambres es 



•7T€ 



In 



D-d \ 
d j 



58. 



Un capacitor de placas paralelas de 2.00 nF esta cargado 
a una diferencia de potencial inicial A V; = 100 V y luego 
se afsla. El material dielectrico entre las placas es mica 
(k = 5.00). a) £Cuanto trabajo se requiere para retirar la 
mica? b) jCual es la diferencia de potencial del capaci- 
tor despues de que la mica se retira? 
Se construye un capacitor de placas paralelas usando un 
material dielectrico cuya constante dielectrica es 3.00 y 
cuya resistencia dielectrica es 2.00 x 10 8 V/m. La capa- 
citancia deseada es igual a 0.250 /uF, y el capacitor debe 
soportar una diferencia de potencial maxima de 4 000 V. 
Encuentre el area minima de las placas del capacitor. 
Se construye un cagacitor de placas paralelas utilizando 
tres materiales dielectricos, como se muestra en la figu- 
ra P26.58. Suponga que € » d. a) Encuentre una expre- 
sion para la capacitancia del dispositivo en terminos del 
area de placa Ay d, «,, « 2 y k s . b) Calcule la capacitan- 
cia utilizando los valores A = 1.00 cm 2 , d = 2.00 mm, k, = 
4.90, k 2 = 5.60 y k 3 = 2.10. 





« 


f ► 










1 


*1 


KT 2 


d/2 

1 


J 


*S 












- — e/2 — ► 







Figura P26.58 

|59] Una placa conductora de espesor d y area A se inserta 
dentro del espacio entre las placas de un capacitor de 
placas paralelas con espaciamiento s y area superficial A, 
como se muestra en la figura P26.59. La placa no nece- 
sariamente esta a la mitad entre las placas del capacitor. 
ijCual es la capacitancia del sistema? 




Figura P26.59 



50. a) Dos esferas tienen radios a y b y sus centros estan a 
una distancia d. Muestre que la capacitancia de este sis- 
tema es 



C = 



4i7-e„ 



a b d 



siempre que d sea grande comparada con ay b. (Sugeren- 
cia: puesto que las esferas estan muy alejadas, suponga 



Problemas 



837 



que la carga sobre una esfera no perturba la distribution 
de carga sobre la otra esfera. En consecuencia, el poten- 
tial de cada esfera es expresado como el de una distri- 
bution de carga simetrica, V= k e Q/r, y el potential total 
en cada esfera es la suma de los potenciales debidos a ca- 
da esfera.' b) Muestre que cuando d se acerca al infinite 
x el resultado anterior se reduce al de dos esferas aisladas 
en serie. 

65. Cuando cierto capacitor de placas paralelas lleno de ai- 
re se conecta a una bateria, adquiere una carga (en ca- 
da placa) de q . Mientras se mantiene la conexion con 
la bateria, se inserta una lamina dielectrica y se llena la 
region entre las placas. Esto origina una acumulacion de 
una carga adicional q en cada placa. jCual es la constan- 
te dielectrica de la lamina? 

62. Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadra- 
das de lados (, y separation d. Un material de constante 
dielectrica k se inserta una distancia x dentro del capa- 
citor, como se ilustra en la figura P26.62. a) Encuentre 
la capacitancia equivalente del dispositivo. b) Calcule la 
energfa almacenada en el capacitor si la diferencia de 
potential es AV. c) Encuentre la direction y magnitud 
de la fuerza ejercida sobre el dielectrico, suponiendo 
una diferencia de potencial constante A V. Ignore la fric- 
tion, d) Obtenga un valor numerico para la fuerza supo- 
niendo que € = 5.00 cm, AV= 2 000 V, d = 2.00 mm, y 
que el dielectrico es vidrio (k = 4.50). (Sugerencia: el sis- 
tema puede considerarse como dos capacitores conecta- 
dos en paralelo) . . 



po electrico entre las placas del capacitor en terminos de 
Q , €, dy e . 

64. Cuando se considera el suministro de energfa para un 
automovil, la energfa por unidad de masa de la fuente 
de energfa es un parametro importante. Utilizando los 
siguientes datos compare la energfa por unidad de ma- 
sa (J/kg) para la gasolina, baterfas de plomo-acido y ca- 
pacitores. (El ampere A se introducira en el capftulo 27 
y es la unidad del SI de la corriente electrica, 1 A = 
1 C/s.) 

Gasolina: 126 000 Btu/gal; densidad = 670 kg/nv v 
Bateria de plomo-dcido: 12.0 V; 100 A-h; masa = 16.0 kg 
Capacitor, diferencia de potencial a maxima carga = 
12.0 V; capacitancia = 0.100 F; masa = 0.100 kg 

lOy Un capacitor aislado de capacitancia desconocida se ha • 
cargado hasta una diferencia de potencial de 100 V. 
Cuando el capacitor cargado se conecta despues en pa- 
ralelo a un capacitor de 10.0 /nF descargado, el voltaje a 
traves de la combination es igual a 30.0 V. Calcule la ca- 
pacitancia desconocida. 

:>6. Cierto circuito electronico necesita un capacitor con 
1.20 pF de capacitancia y un potential de ruptura de 
1 000 V. Si usted tiene una alimentation de capacitores 
de 6.00 pF, cada uno con un potencial de ruptura de 200 
V, jcomo podrfa cubrir este requerimiento del circuito? 

S7. En el arreglo mostrado en la figura P26.67 se aplica una 
diferencia de potencial AV, y C, se ajusta de modo que 
el voltfmetro entre los puntos b y d lea cero. Este "balan- 
ce" ocurre cuando C\ = 4.00 /iF. Si C, = 9.00 fxF y C, = 
12.0 /liF, calcule el valor de C>. 



Figura P26.62 Problemas 62 y 63. 



63. Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadra- 
das de lados€ y separation d, como se sugiere en la fi- 
gura P26.62. Usted puede suponer que d es mucho me- 
nor que €. Las placas portan cargas +£?„ y -Q - Un 
bloque de metal tiene un ancho €, un largo € y un espe- 
sor ligeramente menor a d. Este se inserta una distancia 
x en el capacitor. Las cargas sobre las placas no son per- 
turbadas conforme el bloque se desliza. En una situation 
estatica, un metal previene que un campo electrico lo 
penetre. El metal puede ser considerado como un die- 
lectrico perfecto, con k — » °°. a) Calcule la energfa alma- 
cenada como funcion de x. b) Encuentre la direction y 
magnitud de la fuerza que actua sobre el bloque metali- 
co. e) El area de la cara frontal del bloque que ingresa 
en primer lugar es, en esencia, igual a €d. Considerando 
que la fuerza sobre el bloque actua sobre esta cara, en- 
cuentre la tension (fuerza por area) sobre ella. d) Para 
comparacion, exprese la densidad de energfa en el cam- 




Figura P26.67 



68. Es posible obtener grandes diferencias de potencial car- 
gando primero un grupo de capacitores conectados en 
paralelo y activando despues un arreglo de interruptores 
que en efecto desconecten los capacitores de la fuente 
de carga y urios de otros, y que los reconecte en un arre- 
glo en serie. Luego el grupo de capacitores cargados se 
descarga en serie. jCual es la diferencia de potencial ma- 
xima que puede obtenerse de esta manera utilizando 
diez capacitores cada uno de 500 fi¥ y una fuente de car- 
ga de 800 V? 

pi).\ Un capacitor de placas paralelas con separation de pla- 
cas dse carga hasta una diferencia de potencial A%. Una 



^ 



838 



CAPlTULO 26 Capacitancia y dietectricos 



lamina dielectrica de espesor d y constante dielectrica k 
se introduce entre las placas mientras la bateria permanece 
conectada a estas. a) Muestre que la proporcion entre la 
energfa almacenada despues de que el dielectrico se in- 
troduce y la energfa almacenada en el capacitor vacio es 
U/U = k. Proporcione una explication ffsica para este 
aumento en la energfa almacenada. b) iQue sucede con 
la carga en el capacitor? (Advierta que esta situation no 
es la misma que la del ejemplo 26.7, en la cual la bate- 
ria se quito del circuito antes de introducir el dielectri- 
co.) 

Un capacitor de placas paralelas con placas de area A y 
separation de placas d tiene la region entre estas Uena 
con dos materiales dielectricos, como se ve en la figura 
P26.70. Suponga que d « L y que d « W. a) Determi- 
ne la capacitancia, y b) demuestre que cuando k, = 
k 2 = «, su resultado se vuelve el mismo que el correspon- 
diente a un capacitor que contiene un solo dielectrico: 
C = Ke u A/d. 




Figura P26.70 



Un capacitor de placas paralelas vertical esta lleno a la 
mitad con un dielectrico para el cual la constante dielec- 
trica es 2.00 (Fig. P26.71a). Cuando este capacitor se po- 
ne horizontalmente, £que fraction de este debe Ilenarse 
con el mismo dielectrico (Fig. P26.71b) de modo que los 
dos capacitores tengan igual capacitancia? 



bateria de 250 V. Los capacitores se desconectan de 
la bateria y entre sf. Luego se conectan placa positiva a 
placa negativa y placa negativa a placa positiva. Calcule 
la carga resultante en cada capacitor. 
173.1 El conductor interior de un cable coaxial tiene un radio 
de 0.800 mm y el radio interior del conductor exterior 
es igual a 3.00 mm. El espacio entre los conductores se 
llena con polietileno, el cual tiene una constante dielec- 
trica de 2.30 y una resistencia dielectrica de 18.0 x 10 6 
V/m. jCual es la diferencia de potencial maxima que es- 
te cable puede soportar? 

74. Usted es responsable de mejorar el disefio de un cable 
coaxial para un gran fabricante. Demuestre que para un 
radio de conductor exterior dado b, la maxima capaci- 
dad de diferencia de potencial se alcanza cuando el ra- 
dio del conductor interior es a = b/e, donde e es la base 
de los logaritmos naturales. 

75. Calcule la capacitancia equivalente entre los puntos a y 
b en la figura P26.75. Advierta que esto no es una simple 
combinacion en serie o en paralelo. (Sugerencia: supon- 
ga una diferencia de potencial A Ventre los puntos ay b. 
Escriba expresiones para A V ai en funcion de las cargas y 
las capacitancias para las diversas trayectorias posibies de 
a a b, y establezca conservacion de "carga para aqueilas 
placas de capacitor que estan conectadas entre sf.) 



V 



4.00 yF 



2.00 yF 



8.00 //F 





.4.00 fiF 



2.00 /xF ^ 



Figura P26.75 



a) 



b) 



Figura P26.71 



Los capacitores C, = 6.00 /iF y C 2 = 2.00 fiF estan carga- 
dos como una combinacion en paralelo conectada a una 



76. Determine la capacitancia efectiva de la combinacion 
mostrada en la figura P26.76. (Sugerencia: jconsidere la 
simetria involucrada!) 



2C 




Respuesfas a las preguntas sorpresa 



839 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



26.1 a) puesto que la separation de las placas esta disminu- 
yendo. La capacitancia depende solo de como esta cons- 
truido un capacitor y no del circuito externo. 

26.2 Cero. Si usted construye una superficie gaussiana esferi- 
' ca externa y concentrica con el capacitor, la carga neta 

dentro de la superficie es cero. Al aplicar la ley de Gauss 
a esta configuration se encuentra que E = en puntos 
exteriores al capacitor. > 

26.3 Para un voltaje dado, la energia almacenada en un capa- 
citor es proportional a C:U= C(A V) 2 /2. Por tanto, usted 
querra maximizar la capacitancia equivalente. Usted lo- 
gra esto al conectar los tres capacitores en paralelo, de 
modo que las capacitancias se suman. 

26.4 a) Cdisminuye (Ec. 26.3). b) Qpermanece igual porque 
; ahf no hay lugar para que fluya la carga. c),£ permane- 

ce constante (veanse la Ec. 24.8 y el parrafo >que le si- 
gue). d) A Vse incrementa porque AV= Q/C, Qes cons- 
tante (parte b) y C disminuye (parte a), e) La energia 
almacenada en el capacitor es proportional tanto a Qco- 
mo a AV (Ec. 26.11) y, en consecuencia, aumenta. La 
energfa adicional proviene del trabajo que usted realiza 
al jalar las dos placas para separarlas. 

26.5 a) Cdisminuye (Ec. 26.3). b) Q disminuye. La bateria su- 
ministra una diferencia de potential A V constante; por 
tanto, la carga debe fluir hacia afuera del capacitor si 
C= Q/A Vesta disminuyendo. c) £ disminuye porque la 



densidad de carga sobre las placas disminuye. d) A Vper- 
manece constante debido a la presencia de la bateria. e) 
La energia almacenada en el capacitor disminuye (Ec. 
26.11). 

26.6 Incrementa. La constante dielectrica de la madera (y de 
todos los otros materiales aislantes, para tal fin) es ma- 
yor que 1; por tanto, la capacitancia aumenta (Ec. 26.14). 
Este incremento es percibido por el circuito especial del 
busca taquetes, el cual provoca que se encienda un indi- 
cador en el dispositive 

26.7 a) C aumenta (Ec. 26.14). b) Q aumenta. Puesto que la 
bateria mantiene una A Vconstante, £?debe incrementar 
si C(= Q/AV) aumenta. c) £entre las placas permanece 
constante puesto que AV= Ed y ni AVni d cambian. El 
campo electrico debido a las cargas sobre las placas se in- 
crementa debido a que ha fluido mas carga hacia las pla- 
cas. Las cargas superficiales inducidas sobre el dielectri- 
co crean un campo que se opone al incremento en el 
campo causado por el mayor numero.de cargas sobre las 
placas. d) La bateria mantiene una A V constante. e) La 
energia almacenada en el capacitor aumenta (Ec. 26.11). 
Usted tendria que empujar el dielectrico dentro del ca- 
pacitor, justo como usted tendria que realizar trabajo po- 
sitivo para elevar una masa e incrementar su energia 
potencial gravitational. 



A C E R T I J 



Trabajadores de la industria electrica re- 
parando las Ifneas de transmision en la 
ciudad de St. Isadore, al este de Ontario, 
la cual en enero de 1998 estuvo sin 
electricidad durante varios dfas a causa 
de una severa tormenta de hielo. Es muy 
peligroso rocar lineas de transmision de 
energia caidas, debido a su alto poten- 
tial electrico, el cual puede tener cientos 
de miles de volts en comparacion con la 
tierra. ^Por que se usa tan elevada dife- 
rencia de potential en la transmision de 
energia si es tan peligroso, y por que las 
aves que se paran en los alambres no se 
electiocutan? (AP/Wide World Photos/Fred 
Chartrand) 




capitulo 




Corriente y resistencia 



>.L,i~n*eas generates del capitulo 



27.1 Corriente electrica 

27.2 Resistencia y ley de Ohm 

27.3 Un modelo para la conduccion 
electrica 



27.4 Resistencia y temperatura 

27.5 [Opcional) Superconductores 

27.6 Energia electrica y potencia 



840 



27. 1 Corriente electrica 



841 



Wasta ahora el estudio de los fenomenos electricos se ha limitado a las cargas 
en reposo o electrostdticas. Ahora se consideraran situaciohes que incluyen car- 
gas electricas en movimiento. El termino corriente electrica, o simplemente co- 
rriente, se emplea para describir la rapidez de flujo de carga que pasa por alguna re- 
gion del espacio. ; La mayor parte de las aplicaciones practicas de la electricidad 
tienen que ver con corrientes electricas. Por ejemplo, la bateria de una luz de deste- 
llos' suministra corriente al filamento de la bombilla cuando se conecta el interrup- 
tor. Una gran variedad de aparatos domesticos funciona con corriente altema. En es- 
tas situaciones comunes, las cargas fluyen por un conductor, por ejemplo, un alambre 
de cobre. Tambien es posible que existan corrientes fuera de un conductor. Por ejem- 
plo, un haz de electrones en el tubo de imagen de una TV constituye una corriente. 
Este capftulo comienza con las definiciones de corriente y densidad de corrien- 
te. Continua con una description microscopica de corriente; y con el analisis de al- 
gunos de los factores que contribuyen a la resistencia al flujo de carga en conducto- 
res. Se utiliza un modelo clasico para describir la conduction electrica en metales, y 
se sefialan algunas limitaciones de dicho modelo. 



CORRIENTE ELECTRICA 



(°) Es instructivo bosquejar una analogia entre el flujo del agua y la corriente. En mu- 
13 2 chos lugares es practica comun instalar en los hogares regaderas de bajo consumo 
como una medida de conservation del agua. El flujo de agua se cuantifica a partir 
de estos dispositivos y de otros similares, al especificar la cantidad de agua que emer- 
ge durante un intervalo de tiempo dado, lo cual con frecuencia se mide en litros 
por minuto. A gran escala se puede caracterizar la corriente de un rio.para descri- 
bir la rapidez a la cual el flujo de agua pasa por una ubicacion particular. Por ejem- 
plo, el flujo sobre el borde de las cataratas del Niagara se mantiene a proporciones 
de entre 1 400 m s /s y 2 800 m 3 /s. 

Ahora considere un sistema de cargas electricas en movimiento. En cualquier 
parte donde existe un flujo de carga neto a traves de alguna region, se dice que exis- 
te una corriente. Para definir la corriente de manera mas precisa suponga que las 
cargas se mueven perpendiculares a una. superficie de area A, como se muestra en 
la figura 27.1. (Esta podria ser el area de la section transversal de un alambre, por 
ejemplo.) La corriente es la rapidez a la cual fluye la carga por esta superficie. Si 
AQes la cantidad de carga que pasa por esta area en un intervalo de tiempo At, la 
corriente promedio I pmm es igual a la carga que pasa por A por unidad de tiempo: 

r - A 2 (27.1) 



1 prorr 



At 



Si la rapidez a la cual fluye la carga varia en el tiempo, entonces la corriente varia 
en el tiempo, y la corriente instantanea / se define como el lfmite diferencial de la 
corriente promedio: 



dt 
La unidad de corriente del SI es el ampere (A): 

1A = IC 
Is 



(27.2) 



(27.3) 



Esto es, 1 A de corriente es equivalente a 1 C de carga que pasa por el area de la su- 
perficie en 1 s. 

Las cargas que pasan por la superficie en la figura 27.1 pueden ser positivas, ne- 
gativas o ambas. Es conventional asignar a la corriente la misma direction que la del 
flujo de carga positiva. En los conductores electricos, como el cobre o el aluminio, 




Figura 27.1 Cargas en movimiento 
a traves de un area A. La rapidez en 
el tiempo a la cual la carga fluye a tra- 
ves del area se define como la corrien- 
te /. La direccion de la corriente es 
aquella en la cual las cargas positivas 
fluyen cuando estan libres de hacerlo. 



Gorriente electrica 



Direccion de la corriente 



842 



CAPITUL0 27 Corriente y resistencia 



la corriente se debe al movimiento de electrones con carga negativa. Por tanto, cuan- 
do se habla de corriente en un conductor ordinario, la direction de la corriente es 
opuesta a la direction del flujo de electrones. Sin embargo, si se considera un haz 
de protones con carga positiva en un acelerador, la corriente esta en la direction del 
movimiento de los protones. En algunos casos — corao los que involucran gases y 
electrolitos, por ejemplo — la corriente es el resultado del flujo tanto de cargas po- 
sitivas como negativas. 

Si los extremos de un alambre conductor se conectan para formar una espira, 
todos los puntos sobre la espira estan al mismo potential electrico y, en consecuen- 
cia, el campo electrico es cero en el interior y en la superficie del conductor. Pues- 
to que el campo electrico es cero, no existe transporte de carga a traves del alam- 
bre, por tanto, no existe corriente. La corriente en el conductor es cero aun cuando 
el conductor tenga un exceso de carga sobre el. Sin embargo, si los. extremos del 
alambre conductor se conectan a una bateria, todos los puntos sobre la espira no es- 
tan al mismo potential. La bateria coloca una diferencia de potential entre los ex- 
tremos de la,espira, creando un campo electrico en el alambre. El campo electrico 
ejerce fuerzas en la conduction de electrones en el. alambre, provocando que ellos 
se muevan alrededor de la espira y, por ende, generan una corriente. 

Es comun referirse a una carga en movimiento (ya sea positiva o negativa) co- 
mo un portador de carga movil. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal 
son los electrones. 




Figura 27.2 Una seccion de un con- 
ductor uniforme de area transversal 
A. Los portadores de carga movil se 
mueven a una rapidez v 4 y la distancia 
que recorren en un tiempo Aies A* = 
v 4 At. El numero de portadores en la 
section de longitud Ax es nAv d At, 
donde n es el numero de portadores 
por unidad de volumen. 



Corriente promedio en un 
conductor 



Modelo microscopico de la corriente 

Se puede relacionar la corriente con el movimiento de los portadores de carga pa- 
ra describir un modelo microscopico de conduction en un metal. Considere la co- 
rriente en un conductor de area de seccion transversal A (Fig. 27.2) El volumen de 
una seccion del conductor de longitud Ax (la region gris en la figura 27.2) es A Ax. 
Si n representa el numero de portadores de carga movil por unidad de volumen (en 
otras palabras, la densidad:de portador de carga), entonces el numero de portado- 
res en la seccion gris es rtA Ax. Por tanto, la carga AQen esta seccion es 

A Q= numero de portadores en la seccion x carga por portador = (nA Ax)q 

donde q es la carga en cada portador. Si los portadores se mueven una rapidez v d , 
la distancia que se mueven en un tiempo At es Ax= v d At. En consecuencia, se pue- 
de escribir AQen la forma 

AQ=(nAv d At)q 

Si se dividen ambos lados de esta ecuacion por A*, vera que la corriente promedio 
en el conductor es 

r *G 



1 prom 



At 



= nqv d A 



(27.4) 



La rapidez de los portadores de carga v d es una rapidez promedio conocida co- 
mo la rapidez de arrastre deriva. Para entender su significado considere un conduc- 
tor en el cual los portadores de carga son electrones libres. Si el conductor esta ais- 
lado — esto es, la diferencia de potencial a traves de el es cero — entonces estos 
electrones se someten a movimiento aleatorio que es similar al de las moleculas de 
gas. Como se analizo antes, cuando una diferencia de potencial se aplica a traves del 
conductor (por ejemplo, por medio de una bateria), se establece un campo electri- 
co en el conductor; este campo ejerce una fuerza electrica sobre los electrones pro- 
duciendo una corriente. Sin embargo, los electrones no se mueven en lmeas rectas 
a lo largo del conductor. En lugar de eso experimentan repetidos choques con los 
atomos del metal y el resultado es un complicado movimiento en zigzag (Figura 
27.3). A pesar de los choques los electrones se mueven lentamente a lo largo del 
conductor (en una direction opuesta a la de E) a la velocidad de arrastre \ d . 



27. 1 Corriente el&trica 



843 



v<* 




Figura 27.3 Representation esquematica del movimiento 
en zigzag de un electron en un conductor. Los cambios en di- 
rection son el resultado de colisiones entre el electron y 
los atomos en el conductor. Advierta que el movimiento neto 
del electron es opuesto a la direction del campo electrico. Ca- 
* da section de la trayectoria zigzagueante es un segmento pa- 

E rabolico. 

Uno puede considerar en conjunto las colisiones atomo-electron dentro de un 
conductor como si fuera una friction interna efectiva (o fuerza de arrastre) similar 
a la que experimentan las moleculas de un liquido que fluye a traves de una tube- 
ria obstruida con virutas de acero. La energia transferida de los electrones a los ato- 
mos del metal durante las colisiones provoca un incremento en la energia vibrato- 
ria de los atomos y un correspondiente incremento en la temperatura del conductor. 



Pregunta sorpresa 27.1 



Considere cargas positivas y negativas moviendose de manera horizontal a traves de las cua- 
tro regiones.mostradas en la figura 27.4. Clasifique la corriente en estas cuatro regiones, de 
menor a mayor. 







a) 



b) 



d) 



Figura 27 A 



Ejemplo 27 : ^>- Rapidez de arrastre en un alambre de cobre 



El alambre de cobre calibre 12 en una construction residen- 
tial comun tiene un area de section transversal de 3.31 x 10" 6 
m 2 . Si conduce una corriente de 10.0 A, jcual es la rapidez de 
arrastre de los electrones? Suponga que cada atomo de cobre 
contribuye con un electron libre a la corriente. La densidad 
del cobre es de 8.95 g/cm 3 . 

Solution A partir de la tabla periodica de los elementos en 
el apendice C, se encuentra que la masa molar del cobre es 
de 63.5 g/mol. Recuerde que 1 mol de cualquier sustancia 
conuene un numero de Avogadro de atomos (6.02 x 10 2S ). 
Conocer la densidad del cobre permite calcular el volumen 
ocupado por 63.5 g (= 1 mol) de cobre: 

m 63.5 g „ 

V = — = £-— - = 7.09 cm 3 

p 8.95g/cm 3 

Puesto que cada atomo de cobre aporta un electron libre 
a la corriente, se tiene 



6.02 x 10 23 electrones 



7.09 cm 3 
= 8.49 x 10 28 electrones/m s 



(1.00xl0 6 cm 3 /m 3 ) 



A partir de la ecuacion 27.4 se encuentra que la rapidez 
de arrastre es 



v d = 



nqA 



donde q es el valor absoluto de la carga en cada electron. En 
consecuencia, 



v d = 



nqA 



lO.OC/s 



(8.49 x 10 28 rrr 3 )(1.60 x 10" 19 C)(3.31 x 10" 6 m 2 ) 
= 2.22 x 10" 4 m/s 



Ejercicio Si un alambre de cobre porta una corriente de 
80.0 mA, jcuanto flujo de electrones pasa por una section 
transversal dada del alambre en 10.0 min? 



Respuesta 3.0 x 10 20 electrones. 



844 CAPITUL0 27 Corriente y resistencia 

El ejemplo 27.1 muestra que la rapidez de arrastre comun es muy pequena. Por 
ejemplo, los electrones que viajan a una rapidez de 2.46 x 10" 4 m/s jtardarian alre- 
dedor de 68 min para viajar 1 m! En vista de esto, tal vez le sorprenda por que la luz 
se produce casi instantaneamente cuando se conecta un interruptor. En un conduc- 
tor, el campo electrico que impulsa a los electrones libres viaja por el conductor a 
una velocidad cercana a la de la luz. Asf, cuando usted oprime un interruptor de luz, 
el mensaje para que los electrones empiecen a moverse a traves del alambre (el cam- 
po electrico) los alcanza a una rapidez del orden de 10 8 m/s. 

Jjjj|||> RESISTENCIA Y LEY DE OHM 

® En el capitulo 24 se encontro que no puede haber campo electrico deritro de un 
133 conductor. Sin embargo, este enunciado es verdadero splo si el conductor esta en 
equilibrio estatico. El proposito de esta seccion es describir que sucede cuando se 
deja que las cargas se muevan en el conductor. 

Las cargas que se mueven en un conductor producen una corriente bajo la ac- 
tion de un campo electrico, el cual es mantenido por la conexion de una bateria a 
traves del conductor. Un campo electrico puede existir en el conductor porque las 
cargas en este caso estan en movimiento — es decir, se trata de una situation no elec- 
trostdtica. 

Considere un conductor de area de seccion transversal A que conduce una co- 
rriente /. La densidad de corriente/en el conductor se define como ia corriente por 
unidad de area. Puesto que la corriente /= nqv d A, la densidad de corriente es 

J^-- = nqv d (27.5) 

A 

donde/tiene unidades SI de A/m 2 . La expresion es valida solo si la densidad de co- 
rriente es uniforme, y solo si la superfkie del area de la seccion transversal A es per- 
pendicular a la direction de la corriente. En general, la densidad de corriente es una 
cantidad vectorial: 
Densidad de corriente J = nq\ d (27.6) 

A partir de esta ecuacion se ve que la densidad de corriente, al igual que la corrien- 
te, esta en la direction del movimiento de carga de los portadores de carga positiva 
y es opuesta a la direction de movimiento de los portadores de carga negativa. 

Una densidad de corriente J y un campo electrico E se establecen en un conduc- 
tor cuando se mantiene una diferencia de potential a traves del conductor. Si la di- 
ferencia de potential es constante, la corriente tambien lo es. En algunos materia- 
les la densidad de corriente es proportional al campo electrico: 

Ley de Ohm J = crE (27.7) 

donde la constante de proporcionalidad o - recibe el nombre de conductividad del 
conductor. 1 Los materiales que obedecen la ecuacion 27.7 se dice que cumplen la 
ley de Ohm, Uamada asf en honor de George Simon Ohm (1787-1854). Mas especf- 
ficamente, la ley de Ohm establece que 

para muchos materiales (incluidos la mayor parte de los metales) , la proportion 
entre la densidad de corriente y el campo electrico es una constante <r que es 
independiente del campo electrico productor de la corriente. 

Los materiales que obedecen la ley de Ohm y que, en consecuencia, demuestran es- 
ta simple relation entre E y J se dice que son ohmicos. Sin embargo, experimental- 



1 No confundir la conductividad a con la densidad de carga superficial, para la cual se emplea el mis- 
mo simbolo. 



27.2 Resistencia y ley de Ohm 



845 



mente se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad, y los mate- 
riales que no obedecen la ley de Ohm se dice que son no ohmkosl La ley de Ohm no 
es una ley fundamental de la naturaleza sino mas bien una relacion empfrica valida 
solo para ciertos materiales. 



Pregunta sorpresa 27.2 



Suponga que un alambre metalico ohmico que porta corriente tiene un area de seccion 
transversal que gradualmente se vuelve mas pequena desde un extremo del alambre hacia 
el otro. jComo varian a lo largo del alambre la velocidad de arrastre, la densidad de co- 
rriente y el campo electrico? Advierta que la corriente debe tener el mismo valor en cual- 
quier parte del alambre, de modo que la carga no se acumula en un punto exclusive 

Una forma de la ley de Ohm util en aplicaciones practicas puede obtenerse con- 
siderando un segmento de un alambre recto de area de seccion transversal A y lon- 
gitud L, como se muestra en la figura 27.5. Una diferencia de potencial A V= V,, - V„ , 
se mantiene a traves del alambre, creando en el mismo un campo electrico y una co- 
rriente. Si el campo se supone uniforme, la diferencia de potencial se relaciona con 
el campo electrico p6r medio de la relacion 2 

AV=£€ 

Por tanto, la magnitud de la densidad de la corriente en el alambre se puede expre- 
sar como 



Puesto que/= I/A, la diferencia de potencial puede escribirse como 



av 



a J \oA) 



La cantidad (,/aA se denomina la resistencia R del conductor. La resistencia se pue- 
de definir como la razon entre la diferencia de potencial a traves del conductor y la 
corriente a traves del mismo: 

AV 



R = 



OA 



(27.8) 



Resistencia de un conductor 



A partir de este resultado se ve que la resistencia tiene unidades SI de volts por am- 
pere. Un volt por ampere se define como un ohm (fl): 



in -IX 

1A 



(27.9) 




Figura 27.5 Un conductor uniforme de longitud € y 
area de seccion transversal A. Una diferencia de poten- 
cial AV= V t - V„ mantenida a traves del conductor esta- 
blece un campo electrico E y este campo produce una 
corriente / que es proporcional a la diferencia de po- 
tencial. 



Este resultado se sigue de la definicion de diferencia de potencial: 



,-V. =-jVds = £j dx = 



El 



846 



CAPITUL0 27 Corriente y resistencia 




Surtido de resistores usados en circuitos electricos. (Henry Leap y Jim Lehman) 

Esta expresion muestra que si una diferencia de potential de 1 V a traves de un 
conductor produce una corriente de 1 A, la resistencia del conductor es 1 ft. Por 
' ejemplo, si un aparato electrico conectado a una fuente de 120 V de diferencia de 
potential conduce una corriente de 6 A, su resistencia es de 20 ft. 

La ecuacion 27.8 resuelta para la diferencia de potential (A V= I£/aA) explica 
parte del acertijo con que se comenzo este capitulo: jcomo puede un ave posarse en 
una lfnea de transmision de alto voltaje sin electrocutarse? Aun cuando la diferen- 
'j|| cia de potential entre la tierra y el alambre pueda ser de cientos de miles de volts, 
la que existe entre los pies del ave (lo cual es lo que determina cuanta corriente flu- 
ye a traves del ave) es muy pequena. 

El inverso de la conductividad es la resistividad 3 p: 



Resisti vidad 



p = - 

a 



(27.10) 



donde p tiene las unidades ohm-metro (ft • m). Se puede usar esta definition y la 
ecuacion 27.8 para expresar la resistencia de un bloque de material uniforme como 



Resistencia de un conductor 
uniforme 



R = p- 



(27.11) 



Todo material ohmico tiene una resistividad caracteristica que depende de las pro- 
piedades del material y la temperatura. Por otra parte, como usted puede ver en la 
ecuacion 27.11, la resistencia de una sustancia depende de la geometrfa, asi como 
de la resistividad. La tabla 27.1 presenta las resistividades de varios materiales a 20°C. 
Advierta la enorme gama de resistividades, desde valores muy bajos para buenos con- 
ductores, como el cobre y la plata, hasta valores muy altos para buenos aislantes, co- 
mo el vidrio y el caucho. Un conductor ideal tendria resistividad cero, y un aislante 
ideal tendria resistividad infinita. 

La ecuacion 27.11 muestra que la resistencia de un conductor cilindrico deter- 
minado es proportional a su longitud e inversamente proportional al area de su sec- 
tion transversal. Si se duplica la longitud de un alambre, tambien se duplica su re- 
sistencia. Si el area de la section transversal aumenta al doble, su resistencia se 
reduce a la mitad. La situation es analoga a la del flujo de un liquido por una tube- 



3 No confunda resistividad con densidad de masa o densidad de carga, para las cuales se emplea el mis- 
mo simbolo. 



B^ 



27.2 Resistencia y ley de Ohm 



847 



tabla 27:i Resi&ividades y coefineirtes de temperatiira 
de resistividad para varios materiales 





Resistividad* C 


loefidente de temperatura 


Material 


(ft • m) 


a[<X)->] 


Plata 


1.59 x 10" 8 


3.8 x 10" 3 


Cobre 


1.7 x 10" 8 


3.9 x 10" 3 


Oro 


2.44 x 10" 8 


3.4 x 10" 3 


Aluminio 


'2.82 x 10" 8 


3.9 x lO- 3 


Tungsteno 


5.6 x 10" 8 


4.5 x lO" 3 


Hierro 


10 x 10- 8 


5.0 x 10" 3 


Platino 


11 x 10" 8 


3.92 x lO" 3 


Plomo 


22 x 10" 8 


3.9 x lO' 3 


Nicromo b 


1.50 x 10" 6 


0.4 x 10" 3 


Carbono 


3.5 x 10" 5 


- 0.5 x 10" 3 


Germanio 


0.46 


- 48 x 10" 3 


Silicio 


640 


- 75 x 10- 3 


Vidrio 


10"' a 10 14 




Hule duro 


= 10 13 




Azufre 


' 10 ,s 




Cuarzo (fundido) 


75 x 10 16 





" Todos los valores a 20°C. 

b Una aleacion de nfquel-cromo usada por lo comun en elementos cale- 
factores. 



ria. Cuando la longitud de la tuberia se incrementa, tambien lo hace la resistencia 
al flujo. Cuando aumenta el area de la seccion transversal de la tuberia, la cantidad 
de lfquido que cruza una seccion transversal dada de la tuberia por unidad de tiem- 
po tambien aumenta. En consecuencia, fluye mas liquido para la misma presion di- 
ferencial aplicada a la tuberia, y la resistencia a fluir disminuye. 

La mayor parte de los circuitos electricos usan dispositivos liamados resistores 
para controlar el nivel de corriente en las diferentes partes del circuito. Dos tipos 
comunes de resistores son el resistor de composition, que contiene carbon, y el resistor 
de cable enrollado, el cual consta de una bobina de alambre. Los valores de los resis- 
tores en ohms normalmente se codifican por medio de colores, como se indica en 
la figura 27.6 y en la tabla 27.2. 

Los materiales phmicos tienen una relacion lineal de corriente-diferencia de po- 
tencial en un largo intervalo de diferencias de potencial aplicadas (Fig. 27.7a). La 
pendiente de la curva I-versus-A Ven la region lineal produce un valor para \/R. Los 
materiales no ohmicos tienen una relacion corriente-diferencia de potencial no 




Figura 27.6 Las bandas de colores sobre un 
resistor representan un codigo para determinar 
su resistencia. Los primeros dos colores propor- 
cionan los primeros dos digitos en el valor de 
resistencia. El tercer color representa la poten- 
cia de diez para el multiplicador del valor de re- 
sistencia. El ultimo color es la tolerancia del va- 
lor de resistencia. Como ejemplo, los cuatro 
colores sobre los resistores dentro del circulo 
son rqjo (= 2), negro (= 0), anaranjado (= 10 s ) 
y oro (= 5%), y asi el valor de resistencia es 20 x 
10 s fl = 20 kfl con un valor de tolerancia de 5% 
= 1 kfl. (Los valores para los colores estan torna- 
dos de la tabla 27.2.) (SupaStock) 



848 



CAPfTULO 27 Corriente y resistencia 



tabla 27.2 Ctidigo de colores para resistores 

Color Niimero Multiplicador 



Toleranda 



Negro 
Cafe 




1 


Rojo 
Anaranjado 


2 
3 


Amarillo 


4 


Verde 


5 


Azul 


6 


Violeta 


7 


Gris 


8 


Blanco 


9 


Oro 




Plata 




Sin color 





1 

10 1 
10 2 
10 5 
10 4 
10 5 
10 6 
10 7 
10 8 
10 9 

io-' 

lO" 2 



5% 
10% 
20% 





a) 



b) 



Figura 27.7 a) La curva corriente-diferencia de potencial para un material ohmico. La curva es li- 
neal y la pendiente es igual al inverso de la resistencia del conductor, b) Una curva no lineal corrien- 
te-diferencia de potencial para un diodo semiconductor. Este dispositivo no obedece la ley de Ohm. 



lineal. Un dispositivo semiconductor comun que dene caracteristicas no lineales J 
versus AVes la union diodo (Figura 27.7b). La resistencia de este dispositivo es baja 
para corrientes en una direction (A Vpositivo) y alta para corrientes en la direction 
opuesta (AVnegativo). En realidad, casi todos los dispositivos electronicos moder- 
nos, como los transistores, tienen relaciones corriente-diferencia de potencial no li- 
neales; su operation adecuada depende de la manera particular en la cual violen la 
ley de Ohm. 



Pregunta sorpresa 27.3 



jQue represents la pendiente de la lfnea curva en la figura 27.7b? 



Pregunta sorpresa 27.4 



Su jefe le pide disenar un cable pasacorriente de bateria automotriz que tenga una baja re- 
sistencia. En vista de la ecuacion 27.11, jque factores deberia considerar en su diseno? 



27,2 Resistencia y ley de Ohm 



849 



EJEMPLOitfm. 



La resistencia de un conductor 



Calcule la resistencia de un cilindro de aluminio que mide 
10.0 cm de largo y tiene un area de section transversal de 
2.00 x 10"" 4 m 2 . Repita el calculo para un cilindro de vidrio de 
las mismas dimensiones con 3.0 x 10 10 O-m de resistividad. 

Solution De la ecuacion 27.11 y de la tabla 27.1 se puede 
calcular la resistencia del cilindro de aluminio como sigue: 



I ,„™ ,„ «~ s( 0.100 m 

R = p— = (2.82 x 10- 8 n • m) — - 

F A { 2.00 x lO" 4 m 2 



= 1.41 x 10" 5 CI 
De manera similar, para el vidrio se encuentra que 

0.100 m 



ft = p— = (3.0 X10 10 n-m) 



2.00 x 10" 4 m 2 



minio y vidrio difiere enormemente. La resistencia del cilin- 
dro de vidrio es 18 ordenes de magnitud mas grande que la 
del cilindro de aluminio. 




= 1.5xl0 13 n 

Los aislantes electricos scbre los postes telefonicos con frecuencia es- 
Como usted puede suponer a partir de la gran diferencia en tin hechos de vidrio debido a su baja conductividad electrica. (J.H. 
resistividades, la resistencia de los cilindros identicos de alu- Robinson/Photo Researchers, Inc.) 



Ejemplo 2030^ La resistencia de un alambre de nicromo 



a) Calcule la resistencia- par unidad de longitud de un alam- 
bre de nicromo de calibre 22, que tiene un radio de 0.321 
mm. 

Solution El area de la section transversal de este alambre 
es 

A = 77T 3 = tt(0.321 x 10-* m) 2 = 3.24 x 10" 7 m 2 

La resistividad del nicromo es 1.5 x 10"* CI ■ m (vease la tabla 
27.1) . De este modo, se puede usar la ecuacion 27.1 1 para en- 
contrar la resistencia por unidad de longitud: 



R _ p _ 1.5 x 1Q- 6 O ■ m 
7 ~ ~A ~ 3.24 x 10" 7 m 2 



4.6 Cl/m 



b) Si se mantiene una diferencia de potencial de 10 V a 
traves de un alambre de nicromo de 1 .0 m de largo, <;cual es 
la corriente en el alambre? 

Solution Puesto que una longitud de 1.0 m de este alambre 
tiene una resistencia de 4.6 ft, la ecuacion 27.8 produce 



/ = ■ 



AV 10 V 



R 4.6 CI 



= 2.2 A 



Observe en la tabla 27.1 que la resistividad del alambre de 
nicromo es casi 100 veces la del cobre. Por tanto, un alambre 
de cobre del mismo radio tendria una resistencia por unidad 
de longitud de solo 0.052 Cl/m. Un alambre de cobre de 
1.0 m de largo del mismo radio conduciria la misma corrien- 
te (2.2 A) con una diferencia de potencial aplicada de solo 
0.11 V. 

Debido a esta elevada resistividad y a su resistencia a la oxi- 
dation, el nicromo. se emplea a menudo en elementos cale- 
factores de tostadores, planchas y calefactores electricos. 

Ejerdcio ^Cual es la resistencia de un alambre de nicromo 
de 6.0 m de largo y calibre 22? £Cuanta corriente conduce el 
alambre cuando se conecta a una fuente de diferencia de po- 
tencial de 120 V? 

Respuesta 28 CI; 4.3 A. 

Ejerdcio Calcule la densidad de corriente y el campo elec- 
trico en el alambre cuando conduce una corriente de 2:2 A. 

Respuesta 6.8 x 10 6 A/m 2 ; 10 N/C. 



Ejemplo ~27$& 



La resistencia radial de un cable coaxial 



Los cables coaxiales se usan de manera amplia para cables de 
television y otras aplicaciones electronicas. Un cable coaxial 
consta de dos conductores cilindricos. El espacio entre los 



conductores esta lleno completamente de silicio, como mues- 
tra la figura 27.8a, y la fuga de corriente a traves del silicio es 
indeseable. (El cable esta disenado para conducir corriente a 



850 



CAP/TUL027 Corriente y resistencia 



lo largo de su longitud.) EI radio del conductor interno es 
a = 0.500 cm, el radio del externo es 6= 1.75 cm, y su longi- 
tud es L = 15.0 cm. Calcule la resistencia del silicio entre los 
dos conductores. 

Solution En este tipo de problema se debe dividir el obje- 
to cuya resistencia se esta calculando en elementos concentri- 
cos de espesor infinitesimal dr (Fig. 27.8b). Comience em- 
pleando la forma diferencial de la ecuacion 27.11, 
reemplazando € con r para la distancia variable: dR=. p dr/A, 
donde dR es la resistencia de un elemento de silicio de espe- 
sor dry area superficial A. En este ejemplo se toma como ele- 
mento concentrico representative un cilindro de silicio hue- 
co de radio r, espesor dry longitud L, como se muestra en la 
figura 27.8. Cualquier corriente que pase entre los conductc»- 
res interno y externo debe pasar radialmente a traves de este 
elemento concentrico, y el area a traves de la cual pasa dicha 
corriente es A = 2irrL (Esta es el area curva superficial — cir- 
cunferencia multiplicada por longitud— del cilindro de sili- 
cio hueco de espesor dr.) Por tan to, la resistencia del cilindro 
de silicio hueco se puede escribir como 



dR = 



■dr 



2-irrL 

Puesto que se desea conocer la resistencia total a traves del 
espesor entero del silicio, necesita integrar esta expresion 
desde r= a hasta r= b: 

) a 27rLj„ r 2irL {a) 

Al sustituir los valores dados, y usar p = 640 fl ■ m para el sili- 
cio, se obtiene 



640 n-m , 
R = In 

2tt(0.150 m) 



[™*°L) m 851 n 

1,0.500 cm J 



Ejercicio Si una diferencia de potencial de 12.0 V se aplica 
entre los conductores interno y externo, £cual es el valor de 
la corriente total que pasa entre ellos? 

Respuesta 14.1 mA. 



Silicio 




Conductor Conductor 
interno externo 

a) 



Direction de 
la corriente 




Vista transversal 
b) 



Figura 27.8 Un cable coaxial, a) El silicio llena el espacio entre los dos conductores. b) Vista trans- 
versal mostrando fuga de corriente. 



UN M0DEL0 PARA LA C0NDUCCI0N ELECTRIC A 



En esta section se describe un modelo clasico de la conduction electrica en meta- 
les, el cual fue propuesto por primera ocasion por Paul Drude en 1900. Este mode- 
lo conduce a la ley de Ohm y demuestra que la resistividad puede relacionarse con 
el movimiento de electrones en metales. Aunque el modelo de Drude descrito aqui 
tiene limitaciones, introduce conceptos que todavia se aplican en tratamientos mas 
elaborados. 

Considere un conductor como un arreglo regular de atomos mas una coleccion 
de electrones libres, llamados algunas veces electrones de conduction. Los electrones 
de conduction, aunque ligados a sus respectivos atomos cuando los atomos no son 
parte de un solido, ganan movilidad cuando los atomos libres se condensan en un 
solid6. Cuando no hay campo electrico, los electrones de conduction se mueven en 
directiones aleatorias a traves deT conductor a rapidez promedio del orden de 10 6 
m/s. La situation es similar al movimiento de las moleculas de gas confinadas en un 



27.3 Un modelo para la conduccifln elfctrica 



851 



recipiente. De hecho, algunos cientificos se refieren a los electrones de conduction 
en un metal como un gas de electrones. No hay corriente a traves de un conductor si 
no hay un campo electrico, puesto que la velocidad de arrastre de los electrones li- 
bres es cero. Es decir, en promedio, igual numero de electrones se mueve en una 
direction que en la direction opuesta, por lo que no hay un flujo neto de carga. 

La situation cambia cuando se aplica un campo electrico. Ahora, ademas del 
movimiento aleatorio que acaba de describirse, los electrones libres se mueven len- 
tamente en direccion opuesta a la del campo electrico con una rapidez de arrastre 
promedio v d que es muchio mas pequena (por lo general de 10" 4 m/s) que su rapi- 
dez promedio entre choques (por lo comun de 10 6 m/s). 

La figura 27.9 proporciona una description burda del movimiento de los elec- 
trones libres en un conductor. Cuando no hay campo electrico, no hay desplaza- 
miento neto despues de muchos choques (Fig. 27.9a) . Un campo electrico E modi- 
fica el movimiento aleatorio y ocasiona que los electrones se desplacen en una 
direccion opuesta a la de E (Figura 27.9b) . La ligera curvatura en las trayectorias de 
la figura 27.9b es el resultado de la aceleracion de los electrones entre colisiones cau- 
sada por el campo aplicado. 

En este modelo se supone que el movimiento de un electron despues de una 
colision es iridependiente de su movimiento antes de la colision. Tambien se supo- 
ne que el exceso deenergia adquirido por los electrones en el campo electrico se 
pierde en los atomos del conductor cuando los atomos y los electrones chocan. La 
energia dada a los atomos en los choques incrementa su energia vibratoria, lo que 
provoca el aumento de temperatura del conductor. Este aumento en la temperatu- 
ra del conductor debido a la resistencia se utiliza en los tostadores electricos y en 
otros aparatos conocidos._ 

Ahora se esta en una buena position para obtener una expresion que represen- 
te la velocidad de arrastre. Cuando un electron libre de masa m r y carga q (= —e) se 
somete a un campo electrico E, experimenta una fuerza F = qE. Puesto que XF = 
m,a, se concluye 1 que la aceleracion del electron es 

qE 
- (27.12) 



a = 



m, 



Esta aceleracion, la cual ocurre solo durante un breve tiempo entre choques, permi- 
te al electron adquirir una pequena velocidad de arrastre. Si t es el tiempo desde la 
ultima colision, y v, es la velocidad initial del electron en el instante posterior a la 
colision, entonces la velocidad del electron despues de un tiempo t es 



Vy =V ; 



+ a< = v. 



m. 



(27.13) 



Ahora se toma el valor promedio de v sobre todos los tiempos posibles t y todos los 
valores posibles de v,. Si se supone que las velotidades initiates se distribuyen alea- 
toriamente sobre todos los posibles valores, se ve que el valor promedio de v, es ce- 
ro. El termino (qE/m,)t es la velocidad anadida por el campo durante un recorri- 
do entre atomos. Si el electron empieza con velocidad cero, el valor promedio del 
segundo termino de la ecuacion 27.13 es (qJL/m e )T, donde t es el intervab de tiempo 
promedio entre choques sucesivos. Debido a que el valor promedio de v f es igual a la ve- 
locidad de arrastre, 4 se tiene 



qE 
m. 




a) 
E 




b) 

Figura 27.9 a) Diagrama esquema- 
tico del movimiento aleatorio de dos 
portadores de carga en un conductor 
en ausencia de un campo electrico. 
La velocidad de arrastre es cero. b) El 
movimiento de los portadores de car- 
ga en un conductor en la presencia 
de un campo electrico. Advierta que 
el movimiento aleatorio es modificado 
por el campo, y los portadores de car- 
ga denen una velocidad de arrastre. 



(27.14) Velocidad de arrastre 



4 Puesto que el proceso de choque es aleatorio, cada choque es iridependiente de lo que sucede antes. 
Esto es analogo al proceso aleatorio de lanzar un dado. La probabilidad de que se obtenga un nume- 
ro particular en un lanzamiento es independiente del resultado del lanzamiento previo. En promedio, 
serian necesarios seis lanzamientos para obtener ese numero particular, empezando en cualquier tiem- 
po arbitrario. 



852 



CAPfTUL 27 Corriente y resistencia 



Densidad de corriente 



Se puede relacionar esta expresion para la velocidad de arrastre con la corrien- 
te en el conductor. Sustituyendo la ecuacion 27.14 en la 27.6 se encuentra que la 
magnitud de la densidad de corriente es 



nq 
J = nqv d = - 1 - 



m. 



(27.15) 



Conductividad 



donde n es el numero de portadores de carga por unidad de volumen. Comparan- 
do esta expresion con la ley de Ohm, /= aE, se obtienen las siguientes relaciones 
para la conductividad y la resistividad: 



a = 



nq^r 



(27.16) 



Resistividad 



a 



nq- 



(27.17) 



De acuerdo con este modelo clasico, la conductividad y la resistividad no dependen 
de la intensidad.del campo electrico. Este rasgo es caracteristico de un conductor 
que obedece la ley de Ohm. 

El tiempo promedio entre las colisiones t se relaciona con la distancia prome- 
dio entre colisiones € (es decir, la trayectoria libre media; vease la seccion 21.7) y con 
la rapidez promedio v por medio de la expresion 



v 



(27.18) 



Ejemplo 271 



Choqiies de electrones en un alambre 



a) Empleando los datos y resultados del ejemplo 27.1, y el 
modelo clasico de la conduccion de electrones, calcule el 
tiempo promedio entre choques para electrones en un alam- 
brado casero de cobre. 

Solucion En la ecuacion 27.17 se ve que 

n rp 

donde p = 1.7 x 10" 8 CI ■ m para el cobre y la densidad de por- 
tadores esn= 8.49 x 10 28 electrones/m 3 para el alambre des- 
crito v en el ejemplo 27.1. La sustitucion de estos valores en la 
expresion anterior produce 

(9.11 xlQ- 31 kg) 

(8.49 x 10 28 m- 3 ) (1.6 x 10" 19 C) 2 (1.7 x 10" 8 ft • m) 



= 2.5xl0-"s 

b) Suponiendo que la rapidez promedio de los electrones 
libres en el cobre sea de 1.6 x 10 6 m/s, y utilizando el resul- 
tado del inciso a), calcule la trayectoria libre media para los 
electrones en el cobre. 

Solucion 

€ = vt= (1.6 x 10 6 m/s)(2.5 x 10"' 4 s) 

= 4.0xl0- 8 m 

que es equivalente a 40 nm (comparada con los espaciamien- 
tos atomicos de aproximadamente 0.2 nm). Asf, a pesar de 
que el tiempo entre colisiones es muy corto, un electron en 
el alambre recorre cerca de 200 distancias atomicas antes de 
chocar. 



Aunque este modelo de conduccion clasico es consistente con la ley de Ohm, 
no es satisfactorio para explicar algunos fenomenos importantes. Por ejemplo, los 
valores clasicos para iJ calculados utilizando el modelo de gas ideal (vease la seccion 
21.6) son mas pequenos que los valores reales en un factor cercano a 10. Ademas, 
si se sustituye €/v por T en la ecuacion 27.17, y se reacomodan los terminos demo- 
do que v aparezca en el numerador, se encuentra que la resistividad p es proporcio- 
nal aii.De acuerdo con el modelo de gas ideal, v es proporcional a VT ; por tanto, 
tambien deberia ser cierto que p <* VT. Esto no concuerda con el hecho de que la 
resistividad depende linealmente de la temperatura en metales puros. Solo es posi- 
ble explicar estas observaciones mediante el modelo de la mecanica cuantica, el cual 
ahora se describira a grandes rasgos. 



27. 4 Resistencia y temperature 



853 



Segiin la mecanica cuantica, los electrones tienen propiedades similares a las de 
las ondas. Si el arreglo de los atomos en un conductor esta espaciado de manera re- 
gular (es decir, es periodico), entonces el caracter de similitud ondulatoria de los 
electrones les permite moverse libremente por el conductor, y una colision con un 
atomo es improbable. En un conductor idealizado no habria colisiones, la trayecto- 
ria libre media sen'a infinita y la resistividad resultaria cero. Las ondas de electrones 
se dispersan solo si el arreglo atomico es irregular (no periodico) como resultado 
de, por ejemplo, defectos estructurales o impurezas. A bajas temperaturas la resisti- 
vidad de metales es dominada por la dispersion provocada por los choques entre los 
electrones y los defectos o impurezas. A elevadas temperaturas la resistividad es do- 
minada por la dispersion que se produce debido a las colisiones entre los electrones 
y los atomos del conductor, los cuales son desplazados de manera continua del es- 
pacio arreglado regularmente como resultado de la agitation termica. El movimien- 
to termico de los atomos hace que la estructura sea irregular (comparada con un 
arreglo atomico en reposo) , razon por la que se reduce la trayectoria libre media de 
los electrones. > , • 



27.4 ■% 



RESISTENCIA Y TEMPERATURA 



En un intervalo limitado de temperatura, la resistividad de un metal varia aproxima- 
damente de manera lineal con la temperatura, de acuerdo con la expresion 

p = Pl) [l + a(7-r )] (27.19) 

donde p es la resistividad a cierta temperatura T (en grados Celsius) , p es la resisti- 
vidad a determinada temperatura de refer.encia T„ (que suele considerarse igual a 
20°C) y a es el coeficiente de temperatura de resistividad. De acuerdo con la ecua- 
cion 27.19, se ve que el coeficiente de temperatura de resistividad puede expresarse 
como 

1 Ap '' 
" ~ po AT (27.20) 



Variacion de p con la temperatura 



Coeficiente de temperatura de 
resistividad 



donde Ap = p — p es el cambio de resistividad en el intervalo de temperatura AT = 
T-T n . 

Los coeficientesxle temperatura de resistividad para diversos materiales se 
proporcionan en la tabla 27.1. Advierta que la unidad para a es grados Celsius" 1 
[(°C) - ']. Puesto que la resistencia es proporcional a la resistividad (ecuacion 
27.11), la variacion de la resistencia puede escribirse como 



R=R [\ + a(T-T )] 



(27.21) 



El uso de esta propiedad permite hacer mediciones de temperatura precisas, como 
se demuestra en el siguiente ejemplo. 



Ejemplo -2WI 



Un termometro de resistencia de platino 



Un termometro de resistencia, que mide temperatura me- 
diante la medicion del cambio de resistencia de un conduc- 
tor, esta hecho de platino y tiene una resistencia de 50.0 O. a 
20.0°C. Cuando se sumerge en un recipiente que contiene in- 
dio fundido, su resistencia aumenta a 76.8 ft. Calcule el pun- 
to de fusion del indio. 

Solucidn Resolviendo la ecuacion 27.21 para AT, y usando 
el valor de a para el platino proporcionado en la tabla 27.1, 
se obuene 



AT = 



R-R 



76.8 ft - 50.0 ft 



aR () [3.92 x 10" 3 ("C)" 1 ] (50.0 ft) 



= 137°C 



Puesto que T = 20.0°C, se encuentra que T, la temperatura 
de la muestra de indio fundido, es 157°C. 



854 



CAPITUL0 27 Corriente y resistencia ■■ 





Figura 27.10 Resistividad versus 
temperature para un metal como el 
cobre. La curva es lineal sobre un am- 
plio intervalo de temperaturas, y p au- 
menta conforme la temperatiira se in- 
crementa. lyjientras T tiende al cero 
absoluto (insercion), la resistividad 
tiende a un valor finito p . 



Figura 27.11 Resistividad versus temperature para un semi- 
conductor puro, como el silicio o el germanio. 



Para metales como el cobre, la resistividad es casi proporcional a la temperatu- 
ra, como se indica en la figura 27.10. Sin embargo, siempre hay una region no li- 
neal a temperaturas muy bajas, y la resistividad suele acercarse a cierto valor finito 
conforme la temperatura esta cerca del cero absoluto. Esta resistividad residual cer- 
ca del cero absoluto se debe principalmente a choques de electrones con impurezas 
e imperfecciones en el metal. En contraste, la resistividad de alta temperatura (la re- 
gion lineal) se caracteriza sobre todo por choques entre electrones y atomos meti- 
licos. 

Advierta que tres de los valores a en la tabla 27.1 son negativos; esto indica que 
la resistividad de dichos materiales disminuye con la temperatura creciente (Fig. 
27.11). Este comportamiento se debe al incremento en la densidad de portadores 
de carga a las temperaturas mas elevadas. 

En vista de que los portadores de carga en un semiconductor a menudo se aso- 
cian con atomos de impurezas, la resistividad de estos materiales es muy sensible al 
tipo y concentracion de dichas impurezas. Se volvera al estudio de los semiconduc- 
tores en el capitulo 43 de la version ampliada de este texto. 



Pregunta sorpresa 27.5 



<:Cuando transporta mas corriente un foco electrico — justo despues de que se enciende y 
el brillodel filamento metalico esta aumentando, o despues de que ha estado encendido 
durante unos cuantos milisegundos y el brillo es estable? 



Section optional 

SUPERCONDUCTORES 



Hay una clase de metales y compuestos cuya resistencia se vuelve cero debajo de cier- 
ta temperatura T r , conocida como temperatura critica. Estos materiales se conocen co- 
mo superconductores. La grafica resistencia-temperatura para un superconductor si- 
gue la de un metal normal a temperaturas arriba de T c (figura 27.12). Cuando la 
temperatura esta en o debajo de T c , la resistividad cae repentinamente hasta cero. 
Este fenomeno fue descubierto en 1911 por el fisico holandes Heike Kamerlingh- 
Onnes (1853-1926) cuando trabajaba con mercurio, un material superconductor 
debajo de 4.2 K. Mediciones recientes han mostrado que las resistividades de super- 
conductores debajo de sus valores de T c son menores que 4 x 10" 25 ft-m 
— aproximadamente 10" veces mas pequenos que la resistividad del cobre y en la 
practica se consideran iguales a cero — . 

En la actualidad se conocen miles de superconductores y, como se ilustra en la 
figura 27.13, las temperaturas criticas de los superconductores descubiertos hace 
poco son bastante mas elevadas de lo que en principio se creyo posible. Se recono- 
cen dos clases de superconductores. Los identificados mas recientemente, como el 
YBa 2 Cu 3 7 , son, en esencia, ceramicas con elevadas temperaturas criticas, mientra 



27.5 Superconductores 



855 



0.15 



0.125 - 
0.10 
0.075 1- 
0.05 
0.025 



0.00 



Hg 



T c 



s-LL 



_L 



4.0 4.1 



4.2 
T(K) 



4.3 4.4 



Figura 27.12 Resistencia versus temperatura para una muestra 
de mercurio (Hg). La grafica comprende la de un metal normal 
sobre la temperatura critica T r . La resistencia cae a cero en T„ la 
cual es de 4.2 K para el mercurio. 



que los materiales superconductores como los observados por Kamerlingh-Onnes 
son metales. Si alguna vez es identificado un superconductor a temperatura am- 
biente, el hecho tendria un tremendo impacto en la tecnologfa. 

El valor de T c es sensible a la composition qufmica, la presion y la estructura mo- 
lecular. Es interesante observar que el cobre, la plata y el oro, que son excelentes 
conductores, no presentan supefconductividad. 




Un pequeno iman permanente levita 
sobre un disco del superconductor 
YBa 2 Cu : ,0 T) el cual esta a 77 K. (Cor- 
tesia de IBM Research Laboratory) 



O2 liquido - 
N 2 liquido - 



H 2 liquido - 
He liquido - 



T,(K) 
150 - 
140 - 
130 - 
120 
110 
100 
* 90 
80 
70 
60 
50 
40 
30 
- 20 
10 




-Hg-Ba 2 Ca 2 Cu 2 8+5 

-Tl-Ba-Ca-Cu-O 
- Bi-Ba-Ca-Cu-O 



-YBa 2 Cu s 7 _ 5 



La-Sr-Cu-O 




La-Ba-Cu-O 



1910 1930 1950 1970 
Ano de descubrimiento 



1990 



Figura 27.13 Evolucion de la temperatura critica de superconductividad a partir del descubrimien- 
to del fenomeno. 



856 



CAPITUL0 27 Corriente y resistencia 



Uno de los rasgos en verdad notables de los superconductores es que una vez 
que se establece en ellos una corriente, esta persiste sin ninguna diferencia de potential 
aplicada (puesto que R= 0). jSe han observado corrientes estables que persisten en 
anillos superconductores durante varios anos sin decaimiento aparente! 

Una aplicacion importante y util de la superconductividad ha sido la construc- 
cion de imanes superconductores, en los cuales las intensidades de campo magneti- 
co son casi 10 veces mayores que las producidas por los mejores electroimanes nor- 
males. Esos imanes superconductores se consideran como un medio para almacenar 
energfa. Los imanes superconductores actualmente se utilizan en las unidades de 
imagenes de resonancia magneuca medica (MRI, por sus siglas en ingles), las cuales 
producen imagenes de alta calidad de los organos internos sin la necesidad de some- 
ter a los pacientes a una excesiva exposition de rayos X u otras radiaciones daninas. 

Para mayor information sobre la superconductividad vease la section 43.8. 



27.6 



ENERGIA ELECTRICA Y POTENCIA 




Figura 27.14 Un circuito que cons- 
ta de un resistor de resistencia Ry una 
bateria que tiene una diferencia de 
potencial AVa traves de sus termina- 
les. La carga positiva fluye en la direc- 
tion de las manecillas del reloj. Los 
puntos ay d estan aterrizados. 



(jp Si se utiliza una bateria para establecer una corriente electrica en un conductor, hay 
133 una transformation continua de energfa quimica almacenada en la bateria en ener- 
gfa cinetica de los portadores de carga. En los conductores, esta energfa cinetica se 
pierde rapidamente como consecuencia delos choques entre los portadores de car- 
ga y los atomos que integran al conductor, lo que produce un aumento en la tem- 
peratura del conductor. En otras palabras, la energfa qufmica almacenada en la bate- 
ria se transforma de manera continua en energfa interna asociada con la temperatura 
del conductor. 

Considere un circuito sencillo compuesto por una bateria cuyas terminales se 
conectan a un resistor, como se muestra en la figura 27.14. (Los resistores se desig- 
nan por medio del sfmbolo — WV — .) Imagine ahora siguiendo una canudad positi- 
va de carga AQque se mueve en el sentido de las manecillas del reloj por el circui- 
to del punto a, a traves de la bateria y el resistor, y regresa a dicho punto a. Los 
puntos ay d estan aterrizados (la tierra se designa por el sfmbolo ■=- ); es decir, el po- 
tencial electrico en estos dos puntos se considera igual a cero. A medida que la car- 
ga se mueve de a a b a traves de la bateria, su energfa potencial electrica U aumenfa 
en una cantidad AVAQ, (donde AVes la diferencia de potencial entre by a), mien- 
tras la energfa potencial qufmica en la bateria disminuye en la misma cantidad. (Re- 
cuerde de la ecuacion 25.9 que A U= qAV.) Sin embargo, cuando la carga se mueve 
de c a d a traves del resistor, pierde esta energfa potencial electrica al chocar con los 
atomos del resistor y, en consecuencia, se produce energfa interna. Si se ignora la 
resistencia de los alambres de interconexion, no hay perdida de energfa en las tra- 
yectorias be y da. Cuando la carga regresa al punto a, debe tener la misma energfa 
potencial electrica (cero) que tenia al empezar. 1 ' Advierta que, puesto que la carga 
no se puede almacenar en punto alguno, la corriente es la misma en cualquier par- 
te en el circuito. 

La rapidez a la cual la carga A Q pierde energfa potencial al atravesar el resistor es 



AC/ _ AQ 



At 



At 



AV = IAV 



Potencia 



donde /es la corriente en el circuito. En contraste, la carga vuelve a ganar esta ener- 
gfa cuando pasa a traves de la bateria. Puesto que la rapidez a la cual la carga pier- 
de energfa es igual a la potencia 9*' entregada al resistor (la cual aparece como ener- 
gfa interna) , se dene 

<3> = IAV (27.22) 



5 Observe que cuando la corriente alcanza su valor de estado estable, no hay cambio en la energia ci- 
netica de los portadores de carga que generan la corriente. 



27.6 Energfa el&trica y potencia 



857 



En este caso la potencia es suministrada a un resistor por una bateria. Sin embargo, 
la ecuacion 27.22 puede usarse para determinar la potencia transferida a cualquier 
dispositivo que conduzca una corriente Iy tenga una diferencia de potential A Ven- 
tre sus terminales. 

Utilizando la ecuacion 27.22 y el hecho de que AV= IR para un resistor, la po- 
tencia entregada al resistor se puede expresar en las formas alternativas 



SP = PR = 



(AV) 2 
R 



(27.23) 



Potencia entregada a un resistor 






Cuando /esta en amperes, A Ven volts y R en ohms, la unidad de potencia del SI es 
el watt, como lo fue en el capftulo 7 en el analisis de la potencia mecanica. La po- 
tencia perdida como energfa interna en un conductor de resistencia R se denomi- 
na calentamiento de joule f a menudo esta transformation tambien se nombra como 
una perdida. / -R 

Una bateria o dispositivo que proporciona energfa electrica se denomina como 
fuente defuerza ekctromotriz o, de manera mas comun, como fuente fern. El concepto ' 
de fern se analiza con mayor detalle en el capftulo 28. (La frase fuerza ekctromotriz es 
desafortunada, puestp que no describe a una fuerza sino mas bien a una diferencia 
de potential en volts.) Cuando se ignora la resistencia interna de la bateria, la dife- 
rencia de potential entre los puntos a y b en la figura 27.14 es igual a la fern £ de 
la bateria — es decir, A V= V h - V„ = £ — . De ser esto cierto, se puede establecer que 
la corriente en el circuito es /= AV/R= S/R Puesto que AV= 8, la potencia sumi- 
nistrada por la fuente fern puede expresarse como 2P = IS , que es igual a la poten- 
cia entregada al resistor, I' 2 R 

Cuando se transporta energfa electrica a traves de las Ifneas de potencia, como 
las mostradas en la figura 27.15, las companfas proveedoras buscan minimizar la po- 
tencia transformada a energfa interna en las Ifneas y maximizar la energfa entrega- 
da al consumidor. Puesto que &> = IAV, la misma cantidad de potencia se puede 
transportar, ya sea a altas corrientes y bajas diferencias de potential o a bajas corrien- 
tes y altas diferencias de potencial. Las companfas proveedoras eligen transportar la 
energfa electrica a bajas corrientes y altas diferencias de potencial primordialmente 
por razones economicas. El alambre de cobre es muy costoso, de modo que es mas 
barato usar alambre de alta resistencia (es decir, alambre que tiene una pequena 
area de section transversal; vease la Ec. 27.11). De esta manera, en la expresion pa- 
ra la potencia entregada al resistor, 2P = I'R, la resistencia del alambre esta fija a un 
valor relativamente alto para considerations economicas. La perdida I 2 R se puede 
reducir manteniendo la corriente / tan baja como sea posible. En algunos casos la 
potencia se transporta a diferencias de potencial tan grandes como 765 kV. Una vez 
que la electricidad alcanza su ciudad, la diferencia de potencial por lo comun se re- 
duce a 4 kV con un dispositivo llamado transformador. Otro transformador hace que 
la diferencia de potencial disminuya a 240 V antes de que la electricidad finalmen- 
te alcance su hogar. Desde luego, cada vez que la diferencia de potencial disminu- 
ye, la corriente aumenta por el mismo factor, y la potencia permanece constante. En 
el capftulo 33 se analizara a los transformadores de ; manera mas detallada. 



Pregunta sorpresa 27.6 



A los dos focos electricos mostrados en la figura 27.16 se les aplica la misma diferencia de 
potencial. jCual de las siguientes afirmaciones es verdadera? 

a) El foco de 30 W conduce la corriente mas grande y tiene la mayor resistencia. 

b) El foco de 30 W conduce la mayor corriente, pero el foco de 60 W tiene la mayor resis- 
tencia. 

* ■ 




Figura 27.15 Las companfas de 
transmision de potencia transfieren 
energia electrica a elevadas diferen- 
cias de potencial. (Comstock) 



Experimento sorpresa j^ 

Si usted tiene acceso a un ohmme- 
tro, verifique su respuesta a la pre- 
gunta sorpresa 27.6 probando la re- 
sistencia de unos cuantos focos elec- 
tricos. 



'' Se denomina calentamiento de joule aun cuando el proceso de calentamiento no ocurre. Este es otro 
ejemplo del uso incorrecto de la palabra color que se ha atrincherado en el lenguaje. 



858 



CAPlTULO 27 . Corriente y resistencia 




Figura 27.16 Estos focos electri- 
cos operan a su potencia nominal 
solo cuando estan conectados a una 
fuente de 120 V. (George Semple) 



■■ c) El foco de 30 W tiene la mayor resistencia, pero el de 60 W conduce la corriente mas ele- 
vada. 
d) El foco de 60 W conduce la mayor corriente y tiene la resistencia mas elevada. 



Expert mento sorpresa 



A partir de las etiquetas en los dispo- 
sitivos caseros como secadoras de ca- 
bello, televisores y estereos, estime el 
costo anual de utilizarlos. 



Pregunta sorpresa 27.7 



Para los dos focos mostrados en la figura 27.17, ordene los valores de corriente para los pun- 
tos del a al / del mayor al menor. 



30 W 




Figura 27.17 Dos focos electricos conectados a traves de la misma di- 
ferencia de potencial. Los focos operan a sus potencias nominales solo 
si estan conectados a una bateria de 120 V. 



Ejemplo-M 



Potencia en un calefactor electrico 



Un calefactor electrico se construye aplicando una diferencia 
de potencial de 120 V a un alambre de nicromo que tiene 
una resistencia total de 8.00 O. Encuentre la corriente condu- 
cida por el alambre y la potencia nominal del calefactor. 

Solution Puesto que AV= IR se tiene 



/ = 



AV 120 V 



R 8.00 n 



= 15.0 A 



Se puede encontrar la potencia nominal utilizando la expre- 
sion ® = PR: 

g> = I*R = (15.0 A) 2 (8.00 CI) = 1.80 kW 

Si se duplica la diferencia de potencial aplicada, la corriente 
se duplicaria pero la potencia se cuadruplicarfa porque 

<3>={AV) 2 /R. 



27. 6 Energfa el&trica y potencia 



859 



EjempiM 



El costo de preparer la comida 



Estime el costo de cocinar un pavo durante 4 h en un homo 
que opera de manera continua a 20.0 A y 240 V. 

Solucion La potencia usada por el homo es 

3> = I A V= (20.0 A) (240 V) = 4 800 W = 4.80 kW 

Puesto que la energfa consumida es igual a potencia x tiem- 
po, la cantidad de energfa por la cual usted debe pagar es 

Energfa = <3>t = (4.80 kW) (4 h) = 19.2 kWh 

Si la energfa se adquiere a un precio estimado de 8.00 centa- 
vos de dolar por kilowatt hora, el costo es 

Costo = (19.2 kWh)($0.080/kWh) = $1.54 

La demanda en los mermados suministros de energfa ha he- 
cho necesario que la gente tome en cuenta los requerimien- 



tos energeticos de sus aparatos electricos. Cada aparato elec- 
trico porta una etiqueta que contiene la informacion necesa- 
ria para calcular los requerimientos de potencia del aparato. 
En muchos casos el consumo de potencia en watts se estable- 
ce de manera directa, como en los focos electricos. En otros 
casos la cantidad de corriente usada por el dispositivo y la di- 
ferencia de potencial a la cual opera estan determinados. Es- 
ta informacion y la ecuacion 27.22 son suficientes para calcu- 
lar el costo de operacion de cualquier dispositivo electrico. 

Ejercido ^Cual es el costo de utilizar un foco electrico de 
100 W durante 24 h si el cargo de la companfa es de 0.08 do- 
lares por kWh? 

Respuesta 0.19 dolares. 



EjEMPLoSZm 



Corriente en un haz de electrones 



En cierto acelerador de partfculas los electrones emergen con 
una energfa de 40.0 MeV (1 MeV = 1.60 x TO-'-'J). Los elec- 
trones no emergen en una' corriente estable, sino en pulsos a 
una proportion de 250 pulsos/s. Esto corresponde a un tiem- 
po entre pulsos de 4.00 ms (Fig. 27.18). Cada pulso dura 200 
ns, y los electrones en el pulso constituyen una corriente de 
250 mA. La corriente es cero entre pulsos. a) ^Cuantos elec- 
trones son entregados por el acelerador por cada pulso? 

Solucion Se usa la ecuacion 27.2 en la forma dQ = I dt y se 
integra para encontrar la carga por pulso. Mientras el pulso 
esta ocurriendo la corriente es constante; por tanto, 



= / \dt=l 



a puiso = / I dt =/A< = (250 x 10- 3 A) (200 x 10" 9 s) 

= 5.00 x 10" 8 C 

Dividir esta cantidad de carga por pulso entre la carga elec- 
tronica da el niimero de electrones por pulso: 



Electrones por pulso = 



5.00 x 1Q- 8 C/pulso 
1.60 xlO" 19 C/electron 



= 3.13 x 10" electrones /pulso 

.b) jCual es la corriente por pulso promedio entregada por 
el acelerador? 

Solucion La corriente promedio esta dada por la ecuacion 
27.1, / prom = AQ/At. Puesto que el intervalo de tiempo entre 
pulsos es 4.00 ms, y como la carga por pulso se conoce del in- 
ciso a) , se obtiene 



Q PU <«, _ 500 x IP -8 c 



prom 



At 



4.00 x 10" 3 s 



= 12.5 /x A 



Esto representa solo 0.005% de la corriente pico, que es de 
250 mA. 



4.00 ms 



2.00 x 10" 7 s 



-+-t(s) 



Figura 27.18 Corriente versus tiempo para un haz de electro- 
nes emitidos en pulsos. 



860 



CAPiTULO 27 Corriente y resistencia 



c) £Cual es la maxima potencia entregada por el haz de 
electrones? 

Solution Por definition, la potencia es la energia entrega- 
da por unidad de tiempo. De este modo, la potencia maxima 
es igual a la energia entregada por un pulso dividida por la 
duration del pulso: 

At 
_ (3.13 x 10" electrones/ pulso) (40.0 MeV/electron) 
2.00 x 10'Vpulso 



= (6.26 x 10 19 MeV/s)(1.60 x 10- ,3 J/MeV) 

= 1.00xl0 7 W= 10.0 MW 

Tambien se podria calcular esta potencia de manera directa. 
Se supone que cada electron tiene energia cero antes de ser 
acelerado. En consecuencia, por definition, cada electron de- 
be haber pasado a traves de una diferencia de potencial de 
40.0 MV para adquirir una energia final de 40.0 MeV. Por tan- 
to, se tiene 

9 = / A V= (250 x 10" 3 A) (40.0 x 10 6 V) = 10.0 MW 



Resumen 

La corriente electrica / en un conductor se define como 



/ = 



dQ 

dt 



(27.2) 



donde dQes la carga que pasa por una section transversal del conductor en un tiem- 
po dt. La unidad de corriente del SI es el ampere (A) , donde 1 A = 1 C/s. 

La corriente promedio en un conductor se relaciona con el movimiento de los 
portadores de carga por medio de la relation 



V„ n = m r u <i A 



(27.4) 



donde n es la densidad de portadores de carga, q es la carga en cada portador, v d es 
la rapidez de arrastre, y A es el area de la seccion transversal del conductor. 

La magnitud de la densidad de corriente yen un conductor es la corriente por 
unidad de area: 



J = — = W* 



(27.5) 



La densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo electrico 
de acuerdo con la expresion 

J = <rE (27.7) 

La constante de proporcionalidad crse denomina conductividad del material del que 
esta hecho el conductor. El inverso de crse conoce como la resistividad p (p= 1/cr). 
La ecuacion 27.7 se conoce como ley de Ohm, y se dice que un material obedece 
esta ley si la proportion de su densidad de corriente J a su campo electrico aplica- 
do E es una constante que es independiente del campo aplicado. 

La resistencia R de un conductor se define en terminos de la longitud del con- 
ductor o en terminos de la diferencia de potencial que lo atraviesa: 



oA I 



(27.8) 



donde € es la longitud del conductor, cr es la conductividad del material del cual es- 
ta hecho, A es su area de seccion transversal, AVes la diferencia de potencial a tra- 
ves del mismo, e / es la corriente que conduce. 



Preguntas 



861 



La unidad de resistencia en el SI es volts por ampere, lo cual se define como 1 
ohm (ft); es decir, 1 ft = 1 V/A. Si la resistencia es independiente de la diferencia 
de potential aplicada, el conductor obedece la ley de Ohm. 

En un modelo clasico de la conduction electrica en metales, los electrohes se 
tratan como moleculas de un gas. Cuando no hay un campo electrico, la velocidad 
promedio de los electrones es cero. Cuando se aplica un campo electrico, los elec- 
trones se mueven (en promedio) a una velocidad de arrastre v^, la cual es opuesta 
al campo electrico y esta dada por la expresion 



<jE 

V, = — T 



(27.14) 



donde T es el tiempo promedio entre choques electron-atomo, m, es la masa del elec- 
tron y q es su carga. De acuerdo con este modelo la resistividad del metal es 



P = 



nq- 



(27.17) 



donde n es el numero de electrones libres por unidad de volumen. 

La resistividad de un conductor varia aproximadamente de manera lineal con 
la temperatura, de acuerdo con la expresion 

p = p [\+a(T-T )] (27.19) 

donde a es el coeficiente de temperatura de resistividad y p es la resistividad a cier- 
ta temperatura de referenda T . 

Si una diferencia de potential AVse mantiene a traves de un resistor, la poten- 
cia, o rapidez a la cual se proporciona energia al resistor, es 

<3> = IAV (27.22) 

Puesto que la diferencia de potential a traves de un resistor esta dada por AV= IR, 
la potencia entregada a uri resistor se puede expresar en la forma 



@ = PR = 



(AV) 2 
R 



(27.23) 



La energia electrica suministrada a un resistor aparece en la forma de energia inter- 
na en el resistor. 



Preguntas 



1. Los articulos periodfsticos con frecuencia contienen ora- 
ciones como "10 000 volts de electricidad recorrieron el 
cuerpo de la victima", las cuales son erroneas. Explique 
por que. 

2. iCual es la diferencia entre resistencia y resistividad? 

[371 Los alambres A y B de section transversal circular se ela- 
boran del mismo metal y tienen igual longitud, pero la re- 
sistencia del alambre A es tres veces mayor que la del alam- 
bre B. jCual es la proportion entre sus areas de section 
transversal? £C6mo se comparan sus radios? 

4. jQue se requiere para mantener una corriente estable en 
un conductor? 

5. jTodos los conductores obedecen la ley de Ohm? De ejem- 
plos que justifiquen su respuesta. 

6. Cuando se duplica el voltaje a traves de cierto conductor, 
se observa que la corriente aumenta por un factor de tres. 
jQue puede usted concluir acerca del conductor?. 



7. En la comparacion del agua con un circuito electrico, 
ique elemento corresponde a la alimentation electrica, al 
resistor, la carga y la diferencia de potencial? 

8. £Por que un "buen" conductor electrico tambien podria 
ser un "buen" conductor termico? 

IITl Emplee la teoria atomica de la materia para explicar por 
que la resistencia de un material debe aumentar cuando 
crece su temperatura. 

10. {Como cambia con la temperatura la resistencia en el co- 
bre y el silicio? £Por que son diferentes los comportamien- 
tos de estos dos materiales? 

11. Explique como una corriente puede persistir en un super- 
conductor sin ningiin voltaje aplicado. 

12. £Que unico requerimiento experimental hace que el 
funcionamiento de los dispositivos superconductores re- 
sulte costoso? En principio, ^se puede superar esta limita- 



't* 



862 



CAPITUL0 27 Corriente y resistencia 



13. jQue pasaria con la velocidad de arrastre de los electro- 17. 

nes en un alambre y con una corriente en el alambre si 

los- electrones se movieran libremente sin resistencia a 

traves del alambre? 
|14J Si las cargas fluyen de manera lenta por un metal, jpor 18. 

que no se requieren varias horas para que la luz aparez- 

ca cuando usted activa un interruptor? 

15. En un conductor el campo electrico que impulsa a los 
electrones a traves de el se propaga con una rapidez cer- 19. 
cana a la rapidez de la luz, aunque la velocidad de arras- 
tre de los electrones es muy pequefia. Explique como 

puede ser cierto lo anterior. jEl mismo electron se mue- 
ve de un extremo del conductor al otro? 

16. Dos conductores de la misma longitud y radio estan co- 
nectados con la misma diferencia de potencial. Un con- . 



ductor tiene dos veces mas resistencia que el otro. 
cual conductor se le entrega mas potencia? 



,"A 



Las baterias de los carros con frecuencia estan nomina- 
das en amperes-hora. jEsto designa la cantidad de co- 
rriente, potencia, energia o carga que puede obtenerse 
de la baterfa? 

Si usted fuese a disenar un calefactor electrico utilizan- 
do alambre de nicromo como elemento calefactor, £que 
parametros del alambre variarian para lograr una salida 
de potencia especifica, como 1 000 W? 
Considere la siguiente estructura caracteristica de las ta- 
rifas mensuales de una empresa electrica: 2.00 dolares pa- 
ra los primeros 16 kWh, 8.00 centavos de dolar/kWh pa- 
ra los siguientes 34 kWh, 6.50 centavos de dolar/kWh 
para los siguientes 50 kWh, 5.00 centavos de dolar/kWh 
para los siguientes 100 kWh, 4.00 centavos de dolar/kWh 
para los siguientes 200 kWh, y 3.50 centavos de dolar/kWh 
para todo lo que exceda a 400 kWh. Con base en estas ta- 
rifas, ijcual seria el cargo correspondiente para 327 kWh? 



Problemas 



1, % 3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solucion completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solucion disponible en http://www.saunderscollege.com/physics/ [^J = use computadora para resolver el problema flh 



Fisica 



interactiva | | = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seccion 27.1 Corriente electrica 

1. En un tubo de rayos catodicos particular, la corriente 
medida del haz es de 30.0 juA. jCuantos electrones inci- 
den sobre la pantalla del tubo cada 40.0 s? 

2. Se va a platear tetera con un area superficial de 700 cm 2 . 
Para este fin se une al electrodo negativo de una celda 
electrolftica que contiene nitrato de plata (Ag + NO s "). Si 
la celda se potencia con una baterfa de 12.0 V y tiene . 
una resistencia de 1.80 fl, ^cuanto tiempo tarda en for- 
marse una capa de 0.133 mm de plata sobre la tetera? 
(La densidad de la plata es de 10.5 x 10 3 kg/m 3 .) 

web [$} Suponga que la corriente que circula por un conductor 
disminuye exponencialmente con el tiempo de acuerdo 
con la expresion I(t)= I e' t/ ' : , donde / es la corriente ini- 
cial (en t = 0) y X es una constante que tiene dimensio- 
nes de tiempo. Considere un punto de observation fijo 
dentro del conductor, a) ^Cuanta carga pasa por este 
punto entre ( = 0y(=T? 

b) jCuanta carga pasa por este punto entre t = y t = 10t? 

c) jCuanta carga pasa por este punto entre t = y t = °°? 

4. En el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno, un elec- 
tron en el estado de energia mas bajo sigue una trayec- 
toria circular a una distancia de 5.29 x 10~ u m del pro- 
ton, a) Muestre que la rapidez del electron es 2.19 x 10 6 
m/s. b) ,;Cual es la corriente efectiva asociada con este 
electron orbital? 

5. Una pequefia esfera que tiene una carga de 8.00 nC se 
hace girar en un cfrculo en el extremo de una corrien- 
te aislante. La frecuencia angular de rotacion es 1007T 
rad/s. jQue corriente promedio representa esta carga 
rotatoria? 



6. Una pequefia esfera que tiene una carga q se hace girar 
. en un cfrculo en el extremo de una corriente aislante. 

La frecuencia angular de rotacion es <o. iQue corriente 
promedio representa esta carga rotatoria? 

7. La cantidad de carga q (en coulombs) que pasa por una 
superficie de 2.00 cm 2 de area varia con el tiempo de 
acuerdo con q= 4.00< 3 + 5.00t+ 6.00, donde t esta en se- 
gundos. a) <;Cual es la corriente instantanea que pasa a 
traves de la superficie en t = 1.00 s? b) jCual es el valor 
de la densidad de corriente? 

8. Una corriente electrica esta dada por I{t) = 100 
sen(1207rt), donde /esta en amperes y / esta en segun- 
dos. £Cual es la carga total conducida por la corriente 
desde t = hasta t = 1/240 s? 

9. La figura P27.9 representa una seccion de un conduc- 
tor circular de diametro no uniforme que conduce una 
corriente de 5.00 A. El radio de la seccion transversal ^4, 
es 0.400 cm. a) £Cual es la magnitud de la densidad de 
corriente a traves de A,? b) Si la densidad de corriente a 
traves de A 2 es un cuarto del valor a traves de A } , ,;cual 
es el radio del conductor en A^? 




Figura P2 7.9 



Problemas 



863 



10. Un generador Van de Graaff produce un haz de 2.00 
MeV de deuterones, los cuales son nucleos de hidrogeno 
pesado que contienen un proton y un neutron, a) Si la 
corriente del haz es 10.0 /aA, jque tan separados estan 
los deuterones? b) jSu repulsion electrostatica es un fac- 
tor en la estabilidad del haz? Explique. 

UTl El haz de electrones que surge de cierto acelerador de 
electrones de alta energia tiene una seccion transversal 
circular de 1.00 mm de radio, a) Si la corriente del haz 
es de 8.00 /xA, jcual es la densidad de corriente en el 
mismo, suponiendo que es uniforme en todas partes? 
b) La rapidez de los electrones es tan cercana a la rapi- 
dez de la luz que puede tomarse como c- 3.00 x 10 8 m/s 
con un error despreciable. Encuentre la densidad de 
electrones en el haz. c) jCuanto tardaria en emerger del 
acelerador un numero de Avogadro de electrones? 

12. Un alambre de aluminio que tiene un area de seccion. 
transversal de 4.00 x 10" 6 m 2 conduce una corriente de 
5.00 A. Encuentre la rapidez de arrastre de los electrones 
en el alambre. La densidad del aluminio es de 2.70 g/cm s . 
(Suponga que cada atomo proporciona un electron.) 

Seccion 27.2 Resistencia y ley de Ohm 

13. Un foco electrico tiene una resistencia de 240 fl cuando 
opera a un voltaje de 120 V. jCual es la corriente a tra- 
ves del foco? 

14. Un resistor se construye con una barra de carbon que 
tiene un area de seccion transversal uniforme de 5.00 
mm 2 . Cuando se aplica una diferencia de potencial de 
15.0 V entre los extremos de la barra, hay una corriente 
de 4.00 x 1Q" S A en la barra. Encuentre a) la resistencia 
de la barra y b) su longitud. 

web |l5] Se mantiene una diferencia de potencial de 0.900 V a 
traves de un alambre de tungsteno de 1.50 m de longi- 
tud que dene un area de seccion transversal de 0.600 
mm 2 . jCual es la corriente en el alambre? 
16. Un conductor de 1.20 cm de radio uniforme conduce 
una corriente de 3.00 A producida por un campo elec- 
trico de 120 V/m. jCual es la resistividad del material? 
WT\ Suponga que usted desea fabricar un alambre uniforme 
a partir de 1.00 g de cobre. Si el alambre va a tener una 
resistencia de ■ R = 0.500 fl y se va a usar todo el cobre, 
jcuales serah a) la longitud y b) el diametro de este 
alambre? 

18. a) Realice una estimation del orden de magnitud de la 
resistencia entre los extremos de una banda de caucho. 
b) Estime el orden de magnitud de la resistencia entre 
los lados "cara" y "cruz" de una moneda. En cada caso 
establezca que cantidades considero como datos y los va- 
lores que midio o estimo para ellos. c) ^Cual seria el or- 
den de magnitud de la corriente que cada uno conduce 
si estuviesen conectados a un suministro de potencia de 
120 V? (jCUIDADO! jNo intente hacer esto en casa!) 

19. Un cubo solido de plata- (densidad = 10.5 g/cm s ) tiene 
una masa de 90.0 g. a) jCual es la resistencia entre caras 
opuestas del cubo? b) Si hay un electron de conduction 
por cada atomo de plata, determine la rapidez de arras- 
tre promedio de los electrones cuando una diferencia de 
potencial de 1.00 x 10" ! V se aplica a las caras opuestas. 



20. 



21. 



99 



(El numero atomico de la plata es 47, y su masa molar 

es 107.87 g/mol.) 

Un alambre metalico de resistencia Rse corta en tres pe- 

dazos iguales que luego se conectan extremo con extre- 

mo para formar un nuevo alambre, cuya longitud es 

igual a una tercera parte de la longitud original. ^Cual 

es la resistencia de este nuevo alambre? 

Un alambre con una resistencia R se alarga hasta 1.25 ve- 

ces su longitud original jalandolo a traves de un peque- 

no agujero. Encuentre la resistencia del alambre des- 

pues de que se ha alargado. 

Se encuentra que alambres de aluminio y cobre de igual 

longitud tienen la misma resistencia. ^Cual es la relation 

de sus radios? 

23. Una densidad de corriente de 6.00 x 10"" A/m 2 existe 
en la atmosfera donde el campo electrico (debido a nu- 
barrones cargados en la vecindad) es de 100 V/m. Cal- 
cule la conductividad electrica de la atmosfera de la Tie- 
rra en esta region. 

24. La barra en la figura P27.24 (no dibujada a escala) esta 
hecha de dos materiales; Ambos tienen una seccion trans- 
versal cuadrada de 3.00 mm de lado. El primer material 
tiene una resistividad de 4.00 x 10" 3 fl • m y una longitud 
de 25.0 cm, en tanto que la resistividad del segundo ma- 
terial es igual a 6.00 x 10~ 3 fl • m y su longitud es de 40.0 
cm. jCual es la resistencia entre los extremos de la barra? 



U 25.0 cm JU — : ^- 40.0 cm J 

Figura P27.24 

Seccion 27.3 Un modelo para la conduction el£ctrica 

web (253 Si la velocidad de arrastre de los electrones libres en un 
alambre de cobre es de 7.84 x lO -4 m/s, jcual es el cam- 
po electrico en el conductor? 

26. Si la corriente transportada por un conductor se dupli- 
ca, £que pasa con a) la densidad de los portadores de 
carga? b) la densidad de corriente? c) la velocidad de 
arrastre de los electrones? d) el tiempo promedio entre 
colisiones? 

27. Utilice los datos del ejemplo 27.1 para calcular la trayec- 
toria libre media de choque de los electrones en el co-. 
bre, si la rapidez termica promedio de los electrones de 
conduction es de 8.60 x 10 5 m/s. 

Seccion 27.4 Resistencia y temperature 

28. Mientras toma fotografias en Death Valley un dfa en que 
la temperatura es de 58.0°C, Bill Hiker encuentra que 
cierto voltaje aplicado a un alambre de cobre produce 
una corriente de 1.000 A. Luego Bill viaja a la Antartida 
y aplica el mismo voltaje al mismo alambre. jQue co- 
rriente registra si la temperatura es de -88.0X? Supon- 
ga que no hay cambio en la forma y tamano del alambre. 

29. Cierto foco electrico tiene un filamento de tungsteno 
con una resistencia de 19.0 fl cuando esta frio, y de 140 
fl cuando esta caliente. Suponiendo que se puede usar 



864 



CAPlTUL 27 Corriente y resistencia 



m 



la ecuacion 27.21 sobre el amplio intervalo de tempera- 
turas involucrado aqui, encuentre la temperatura del fi- 
lamento cuando esta caliente. (Suponga una temperatu- 
re inicial de 20.0°C.) 

30. Un alambre de carbon y un alambre de nicromo se co- 
nectan en serie. Si la combinacion tiene una resistencia 
de 10.0 k£l a 0°C, jcual es la resistencia de cada alambre 
a 0°C de manera que la resistencia de la combinacion no 
cambie con la temperature? (Advierta que la resistencia 
equivalente de los dos resistores en serie es la suma de 
sus resistencias.) 

Un alambre de aluminio con un diametro de 0.100 mm 
tiene un campo electrico uniforme con una magnitud 
de 0.200 V/m impuesto a lo largo de su longitud. La 
temperature del alambre es de.50.0°C. Suponga un elec- 
tron libre por atomo. a) Use la information de la tabla 
27.1 y determine la resistividad. b) jCual es la densidad, 
de corriente en el alambre? c) jCual es la corriente to- 
tal en el alambre? d) jCual es la rapidez de arrastre de 
los electrones de conduction? e) iQue diferencia de po- 
tencial debe existir entre los extremos de un alambre de 
2.00 m de longitud para producir la intensidad de cam- 
po electrico establecida? 

32. Problema de repaso. Una barra de aluminio tiene una 
resistencia de 1.234 O. a 20.0°C. Calcule la resistencia de la 
barra a 120°C al tomar en consideration los cambios. tan- 
to en la resistividad como en las dimensiones de la barra. 

|33.| jCual es el cambio fraccionario de la resistencia de un fi- 
lamento de hierro cuaridb su temperature cambia de 
25.0°C a 50.0°C? 

34. La resistencia de un alambre de platino se va a calibrar 
para mediciones de baja temperature. Un alambre de 
platino con resistencia de 1 .00 £1 a 20.0°C se sumerge en 
nitrogeno lfquido a 77 K (-196°C). Si la respuesta de 
temperatura del alambre de platino es lineal, ^cual es la 
resistencia esperada del alambre de platino a -196°C? 
(« pW „o=3.92xl0-V°C). 

35. La temperatura de una muestra de tungsteno se incre- 
menta mientras una muestra de cobre se mantiene a 
20°C. jA que temperatura la resistividad de la muestra de 
tungsteno sera cuatro veces la de la muestra de cobre? 

36. Un segmento de un alambre de nicromo esta inicial- 
mente a 20.0°C. Utilizando los datos de la tabla 27.1 cal- 
cule la temperatura a la cual el alambre debe calentarse 
para duplicar su resistencia. 

Section 27.6 Energia electrica y potencia 

37. Un tostador esta nominado a 600 W cuando se conecta 
a una fuente de 120 V. iQue corriente conduce el tosta- 
dor, y cual es su resistencia? 

38. En una instalacion hidroelectrica, una turbina entrega 
1 500 hp a un generador, el cual, a su vez, convierte 
80.0% de la energia mecanica en energia electrica. En 
estas condiciones, ique corriente entregara el generador 
a una diferencia de potential terminal de 2 000 V? 

web [39] Problema de repaso. jCual es la resistencia que necesi- 
ta un calefactor de inmersion que aumentara la tempe- 
rature de 1.50 kg de agua de 10.0°C a 50.0°C en 10.0 
min mientras opera a 110 V? 



40. Problema de repaso. ^Cual es la resistencia que necesi- 
ta un calefactor de inmersion que aumentara la tempe- 
ratura de una masa m de agua de T, a T 2 en un tiempo. 
t mientras opera a un voltaje A V? 

[41 J Suponga que una onda de voltaje produce 140 V duran- 
te un momento. £En que porcentaje aumentara la salida 
de un foco electrico de 100 W y 120 V? (Suponga que su 
resistencia no cambia.) 

42. Una bobina calefactora de 500 W disenada para operar 
a 1 10 V esta hecha de alambre de nicromo de 0.500 mm 
de diametro. a) Suponiendo que la resistividad del ni- 
cromo permanece consume en su valor a 20.0°C, en- 
cuentre la longitud "del alambre utilizado. b) Considere 
luego la variation de la resistividad con la temperatura. • 
iQue potencia entregara en realidad la bobina del irici- 
so a) cuando se caliente hasta 1 200°C? 

43. Una bobina de alambre de nicromo mide 25.0 m de lon- 
gitud. El alambre tiene un diametro de 0.400 mm y esta 
a 20.0°C. Si el alambre porta una corriente de 0.500 A, 
jcuales'son a) la magnitud del campo electrico en el mis- 
mo y b) la potencia que se le entrega? c) Si la tempera- 
tura se incrementa a 340°C y la diferencia de potential 
a traves del alambre permanece constante, jcual es la po- 
tencia entregada? 

44. Las baterias se especifican en terminos de ampere-horas 
(A-h). Por ejemplo, una bateria que puede producir 
una corriente de 2.00 A durante 3.00 h esta especificada 
en 6.00 A-h. a) iCual es la energia total, en kilowatt-ho- 
ras, almacenada en una bateria de 12.0 V especificada a 
55.0 A • h? b) A un costo de 0.060 dolares por kilowatt- 
hora, jcual es el valor de la electricidad producida por 
esta bateria? 

45. Una bateria de 10.0 V se conecta a un resistor de 120 ft. 
Ignorando la resistencia interna de la bateria calcule la 
potencia entregada al resistor. 

46. Se estima que cada persona en Estados Unidos (poblacion 
= 270 millones) tiene un reloj electrico, y que cada reloj 
utiliza energia a una rapidez de 2.50 W. Para suministrar 
esta energia, japroximadamente cuantas toneladas metri- 
cas de carbon se queman por hora en plantas carboelec- 
tricas que, en promedio, tienen una eficiencia de 25.0%? 
(El calor de combustion para el carbon es de 33.0 MJ/kg.) 

147] Calcule el costo diario de operar una lampara que toma 
1.70 A de una linea de 110 V si el costo de la energia 
electrica es de 0.060 dolares/kWh. 

48. Problema de repaso. El elemento calefactor de una ca- 
fetera opera a 120 V y conduce una corriente de 2.00 A. 
Suponiendo que toda la energia transferida desde el ele- 
mento calefactor es absorbida por el agua, jcuanto tiem- 
po tarda en calentarse 0.500 kg de agua desde la tempe- 
ratura ambiente (23.0°C) hasta el punto de ebullition? 

1-49-1 Cierto tostador tiene un elemento calefactor hecho de 
alambre de resistencia de nicromo. Cuando se conecta 
primero a una fuente de diferencia de potential de 120 
V (y el alambre esta a una temperatura de 20.0°C) la co- 
rriente inicial es de 1.80 A. Sin embargo, la corriente 
empieza a disminuir cuando se calienta el elemento re- 
sistive Cuando el tostador ha alcanzado la temperatura 
maxima a la que funciona, la corriente ha disminuido a 



Problemas 



865 



1.53 A. a) Determine la potencia que el tostador consu- 
me cuando se encuentra a su temperatura de funciona- 
mierito. b) jCuai es la temperatura maxima del elemen- 
to calefactor? 

50. Para calentar un cuarto que tiene un techo de 8.0 pies 
de alto se requieren aproximadamente 10.0 W de poten- 
cia electrica por pie cuadrado. A un costo de 0.080 do- 
lares/kWh, jcuanto costara, por dia, usar electricidad 
para calentar un cuarto que mide 10.0 x 15.0 pies? 

51. Estime el costo que representa para una persona usar 
una secadora de cabello durante un ano. Si usted no usa 
secadora, observe o entreviste a alguien que si lo haga. 
Establezca las cantidades que estimo y sus valores. 

PROBLEMAS ADJCIONALES 

52. Un foco electrico esta marcado "25 W 1 20 V", y otro 1 1 00 
■ W 120 V; esto significa que cada foco convierte su res- 

pectiva potencia cuando se conecta a una diferencia de 
potencial constante de 120 V. a) Encuentre la resistencia 
de cada foco. b) jCuanto tarda 1.00 C en pasar a traves 
del foco encendido? <;C6mo se diferencia esta carga al 
momento de su salida en comparacion con el tiempo de 
su entrada? c) jCuanto tarda 1.00 J en pasar a traves del 
foco encendido? jComo se diferencia esta energfa en el 
momento de su salida en comparacion con el tiempo de 
su entrada? d) Encuentre el costo de mantener el foco 
encendido, de manera continua, durante 30.0 dfas, si la 
companfa electrica vende su producto a 0,070 dolares 
por kWh. jQue producto vende la companfa electrica? 
jCuai es el precio para una unidad SI de esta cantidad? 

55. Una lfnea de transmision de alto voltaje con un diame- 
tro de 2.00 cm y una longitud de 200 km conduce una 
corriente estable' de 1 000 A. Si el conductor es alambre 
de cobre con una densidad de carga libre de 8.00 x 10 28 
electrones/m', jcuanto tarda un electron en viajar la 
longitud completa del cable? 

54. Una lfnea de transmision de alto voltaje conduce 1 000 
A partiendo a 700 kV durante una distancia de 100 mi- 
llas. Si la resistencia en el alambre es de 0.500 ft/mi, 
£cual es la perdida de potencia debida a las perdidas 
resistivas? 

|55J Una definicion mas general del coeficiente de tempera- 
tura de resistividad es 

= I *. 
a ~ p dT 

donde p es la resistividad a temperatura T. a) Suponien- 
do que a es constante, demuestre que 

P = Po*" <T - 7 ° > 
donde p es la resistividad a temperatura T . b) Utilizan- 
do la expansion en serie («"sl + x para x « 1 ) , muestre 
que la resistividad esta dada de manera aproximada por 
la expresion p = p [l + a(T- T )] para a(T- T )« 1. 

56. Se disenara un cable de cobre para conducir una co- 
rriente de 300 A con una perdida de potencia de solo 
2.00 W/m. ^Cual debe ser su radio? 

web |57j Se conduce un experimento para medir la resistividad 
electrica del nicromo en forma de alambres con diferen- 
tes longitudes y areas de seccion transversal. Para un 



conjunto de mediciones un estudiante utiliza alambre 
de calibre 30, el cual tiene un area de seccion transver- 
sal de 7.30 x 10" 8 m 2 . El estudiante mide la diferencia de 
potencial a traves del alambre y la corriente en el mismo 
con un voltimetro y un amperfmetro, respectivamente. 
Para cada una de las mediciones dadas en la tabla si- 
guiente, que se efectuaron en tres alambres de diferen : 
te longitud, calcule la resistencia de los alambres y los va- 
lores correspondientes de la resistividad. ^Cual es el valor 
promedio de la resistividad y como se compara esta con 
el valor dado en la tabla 27.1? 



Hm) 



AF(V) 



1(A) 



R(Cl) 



p (fi • m) 



0.540 


5.22 


0.500 • • 


1.028 


5.82 


0.276 


1.543 


5.94 


0.187 



." ■- Una empresa electrica alimenta lacasa de un cliente a 
partir de las lfneas de transmision principales (120 V) 
con dos alambres de cobre, cada uno de 50.0 m "de lar- 
go y una resistencia de 0.108 fl por cada 300 m. a) En- 
cuentre el voltaje en la casa del consumidor para una co- 
rriente de carga de 1 10 A. Para esta corriente de carga 
encuentre b) la potencia que el consumidor recibe, y 
c) la perdida de potencia en los alambres de cobre. 

59. Un alambre cilfndrico recto colocado sobre el eje x tie- 
ne una longitud de 0.500 m y un diametro de 0.200 mm. 
Esta hecho de un material descrito por la ley de Ohm 
con una resistividad de p = 4.00 x 10" 8 O-m. Suponga 
que un potencial de'4.00 V se mantiene en x = 0, y que 
V= en x = 0.500 m. Encuentre a) el campo electrico E 
en el alambre, b) la resistencia del alambre, c) la co- 
rriente electrica en el alambre, y d) la densidad de co- 
rriente J en el alambre. Exprese los vectores en notacion 
vectorial, e) Demuestre que E = pj. 

60. Un alambre cilfndrico recto que esta sobre el eje x tiene 
una longitud L y un diametro d. Esta hecho de un mate- 
rial descrito por la ley de Ohm con una resistividad p. 
Suponga que un potencial Vse mantiene en x — 0, y que 
V= en x - L. En terminos de L, d, V, p y constantes fi- 
sicas, derive expresiones para a) el campo electrico en el 
alambre, b) la resistencia del alambre, c) la corriente 
electrica en el alambre, y d) la densidad de corriente en 
el alambre. Exprese los vectores en notacion vectorial, 
e) Demuestre que E = pj. 

6: . La diferencia de potencial a traves del filamento de una 
lampara se mantiene a un nivel constante mientras se al- 
canza la temperatura de equilibrio. Se observa que la co- 
rriente en estado estable en la lampara solo es un deci- 
mo de la corriente tomada por la lampara cuando se 
enciende por primera vez. Si el coeficiente de tempera- 
tura de resistividad para la lampara a 20.0°C es 0.004 
50(°C) _I y la resistencia aumenta linealmente con el in- 
cremento de temperatura, ,;cual es la temperatura de 
operacion final del filamento? 

32. La corriente en un resistor disminuye 3.00 A cuando la 
diferencia de potencial aplicada a traves del resistor se 
reduce de 12.0 V a 6.00 V. Encuentre la resistencia del 
resistor. 



866 



CAPlTUL 27 Corriente y resistencia 



163* Un auto electrico se disena para operar por medio de un 
banco de baterias de 12.0 V con un almacenamiento de 
energfa total de 2.00 x 10 7 J. a) Si el motor electrico to- 
ma 8.00 kW, £cual es la corriente entregada al motor? 
b) Si el motor electrico consume 8.00 kW a medida que 
el auto se mueve a una rapidez estable de 20.0 m/s, jque 
distancia recorrera el auto antes de que se le "agote el 
combustible"? 

64. Problema de repaso. Cuando un alambre recto se ca- 
lienta, su resistencia esta dada por la expresion R = /JJ1 
+ a(T- T )], de acuerdo con la ecuacion 27.21, donde 
a es el coeficiente de temperatura de resistividad. 
a) Muestre que un resultado mas precise uno que inclu- 
ya el hecho de que la longitud y el area del alambre cam- 
bian cuando se calientan, es 



67. 



65. 



66. 



R = 



R [l + a(T - T )] [1 + a'(T - T )] 
[l + 2a\T-T )] 



donde a' es el coeficiente de expansion lineal (vease el 
capitulo 19). b) Compare estos dos resultados para un 
alambre de cobre de 2.00 m de largo y 0.100 mm de ra- 
dio, inicialmente a 20.0°C y despues calentado hasta 
100.0?C. 

Los coeficientes de temperatura de resistividad en la ta- 
bla 27.1 fueron determinados a una temperatura de 
20°C. jComo serian a 0°C? (Sugerencia: los coeficientes 
de temperatura de resistividad a 20°C satisfacen la expre- 
sion p= p [l +a(T- T )], donde p es la resistividad del 
material a T = 20°C. El coeficiente de temperatura de 
resistividad a' a 0°C debe satisfacer la expresion p = p [l 
+ a'7], dondepj, es la resistividad del material a 0°C.) 
Un resistor se construye moldeando un material de re- 
sistividad p dentro de un cilindro hueco de longitud L y 
radios interior y exterior r a y r b , respectivamente (figura 
P27.66). Mientras se usa, una diferencia de potencial 
aplicada entre los extremos del cilindro produce una co- 
rriente paralela al eje. a) Encuentre una expresion gene- 
ral para la resistencia de un dispositivo de dichas carac- 
teristicas en terminosde L, p, r a y r b . b) Obtenga un 
valor numerico para R cuando L = 4.00 cm, r„ = 0.500 
cm, r h = 1.20 cm y p = 3.50 x 10 5 £1 • m. c) Suponga des- 
pues que la diferencia de potencial se aplica entre las su- 
perficies interna y externa de modo que la corriente re- 
sultante fluye radialmente hacia afuera. Encuentre una 
expresion general para la resistencia del dispositivo en 
terminos de L, p, r c y r b . d) Calcule el valor de R usando 
los parametros dados en el inciso b) . 




68. 



En cierto sistema estereo cada bocina tiene una resisten- 
cia de.4.00 fl. El sistema tiene un valor nominal de 60.0 
W en cada canal, y cada circuito de altavoz incluye un fu- 
sible especificado a 4.00 A. ^Este sistema esta protegido 
en forma adecuada contra una sobrecarga? Exponga sus 
razones. 

Hay una gran semejanza entre el flujo de energia debi- 
do a una diferencia de temperatura (vease la section 
20.7) y el flujo de carga electrica debido a una diferen- 
cia de potencial. La energia dQy la carga electrica dq son 
transportadas por electrones libres en el material con- 
ductor. Consecuentemente, un buen conductor electrico 
suele ser tambien un buen conductor termico. Conside- 
re una delgada placa conductora de espesor dx, area A y 
conductividad electrica a, con una diferencia de poten- 
cial dV entre caras opuestas. Demuestre que la corriente 
/= dq/dt esta dada por la ecuacion a la izquierda: 



Conduccion 
de carga 



Conduccion termica 

analoga 

(Ec. 20.14) 



dt 



= oA 



dV\ 
dx\ 



dt 



= kA 



dT 
dx 



En la ecuacion de conduccion termica semejante a la de- 
recha, la rapidez de flujo de energia dQ/dt (en unidades 
del SI joules por seguudo) se debe a un gradiente de 
temperatura dT/ 'dx, en un material de conductividad ter- 
mica k. Establezca reglas similares que relacionen la di- 
rection de la corriente electrica con el cambio en poten- 
cial y que relacionen la direction del flujo de energia 
con el cambio en temperatura. 
|69J Material con resistividad uniforme p se forma como una 
cuna de la manera indicada en la figura P27.69. Muestre 
que la resistencia entre las caras A y B de esta cuna es 



R = p 



CaraA 



w(> 2 - y ,) 



■In 



'yi\ 



CaraB 




Figura P27.66 



Figura P27.69 

70. Un material de resistividad p se forma como un cono 
truncado de altitud h, segun se indica en la figura P27.70. . 
El extremo del fondo tiene un radio b y el extremo su- 
perior un radio a. Suponiendo que la corriente esta dis- 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



867 



tribuida de manera uniforme sobre cualquier seccion 
transversal particular del cono, de modo que la densidad 
de corriente no es una funcion de la posicion radial 
(aunque si varie con la posicion a lo largo del eje del co- 
no) , muestre que la resistencia entre los dos extremos es- 
ta dada por la expresion 




ir\ab ) 



H. 71. La curva caracteristica corriente-voltaje para un diodo 
semiconductor como funcion de la temperatura T esti 
dada por la ecuacion 

/ = I (e* v '* T - 1) 

Aquf, el primer simbolo e representa la base del logarit- 
mo natural. La segunda e es la carga sobre el electron. 
La k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatu- 
ra absoluta. Use una hoja para exhibir los calculos de / 
y R = (AV)// para A V= 0.400 V a 0.600 V en incremen- 
tos de 0.005 V. Suponga que /„ = 1 .00 nA. Grafique R ver- 
sus AVpara T= 280 K, 300 K y 320 K. 



Figura P27.70 



Respuestas a las preguntas sorpresa 

27.1 d, b = c, a. La corriente en la parte d) es equivalente a 
dos cargas positivas moviendose hacia la izquierda. Las 
partes b) y c) representan, cada una, cuatro cargas posi- 
tivas moviendose en la misma direction, porque las car- 
gas negativas que se mueven hacia la izquierda son equi- 
valentes a las cargas positivas que se mueven hacia la 
derecha. La corriente en la parte a) es equivalente a cin- ■ 
c'o cargas positivas moviendose hacia la derecha. 

27.2 Cad.i portion del alambre conduce la misma corriente 
aun cuando el alambre se estrecha. Conforme el area de 
seccion transversal disminuye, la velocidad de arrastre de- 
be aumentar para que se mantenga la corriente constan- 
te, de acuerdo con la ecuacion 27.4. Las ecuaciones 27.5 
y 27.6 indican que la densidad de corriente tambien au- 
menta. Un incremento en el campo electrico debe estar 
provocandb el aumento en la densidad de corriente, co- 
mo se indica por la ecuacion 27.7. Si usted tuviese que di- 
bujar esta situation, mostraria a las lineas del campo elec- 
trico siendo eomprimidas en un area pequena, lo cual 
indica incremento de la magnitud del campo electrico. 

27.3 \/R La curvatura de la lfnea indica que el dispositivo es 
no ohmico (esto es, su resistencia varia con la diferencia 
de potencial) . Al ser la definition de resistencia, la ecua- 
cion 27.8 todavfa se aplica, lo cual produce diferentes va- 
lores de R en diferentes puntos sobre la curva. 

27.4 El cable podria ser tan corto como sea posible pero to- 
davfa permitiria alcanzar de un vehiculo a otro (peque- 
na €), deben'a ser lo bastante grueso (gran A) y deberia 
estar hecho de un material con baja resistividad p. Al re- 
mitirse a la tabla 27.1, tal vez usted elegiria cobre o alu- 
mini.o, ya que los unicos dos materiales en la tabla que 



tienen los valores p mas bajos — plata y oro — son prohi- 
bitivamente caros para sus propositos. 

27.5 Justo despues de que se enciende. Cuando el filamento 
esta a temperatura ambiente, su resistencia es baja y, en 
consecuencia, la corriente es relativamente grande (/ = 
AV//?). Conforme el filamento se calienta, su resistencia 
aumenta, y la corriente disminuye. Con frecuencia los 
focos mas viejos se funden justo cuando se encienden 
porque este gran "pico" de corriente inicial produce ra- 
pidos incrementos de temperatura y tension sobre el fi- 
lamento. 

27.6 c). Ya que la diferencia de potencial AVes la misma a 
traves de los dos focos, y puesto que la potencia entrega- 
da a un conductor es 9> = /AV, el foco de 60 W, con su 
especificacion de potencia mas elevada, debe conducir 
la mayor corriente. El foco de 30 W dene la mayor resis- 
tencia porque toma menos corriente a la misma diferen- 
cia de potencial. 

27.7 7 a = I b > I,= I d > I,= If. La corriente /„ deja la terminal 
positiva de la batena y luego se divide para fluir a traves 
de los dos focos; por tanto, I a = I c + l r De la pregunta sor- 
presa 27.6 se sabe que la corriente en el foco de 60 W es 
mayor que la del foco de 30 W. (Advierta que toda la co- 
rriente no sigue la "trayectoria de menor resistencia", la 
cual en este caso es a traves del foco de 60 W) . Puesto 
que la carga no se almacena en los focos, se sabe que to- 
da la carga que fluye hacia un foco desde la izquierda de- 
be fluir hacia afuera a la derecha; en consecuencia, I c = 
I d e I,= I j. Las dos corrientes que dejan los focos se re- 
combinan para formar la corriente de regreso hacia la 
bateria, I f +I d =I b . 




Si todos estos dispositivos estuviesen en 
funcionamiento al mismo tiempo, podria 
dispararse un interruptor automatico, 
previniendo una situaci6n potencialmen- 
te peligrosa. iQue ocasiona que se dis- 
pare un interruptor automatico cuando 
se conectan demasiados dispositivos 
electricos en un circuito? (George Semple) 



capitulo 




Circuitos de corriente continua 



l^meas^generales del capitulo 



28.1 Fuerza electromotriz 

28.2 Resistores en serie y en paralelo 

28.3 Reglas de Kirchhoff 

28.4 Circuitos RC 



28.5 {Opcional) Instrumentos 
electricos 

28.6 (Opcional) Cableado domestico 
y seguridad electrica 



868 



28. 1 Fuerza electromotriz 



869 



Este capftulo aborda el analisis de algunos circuitos electric<ps^simples que cons- 
tan de baterias, resistores y capacitores en diversas combinaciones. El analisis 
de estos circuitos se simplifica mediante el uso de dos reglas conocidas como 
reglas de Kirchhoff, las cuales surgen de las leyes de conservation de la energia y de 
conservation de la carga electrica. La mayor parte de los circuitos analizados se su- 
pone que estan en estado estable, lo que significa que las corrientes son de magnitud 
y direction constantes. En la section 28.4 se estudian circuitos en los cuales la co- 
rriente varia con el tiempo. Por ultimo se describen varios dispositivos electricos co- 
munes y tecnicas para medir corriente, diferencias de potential, resistencia y fern. 



2b:i 



FUERZA ELECTROMOTRIZ 



En la section 27.6 se encontro que puede mantenerse una corriente constante en 
un circuito cerrado mediante el uso de una fuente 'decern, que es un dispositivo (co- 
mo una bateria o generador) que produce un campo electrico y, por tanto, puede 
originar que las cargas se muevan alrededor de un circuito. Una fuente de fern se 
puede considerar como una "bomba de carga". Cuando existe una diferencia "de po- 
tential electrico entre dos puntos, la fuerite mueve cargas "hacia arriba" desde un 
potencial bajo hasta uno mas alto. La fem £ describe el trabajo realizado por uni- 
dad de carga y, por ello, la unidad de fem del SI es el volt. 

Considere el circuito que se muestra en la figura 28.1 que consta de una bate- 
ria conectada a un resistor. Suponga que los alambres de conexion no tienen resis- 
tencia. La terminal positiva de la bateria esta a un potencial mas alto que la termi- 
nal negativa. Si ignora la resistencia interna de la bateria, entonces la diferencia de 
potencial a traves de ella (el llamado voltaje de la terminal) es igual a su fem. Sin em- 
bargo, ya que 'una bateria real siempre dene alguna resistencia interna r, el voltaje 
de las terminales no es igual a la fem para una bateria en un circuito en el cual exis- 
te una corriente. Para comprender por que esto es asi, considere el diagrama de cir- 
cuito en la figura 28.2a, donde la bateria de la figura 28.1 se representa por el rec- 
tangulo sombreado que contiene una fem.£ en serie con una resistencia interna r. 
Imagine ahora que se mueve a traves de la bateria en el sentido de las manecillas 
del reloj de a a b, y que mide el potencial electrico en varias ubicaciones. A medida 
que pasa de la terminal negativa a la positiva, su potencial aumenta en una cantidad 
8 . Sin embargo, conforme se mueve a traves de la resistencia r, su potencial dismi- 
nuye en una cantidad Ir, donde / es la corriente en el circuito. De este modo, el vol- 
taje de las terminales de la bateria, A V= V b - V a es 1 

Bateria 




Resistor 



Figura 28.1 Un circuito que consta de un resistor 
conectado a las terminales de una bateria. 



1 En este caso el voltaje de las terminales es menor que el de la fem en una cantidad Ir. En algunas si- 
tuaciones el voltaje de las terminales puede exceder la fem en una cantidad Ir. Esto ocurre cuando la di- 
rection de la corriente es opuesta a .la de la fem, como en el caso de la carga de una bateria con otra 
fuente de fem. >. 



870 



CAPlTUL 28 Circuitos de corriente continua 





b) 

Figura 28.2 a) Diagrama de circui- 
to de una fuente de fern £ (en este 
caso, una bateria), de resistencia in- 
terna r, conectada a un resistor exter- 
no de resistencia R. b) Representation 
grafica que muestra corao cambia el 
potencial electrico conforme el cir- 
cuito en la parte a) es recorrido en el 
sentido de las manecillas del reloj. 



AV=€-Ir (28.1) 

A partir de esta expresion advierta que 8 es eqiiivalente al voltaje en circuito abier- 
to — es decir, el voltaje de las terminates cuando la corriente es cero. La fem es el voltaje 
marcado sobre una bateria — , por ejemplo, la fem de una pila D es 1.5 V. La dife- 
rencia de potencial real entre las terminales de la bateria depende de la corriente a 
traves de la bateria, como se describe en la ecuacion 28.1. 

La figura 28.2b es una representation grafica de los cambios de potencial elec- 
trico a medida que el circuito se recorre en la direction de las manecillas del relqj. 
Al inspeccionar la figura 28.2a se ve que el voltaje terminal A Vdebe ser igual a la di- 
ferencia de potencial a traves de la resistencia externa R, Hamada con frecuencia re- 
sistencia de carga. El resistor de carga puede ser un simple elemento resistivo de cir- 
cuito, como en la figura 28.1, o podria ser la resistencia de algiin dispositivo electrico 
(como un tostador, un calentador electrico o un foco electrico) conectado a la ba- 
teria (o, en el caso de los aparatos caseros, a un tomaeprriente de pared). El resis- 
tor representa una carga sobre la bateria porque ella debe suministrar energia para 
operar el dispositivo. La diferencia de potencial a traves de la resistencia de carga es 
A V= IR Al combinar esta expresion con la ecuacion 28.1 se ve que 



S = IR + Ir 
La solucion para la corriente da como resultado 

e 



i = 



R + r 



(28.2) 



(28.3) 



Esta ecuacion demuestra que la corriente en este circuito simple depende tanto de 
la resistencia de carga R externa a la bateria como de la resistencia interna r. Si R es 
mucho mayor que 'r, como ocurre en muchos circuitos del mundo real, entonces 
puede ignorar r. 

Si se multiplica la ecuacion 28.2 ppr la corriente /, se obtiene 

I€= PR + Pr (28.4) 

Esta ecuacion dice que, ya que la potencia 2P = IAV (vease la ecuacion 27.22), la po- 
tencia de salida total IS de la bateria es entregada a la resistencia de carga externa 
en la cantidad 7 2 i?y a la resistencia interna en la cantidad I 2 r. Tambien en este ca- 
so, si r « R, entonces la mayor parte de la potencia entregada por la bateria se 
transfiere a la resistencia de carga. 



Ejemplo 2i 



Voltaje de las terminales de una bateria 



Una bateria tiene una fem de 12.0 V y una resistencia inter- 
na de 0.05 CI. Sus terminales estan conectadas a una resisten- 
cia de carga de 3.00 Q. a) Encuentre la corriente en el circui- 
to y el voltaje de las terminales de la bateria. 

Solllddn Utillzando primero la ecuacion 28.3 y luego la 
ecuacion 28.1, se obtiene 



I = 



12.0V 



= 3.93 A 



R + r 3.05O 
A V = 8 - lr = 12.0 V - (3.93 A) (0.05 CI) = 11.8 V 



b) Calcule la potencia entregada al resistor de carga, la po- 
tencia entregada a la resistencia interna de la bateria y la 
potencia entregada por la bateria. 

Solucion La potencia entregada al resistor de carga es 
<3> R =PR= (3.93 A) 2 (3.00 CI) = 46.3 W 

La potencia entregada a la resistencia interna es 
gr>,= 7V= (3.93 A) 2 (0.05 CI) = 0.772 W 



Para comprobar este resultado se puede calcular el voltaje a Por tanto, la potencia entregada por la bateria es la suma de 
traves de la resistencia de carga /c estas cantidades, o 47.1 W. Este valor puede verificarse usan- 

A V=IR= (3.93 A) (3.00 0) = 11.8 V do la expresion ^ = 78 . 



^ 



28.2 Resistores en serie y en paralelo 



871 



Ejempl6§2&§^^- Equilibrando la carga 

Demuestre que la maxima potencia entregada a la resistencia 
de carga R en la figura 28.2a ocurre cuando la resistencia de 
carga iguala la resistencia interna, es decir, cuando R= r. 

Solution La potencia entregada a la resistencia de carga es 
igual a PR, donde /esta dada por la ecuacion 28.3: 



= I 2 R = 



S 2 R 

(R + r)' 



Cuando 2? se grafica versus R como en la figura 28.3, se en- 
cuentra que 9* alcanza un valor maximo de £ 2 /4r en R = r. 
Esto puede probarse tambien al diferenciar 2P respecto de R, 
igualando a cero el resultado y despejando R Los detalles se 
dejan como un problema para que usted lo resuelva (proble- 
ma 57). 



•^ miiv — 




Figura 28.3 Grafica de la potencia 9 entregada por una bateria a 
un resistor de carga de resistencia R como una funcion de R. La po- 
tencia entregada al resistor es un maximo cuando la resistencia de 
carga es igual a la resistencia interna de la bateria. 



ijljjlj^ RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO 



Suponga que usted y sus amigos estan presenciando un juego de basquetbol en un 
estadio atestado y deciden salirse temprano. Tienen dos opciones: a) salir todos por 
una sola puerta y caminar a lo largo de una galena que contiene varios locales con- 
cesionados, alrededor de los cuales se encuentran apretujados grupos de personas 
esperando comprar comida o souvenirs; o b) salir cada uno por puertas separadas 
en el vestibulo principal del estadio, donde cada uno por su cuenta debera empu- 
jarse a traves de un solo grupo de personas paradas junto a las puertas. £En cual es- 
cenario se requerira menos tiempo para dejar el estadio? 

Deberia ser claro que seria mas rapido salir por puertas separadas que bajar a 
la galena donde cada uno tendria que empujar para cruzar entre varios grupos de 
personas. Estos grupos en la galena podrian describirse como actuando en serie, 
puesto que cada uno de ustedes debe empujarse para cruzar entre todos los grupos. 
Los grupos de personas alrededor de las puertas en el estadio pueden describirse co- 
mo actuando en paralelo, ya que cada uno de ustedes debe empujar para cruzar en- 
tre solo un grupo de personas, y cada uno empuja para cruzar entre un grupo de 
personas diferente. Esta simple analogia le ayudara a comprender el comportamien- 
to de las corrientes en los circuitos electricos que contienen mas de un resistor. 

Cuando dos o mas resistores se conectan juntos, como lo estan los focos en la 
figura 28.4a, se dice que estan en serie. La figura 28.4b es el diagrama de circuito pa- 
ra los focos, los cuales se muestran como resistores, y la bateria. En una conexion en 
serie todas las cargas que se mueven a traves de un resistor tambien deben pasar por 
el segundo resistor. (Esto es similar a cuando todos los miembros de su grupo em- 
pujan para cruzar entre el gentfo en el unico corredor del estadio.) De otra forma 
la carga se acumularia entre los resistores. En consecuencia, 

para una combination en serie de resistores, las corrientes en los dos resistores 
son iguales porque cualquier carga que fluye por i?, tambien debe fiuir por it 2 . 

La diferencia de potencial aplicada a traves de la combinacion en serie de resistores 
se dividira entre los resistores. En la figura 28.4b, puesto que la caida de voltaje 2 de 



2 El termino caida de voltaje es sinonimo de una disminucion de potencial electrico que atraviesa un re- 
sistor y con frecuencia lo usa la gen'te que trabaja con circuitos electricos. 



872 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente continua 




r-VW- 



Baten'a 



-AMr 



,AV 




a) 



b) 



c) 



Figure 28.4 a) Una conexion en serie de dos resistores R, y'R,,- La corriente en K, es la misma que 
en R.,. b) Diagrama de circuito para el circuito de dos resistores. c) Los resistores sustituidos con un 
solo resistor que tiene una resistencia equivalente R = R, + R,. 



a a b es igual a /ft, y la cafda de voltaje de b a c es igual a 7R.,, la caida de voltaje 
de a a c es 

AV= /J?, + IR, = /(ft, + RJ 

Por tanto, se puede sustituir los dos resistores en serie por un solo resistor que ten- 
ga una resistencia equivalente a R ev donde 

/?, q = /?, + R., (28.5) 

La resistencia /? cq es equivalente a la combinacion en serie i?| + .ft,, en el sentido de 
que la corriente del circuito es invariable cuando R CCf sustituye aiJ,+ R<>. 
La resistencia equivalente de tres o mas resistores conectados en serie es 




-^eq = R\+ R 2 + R3+ •• 



(28.6) 



Una conexion en serie de tres focos, 
todos especificados a 1 20 V pero que 
tienen potencias nominales de 60 W, 
75 W y 200 W. jPor que las intensida- 
des de los focos son diferentes? ^Cual 
de los focos tiene la resistencia mas 
grande? jComo diferirian sus inten- 
sidades relativas si estuviesen conec- 
tados en paralelo? (Henry Leap y Jim 
Lehman) 



Esta relacion indica que la resistencia equivalente de una conexion de resistores en 
serie es siempre mayor que cualquier resistencia individual. 



Pregunta sorpresa 28.1 



Si una pieza de alambre se usa para conectar los puntos by c en la figura 28.4b, jla brillan- 
tez del foco if, aumenta, disminuye o se mantiene igual? {Que ocurre con la brillantez del 
foco ft,? 



Considere ahora dos resistores conectados en paralelo, como se muestra en la fi- 
gura 28.5. Cuando la corriente /llega al pun to a en la figura 28.5 b, conocido como 
union, se divide en dos partes, /, que va a traves de R\ e 7 2 que circula por R^. Una 
union es cualquier punto en un circuito donde una corriente puede dividirse (tal y 
como su grupo puede dividirse y dejar el estadio cruzando varias puertas, como an- 
tes se describio). Esta division resulta en menos corriente en cada resistor individual 
de la que sale de la bateria. Puesto que la carga debe conservarse, la corriente / que 
entra al punto a. debe ser igual a la corriente total que sale de dicho punto: 

/= 7, + /, 



28.2 Resistores en serie y en paralelo 



873 




Bateria 



a) 




Figura 28.5 a) Conexion en paralelo de dos resistores R, y ft.,. La diferencia de potencial a traves 
de R, es la misma que la que ocurre en R.,. b) Diagrama de circuito para el circuito de dos resistores. 
c) Los resistores reemplazados con un solo resistor que dene una resistencia equivalente ft,. q = (/?,"' + 

ft,,;')- 1 . 



Como se puede apreciar eh la figura 28.5, ambos resistores estan conectados di- 
rectamente a traves de las terminales de la bateria. En consecuencia, 



Experimento sorpresajj^- 

Pegue con cinta adhesiva un par de 
popotes, extremo con extreme y un' 
segundo par lado a lado. jPor cual 
de los pares es mas facil soplar? 
cQue ocurrin'a si quisiese comparar 
tres popotes pegados extremo con 
extremo con tres pegados lado a la- 
do? 



Popotes en serie 




cuando los resistores estan conectados en paralelo, la diferencia de potencial a 
traves de ellos es la misma. 

Puesto que la diferencia de potencial que atraviesa cada resistor es la misma, la ex- 
presion A V= IR produce 



_ r T AV AV A , 1 1 

/ = /,+/.,= + = AV — + — 

i?i R 2 \ i z / 



AV 



A partir de este resultado se ve que la resistencia equivalente de dos resistores en pa- 
ralelo esta dada por 



J_ 
R„„ 



J_ J_ 
R t ft. 



(28.7) 



Popotes en paralelo 



m 



a) 



1 




l 





+ 





■R, 




R* 



^eq ~ 



Una extension de este analisis a tres o mas resistores en paralelo produce 

J___l_ J_ J_ 

•Req R\ ^2 ^S 



(28.8) 



La resistencia equivalente de varios 
resistores en paralelo 



ax 



874 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente continua 




Tres focos que tienen potencias no 
minales de 25 W, 75 W y 150 W conec- 
tados en paralelo a una fuente de volta- 
je de aproximadamente 100 V. Todos 
los focos estan especificados al mismo 
voltaje. jPor que difieren las intensida- 
des? jCuai foco toma mas corriente? 
jCual tiene la resistencia mas baja? 
(Henry Leap yjim Lehman) 



En esta expresion puede verse que la resistencia equivalente de dos o mas resisto- 
res conectados en paralelo siempre es menor que la resistencia mas pequena en el 
grupo. 

Los circuitos domesticos siempre se cablean de modo que los aparatos esten co- 
nectados en paralelo. Cada dispositivo opera independientemente de los otros, de 
modo que si uno se desconecta, los otros permanecen conectados. Mas atin, los dis- 
positivos operan al mismo voltaje. 



Pregunta sorpresa 28.2 



Suponga que la bateria de la figura 28.1 tiene resistencia interna cero. Si se suma un segun- 
do resistor en serie con el primero, jla corriente en la. bateria aumenta, disminiiye o per- 
manece igual? jQue hay acerca de la diferencia de potencial a traves de las terminales de 
la bateria? jSus respuestascambiarian si el segundo resistor estuviese conectado en parale- 
lo al primero? 



Pregunta sorpresa 28.3 



<;Los faros de los automoviles estan conectados en serie o en paralelo? iComo puede decirlo? 



Ejemplo^M 



Determination de la resistencia equivalente 



Cuatro resistores se conectan como se muestra en la figura 
28.6a. a) Encuentre la resistencia equivalente entre los pun- 
tos a y c. 

Solucion La combination de resistores puede reducirse en 
pasos, como se muestra en la figura 28.6. Los resistores de 8.0 
ft y 4.0 ft estan en serie, por lo que la resistencia equivalen- 
te entre a y b es de 12 ft (vease la ecuacion 28.5). Los resisto- 
res de 6.0 ft y 3.0 ft estan en paralelo, de manera que de la 
ecuacion 28.7 se encuentra que la resistencia equivalente de 
daces 2.0 ft. Por tanto, la resistencia equivalente de a a c es 
14 ft. 

b) iCual es la corriente en cada resistor si se mantiene una 
diferencia de potencial de 42 V entre aye? 

Solucion La corriente en los resistores de 8.0 ft y 4.0 ft es 
la misma debido a que estos estan en serie. Esto tambien es 
igual para la corriente que existiria en la resistencia equiva- 
lente de 14 ft sujeta a la diferencia de potencial de 42 V. Por 
tanto, usando la ecuacion 27.8 (R= AV/7) y los resultados del 
inciso a) se obtiene 



/ = 



AV„ 



42V 
14ft 



= 3.0A 



Esta es la corriente en los resistores de 8.0 ft y 4.0 ft. Sin 
embargo, cuando esta corriente de 3.0 A entra a la union en 
b se divide, y una parte pasa por el resistor de 6.0 ft (/,) y otra 
por el resistor de 3.0 ft (/ 2 ). Puesto que la diferencia de po- 
tencial es Alk a traves de cada uno de estos resistores (pues 
estan en paralelo), se ve que (6.0 ft)/, = (3.0 ft)/ 2 , o I 2 = 2/,. 
Empleando este resultado, y el hecho de que /, + / 2 = 3.0 A, 



se encuentra que /, ■= 1.0 A e I 2 = 2.0 A. Pudo haberse sugeri- 
do este resultado desde el principio al advertir que la corrien- 
te que circula por el resistor de 3.0 ft debe ser el doble de la 
que pasa a traves del resistor de 6.0 ft, en vista de sus resis- 
tencias relativas y del hecho de que se les aplica a ambos el 
mismo voltaje. 

Con una verification final de estos resultados observe que 
AV 6; = (6.0 ft)/, = (3.0 ft)/ 2 = 6.0 V y AV ab = (12ft)/=36V; 
por tanto, A V ar = A V^ + A V bc = 42 V, como debe ser. 



8.0 Q 4.0 n I 
a) • — ^ <>b 



6.0 £1 

rWV-i 



b) •- 



12 a 



l^_J 
3.0 a 



2.0 a 
-VvV- 



c) 



14 CI 

-wv- 



Figura 28.6 



28.2 Resistores en serie y en paralelo 



875 



EjempiM 



Tres resistores en paralelo 



En la figura 28.7 se muestran tres resistores conectados en pa- 
ralelo. Una diferencia de potencial de 18 V se mantiene en- 
tre los puntos a y b. a) Encuentre la corriente en cada resis- 
tor. 

Solucion Los resistores estan en paralelo, por tanto, la dife- 
rencia de potencial a traves de ellos es de 18 V. Al aplicar la 
relacion A V= IR a cada resistor se obtiene 



/ = 



/ = 



/ = 



AV 


18 V 


R, 


3.o n 


AV 


18V 


R>2 


6.o n 


AV 


18V 



/? 3 9.o ft 



6.0 A 
3.0 A 
2.0 A 



b) Calcule la potencia entregada a cada resistor y la poten- 
cia total entregada a la combination de resistores. 

Solucion La aplicacion de SP = (A V) 2 //J en cada resistor da 
como resultado 



AV 



(18V) : 



&* = 



«1. 


= - -= HOW 

3.o n 


AV 2 


= (18V)2 = 54W 

6.o n 


AV 2 


(18 V) 2 
= y ' = 36 W 



*3 



9.0 ft 



Esto demuestra que el resistor mas pequefio recibe la mayor 
potencia. La suma de las tres cantidades brinda una potencia 
total de 200 W. 



c) Calcule la resistencia equivalente del circuito. 

Solucion Se puede utilizar la ecuacion 28.8 para encontrar 
R<r 



Req 



fieq - 



1 1 1 

+ zr + ■ 



3.0 ft 6.0 ft 9.0 ft 
6 3 2 11 

18ft 18ft + 18ft ~ 18ft 

18 ft 
11 



= 1.6 ft 



Ejerdcio Con R rq calcule la potencia total entregada por la 
bateria. 

Respuesta 200 w. 





/ 


T° 


18 V 


.''1 

3.o n 


6.0 Q 9.0 Q 




1 


>b' 



Figura 28.7 Tres resistores conectados en paralelo. El voltaje a tra- 
ves de cada resistor es de 18 V. 



EJEMPLO^ZI 



Determination de /?«, mediante argumentos de simetria 



Considere los cinco resistores conectados como se indica en Solucion En este tipo de problemas es conveniente suponer 
la figura 28.8a. Determine la resistencia equivalente entre los que una corriente entra a la union a y aplicar despues argu- 
puntos a y b. memos de simetria. Debido a la simetria en el circuito (todos 




*¥ 




in 



b) 



in 



1/2 £2 1/2 Q 



c) 



, r a c,d b r a 



in 
-MAr 



d) 



Figura 28.8 Debido a la simetria en este circuito, el resistor de 5 fl no contribuye a la resistencia entre los puntos ay b, 
por lo que se puede despreciar cuando se calcula la resistencia equivalente. 



876 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente continua 



los resistores de 1 fl en el circuito cerrado exterior), las co- 
rrientes en los ramales ac y ad deben ser iguales; por tanto, 
los potenciales electricos en los puntos c y d deben ser igua- 
les. Esto significa que A V cd = y, como resultado, los puntos 
c y d pueden conectarse juntos, corno en la figura 28.8b, sin 
afectar al circuito. Asf, el resistor de 5 ft puede eliminarse del 



circuito, y el circuito restante puede reducirse, como en las fi : 
guras 28.8c y 28.8d. A partir de esta reduccion se ve que la re- 
sistencia equivalente de la combinacion es de 1 fl. Advierta 
que el resultado es 1 ft, independientemente del valor del re- 
sistor conectado entre c y d. 



Ejemplo CONCEPTUAL? 



Operation de un foco de tres vias 



La figura 28.9 ilustra como se construye un foco de tres vias 
para brindar tres niveles de intensidad luminosa. La lampara 
tiene un enchufe equipado con un interruptor de tres vias pa- 
ra seleccionar diferentes intensidades luminosas. El foco con- 
tiene dos filamentos. Cuando la lampara se conecta a una 
fuente de 120 V, un filamento recibe 100 W de potencia, y el 
otro recibe 75 W. Explique como se utilizan los dos filamen- 
tos para brindar tres intensidades luminosas diferentes. 

Solucion Las tres intensidades luminosas son posibles al 
aplicar los 120 V solo a un filamento, al otro filamento solo o 
a los dos filamentos en paralelo. Cuando el interruptor S, se 
cierra y el interruptor S 2 se abre, solo pasa corriente por el fi- 
lamento de 75 W. Cuando el interruptor Si se abre y el inte- 
rruptor S., se cierra, solo pasa corriente por el filamento de 
100 W. Cuando ambos interruptores se cierran, la corriente 
pasa por ambos filamentos y se obtiene una iluminacion total 
de 175 W. 

Si los filamentos se conectarari en serie, y uno de ellos se 
fundiera, no pasaria corriente por el foco y este no ilumina- 
ria, independientemente de la posicion del interruptor. Sin 
embargo, con los filamentos conectados en paralelo, si uno de 
ellos se funde (por ejemplo, el filamento de 75 W), el foco se- 
guira funcionando en dos de las posiciones del interruptor 
cuando la corriente pase a traves del otro filamento (100 W). 



Ejerdcio Determine las resistencias de los dos filamentos y 
su resistencia equivalente en paralelo. 

Respuesta 144 ft, 192 ft, 82.3 ft. 



Filamento de J 00 W 




Figura 28.9 Un foco de tres vias. 



ApucacjM 



Series de luces 



Las series de luces se usan para muchos propositos ornamen- 
tales, como la decoration en los arboles de Navidad. A traves 
de los anos las conexiones en serie y en paralelo se han usa- 
do para series con muchas luces, alimentadas con 120 V. 3 Los 
focos cableados en serie son mas seguros que los que estan 
cableados en paralelo para el uso interior en los arboles de 
Navidad porque aquellos cableados en serie operan con me- 
nos luz por foco y a menor temperatura. Sin embargo, si se 
funde el filamento de un foco individual (o si se quita un fo- 
co de su base), todas las luces en la serie se apagan. Las series 
de luces cableadas en serie son cada vez menos populares, 
pues detectar el problema con un foco fundido es una tarea 
tediosa y tardada, que implica el sustituir el foco en cada ba- 
se a lo largo de toda la serie por uno bueno para asf, median- 
te prueba y error, encontrar el defectuoso. 



En una serie cableada en paralelo cada foco opera a 120 
V. Por su disefio los focos son mas brillantes y calientes que 
los de una serie cableada en serie. Como resultado, estos fo- 
cos son inherentemente mas peligrosos (por ejemplo, es mas 
probable que comiencen a incendiarse) , pero si un foco en 
una serie cableada en paralelo se quema o se quita, el resto 
de los focos continua encendido. (Una serie de 25 focos de 4 
W da como resultado una potencia de 100 W; la potencia to- 
tal aumenta de manera importante cuando se usan varias se- 
ries.) 

Para prevenir que la falla de un foco malogre toda la serie 
se desarrollo un nuevo disefio para las luces "miniatura" ca- 
bleado en serie.- La solucion es crear una conexion (llamada 
saltador) a traves del filamento despues de que este falle. (Si 
existe una conexion alterna a traves del filamento antes de 



3 Este.y otros dispositivos domesticos, como el foco de tres vias en el ejemplo conceptual 28.6 y los elec- 
trodomesticos mostrados en el acertijo con que se comenzo este capitulo, de hecho operan con co- 
rriente alterna (ca), la cual se abordara en el capitulo 33. 



.28.3 Reglas de Kirchhoff 



877 



que falle, cada foco representarfa un circuito en paralelo; en 
este circuito la corriente fluiria a traves de la conexion alter- 
na, formando un cortocircuito, y el foco noencenderfa.) 
Cuando el filamento se rompe en uno de estos focos minia- 
Uira, aparecen 120 V a traves del foco porque no hay corrien- 
te presente en el foco y, en consecuencia, no disminuye el po- 
tential a traves de los otros focos. Dentro del foco, una 
pequena espira cubierta por un material aislante se- enreda al- 
rededor de las gufas del filamento. Un arco quema al aislan- 
te y conecta las gufas del filamento cuando los 120 V apare- 
cen a traves del foco — esto es, cuando falla el filamento — . 
Este "corto" ahora completa el circuito a traves del foco aun 
cuando el filamento ya no esta activo (Fig. 28.10). 



Filamento 



Saltador 




Aislante 
de vidrio 



Suponga que todos los focos en una serie de 50 focos mi- 
niature estan funcionando. Una cafda de potential de 2.4 V 
ocurre a traves de cada foco porque estan conectados en se- 
rie. La entrada de potencia a este tipo de focos es de 0.34 W, 
de modo que la potencia total' suministrada a la serie es de 
solo 17 W. La resistencia del filamento que se calcula a la tem- 
perature de operation es (2.4 V) 2 /(0.34 W) = 17 ft. Cuando 
el foco falla, la resistencia a traves de sus terminales se redu- 
ce a cero debido al saltador de conexion alterno menciona- 
do en el parrafo anterior. Todos los otros focos no solo per- 
manecen encendidos sino que brillan mas debido a que la 
resistencia total de la serie se reduce y, en consecuencia, au- 
menta la corriente en cada foco. 

Suponga que la resistencia en funcionarniehto de un foco 
permanece a 17 ft, aun cuando su temperature aumenta co- 
mo resultado del aumento de corriente. Si un foco falla, la 
cafda de potential a traves de cada uno de los focos restantes 
aumenta en 2.45 V, la corriente aumenta de 0.142 A a 0.145 
A, y la potencia aumenta a 0.354 W. Conforme mas focos fa- 
llan, la corriente continiia aumeritando, el filamento de cada 
uno de los focos funciona a mayor temperature y el tiempo 
de vida del foco se reduce. Por tan to, es una buena idea bus- 
car los focos estropeados (que no brillan) en una serie cablea- 
da en serie y reemplazarlos tan pronto como sea posible pa- 
ra maximizar el tiempo de vida de todos los focos. 




Figtira 28.10 a) Diagrama esquemati- 
co de un moderno foco "miniatura", con 
un saltador de conexion para proporcio- 
nar una trayectoria a la corriente si el fi- 
lamento se funde. b) Foco de una serie 
para el arbol de Navidad. (George Semple) 



a) 



b)' 



REGLAS DE KIRCHHOFF 

(°) Como se expuso en la section anterior, los circuitos simples pueden analizarse utili- 
134 zando la expresion A V= IR y las reglas para las combinaciones de resistores en se- 
rie y en paralelo. Sin embargo, con mucha frecuencia no es posible reducir un cir- 
cuito a una sola espira. El procedimiento para analizar circuitos mas complejos se 
simplifica mucho mediante el uso de dos sencillas reglas conocidas como reglas de 
Kirchhoff: 

1. La suma de las corrientes que entran a cualquier union en un circuito debe ser 
igual a la suma de las corrientes que salen de dicha union: 



-irf-'entra "~ wiw-'ss 



(28.9) 



878 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente tontinua 




2. La suma de las diferencias de potencial a traves de todos los elementos de cual- 
quier espira de circuito cerrado debe ser cero: 



I 4V = 



Alpramia-v Rnhwt ftimspn mvpntamn 



el espectroscopio y fundartm la aen- 
ca de la espectroscopia, la cual se 
estudara en el capitulo 40 Descu- 
Drieron los elementos cesio y ruDidio 
e inventaron la espectroscopia astrc- 
n6mica. Kirchhoff formul6;otra regla, 
a saber, "una sustancia fria absorbera 
luz de la misma longitud de onda que 
emite cuandb esta caliente". (AlPES- 
VAA/V.F. Meggers Collection) 



Experimento sorpresa J&^>- 

Dibuje una espira cerr'ada de forma 
arbitraria que no se cruce a si mis- 
ma. Marque cinco puntos sobre la 
espira (a, b, c, d y e) y asigne un nii- 
mero aleatorio a cada punto. Ahora 
comience en el punto a y recorra su 
camino alrededor de la espira calcu- 
lando la diferencia entre cada par de 
numeros adyacentes. Algunas de es- 
tas diferencias seran positivas y algu- 
nas seran negativas. Ahora sume to 
das las diferencias asegurandose de 
que conserva con precision los sig- 
nos algebraicos. (Cual es la suma de 
las diferencias a todo lo largo de la 
espira? 



circuito 
cerrado 



(28.10) 



La primera regla de Kirchhoff es un enunciado de la conservation de la carga 
electrica. Toda la corriente que entra a un punto dado en un circuito debe salir de 
ese punto ya que la carga no puede acumularse en un punto. Si se aplica esta regla 
a la union que se muestra en la figura 28.11a, se obtiene 

/,=/, + /, -- 

La figura 28.11b representa una analogfa mecanica de esta situation, en la cual flu- 
ye agua a traves de un tubo ramificado sin fugas. La rapidez de flujo dentro de la tu- 
beria es igual a la rapidez de flujo total afuera de las dos ramas en la derecha. 

La segunda regla de Kirchhoff surge de la ley de la conservation de la energia. 
Suponga el movimiento de una carga alrededor de la espira. Cuando la carga regre- 
sa al punto de partida, el sistema carga-circuito debe terier la misma energia que te- 
nia cuando la carga partio de ahf. La suma de los incrementos en energia eri algu- 
nos elementos de circuito debe ser igual a la suma de los decrementos en energia 
en otros elementos. La energia potencial disminuye cada vez que la carga se mueve 
a traves de una caida de potencial -IR a traves de un resistor, o cada vez que se mue- 
ve en la direction contraria a traves de una fuente de fem. La energia potencial se 
incrementa cada vez que la carga pasa a traves de una bateria desde la terminal ne- 
gativa hacia la terminal positiva. La segunda regla de kirchhoff se aplica solo en cir- 
cuitos en los cuales se define un potencial electrico en cada punto; este criterio no 
puede satisfacerse si hay campos electromagneucos variables, como se vera en el ca- 
pitulo 31. 

Al jusuficar la pretension de que la segunda regla de Kirchhoff es un enuncia- 
do de la conservation de la energia, se supbne conduciendo una carga alrededor de 
una espira. Cuando aplique esta regla imagfnese viajando alrededor de"; ?''"" :m- 
sidere los cambios en el potencial electrico en lugar de los cambios en h ■ ■tren- 

ded descrita en los parrafos anteriores. Debe usted tomar en cure . ■.- 1 »uientes 

convenciones de signos cuando use la segunda regla: 

• Ya que las cargas se mueven del extremo de alto potencial de un resistor al extre- 
mo de menor potencial, si se recorre un resistor en la direction de la corriente, 
el cambio de potencial AVa traves del resistor es —IR (Fig. 28.12a). 

• Si un resistor se recorre en la direction opuesta a la corriente, el cambio de poten- 
cial AVa traves del resistor es +IR (Fig. 28.12b). 

• Si una fuente de fem (la cual se supone con resistencia interna cero) se recorre 
en la direction de la fem (de — a +), el cambio en el potencial AVes +S (Fig. 
28.12c). La fem de la bateria aumenta el potencial electrico conforme se mueve a 
traves de la misma en dicha direction. 

• Si una fuente de fem (la cual se supone con resistencia interna cero) se atraviesa 
en la direction opuesta de la fem (de + a -), el cambio en el potencial AVes 
-8 (Fig. 28.1 2d). En este caso la fem de la bateria reduce el potencial electrico 
conforme se mueve a traves de ella. 

Existen limitationes en el numero de veces que usted puede aplicar de manera 
util las reglas de Kirchhoff al analizar un circuito dado. La regla de union puede 
usarse tan frecuentemente como sea necesario, siempre y cuando cada vez que es- 
criba una ecuation incluya en ella una corriente que no se haya usado en una ecua- 
cion anterior de la regla de union. En general, el numero de veces que se puede 
usar la regla de union es un poco menor que el numero de puntos de union en el 



28.3 Reglas de Kirchhoff 



879 




Flujo de salida 



b) 

Figura 28.11 a) Regla de la union 
de Kirchhoff. La conservation de la 
carga requiere que tpda la corriente 
que entra a una union debe salir de 
dicha union. Por tanto, /, = / 2 + /,. 
b) Una analogfa mecanica de la regla 
de la union: la canudad de agua que 
fluye hacia afuera de las ramas en la 
derecha debe ser igual a la cancidad 
que fluye en la rama individual a la 
izquierda. 



a) 



b) 



c) 



d) 



-AM- 



AV= -IR 



-Wv- 



AV= +/R 



e 



av= +e 



e 



AV= 



Figura 28.12 Reglas para determi- 
nar los cambios de potential a traves 
de un resistor y una bateria. {Se supo- 
ne que la bateria no dene resistencia 
interna.) -Cada elemento de circuito 
es recorrido de uquierda a derecha. 



circuito. La regla de la espira se puede usar con la frecuencia necesaria siempre que 
un nuevo elemento de circuito (resistor o bateria) o una nueva corriente aparezca 
en cada nueva ecuacion. En general, para resolver un problema de circuito particu- 
lar, el 'numero de ecuaciones independientes que usted necesita obtener de las dos 
reglas es igual al numero de corrientes desconocidas. 

Las redes complejas contienen muchas espiras y uniones que generan un gran 
numero de ecuaciones lineales independientes y un correspondiente gran numero 
de incognitas. Estas situaciones pueden manejarse formalmente utilizando algebra 
de matrices. Tambien pueden escribirse programas de computadora para resolver 
las incognitas. 

Los siguientes ejemplos ilustran como usar las reglas de Kirchhoff. En todos los 
casos se supone que los circuitos han alcanzado las condiciones de estado estable 
— es decir, las corrientes en las diferentes ramas son constantes — . Cualquier capaci- 
tor actua como un circuito abierto; es decir, la corriente en la rama que contiene al 
capacitor es cero en condiciones de estado estable. 



.j 



y\ 



Sugerencfas para resolver problemas 
Reglas de Kirchhoff 

• Dibuje un diagrama de circuito y marque todas las cantidades conocidas y des- 
conocidas. Debe asignar una direction a las corrientes en cada rama del circui- 
to. No se alarme si indica la direction de una corriente de modo incorrecto; 
su resultado sera negativo, pero su magnitud sera correcta. A pesar de que la asig- 
nacion de las direcciones de corriente es arbitraria, usted debe apegarse rigu- 
rosamente a las direcciones asignadas cuando aplique las reglas de Kirchhoff. 

• Aplique la regla de la union a cualquier union en el circuito que proporcio- 
he nuevas relaciones entre las diversas corrientes. 



880 



CAPlTULO 28 Circuitos de corriente continua 



Aplique la regla de la espira a tantas espiras en el circuito como sea necesario 
para.resolver las incognitas. Con el fin de aplicar esta regla listed debe iden- 
tificar correctamente el cambio de potencial conforme lo supone cruzando 
cada elemento al recorrer la espira cerrada (ya sea en el sentido de las mane- 
cillas del reloj o en el sentido contrario). jAsegurese de verificar los signos! 
Resuelva de manera simultanea las ecuaciones para las cantidades descono- 
cidas. 



Ejemplo 28B 



Circuito de una sola espira 



Un circuito de una sola espira contiene dos resistores y dos 
baterias, como se ve en la figura 28.13. (Ignore las resisten- 
cias internas de las baterias.) a) Encuentre la corriente en el 
circuito. 

Solution No se necesitan las reglas de Kirchhoff para ana- 
lizar este circuito simple, pero se usaran de cualquier mane- 
ra solo para ver como se pueden aplicar. No hay uniones en 
este circuito de una sola espira, por lo cual la corriente es la 
misma en todos los elementos. Suponga que la corriente esta 
en la direccion de las manecillas del reloj, como se indica en 
la figura 28.13. Recorriendo el circuito en esta direccion, em- 
pezando en a, se ve que a — » b representa un cambio de po- 
tencial de +8 i, b -» c representa un cambio de potencial de 
-ZR,, c — » d representa un cambio de potencial de -8 2 y d — » 
a representa un cambio de potencial de -IR,. Al aplicar la re- 
gla de la espira de Kirchhoff se obtiene 




£ 2 = 12V 

Figura 28.13 Circuito en serie que contiene dos baterias y dos re- 
sistores, donde las polaridades de las baterias estan en oposicion. 



2Av=o • 
e l -/K 1 -e s -/ft, = o 

Al despejar /y usar los valores dados en la figura 28.13 se ob- 
tiene 



/ = 



8, - 8, 6.0 V - 12 V 



R, + «, 8.0 fi + 10 fi 



= -0.33 A 



El signo negativo para / indica que la direccion de la corrien- 
te es opuesta a la direccion que se supuso. . 

b) £Que potencia se entrega a cada resistor? ,-Que poten- 
cia suministra la bateria de 12 V? 

Solution 

g>, = PR, = (0.33 A) 2 (8.0 fl) = 0.87 W 

g>j = l*R 2 = (0.33 A) 2 (10 ft) = 1.1 W 

En consecuencia, la potencia total entregada a los resistores 
es S>, + 9> 2 = 2.0 W. 

Advierta que la bateria de 12 V entrega potencia 78, = 4.0 
W. La mitad de esta potencia se entrega a los dos resistores, 
del modo en que se ha calculado. La otra mitad se entrega a 
la bateria de 6 V, la cual esta siendo cargada por la bateria de 
12 V. Si en el analisis se hubieran incluido las resistencias in- 
ternas de las baterias, una parte de la potencia apareceria 
como energia interna en ellas; como resultado, se habrfa 
encontrado que se ha entregado menos potencia a la bateria 
de6V. 



Ejemplo 28M 



Aplicacion de las reglas de Kirchhoff 



Determine las corrientes /,, / 2 e / 3 en el circuito mostrado en 
la figura 28.14. 

Solution Advierta que no se puede reducir este circuito a 
una forma mas simple mediante las reglas de adicion de re- 
sistencias en serie y paralelo. Se requiere el empleo de las re- 
glas de Kirchhoff para analizar este circuito. De manera arbi- 
traria se eligen las direcciones de las corrientes como en la 
figura 28.14. La aplicacion de la regla de la union de Kirch- 
hoff a la union c produce 



1) 



h + h = h 



Ahora se tiene una ecuacion con tres incognitas — I u / 2 e 1% — . 
Hay tres espiras en el circuito — abcda, befcb y aefda — . Por tan- 
to, solo necesita dos ecuaciones de espira para determinar las 
corrientes desconocidas. (La ecuacion de la tercera espira no 
brindaria nueva informacion.) Aplicando la regla de la espi- 
ra de Kirchhoff a las espiras abcda y befcb, y recorriendo estas 
espiras en la direccion de las manecillas del reloj, se obtienen 
las expresiones 

2) abcda 10 V- (6 H)/, - (2 0)/, = 

3) befcb -14 V+ (6 £1)7, - 10 V- (4fl)/ 2 = 



28.3 Reglas de Kirchhoft 



881 



Advierta que en la espira befcb se obtiene un valor positivo 
cuando se recorre el resistor de 6 ft porque la direccion de 
la trayectoria es opuesta a la direccion de /, que se supuso. 
Las expresiones 1), 2) y 3) representan tres ecuaciones in- 
dependientes con tres incognitas. Sustituyendo la ecuacion 1 ) 
en 2) se obtiene 

10 V - (6 ft)/, - (2 fi) (7, + 7,) = 



4) 



10 V= (8 ft) 7, + (2 ft) 7 2 



Al dividir cada termino en la ecuacion 3) por 2 y reordenan- 
do la ecuacion, se tiene 




Figura 28.14 Circuito que contierie tres espiras. 



5) -12 V = -(3 ft)/, + (2 ft) 7 2 
Al sustraer la ecuacion 5) de la 4) se elimina 7 2 , resultando 
22 V= (11 ft)/, 

7, = 2 A 

Usando este valor de 7, en la ecuacion 5) se obtiene un valor 
para / 2 : 

(2 ft) 7, = (3 ft)/, - 12 V = (3 ft) (2 A) - 12 V = -6 V 



/,= -3 A 



Por ultimo, 



/., = 7, + /, = -1 A 



El hecho de gue I., e 7, sean negativas indica solo que las co- 
rrientes son opuestas a la direccion que se ha elegido para 
ellas. Sin embargo, los valores numericos son correctos. iQue 
habrfa ocurrido si se hubiesen dejado las direcciones de las 
corrientes como se marcaron en la figura 28.14 pero se hu- 
bieren recorrido las espiras en la direccion opuesta? 

Ejercicio Encuentre la diferencia de potencial entre los pun- 
tos b y r. 

Respuesta 2 y. 



Ejemplo 28.&i§> Un circuito de espiras multiples 

a) En condiciones de estado estable determine las corrientes 
desconocidas /,, 7 2 e 7 S en el circuito de espiras multiples mos- 
trado en la figura 28.15. 

Solution Advierta primero que, como el capacitor repre- 
senta un circuito abierto, no hay corriente entre gy b a lo lar- 
go de la trayectoria ghab en condiciones de estado estable. En 
consecuencia, cuando las cargas asociadas con I, alcanzan el 
punto g, todas ellas pasan a traves de la bateria de 8.00 V ha- 
cia el punto b, por tan to, I gll = /,. Marcando las corrientes co- 
mo se indica en la figura 28.15 y aplicando la ecuacion 28.9 
a la union c, se obtiene 

. 1) /, + /, = /, 

La ecuacion 28.10 aplicada a las espiras defcd y cfgbc, recorri- 
dos en el sentido de las manecillas del reloj produce 

2) defcd 4.00 V - (3.00 ft) 7 2 - (5.00 ft) /, = 

3) cfgbc (3.00 ft)/, - (5.00 ft)/, + 8.00 V = 

A partir de la ecuacion 1) se ve que /, = 7, - 7 2 , la cual, cuan- 
do se sustituye en la ecuacion 3) , produce 

4) (8.00 ft) 7, -(5.00 ft) / 3 + 8.00 V = 

Restando la ecuacion 4) de la ecuacion 2) se elimina I 3 , y se 
encuentra que 



7, =-- 



4.00V 
11.0ft 



-0.364 A 



Puesto que U es negativa, se concluye que la direccion de 7, 
es de c a / a traves del resistor de 3.00 ft. Sin embargo, a pe- 



4.00 V 




3.00 V 6.00 ^F 



Figura 28.15 Circuito multiespiras. La regla de la espira de Kirch- 
hoff puede ser aplicada a cualquier espira cerrada, incluyendo la que 
contiene al capacitor. 



882 



CAPfTUL 28 Circuitos de corriente continua 



sar de esta interpretation de la direction, se debe continuar 
usando este valor negativo para /, en calculos subsecuentes 
porque las ecuaciones fueron establecidas con la election de 
direction original. 

Usando este valor de I 2 = -0.364 A en las ecuaciones 3) y 
1 ) se obtiene 

/, = 1.38 A /,= 1.02 A 

b) jCual es la carga en el capacitor? 

Solution Se puede aplicar la regla de la espira de KirchhofF 
a la espira bghab (o a cualquier otra espira que contenga al ca- 
pacitor) para encontrar la diferencia de potential A V cap a tra- 
ves del capacitor. Esta diferencia de potential se ingresa en la 
ecuacion sin referencia a una convention de signos porque 
la carga sobre el capacitor depende solo de la magnitud de la 
diferencia de potential. Al moverse en el sentido de las ma- 
necillas del reloj alrededor de este lazo se obtiene 

-8.00 V + AV„ p - 3.00 V = 

AV a „= 11.0 V 



Puesto que Q= C AV ap (vease la ecuacion 26.1), la carga en 
el capacitor es 

d = (6.00 fiF) ( 1 1 .0 V) = 66.0 ixC 

jPor que el lado izquierdo del capacitor esta cargado positi- 
vamente? 

Ejercicio Encuentre el voltaje a traves del capacitor reco- 
rriendo cualquier otra espira. 

Respuesta ll.OV. 

Ejercicio Invierta la direction de la bateria de 3.00 V y res- 
ponda las partes a) y b) nuevamente. 

Respuesta a) /, = 1.38 A, A = -0.364 A, /., = 1.02 A; 
b) 30 /xC 



28:4 



CIRCUITOS RC 



Hasta ahora se han analizado circuitos en estado estable, en los cuales la corriente 
es constante. En circuitos que contienen capacitores la corriente puede variar en el 
tiempo. Un circuito que contiene una combination en serie de un resistor y un ca- 
pacitor se denomina circuito RC. 

Carga de un capacitor 

Suponga que el capacitor en la figura 28.16 inicialmente esta descargado. No hay co- 
rriente cuando el interruptor S esta abierto (Fig. 28.16b). Sin embargo, si el inte- 
rruptor se cierra en t = 0, empiezan a fluir cargas, de modo que se establece una co- 
rriente en el circuito y el capacitor empieza a cargarse. 4 Advierta que durante el 
proceso de carga las cargas no brincan a traves de las placas del capacitor debido a 
que el espacio entre las mismas representa un circuito abierto. En lugar de eso la 
carga se transfiere entre cada placa y su alambre conector debido al campo electri- 
co establecido en los alambres por la bateria, hasta que el capacitor se carga por 
completo. Conforme las placas comienzan a cargarse, la diferencia de potential a 
traves del capacitor aumenta. El valor de la carga maxima depende del voltaje de la 
bateria. Una vez alcanzada la carga maxima, la corriente en el circuito es cero por- 
que la diferencia de potential a traves del capacitor se iguala con la suministrada por 
la bateria. 

Para analizar este circuito de manera cuantitativa aplique al circuito la regla de 
la espira de Kirchhoff despues de que se cierra el interruptor. Al recorrer la espira 
en el sentido de las manecillas del reloj se obtiene 



£_i_/R = 
C 



(28.11) 



4 En anaiisis previos de los capacitores, se supuso una situacion de estado estable, en la cual no habia 
corriente presente en ninguna rama del circuito que contenia al capacitor. Ahora se esta consideran- 
do el caso antes de que se llegue a la condition de estado estable; en esta situacion, las cargas se estan 
moviendo y existe una corriente en los alambres conectados al capacitor. 



28.4 Circuitos RC 



883 



Resistor 




> 



*<0 
R 

-AW 



S 



-9 



(>0 
R 

■AW- 



b) 



c) 



Figura 28.16 a) Lin capacitor en serie con un resistor, interruptor y bateria. b) Diagrama de circui- 
to donde se representa este sistema en el tiempo ( < 0, antes de que el interruptor se cierre. c) Dia- 
grama de circuito en el tiempo t > 0, despues de que se ha cerrado el interruptor. 

donde q/ C es la diferencia de potencial en el capacitor e IR es la diferencia de 
potencial en el resistor. Se emplearon las convenciones de signos antes analizados 
para los signos de 8 e IR Para el capacitor advierta que se esta recorriendo en la di- 
reccion de la placa positiva hacia la placa negativa; esto representa una disminucion 
en el potencial. Por ende, se usa un signo negativo para este voltaje en la ecuacion 
28.11. Observe que q e /son valores instantdneos que dependen del tiempo (como 
opuestos a los valores del estado estable) conforme el capacitor se esta cargando. 
Con la ecuacion 28.11 se puede encontrar la corriente inicial en el circuito y la 
carga maxima en el capacitor. En el instante en que se cierra el interruptor (t= 0) 
la carga en el capacitor es cero, y segiin la ecuacion 28.11 se encuentra que la co- 
rriente inicial en el circuito I es un maximo e igual a 



I = — (corriente en t = 0) 

R 



(28.12) Corriente maxima 



En este tiempo la diferencia de potencial de las terminales de la bateria aparece por 
completo a traves del resistor. Despues, cuando el capacitor se carga hasta su valor 
maximo Q, las cargas dejan de fiuir, la corriente en el circuito es cero y la diferen- 
cia de potencial de las terminales de la bateria aparece por completo a traves del ca- 
pacitor. Al sustituir /= en la ecuacion 28.11 se obtiene la carga en el capacitor en 
dicho tiempo: 

Q= CE (carga maxima) (28.13) 

Para determinar expresiones analiticas relativas a la dependencia en el tiempo 
de la carga y la corriente se debe resolver la ecuacion 28.11 — una sola ecuacion que 
contiene dos variables, q e / — . La corriente en todas las partes del circuito en serie 
debe ser la misma. Por tanto, la corriente en la resistencia R debe ser la misma con- 
forme la corriente fluye afuera de y hacia las placas del capacitor. Esta corriente es 
igual a la rapidez de cambio en el tiempo de la carga sobre las placas del capacitor. 
En consecuencia, sustituya /= dq/dt en la ecuacion 28.11 y reordene la ecuacion: 

dq _ S q 
dt R RC 

Para encontrar una expresion para q primero combine los terminos en el lado de- 
recho: 

dq CS q _' q-CS 
dt " RC RC~ RC 



Carga maxima en el capacitor 



884 



CAPjTULO 28 Circuitos de corriente continua- 



Ahora multiplique por dty divida entxe q— C£para obtener 

dq ■ 1 

— = dt 

q-Ce RC 

Al integrar esta expresion, y usar el hecho de que q = en t = se obtiene 



r dg = i c 

Jo ? - C£ RCjo 



In 



q-CS 



dt 



t 
R~C 



Carga versus tiempo para un capa- 
citor que se esta cargando 



A partir de la definicion del logaritmo natural esta expresion se puede escribir como 

q(t) = C£ (1 - e-^) = Q(l - e' /RC ) (28.14) 

■\ 

donde e es la base del logaritmo natural y se ha sustituido CS = Q de la ecuacion 

28.13. 

Puede encontrarse una expresion para la corriente de carga diferenciando la 

ecuacion 28.14 respecto del tiempo. Utilizando /= dq/dtse encuentra que 



Corriente versus tiempo para un ca- 
pacitor que se carga 



I(t) = —e" /RC 
R 



(28.15) 



En la figura 28.17 se presentan graficas de carga y corriente del circuito versus 
tiempo. Observe que la carga es cero en t = y se acerca al valor maximo CE a 
medida que t — » °°. La corriente dene su valor maximo I = S /R en t = y decae 
en forma exponencial hasta cero conforme t — > °°. La cantidad RC, la cual apare- 
ce en los exponentes de las ecuaciones 28.14 y 28.15, se conoce como constante 
de tiempo t del circuito. Representa el tiempo que tarda en disminuir la corrien- 
te hasta l/e de su valor inicial; esto es, en un tiempo T, /= e' l I = 0.368/ . En un 
tiempo 2T, /= e~' l I = 0.135/ , etcetera. Del mismo modo, en un tiempo Tla carga 
aumenta de cero a CS (1 - «"') = 0.632C8 . 

El siguiente analisis dimensional muestra que T tiene las unidades de tiempo: 



[t] = [RC] = 



AV Q 
I AV 



Q/ At 



= [At] = T 




0.632 C£ -jT t=rc 



0,368/,) -- 




a) 



b) 



Figura 28.17 a) Grafica de carga de capacitor versus tiempo para el circuito mostrado en la figura 
28.16. Despues de que ha transcurrido un intervalo de tiempo igual a una constante de tiempo T, la 
carga es 63.2% del valor maximo CE . La carga se acerca a su valor maximo conforme t tiende al infi- 
nite b) Grafica de corriente versus tiempo para el circuito mostrado en la figura 28.16. La corriente 
tiene su valor maximo I = S/R en t = y decae a cero exponencialmente conforme t tiende al infini- 
te Despues de que ha transcurrido un tiempo igual a una constante de tiempo t, la corriente es 36.8% 
de su valor inicial. 






.25.4 Circuitos RC 



885 



Puesto que t = RC dene unidades de tiempo, la combination t/RC es adimensional, 
como debe ser para poder funcionar como exponente de e en las ecuaciones 28.14 
y 28.15. 

La salida de energia de la bateria durante el proceso de carga del capacitor es 
■QS= CE 2 . Despues de que el capacitor se ha cargado completamente, la energia al- 
macenada en el es \Q& = \CS 2 , lo cual es la mitad de la salida de energia de la ba- 
teria. Se deja como un problema (problema 60) demostrar que la mitad restante de 
la energia suministrada por la bateria aparece como energia interna en el resistor. 



Descarga de un capacitor 

Considere ahora el circuito mostrado en la figura 28.18, el que consta de un capa- 
citor con una carga inicial Q, un resistor y un interruptor. La carga initial Qno es 
la misma que la carga maxima Qen el analisis anterior, a menos que la descarga ocu- 
rra despues de que el capacitor esta completamente cargado (como se describio con 
anterioridad) . Cuando el interruptor se-abre hay una diferencia de potential de Q/C 
a traves del capacitor y una diferencia de potencial cero en el resistor, puesto que / 
= 0. Si el interruptor se cierra en t = 0, el capacitor empieza a descargarse a traves 
del resistor. En cierto tiempo t durante la descarga, la corriente en el circuito es / y 
la carga en el capacitor es q (Fig. 28.18b). El circuito en la figura 28.18 es el mismo 
que el de la figura 28.16, excepto por la ausencia de la bateria. En consecuencia, se 
elimina la fern £de la ecuacion 28.11 para obtener la ecuacion de la espira apropia- 
da para el circuito en la figura 28.18: 



- ?- - IR = 



Cuando se sustituye /= dq/dt en esta expresion, se convierte en 



(28.16) 



dt C 
dq__ _J_ 
q ~ RC 

Integrando esta expresion con base en el hecho de que q = Q en t = resulta 



-dt 



Je q RC Jo 



dt 



ln M) *c 



q{t) = Qe 



,-i/RC 



(28.17) 



Diferenciar esta ecuacion con respecto del tiempo produce la corriente instantanea 
como una funcion del tiempo: 



j(f) = ^L = —(Qe-"« c ) = --^e- /RC 
dt dt RC 



(28.18) 



donde Q/RC= I es la corriente inicial. El signo negativo indica que la direction de 
la corriente ahora que el capacitor se esta descargando es opuesta a la direction 
de la corriente cuando el capacitor se estaba cargando. (Compare las direcciones de 
la corriente en las figuras 28.16c y 28.18b.) Se ve que tanto la carga en el capacitor 
como la corriente decaen en forma exponential a una rapidez caracterizada por la 
constante de tiempo t = RC. 





Figura 28.18 a) Un capacitor car- 
gado conectado a un resistor y un in- 
terruptor, el cual esta abierto en ( < 0. 
b) Despues de que se cierra el inte- 
rruptor, se establece una corriente 
que disminuye en magnitud con el 
tiempo y en la direccion mostrada; y 
la carga en el capacitor disminuye ex- 
ponencialmente con el tiempo. 



Carga verms tiempo para un capa- 
citor que se descarga 



Corriente versus tiempo para un ca- 
pacitor que se descarga 



886 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente continua 



EJEMPLO CONCEPtuM^. 



Limpiadores de parabrisas intermitentes 



Muchos automoviles estan equipados con limpiaparabrisas 
que pueden funcionar intermitenternente durante una ligera 
Ilovizna. jComo depende el furicionamiento de estos limpia- 
dores de la carga y descarga de un capacitor? 

SollICldn Los limpiadores son parte de un circuito RC cuya 
constante de tiempo puede variarse seleccionando diferentes 



valores de R mediante un interruptor de position multiple. 
Conforme aumenta con el tiempo, el voltaje a traves del ca- 
pacitor alcanza un punto en el cual se disparan los limpiado- 
res y se descarga, listo para iniciar otro ciclo de carga. El in- 
tervalo de tiempo entre los barridos individuales de los 
limpiadores se determina por el valor de la constante de tiem- 
po del circuito. 



EJEMPLO 28.. 



Carga de un capacitor en un circuito RC 



Un capacitor descargado y un resistor se conectan en serie a 
una bateria, como se muestra en la figura 28.19. Si £= 12.0 
V, C= 5.00 uF y R= 8.00 x 10 r ' SI, encuentre la constante de 
tiempo del circuito, la carga maxima en el capacitor, la co- 
rriente maxima en el circuito y la carga y la corriente como 
funciones del tiempo. 

Solucion La constante de tiempo del circuito es t = RC = 
(8:00 x 10 s ft) (5.00 x 10"''' F) '= 4.00 s. La carga maxima en el 
capacitor es Q = C£ = (5.00 /xF)(12.0 V) = 60.0 /aC. La co- 
rriente maxima en el circuito es /,, = £/R= (12.0 V)/(8.00 x 
10 5 SI) = 15.0 /xA. Empleando estos valores y las ecuaciones 
28.14 y 28.15 se encuentra que 

q(t) = (60.0 mQ (l-e- /400! ) 

I(t) = (15.0 //A) e-' /400s 
En la figura 28.20 se' presentan graficas de estas funciones. 



R 
-V+r 



h 



Figura 28.19 El interruptor de este circuito RC en serie, abierto 
para tiempos t < 0, se cierra en I = 0. : 



Ejercido Calcule la carga en el capacitor y la corriente 'en 
el circuito despues de que ha transcurrido una constante de 
tiempo. 



Respuesta 



37.9 fiC, 5.52 fiA. 

qifiC) 
60 




b) 

Figura 28.20 Graficas de a) carga versus tiempo y b) corriente ver- 
sus tiempo para el circuito RC mostrado en la figura 28.19, con 6 = 
12.0 V, R= 8.00 x 10"' a y C= 5.00 /iF. 



Ejemplo 28m 



Descarga de un capacitor en un circuito RC 



Considere un capacitor de capacitancia C que se esta des- 
cargando a traves de un resistor de resistencia R, como se 
ve en la figura 28.18. a)^Despues de cuantas constantes de" 
tiempo la carga en el capacitor es un cuarto de su valor 
inicial? 



Solucion La carga en el capacitor varia con el tiempo de 
acuerdo con la ecuacion 28.17, q(t) = Qe~' /RC . Para determi- 
nar el tiempo que tarda la carga q en disminuir hasta un cuar- 
to de su valor inicial se sustituye q(l) = Q/4 en esta expresion 
y se despeja t 



28.5 Instrumentos elSctrtcos 



887 



6. = Q g -,/RC 

4 K 



Tomando logaritmos en ambos lados se encuentra 

t 



= £ = (Qe-«* c f = Q*_ . 2 



-ln4 = -- 



RC 



t = RC(\n4) = \.39RC = 1.39V 

b) La energfa almacenada en el capacitor disminuye con 
el tiempo a medida que el capacitor se descarga. ^Despues de 
cuantas constantes de tiempo esta energfa almacenada es un 
cuarto de su valor inicial? 

Solution Con las ecuaciones 26.11 (U = Q ! /2Q y 28.17 se 
puede expresar la energfa almacenada en .el' capacitor en 
cualquier tiempo I como 



jj = T_ = ^ ,_ = K^ g -2«/fiC = u -21/ RC 

. 2C 2C 2C 

donde U = Q 2 /2Ces la energfa. inicial almacenada en el capa- 
citor. Como en el inciso a), se hace U= £/ /4 y se despeja t: 

i 

^2. = U e- WRC 
4 

1 _ .-21/ RC 
4 E 

Tomando de nuevo logaritmos en ambos lados y despejando 
t resulta 

t = iflC(ln 4) = 0.693rtC = 0.693t 

Ejerdcio (Despues de cuantas constantes de tiempo la co- 
rriente en el circuito es la mitad de su valor inicial? 

Respuesta 0.693#C = 0.693t. 



Ejemplo 2&ijgj&i> Energia entregada a un resistor 

Un capacitor de 5.00 /aF se carga hasta una diferencia de po- 
tential de 800 V y despues se descarga por medio de un resis- 
tor de 25.0 kfl. ,:Cuanta energfa se entrega al resistor en el 
tiempo que tarda el capacitor en descargarse por completo? 

Solution Este problema se resolvera por dos maneras. El 
primer metodo.es tomar en cuenta que la energfa inicial en 
el circuito es igual a la energfa almacenada en el capacitor, 
C£ 2 /2 (vease la Ec. 26.11). Una vez que el capacitor se ha 
descargado por completo, la energfa almacenada es cero. 
Puesto que la energfa se conserva, la energfa inicial almace- 
nada en el capacitor se transforma en energia interna- en el 
resistor. Empleando los valores dados de C y £ se encuentra 

Energfa = iC£ 2 = |(5.00 x 10" 6 F) (800 V) 2 = 1.60 J 

El segundo metodo, que es mas dificil pero quiza mas ins- 
tructivo, es advertir que cuando el capacitor se descarga a Wa- 
ves del resistor, la rapidez a la cual la energfa es entregada al 
resistor esta dada por PR, donde /es la corriente instan tinea 
dada por la ecuacion 28.18. Puesto que la potencia se define 
como la rapidez de cambio en el tiempo de la energia, se con- 
cluye que la energfa entregada al resistor debe ser igual a la 
integral de tiempo de PR dt: 



Energfa = j PR dt = | (I e-' /m: ) 2 Rdt 



Para evaluar esta integral observe que la corriente inicial /,, es 
igual a £ /R y que todos. los param'etros son constantes, ex- 
cepto l. Asf, se encuentra que 



£'- f* 

1 ) Energfa = — e~ 2l/ RC dt 

R Jo 



Esta integral tiene un valor de RC/2; por lo que se halla 

Energfa = |C£ 2 

lo cual concuerda con el resultado obtenido con el plantea- 
miento mas simple, como debe ser. Advierta que este segun- 
do metodo puede utilizarse para determinar la energfa total 
entregada al resistor en cualquier tiempo despues de que el in- 
terruptor se cierra reemplazando simplemente el lfmite supe- 
rior en la integral por un valor especffico de t. 

Ejerdcio Muestre que la integral dada en la ecuacion 1 ) tie- 
ne el valor RC/2. 



Seccion opcional 

INSTRUMENTOS ELECTRIC0S 



El amperimetro 

Se conoce como amperime&o al dispositivo que mide corriente. La corriente que se 
va a medir debe pasar directamente por el amperimetro, de modo que el instrumen- 
to debe estar conectado en serie con otros elementos en el circuito, como se mues- 
tra en la figura 28.21. Cuando use este instrumento para medir corrientes directas 



888 



CAPITULO 28 Circuitds de corriente continua 



*i 

i — wv- 



-AM- 



© 



debe asegurarse de conectarlo de modo que la corriente entre en la terminal posi- 
tiva del instrumento y saiga en la terminal negativa. 

Idealmente, un amperimetro debe tener resistencia cero de manera que no al- 
tere la corriente que se va a medir. En el circuito indicado en la figura 28.21 esta 
condicion requiere que la resistencia del amperimetro sea pequena comparada con 
R l + R 2 . Puesto que cualquier amperimetro tiene siempre alguna resistencia inter- 
na, su presencia en el circuito reduce ligeramente la corriente respecto del valor que 
tendria en ausencia del medidor. 



Figura 28.21 La corriente puede 
medirse con un amperimetro conec- 
tado en serie con el resistor y la bate- 
ria de un circuito. Un amperimetro 
ideal tiene resistencia cero. 




Figura 28.22 La diferencia de po- 
tential a traves de un resistor puede 
medirse con un volti'metro conectado 
en paralelo con el resistor. Un volti- 
metro ideal tiene resistencia infinita. 



El volti'metro 

Un dispositivo que mide diferencias de potencial recibe el nombre de voltimetro. La 
diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera en el circuito puede medirse 
al unir las terminales del volti'metro entre estos puntos sin romper el circuito, como 
se muestra en la figura 28.22. La diferencia de potencial en el resistor R, se mide co- 
nectando el voltimetro en paralelo con R.,. Tambien en este caso es necesario obser- 
var la polaridad del instrumento. La terminal positiva del volti'metro debe conectar- 
se en el extreme del resistor que esta al potencial mas alto, y la terminal negativa al 
extremo del resistor de potencial mas bajo. 

Un voltimetro ideal tiene resistencia infinita de manera que no circula corrien- 
te a traves de el. Como se ve en la figura 28.22, esta condicion requiere que el vol- 
timetro tenga una resistencia que es muy grande en relation con R,. En la practica, 
si no se cumple esta condicion, debe hacerse una correction respecto de la resisten- 
cia conocida del volti'metro. 

El galvanometro 

El galvanometro es e\ principal componente en los amperimetros y voltimetros ana- 
logos. Las caracteristicas esenciales de un tipo comun, conocido como galvanometro 
de D'Arsonval, se muestran en la figura 28.23a. Esta compuesto por una bobina de 
alambre montada de modo que pueda girar libremente sobre un pivote en un cam- 
po magnetico proporcionado por un iman permanente. El funcionamiento basico 
del galvanometro aprovecha el hecho de que el momento de torsion actiia sobre 
una espira de corriente en presencia de un campo magnetico (capftulo 29). El mo- 
mento de torsion experimentado por la bobina es proporcional a la corriente que 



Escala 




Resorte Bobina 

a) 




b) 



Figura 28.23 a) Componentes principales de un galvanometro D'Arsonval. Cuando la bobina esta 
situada en el campo magnetico conduce una corriente, el momento de torsion magnetico provoca que 
la bobina gire. El angulo que gira la bobina es proporcional a la corriente en la bobina debido al mo- 
mento de torsion de reaction del resorte. b) Modelo a gran escala del movimiento de un galvanome- 
tro. jPor que la bobina gira sobre el eje vertical despues de que el interruptor se ha cerrado? (Cortesia 
dejim Lehman) 



28.5 . Instrumentos elSctricos 



889 



Galvanometro 




a) 



Galvanometro 



60 n 




b) 



Figura 28.24 a) Cuando un galvanometro se va a usar como ampen'metro, se conecta un resistor de 
desviacion R /t en paralelo con el galvanometro. b) Cuando el galvanometro va a ser usado como volti- 
metro. se conecta un resistor R, en serie con el galvanometro. , 



circula por ella: cuanto mas grande es la corri.en'te, tanto mayor es el momento de 
torsion, asi como el giro de la bobina antes de que el resorte se tense lo suficiente 
como para detener la rotation. Por tanto, la desviacion de una aguja unida a la bo- 
bina es proporcional a la corriente. Despues de que el instrumento se calibra de ma- 
nera apropiada, puede usarse junto con otros elementos de circuito para medir co- 
rrientes o diferencias de potencial. 

Un galvanometro estandar no es adecuado para usarse como un ampen'metro, 
debido principalmente a que un galvanometro comiin tiene una resistencia cercana 
a 60 ft. La resistencia de un ampen'metro de esta magnitud altera de manera consi- 
derable la corriente en un circuito. Esto puede entenderse considerando el siguien- 
te ejemplo: la corriente en un circuito en serie simple que contiene. una bateria de 
3 V y un resistor de 3 fi es 1 A. Sin embargo, si para medir la corriente usted inser- 
ta un galvanometro de 60 en el circuito, jla resistencia total del circuito se vuelve 
de 63 d y la corriente se reduce a 0.048 A! 

Un segundo factor que limita el uso del galvanometro como un amperimetro es 
el hecho de que un galvanometro comiin proporciona una desviacion de maxima 
escala para corrientes del orden de 1 mA o menos. Consecuentemente, dicho galva- 
nometro no puede usarse de manera directa para medir corrientes mayores que es- 
ta. Sin embargo, es posible convertir un galvanometro en un amperimetro util colo- 
cando un resistor de desviacion R jt en paralelo con el galvanometro, como se puede 
ver en la figura 28.24a. El valor de R p debe ser muy pequeno respecto de la resisten- 
cia del galvanometro, de modo que la mayor parte de la corriente que se va a me- 
dir circule por el resistor de desviacion. 

Un galvanometro tambien puede utilizarse como un volu'metro afiadiendo un 
resistor externo R, en serie con el, como se muestra en la figura 28.24b. En este ca- 
so el resistor externo debe tener un valor muy grande respecto de la resistencia del 
galvanometro para asegurar que el galvanometro no altere de manera signifkativa 
el voltaje que se va a medir. 

El puente de Wheatstone 

F i posible medir con exactitud resistencias desconocidas utilizando un circuito co- 
aocido como puente <Je Wheatstone (Fig. 28.25). Este circuito consta de una resis- 
tencia desconocida, R^ tres resistencias conocidas, R u R«y R 3 (donde #, es un re- 
sistor variable calibrado); un galvanometro y una bateria. El resistor conocido R x se 
varia hasta que la lectura del galvanometro es cero — es decir, hasta que no haya co- 
rriente de a a b. En estas condiciones se dice que el puente esta balanceado. Pues- 
to que el potencial electrico en el pun to a debe ser igual al potencial en el pun to b 
cuando el puente esta balanceado, la diferencia de potencial a traves de i?, debe ser 




Figura 28.25 Diagrama de circuito 
para un puente de Wheatstone, un 
instrumento usado para medir una re- 
sistencia desconocida R„ en terminos 
de resistencias conocidas R„ R-> y R t . 
Cuando el puente esta en equilibrio, 
ninguna corriente esta presente en el 
galvanometro. La flecha colocada so- 
bre el simbolo de circuito para el re- 
sistor R, indica que el valor de este re- 
sistor puede ser variado por la persona 
que maneja el puente. 



890 



CAPITULO 28 Circuitos de corriente continua 




El medidor de deformacion, un dis- 
positivo usado para analisis experi- 
mental de tension, consta de una fina 
bobina de alambre asegurada a un so- 
porte de plastico flexible. El medidor 
expresa las tensiones mediante la de- 
teccion de los cambios en la resisten- 
cia de la bobina conforme las tiras se 
doblan. Mediciones de la resistencia 
se realizan .con este dispositivo como 
un elemento de un puente de Wheats- 
tone. Los medidores de deformacion 
se emplean comunmente eh las mo 
dernas balanzas electronicas, para me- 
dir las masas de los objetos. 




Figura 28.26 Con mulu'metros di- 
gitales como el mostrado suelen me- 
dirse voltajes, corrientes y resistencias. 
{Hejiry Leap y Jim Lehman) 



igual a la diferencia de potencial a traves de R 2 . De igual modo, la diferencia de po- 
tential a traves de R 3 debe ser igual a la diferencia de potencial a traves de R x . De 
acuerdo con estas considerations se ve que 



1) 
2) 






Dividiendo la ecuacion 1) entre la ecuacion 2) se eliminan las corrientes, y despe- 
jando R x se encuentra que 

R * = ~^- (28.19) 

Hay varios dispositivos similares que tambien operan bajo el principio de la me- 
dicion nula (esto es, el ajuste de un elemento de circuito para hacer que la lectura 
del galvanometro sea cero). Un ejemplo de esto es el puente de capacitancia utili- 
zado para medir capacitancias desconocidas. Estos dispositivos no necesitan medido- 
res calibrados y pueden emplearse con cualquier fuente de voltaje. 

Los puentes de Wheatstone no son utiles para resistencias mayores a 10'' CI, per 
ro los instrumentos electronicos modernos pueden medir resistencias tan altas co- 
mo 10'" CI. Dichos instrumentos tienen una resistencia muy alta entre sus termina- 
les de entrada. Por ejemplo, son comunes resistencias de entrada de 10'° Cl en la 
mayor parte de los multimetros digitales, dispositivos que se utilizan para medir vol- 
taje, corriente y resistencia (Fig. 28.26). 

El potenciometro 

Un potenciometro es un circuito que se emplea para medir una fern desconocida £ \ 
mediante la comparacion con una fem conocida. En la figura. 28.27 el punto d re- 
presenta un contacto deslizante que se utiliza para variar la resistencia (y, consecuen- 
temente, la diferencia de potencial) entre los puntos ay d. Los otros componentes 
requeridos en este circuito son un galvanometro, una bateria con fem conocida £ t) 
y una bateria con fem desconocida S x . 

Con las corrientes en las direcciones indicadas en la figura 28.27, de acuerdo con 
la regla de union de Kirchhoff se ve que la corriente que circula por el resistor R x es 
/- /„ donde /es la corriente en la rama izquierda (a traves de la bateria con fem £ n ) 
e I x es la corriente en la rama derecha. La regla de la espira de Kirchhoff aplicada a 
la espira abcda, la cual se recorre en la direction de las manecillas del relqj, produce 

-e x + (/-/,)*, = <> 

Puesto que la corriente I x pasa a traves de el, el galvanometro muestra una lectura 
diferente de cero. El contacto deslizante en d se ajusta luego hasta que el galvano- 
metro registra cero (lo que indica un circuito balanceado y que el potenciometro es 
otro dispositivo de medicion nula). En estas circunstancias la corriente en el galva- 
nometro es cero, y la diferencia de potencial entre ay d debe ser igual a la fem des- 
conocida £ x ; 

£ X = IR X 

Despues, la bateria de fem desconocida se reemplaza por una bateria estandar 
de fem conocida £, y el procedimiento anterior se repite. Si R, es la resistencia en- 
tre a y d cuando se alcanza el balance en este tiempo, entonces 

donde se supone que / permanece igual. Combinando esta expresion con la ecua- 
cion previa se ve que 



S x =—E s 

Rs 



(28.20) 



28. 6 Cableado domgstico y seguridad elfctrica 



891 



Si el resistor es un alambre de resistividad p, su resistencia puede variarse usan- 
do el contacto deslizante para modificar la longitud L, lo que indica cuanto del alam- 
bre es parte del circuito. Con las sustituciones R s = pLJA y R x = pLJA, la ecuacion 
28.20 se convierte en 

e,= -^-e, (28.21) 

donde L x es la longitud del resistor cuando la bateria de fern desconocida S x esta 
en el circuito y L, es la longitud del resistor cuando la bateria estandar esta en el 
circuito. 

El circuito de alambre deslizante de la figura 28.27 sin la fem desconocida y el 
galvanometro a veces se denomina divisor de voltaje. Este circuito hace posible deri- 
var en cualquier pequena portion deseada de la fem £„ mediante el ajuste de la lon- 
gitud del resistor. 




Figura 28.27 Diagrama de circuito 
para un potenciometro. El circuito se 
usa para medir una fem desconocida 



Seccion opcional 
m&Si^ CABLEADO D0MESTIC0 Y SEGURIDAD ELECTRICA 



Los circuitos domesticos representan una aplicacion practica de algunas de las ideas 
presentadas en este capitulo. En el mundo actual de los aparatos electricos es util 
entender los requerimientos y limitaciones de energia de los sistemas electricos con- 
• vencionales y las medidas de seguridad para evitar accidentes. 

En una instalacion convencional, la compania que proporciona el servicio elec- 
trico distribuye la energia electrica a hogares individuales con un par de alambres, a 
los que cada usuario se conecta en paralelo a estas lineas. Un alambre se denomina 
alambre vivo," como esta ilustrado en la figura 28.28, y al otro se le conoce como alam- 
bre neutro. La diferencia de potencial entre estos dos alambres es de aproximadamen- 
te 120 V. El voltaje alterna en el tiempo, con el alambre neutral conectado a tierra, 
y el potencial del alambre vivo oscilando respecto de la tierra. Mucho de lo aprendi- 
do hasta ahora para la situation de fem constante (corriente directa) tambien se pue- 
de aplicar a la corriente alterna que las compariias electricas suministran a los nego- 
cios y hogares. (Los voltajes y las corrientes alternas se estudian en el capitulo 33.) 

Un medidor se conecta en serie con el alambre vivo que entra a la casa para re- 
gistrar el consumo de electricidad del hogar. Despues del medidor el alambre se di- 
vide de modo que existen varios circuitos en paralelo separados, distribuidos por to- 
da la casa. Cada circuito contiene un interruptor automatico de circuito (o, en las 
instalaciones antiguas, un fusible). El alambre y el interruptor de circuito se selec- 
cionan cuidadosamente para satisfacer las necesidades de corriente de este circuito. 
Si un circuito va a conducir corrientes tan grandes como 30 A, un alambre grueso y 
un interruptor de circuito apropiado deben elegirse para manejar esta corriente. 
Otros circuitos domesticos individuales utilizados por lo general para activar lampa- 
ras y pequenos aparatos requieren casi siempre de solo 15 A. Cada circuito tiene su 
propio interruptor para adaptarse a diversas condiciones de carga. 
gg Como ejemplo, considere un circuito en el cual un tostador, un homo de mi- 
croondas y una cafetera estan conectados (correspondiendo a R u R 2 y R 3 en la figu- 
ra 28.28) y como esta mostrado en la fotograffa del inicio del capitulo). Se puede 
calcular la corriente tomada por cada aparato utilizando la expresion 2P = / AV. El 
tostador, con un valor nominal de 1 000 W, toma una corriente de 1 000 W/120 V 
= 8.33 A. El homo de microondas, con un valor nominal de 1 300 W extrae 10.8 A 
y la cafetera, con un, valor nominal de 800 W, toma 6.67 A. Si los tres aparatos ope- 
ran en forma simultanea, toman una corriente total de 25.8 A Por consiguiente, el 
circuito debe alambrarse para manejar por lo menos esta corriente tan elevada. Si 



Neutro 




120^ 



0V 



1 Alambre vivo es una expresion comiin para un conductor comun cuyo potencial electrico esta sobre 
o bajo el potencial de uerra. 



Figura 28.28 Diagrama de cablea- 
do de un circuito domesuco. Las re- 
sistencias representan aparatos u otros 
disposiuvos electricos que funcionan 
con un voltaje aplicado de 120 V. 



892 



CAPlTULO 28 Circuitos de corriente continua 




Figura 28.29 Un tomacorriente pa- 
ra un aparato de 240 V. (George SempU) 




Figura 28.30 

tres puntas para 

(George SempU) 



Cordon electrico de 
un aparato de 120 V. 



el valor nominal del interruptor automatico que protege al circuito es demasiado pe- 
queno — por ejemplo, 20 A — el interruptor se disparara cuando el tercer aparato 
se encienda, evitando que funcionen los tres aparatos. Para evitar esta situacion el 
tostador y la cafetera podrian operarse en un circuito de 20 Ay el.homo de microon- 
das en un circuito separado de 20 A. 

Muchos aparatos de gran capacidad, como los hornos electricos y las secadoras 
de ropa, requieren 240 V para su operation. La compariia electrica brinda este vol- 
taje suministrando un tercer alambre que esta a 120 V por debajo del potential de 
tierra (Fig. 28.29). La diferencia de potential entre este alambre vivo y el otro alam- 
bre vivo (el cual esta a 120 V sobre el potential de tierra) es de 240 V. Un aparato 
que funciona a partir de una lfnea de 240 V requiere la mitad de la corriente de uno 
que trabaja con base en una linea de 120 V; por tanto, pueden utilizarse alambres 
mas pequeiios en el circuito de mayor voltaje sin que el sobrecalentamiento se vuel- 
va un problema. 

Seguridad, electrica 

Cuando el alambre vivo de una toma de corriente electrica se conecta directamen- 
te a tierra, el circuito se completa y existe una condition de cortocircuito. \Jn corto- 
circuito ocurre cuando casi existe resistencia cero entre dos puntos a diferentes po- 
tenciales; esto da como resultado una corriente muy grande. Cuando esto sucede de 
manera accidental, un interruptor de circuito funcionando en forma apropiada abre 
el circuito y no ocurre dano alguno. Sin embargo, una persona en contacto con tie- 
rra puede electrocutarse al tocar el alambre vivo de un conductor raido u otro con- 
ductor expuesto. Un contacto a tierra excepcionalmente bueno (aunque muy peli- 
groso) se efectua cuando la persona toca una tuberia de agua (por lo comun al 
potencial de tierra) o permanece parada sobre tierra con los pies humedos. La ulti- 
ma situacion representa una buena tierra porque el agua normal no destilada es un 
conductor debido a que contiene gran cantidad de iones asociados con impurezas. 
Esta situacion debe evitarse a toda costa. 

Un choque electrico puede produrir quemaduras fatales o puede ser origen de 
mal funcionamiento de los musculos de organos vitales, como el corazon. El grado 
de dano al cuerpo depende de la magnitud de la corriente, el lapso en que esta ac- 
tua, la parte del cuerpo que toca el alambre vivo y la parte del cuerpo a traves de la 
cual circula la corriente. Las corrientes de 5 mA o menos causan una sensation de 
choque, pero en general no ocasionan dano o este es mfnimo. Si la corriente es ma- 
yor que aproximadamente 10 mA, los musculos se contraen y la persona puede no 
poder soltar el alambre vivo. Si una corriente cercana a 100 mA pasa por el cuerpo 
durante unos cuantos segundos, el resultado puede ser fatal. Corrientes tan grandes 
paralizan los musculos respiratorios y obstruyen la respiration. En algunos casos co- 
rrientes de alrededor de 1 A a traves del cuerpo pueden producir serias (y en oca- 
siones fatales) quemaduras. En la practica ningun contacto con alambres vivos se 
considera seguro cuando el voltaje es superior a 24 V. 

Muchos de los tomacorrientes de 120 V se disefian para aceptar un cordon elec- 
trico de tres puntas como el que se muestra en la figura 28.30. (Esta caracteristica se 
requiere en todas las nuevas instalaciones electricas.) Una de estas puntas es el alam- 
bre vivo a un potencial nominal de 120 V. La segunda, que se denomina el "neutro", 
nominalmente esta a V y conduce la corriente a tierra. La tercera punta, redon- 
deada, es un alambre de seguridad de conexion a tierra por el que por lo comun no 
circula corriente pero esta tanto aterrizado como conectado directamente a la caja 
del aparato. Si el alambre vivo entra por accidente en corto con la caja (lo cual ocu- 
rre a menudo cuando se desgasta el aislamiento de alambre), la corriente toma una 
trayectoria de baja resistencia a traves del aparato hasta tierra. En contraste, si la ca- 
ja del aparato no esta conectada a tierra de manera apropiada y ocurre un corto, 
cualquiera que este en contacto con el aparato experimenta un choque electrico de- 
bido a que el cuerpo proporciona una trayectoria de baja resistencia a tierra. 



Resumen 893 



En la actualidad se utilizan tomas de corriente electrica especiales denominadas 
interruptores defalla a tierra (IFT, o GFI por sus siglas en ingles) en cocinas, banos, ci- 
mientos, tomacorrientes exteriores y otras areas peligrosas de los nuevos hogares. Es- 
tos dispositivos estan disenados para proteger a las personas contra choques electri- 
cos registrando corrientes pequenas («= 5 mA) que se fugan a tierra. (El principio 
de su operation se describe en el capitulo 31.) Cuando se detecta una corriente de 
fuga excesiva, la corriente se corta en menos de 1 ms. 



Pregunta sorpresa 28.4 



jEl interruptor automatico de un circuito esta cableado en serie o en paralelo con el dispo- 
sitivo que protege? 



Resumen 

La fem de una bateria es igual al voltaje a traves de sus terminales cuando la corrien- 
te es cero. Esto significa que la fem es equivalente al voltaje en circuito abierto de la 
bateria. 

La resistenda equivalente de un' conjunto de resistores conectados en serie es 

R cq = R l + R 2 + R s + ... (28.6) 

La resistenda equivalente de un conjunto de resistores conectados en para- 
lelo es 



1 


1 1 1 





= — + — + — + 


*, 


R l R% R$ ■ 



(28.8) 

Si es posible combinar resistores en serie o paralelo equivalentes, las dos ecuaciones 
anteriores facilitan la determination de como influyen los resistores en el resto del 
circuito. 

Los circuitos que involucran mas de una espira se analizan de manera conve- 
niente utilizando las reglas de Kirchhoff: 

1. La suma de las corrientes que entran a cualquier union en un circuito electrico 
debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de esta union: 

5^entrada = X/salida (28.9) 

2. La suma de las diferencias de potential a traves de todos los elementos alrededor 
de cualquier espira de circuito cerrado debe ser cero: 

X AV = 
«S (28.10) 

La primera regla es un enunciado de la conservation de la carga; la segunda es equi- 
valente a un enunciado de la conservation de la energia. 

Cuando un resistor se recorre en la direction de la corriente, el cambio de po- 
tential AVa traves del resistor es -IR Cuando el resistor se recorre en la direction 
opuesta a la corriente, A V= +/R. Si una fuente de fem se recorre en la direction de 
la fem (terminal negativa a positiva) el cambio de potential es +8. Cuando una fuen- 
te de la fem se recorre en el sentido opuesto de la fem (positivo a neganvo), el cam- 
bio de potential esfc-£. El uso de estas reglas, junto con las ecuaciones 28.9 y 28.10, 
permite analizar circuitos electricos. 

Si un capacitor se carga con una bateria a traves de un resistor de resistenda R, 
la carga en el capacitor y la corriente en el circuito varian en el tiempo de acuerdo 
con las expresiones 



894 



CAPlTUL 28 Circuitos de corriente continua 



q(t) = QQ.-e-«« c ) 



Kt) 



R 



(28.14) 
(28.15) 



donde Q= CS es la carga maxima en el capacitor. El producto RCse denomina cons- 
tante de tiempo rdel circuito. Si un capacitor cargado se descarga a traves de un re- 
sistor de resistencia R, la carga y la corriente disminuyen exponencialmente en el 
tiempo de acuerdo con las expresiones 



RC 



(28.17) 



(28.18) 



donde Q es la carga initial en el capacitor y Q/RC = I es la corriente initial en el 
circuito. Las ecuaciones 28.14, 28.15, 28.17 y 28.18 le permiten analizar la corriente 
y las diferencias de potential en un circuito RC y la carga almacenada en el capaci- 
tor del circuito. 



Preguntas 

1. Explique la diferencia entre resistencia de carga en un cir- 
cuito y resistencia interna de una bateria. 

2. ££n que condition la diferencia de potential a traves de 
las terminales de una bateria es igual a su fern? ^El voltaje 
de las terminales puede ser mayor que la fern? Explique. 

HT] {La direction de la corriente a traves de una bateria siem- 
pre es de la terminal negativa a la positiva? Explique. 

4. £C6mo conectaria resistores de manera que la resistencia 
equivalente sea mas grande que la resistencia individual 
mas grande? De un ejemplo que incluya tres resistores. 

5. ,;C6mo conectaria resistores de manera que la resistencia 
equivalente sea mas pequena que la resistencia individual 
mas pequena? Brinde un ejemplo que incluya tres resisto- 
res. 

6. Dados tres focos y una bateria, dibuje tamos circuitos elec- 
tricos diferentes como pueda. 

7. Cuando se conectan resistores en serie, ^cuales de las si- 
guientes caracteristicas serian iguales en cada resistor: di- 
ferencia de potential, corriente, potencia? 

8. Cuando se conectan resistores en paralelo, jde lo siguien- 
te que seria igual en cada resistor: diferencia de potential, 
corriente, potencia? 

9. {Que ventajas habria al usar dos resistores identicos en pa- 
ralelo conectados en serie con otro par identico en para- 
lelo en lugar de usar un solo resistor? 

10. Una lampara incandescente conectada a una fuente de 
120 V con un cable de extension corto brinda mas ilumi- 
nation que la misma lampara conectada a la misma fuen- 
te con un cable de extension muy largo. Explique por que. 

11. ^Cuando puede ser positiva la diferencia de potential que 
pasa por un resistor? 

12. Suponga que en la figura 28.15 el alambre entre los pun- 
tos g y h se reemplaza por un resistor de 10 ft. Explique 
por que este cambio no afecta las corrientes calculadas en 
el ejemplo 28.9. 



Describa que ocurre con el foco de la figura P28.13 des- 
pues de que se cierra el interruptor. Suponga que el capa- 
citor dene una gran capacitancia y que al initio esta des- 
cargado, considere tambien que el foco ilumina cuando se 
conecta directamente entre las terminales de la bateria. 



14. 



15. 




Interruptor 



\\- 



Bateria 
Figura P28.13 



jCuales son las resistencias internas de un amperfmetro y 
un voltimetro ideales? £Los medidores veales Uegan a estos 
casos ideales? 

Aunque las resistencias internas de todas las fuentes de 
fem se ignoraran en el tratamiento del potenciometro (sec- 
cion 28.5), en realidad no es necesario hacer esta suposi-: 
cion. Explique por que las resistencias internas no desem- 
penan ningun papel en esta medition de £ x . 



Problemas 



895 



16. jPor que es peligroso activar una luz cuando se esta den- 
tro de una baiiera? 

17. Suponga que usted cae de un edificio y en el txayecto ha- 
cia abajo se agarra de un cable de alto voltaje. Suponien- 
do que usted esta colgando del cable, jse electrocutara? Si 
el cable se rompe despues, justed continuara unido al ex- 
tremo del mismo mientras esta cayendo? 

IJIT1 jQue ventajas ofrece operar 120 V respecto de 240 V? 
jQue desventajas? 

19. Cuando los electricistas trabajan con alambres potencial- 
mente vivos, con frecuencia usan los dorsos de sus manos 
o dedos para mover los alambres. <;Por que supone que 
usan esta tecnica? 

20. <jQue procedimiento usarfa para tratar de salvar a una per- 
sona que esta "petrificada" en un cable vivo de alto volta- 
je sin poner en riesgo su propia vida? 

21. Si la corriente que circula por un cuerpo es la que deter- 
mina que tan serio sera un chtique electrico, jpor que se 
ven anuncios de peligro de alto voltaje en vez de alta co- 
rriente cerca de los equipos electricos? 

22. Suponga que usted esta volando un papalote y este choca 
con un cable de alto voltaje. iQue factores determinan la 
magnitud del choque electrico que usted recibe? 

23. Un circuito en serie esta compuesto por tres lamparas 
identicas conectadas a una bateria, como se muestra en la 
figura P28.23. Cuando el interruptor S se cierra, jque ocu- 
rre con a) las intensidades de las lamparas A y B, b) la in- 
tensidad de la lampara C,- c) la corriente en el circuito y 
d) el voltaje a traves de las tres lamparas? e) jLa potencia 
entregada al circuito aumenta, disminuye o permanece 
igual? 




£"=? 



Figura P28.23 



24. Si los faros de su automovil estan encendidos cuando us- 
ted activa la marcha, i'por que se oscurecen mientras el ca- 

■ rro esta encendiendose? 

25. Una estacion de esqui consta de unos cuantos telefericos 
y varias pistas cuesta abajo interconectadas al lado de una 
montana, con un albergue en el fondo. Los elevadores son 
semejantes a baterias, y las pistas son analogas a resistores. 
Describa como pueden estar en serie dos pistas. Describa 
como pueden estar en paralelo tres pistas. Bosqueje la 
union de un elevador y dos pistas. Establezca la regla de 
union de Kirchhoff para las estaciones de esqui. Una de 
las esquiadoras que por casualidad lleva un altimetro se 
detiene a calentar los dedos de sus pies cada vez que pasa 
por el albergue. Establezca la regla de la espira de Kirch- 
hoff para la altitud. 



Problemas 

1, 2, 3 = sencillo, intermedio, desafiante □ = solucion completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solucion disponible en http://wwwjaunderscollege.com/physics/ E3 = use computadora para resolver el problema flh = Fisica 

interactiva Q] = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seccion 28.1 Fuerza electromotriz 

web [IT] Una bateria tiene una fern de 15.0 V. El voltaje terminal 
de la bateria. es 11.6 V cuando esta entregando 20.0 W 
de potencia a un resistor de carga externo R. a) jCual es 
el valor de /?? b) ^Cual es la resistencia interna de la ba- 
teria? 

2. a) jCual es la corriente en un resistor de 5.60 ft conec- 
tado a una bateria que tiene una resistencia interna de 
0.200 ft si el voltaje terminal de la bateria es de 10.0 V? 
b) jCual es la fern de la bateria? 

3. Dos baterias de 1.50 V — con sus terminales positivas en 
la misma direction — se insertan en serie dentro del ci- 
lindro de una linterna. Una bateria tiene una resistencia 
interna de 0.255 ft, y la resistencia interna de la otra es 
igual a 0.153 ft. Cuando el interruptor se cierra se pro- 
duce una corriente de 600 mA en la lampara. a) £Cual 
es la resistencia de la lampara? b)(Que porcentaje de la* 
potencia de las baterias aparece en las baterias mismas, 
representada como un incremento en la temperatura? 



4. Una bateria de automovil tiene una fern de 12.6 V y una 
resistencia interna de 0.080 ft. Los faros tienen una re- 
sistencia total de 5.00 ft (supuesta constante). jCual es 
la diferencia de potential a traves de los focos de los fa- 
ros a) cuando son la unica carga en la bateria, y b) cuan- 
do el motor de la marcha esta operando y toma 35.0 A 
adicionales de la bateria? 

Seccion 28.2 Resistores en serie y en paralelo 



5. 



6. 



La corriente en un lazo de circuito que tiene una resis- 
tencia de Ri es de 2.00 A La corriente se reduce a 1.60 
A cuando un resistor adicional Rj = 3.00 ft se anade en 
serie con R^. £Cual es el valor de R t ? 
a) Encuentre la resistencia equivalente entre los puntos 
a y b en la figura P28.6. b) Si una diferencia de poten- 
tial de 34.0 V se aplica entre los puntos ay b, calcule la 
corriente en cada resistor. 

Un tecnico en reparation de televisores necesita un re- 
sistor de 100 ft para componer un equipo defectuoso. 



896 



CAPfTULO 28 Circuitos de corriente continua 



7.00 il 



4.oo a 



9.00 n 




Figura P28.6 



Por el momento no tiene resistores de este valor. Todo 
lo que tiene en su caja de herramientas son un resistor 
de 500 ft y dos resistores de 250 ft. ^Corno puede obte- 
ner la resistencia deseada usando los resistores que tie- 
ne a mano? 

8. Un foco marcado "75 W [a] 120 V se atornilla en un 
portalampara al extremo de un largo cable de extension 
en el cual cada uno de los dos conductores tiene una re- 
sistencia de 0-800 ft. El otro extremo del cable de exten- 
sion esta conectado a un tomacorriente de 120 V. Dibu- 
je un diagrama de circuito y encuentre la potencia real 
• entregada al foco en este circuito. 

H3 Considere el circuito mostrado en la figura P28.9. En- 
cuentre a) la corriente en el resistor de 20.0 ft y b) la di- 
ferencia de potencia] entre los puntos ay b. 



12. 



13. 



14. 



en el inciso a), jcual es la potencia entregada a cada re- 
sistor? jCual es la potencia total entregada? 
Utilizando solo tres resistores — 2.00 ft, 3.00 ft y 4.00 
ft — encuentre 17 valores de resistencia que se pueden 
obtener mediante diversas combinaciones de uno o mas. 
resistores. Tabule las combinaciones en orden de resis- 
tencia creciente. 

La corriente en un circuito se triplica conectanelo un re- 
sistor de 500 ft en paralelo con la resistencia del circui- 
to. Determine la resistencia del circuito en ausencia del 
resistor de 500 ft. 

La potencia entregada a la parte superior del circuito de 
la figura P28.14 no depende de si el interrupter esta 
abierto o cerrado. Si R= 1.00 ft, determine R'. Ignore 
la resistencia interna de la fuente de voltaje. 



R' 



R 

-vw- 



io.o n 1 95 o v 
rW—\\ 



10.0 n 
-^V\r- 



:5.00Q 



:20.0 ft 



-vw- 

5.00 ft 



Figura P28.9 



10. Cuatro alambres de cobre de igual longitud estan conec- 
tados en serie. Sus areas de section transversal son 1.00 
cm 2 , 2.00 cm 2 , 3.00 cm 2 y 5.00 cm 2 . Si se aplica un volta- 
je de 120 V al arreglo, jcual es el voltaje a traves del 
alambre de 2.00 cm 2 ? 

11. Tres resistores de 100 ft se conectan como se indica en 
la figura P28.ll. La maxima potencia que se puede en- 
tregar de manera segura a cualquiera de los resistores es 
25.0 W. a) jCual es el maximo voltaje que se puede apli- 
car a las terminales ay b? b) Para el voltaje determinado 



100 a 
A/W- 




ioo n 
Figura P28.ll 



Figura P28.14 



Calcule la potencia entregada a cada resistor en el cir- 
cuito mostrado en la figura P28.15. 



18.0 V 




3.00 Q >1.00ii 



4.00 fi 
Figura P28.1S 



16. Dos resistores conectados en serie tienen una resistencia 
equivalente de 690 ft. Cuando se conectan en paralelo 
su resistencia equivalente es igual a 150 ft. Determine la 
resistencia de cada resistor. 

17. En las figuras.28.4 y 28.5, haga R x = 11.0 ft, R 2 = 22.0 ft ' 
y que la bateria tenga un voltaje terminal de 33.0 V. 
a) En el circuito en paralelo que se muestra en la figura 
28.5, ,:cual resistor consume mas potencia? b) Verifique 
que la suma de la potencia (PR) consumida por cada re- 
sistor sea igual a la potencia suministrada por la bateria 
(/AV). c) En el circuito en serie, «<cual resistor usa mas 
potencia? d) Verifique que la suma de la potencia (PR) 
usada por cada resistor sea igual a la potencia suminis- 






Problemas 



897 



trada por la bateria (£P = 7AV). e) jCual de las configu- 
raciones de circuito usa mas potencia? 

Secdon 28.3 Reglas de Kirchhoff 

Nota: las corrientes no estan necesariamente en la direccion indicada 
en algunos circuitos. 

'.?.. El amperimetro mostrado en la figura P28.18 registra 
2.00 A. Encuentre I it I 2 y S. 



a) Utilizando las reglas de Kirchhoff encuentre la co- 
rriente en cada resistor mostrado en la figura P28.22 y 

b) encuentre la diferencia de potential entre los puntos 
cy f. iQue punto esta al potential mas alto? 



7.00 n , 15.0 V 
I VVV — I 



4 



5.00 n 
H — VW- 



2.00 n . e 
1 VW — h- 



"70.0 V 



4.00 kii , 

WrV 

£ 2 R, 



60.0 V 



fl 2 <3.00kii 



2.00 kQ 



"80.0 V 



Figura P28.18 



web m Determine la corriente en cada rama del circuito mos- 
trado en la figura P28.19. 



3.00 Q 

-vw- 



Figura P28.22 



(■..J Si R = 1.00 kfi y 8= 250 V en la figura P28.23, determi- 
ne la direccion y magnitud de la corriente en el alambre 
horizontal entre aye. 



R 
*T WV 



±"2£ 



8.oo n - 



I5.00Q 



:i.oon 



±r 4.00 V 




:i.oon 



12.0 V 



Figura P28.23 



En el circuito de la figura P28.24 determine la corriente 
en cada resistor y el voltaje a traves del resistor de 200 ft. 



Figura P28.19 Problemas 19, 20 y 21. 



20. En la figura P28.19 muestre como afiadir suficientes am- 
perimetros para medir cada diferehte corriente que esta 
fluyendo. Muestre como afiadir suficientes voltfmetros 
para medir la diferencia de potential a traves de cada re- 
sistor y a traves de cada bateria. 

21. El circuito considerado en el problema 19 y mostrado en 
la figura P28.19 esta conectado durante 2.00 min. a) En- 
cuentre la energfa suministrada por cada bateria. b) En- 
cuentre la energfa entregada a cada resistor, c) Encuen- 
tre la cantidad total de energfa convertida de energfa 
qufmica en la bateria a energfa interna en la resistencia 
del circuito. 



40V-±~ S60V_J±_ 80V-±- 



200 q: 



so n: 



20 q: 



70 a: 



Figura P28.24 



25. Una bateria descargada se carga conectandola a una ba- 
teria en funcionamiento de otro auto (Fig. P28.25). De- 
termine la corriente en el mecanismo de arranque y en 
la bateria descargada. 



898 



CAPfTULO 28 Circuitos de corriente continua 





► o.oi a 




I i.oo a 




„ 0.06 Q 
* Mecanismo 
de arranque 




— 12V. 




— 10V 






Bate 
funcior 


riaen 
lamiento 


Bateria 

descargada 

Figura P28.25 







26. Para la red mostrada en la figura P28.26 demuestre que 
la resistencia R ai = $ ft. 




Section 28.4 Circuitos RC 

web |29] Considere un circuito RC en serie (vease la Fig^ 28.16) 
para el cual R = 1.00 Mft, C = 5.00 fiFyS= 30.0 V. En- 
cuentre a) la constante de tiempo del circuito y b) la car- 
ga maxima en el capacitor despues de que se cierra el in- . 
terruptor. c) Si el interruptor se cierra en t = 0, determine 
la corriente en el resistor 10.0 s despues. 

30. Un capacitor de 2.00 nF con una carga inicial de 5.10 fiC 
se descarga por medio de un resistor de 1 .30 kft. a) Cal- 
cule la corriente a traves del resistor 9.00 ps despues de 
que el resistor se conecta en las terminales del capacitor. 

b) «Que carga permanece en el capacitor despues de 
8.00 pis? c) iCual es'la corriente maxima erFel resistor? 

31. Un capacitor completamente cargado almacena una 
energia U . jCuanta energia queda cuando su carga se 
ha reducido a la mitad de su valor original? 

32. En el circuito de la figura P28.32 el interruptor S ha es- 
tado abierto durante un largo tiempo. Luego se cierra 
repentinamente. Calcule la constante de tiempo a) an- 
tes de cerrar el interruptor y b) despues de cerrarlo. 

c) Si el interruptor se cierra en / =* 0, determine la co- 
rriente a traves de el como una funcion del tiempo. 



Figura P28.26 



Para el circuito mostrado en la figura P28.27, calcule 
a) la corriente en el resistor de 2.00 ft y b) la diferencia 
de potencial entre los puntos ay b. 



12.0 V 



4.00 £1 
I — WV 1 



2.oo a 



-I 



-wv- 



8.00 V 600 " 
Figura P28.27 



50.0 kQ 

=j=10.0/iF 




100 kfl 
Figura P28.32 



El circuito mostrado en la figura P28.33 ha estado conec- 
tado durante largo tiempo. a) jCual es el voltaje a traves 
del capacitor? b) Si se desconecta la bateria, £Cuanto tar- 
da el capacitor en descargarse hasta un decimo de su vol- 
taje inicial? 



28. Calcule la potencia entregada a cada uno de los resisto- 
res mostrados en la figura P28.28. 



50V- 




=-20V 



Figura P28.28 



10.0 V 




00 Q 



4.00 £2"*\ y^ 2.00 a 
Figura P28.33 



34. Un resistor de 4.00 Mft y un capacitor de 3.00 /xF se co- 
nectan en serie a un suministro de potencia de 12.0 V. 
a) (jCual es la constante de tiempo del circuito? b) Ex- 
prese la corriente en el circuito y la carga en el capaci- 
tor como funciones del tiempo. 



Problemas 



899 



35. Los materiales dielectricos empleados en la manufactu- 
ra de capacitores se caracterizan por conductividades 
que son pequenas pero no cero. Por tanto, un capacitor 
cargado pierde lentamente su carga por medio de "fu- 
gas" a traves del dielectrico. Si cierto capacitor de 360 /xF 
tiene una fuga de carga tal que la diferencia de poten- 
tial disminuye a la mitad de su valor initial en 4.00 s, 
£cual es la resistencia equivalente del dielectrico? 

36. Los materiales dielectricos empleados en la manufactu- 
re de capacitores se caracterizan por las conductividades 
que son pequenas pero no cero. Por tanto, un capacitor 
cargado pierde lentamente su carga por medio de "fu- 
gas" a traves del dielectrico. Si un capacitor que tiene 
una capacitancia C tiene una fuga de carga tal que la di- 
ferencia de potential disminuye a la mitad de su valor 
initial en un tiempo t, jcual es la resistencia equivalen- 
te del dielectrico? 

37. Un capacitor en un circuito RC se carga hasta : 60.0% de 
su valor maximo en 0.900 s. ^Cual es la constante de 
tiempo del circuito? 

{Opdonal) 

Section 28.5 Instrumentos el6ctricos 

38. Un galvanometro contain que necesita una corriente de 
1.50 mA para la maxima desviacion de escala, y que tie- 
ne una resistencia de 75.0 ft, puede usarse para medir 
corrientes de valores mucho mas grandes. Para permitir 
a un operador medir grandes corrientes sin danar el gal- 
vanometro un resistor en derivation relativamente pe- 
quefio se cablea en paralelo con el galvanometro (con- 
sidere la figura 28.24a). La mayor parte de la corriente 
fluye entonces por el resistor en derivation. Calcule el 
valor del resistor en derivation que permite emplear al 
galvanometro para medir una corriente de 1.00 A a ma- 
xima desviacion de escala. {Sugerencica emplee las reglas 
de Kirchhoff.) 

|39] El galvanometro descrito en el problema anterior puede 
utilizarse para medir voltajes. En este caso se conecta a 
un gran resistor en serie con el galvanometro de modo 
similar al indicado en la figura 28.24b. Este arreglo, en 
efecto, limita-la corriente que fluye a traves del galvano- 
metro cuando se aplican grandes voltajes. La mayor par- 
te de la caida de potential ocurre a traves del resistor 
puesto en serie. Calcule el valor del resistor que permi- 
te al galvanometro medir un voltaje aplicado de 25.0 V 
a maxima desviacion de escala. 



6V 



Ml 



-vw 



40. Un galvanometro que tiene una sensibilidad de maxi- 
ma escala de 1.00 mA requiere un resistor en serie de 
900 ft para efectuar una lectura de maxima escala de vol- 
timetro cuando se mide 1.00 V en las terminales. jQue 
resistor en serie se requiere para convertir el mismo gal- 
vanometro en un voltimetro de 50.0 V (maxima escala)? 

J4Ll Suponga que un galvanometro tiene una resistencia in- 
terna de 60.0 ft y necesita una corriente de 0.500 mA pa- 
ra producir la desviacion de maxima escala. £Que resis- 
tencia debe conectarse en paralelo con el galvanometro 
si la combination va a servir como un amperimetro que 
tiene una desviacion de maxima escala para una corrien- 
te de 0.100 A' 

42. Un puente de Wheatstone del tipo mostrado en la figu- 
ra, 28.25 se usa para realizar mediciones precisas de la re? 
sistencia de un conector de alambre. Si R s = 1.00 kft, y 
el puente se equilibra ajustando i2, de manera tal que A, 
= 2.50 J? 2 . jcual es el valor de R x ? 

43. Considere el caso en que el puente de Wheatstone mos- 
trado en la figura 28.25 esta desbalanceado. Calcule la 
corriente a traves del galvanometro cuando R,= Rs = 
7.00 ft, Ri = 21.0 ft y R } = 14.0 ft. Suponga que el volta- 
je a traves del puente es de 70.0 V, e ignore la resisten- 
cia del galvanometro. 

44. Problema de repaso. Un puente de Wheatstone se pue- 
de usar para medir el esfuerzo (AL/L,) de un alambre 
(vease la section 12.4), donde L, es la longitud antes del 
alargamiento, L es la longitud despues del alargamiento, 
y AL = L- Lj. Sea a = AL/L t . Demuestre que la resis- 
tencia es R = Rj(l + 2a + a ! ) para cualquier longitud, 
donde iJ, = pLJA^ Suponga que la resistividad y el vo- 
lumen del alambre permanecen constantes. 

45. Considere el circuito de potenciometro quese muestra 
en la figura 28.27. Si se emplea una bateria estandar de 
1.018 6 V de fem en el circuito y la resistencia entre a y 
d es de 36.0 ft, el registro del galvanometro es cero. 
Cuando la bateria estandar se sustituye por una fem des- 
conocida, el galvanometro registra cero si la resistencia 
se ajusta a 48.0 ft. ^Ciial es el valor de la fem? 

46. La carga del medidor. Trabaje este problema a una preci- 
sion de cinco digitos. Refierase a la figura P28.46. 

a) Cuando un resistor de 180.00 ft se pone a traves de 
una bateria con una fem de 6.000 V y una resistencia 
interna de 20.000 ft, <:que corriente fluye en el resistor? 
jCual sera la diferencia de potential a traves del mismo? 

b) Suponga ahora que un amperimetro con una resis- 
tencia de 0.500 00 ft y un voltimetro con una resistencia 





180 a 

a) 



b) 
Figura P28A6 



c) 



900 



CAPlTULO 28 Circuitos de corriente continua 



de 20 000 ft se anaden al circuito, como se muestra en 
la figura P28.46b. Encuentre la lectura de cada uno de 
ellos. c) Una terminal de un alambre se mueve como se 
muestra en la figura P28.46c. Encuentre las nuevas lec- 
tures del medidor. 



2.00 Q 



{Optional) 
Seccidn 28.6 



Cableado dom&tico y seguridad electrica 



web §7j] Un calefactor electrico esta especificado para 1 500 W, 
un tostador para 750 W y una parrilla electrica para 
1 000 W. Los tres aparatos se conectan a un circuito co- 
miin de 120 V. a) jCuanta corriente toma cada uno? 
b) ,;Un circuito interruptor de 25.0 A es suficiente en es- 
ta situation? Explique su respuesta. 

48. Un cordon de 8.00 pies de extension tiene dos alambres 
de cobre de calibre 18, cada uno con un diametro de 
1.024 mm. jCual es la perdida PR en este cable cuando 
conduce una corriente de a) 1.00 A y b) 10.0 A? 

49. Por razones economicas algunas veces se usa cableado 
de aluminio en lugar de cobre. De acuerdo con el codi- 
go electrico national de Estados Unidos la maxima co- 
rriente permisible para un alambre de cobre de calibre 
12 con aislamiento de caucho es de 20 A. jCual debe ser 
la maxima corriente permisible en un alambre de alumi- 
nio de calibre 12 si va a.tener la misma perdida PR por 
unidad de longitud que el alambre de cobre? * 

50. Encienda su lampara de escritorio. Levante el cable con 
sus dedos indice y pulgar sosteniendolo a lo ancho. a) 
Calcule una estimation del orden de magnitud para la 
corriente que fluye a traves de su mano. Usted puede su- 
poner que en un instante tfpico el conductor dentro del 
cordon "de la lampara cerca de su pulgar esta a un po- 
tential -10 2 V y que el conductor cerca de su dedo indi- 
ce esta a potential de tierra (0 V) . La resistencia de su 
mano depende fuertemente del grosor y contenido de 
humedad de las capas externas de su piel. Suponga que 
la resistencia de su mano entre las puntas de los dedos 
indice y pulgar es ~10 4 ft. Puede modelar el cordon co- 
mo si tuviese un aislante de goma. Establezca las otras 
cantidades que mida o estime y sus valores. Explique su 
razonamiento. b) Suponga que su cuerpo esta aislado de 
cualesquiera otras cargas o corrientes. En terminos del 
orden de magnitud describa el potential de su pulgar 
donde esta en contacto con el cordon y el potential de 
su indice donde toca al cordon. 

PROBLEM AS ADICIONALES 

51. Cuatro baterias AA de 1.50 V en serie se usan para dar 
potencia a un radio.de transistores. Si las baterias pue- 
den proporcionar una carga total de 240 C, £cuanto 
tiempo duran si el radio tiene una resistencia de 200 ft? 

52. Una bateria tiene una fem de 9.20 V y una resistencia in- 
terna de 1.20 ft. a) jQue resistencia a traves de la bate- 
ria extraera de ella una potencia de 12.8 W? b) ^Una po- 
tencia de 21.2 W? 

53. Calcule la diferencia de potential entre los puntos ay b 
en la figura P28.53 e identifique cual punto esta al po- 
tential mas alto. 




10.0 n 



Figura P28.53 



54. Un capacitor de 10.0 /xF se carga con una bateria de 10.0 
V a traves de una resistencia R El capacitor alcanza una 
diferencia de potential de 4.00 V en 3.00 s a partir del . 
inicio de la carga. Encuentre R 

55. Cuando dos resistores desconocidos se conectan en serie 
con una bateria se entregan 225 W a la combination, 
con una corriente total de 5.00 A. Para la misma corrien- 
te total se entregan 50.0 W cuando los resistores se co- 
nectan en paralelo. Determine los valores de los dos re- 
sistores. 

56. Cuando dos resistores desconocidos se conectan en serie 
con una bateria, se entrega una potencia total SP, a la 
combination con una corriente total de /. Para la misma 
corriente total se entrega una potencia total & f cuando 
los resistores se conectan en paralelo. Determine los va- 

, lores de los dos resistores. 

|57l Una bateria tiene una fem 8 y resistencia interna r. Un 
resistor variable R se conecta en las terminates de la ba- 
teria. Encuentre el valor de R de modo que a) la dife- 
rencia de potential en las terminales sea un maximo, 
b) la corriente en el circuito sea un maximo y c) la po- 
tencia entregada al resistor sea un maximo. 

58. Una fuente de potencia que tiene un voltaje en circuito 
abierto de 40.0 V y una resistencia interna de 2.00 ft se 
emplea para cargar dos baterias de almacenamiento co- 
nectadas en serie, cada una con una fem de 6.00 V y re- 
sistencia interna de 0.300 ft. Si la corriente de carga se- 
ra de 4.00 A, a) jque resistencia adicional debe agregarse 
en serie? b) Determine la potencia entregada a la resis- 
tencia interna del suministro, la perdida PR en las bate- 
rias y la potencia entregada a las resistencias sumadas en 
serie. c) <;A que rapidez aumenta la energia qufmica en 
las baterias? 

|59l El valor de un resistor R se determinant utilizando el 
arreglo amperimetro-voltimetro mostrado en la figura 
P28.59. El amperfmetro tiene una resistencia de 0.500 ft, 
y la resistencia del voltimetro es de 20 000 ft. jDentro de 
que intervalo de valores reales de R los valores medidos 
seran correctos, hasta dentro de 5.00%, si la medicion se : 
realiza utilizando a) el circuito mostrado en la figura 
P28.59a y b) la figura P.28.59b? 



Problemas 



901 



<t> 



R 
-Wr- 



<5> 



a) 



Tres focos de 60.0 W y 120 V se conectan a traves de la 
misma fuente de potencia de 120 V, como se muestra en 
la figura P28.63. Encuentre a) la potencia total entrega- 
da en los tres focos, y b) el voltaje en cada uno. Supon- 
ga que la resistencia de cada foco concuerda con la ley 
de Ohm (aun cuando en realidad la resistencia aumen- 
ta de manera notable con la corriente) . 



-0- — wv- 

— ©- 



Figura P28.59 



120 V 




Figura P28.63 



60. Con una bateria se carga un capacitor mediante un re- 
sistor, como sesve en la figura 28.16. Muestre que la mi- 
tad de la energia suministrada por la bateria aparece co- 
mo. energia interna en el resistor y la otra mitad se 
almacena en el capacitor. 

|6T| Los valores de los componentes en un circuito iJCen se- 
. rie simple que contiene un interruptor (Fig. 28.16) son: 
C= 1.00 /xF, R= 2.00 x 10 6 ft, y 8= 10.0 V. En el instan- 
te 10.0 s despues de que se cierra el interruptor, calcule 
a) la carga en el capacitor, b) la corriente en el resistor, 
c) la rapidez a la cual se almacena la energia en el capa- 
citor, y d) la rapidez a la cual la bateria entrega su ener- 
gia. 

62. El interruptor en la figura P28.62a se cierra cuando V r > 
2V/3 y se abre cuando V c < V/3. El voltimetro registra 
un voltaje como el que se grafica en la figura P28.62b. 
iCual es el periodo Tde la forma de onda en funcion de 
R» «b y C? 



Interruptor 'J^ 
controlado '/ / 
por voltaje £ 



VM) 




av 



a) 



V 








2V 




-''" ^''' 


*»''" 


3 




^^ \\. ^^^ \\^ ^^^ 




V 
3 




1 ^C 1 ^C 

1 N | N. 


N. 






*■ t 



b) 
Figura P28.62 



64. Disene un voltimetro de escala multiple con capacidad 
de desviacion de maxima escala para 20.0 V, 50.0 V y 100 
V. Suponga que el medidor del movimiento es un galva- 
nometro que tiene una resistencia de 60.0 ft y propor- 
ciona una desviacion de maxima escala para una corrien- 
te de 1.00 mA. 

65. Disene un amperimetro de escala multiple con capaci- 
• dad de desviacion de maxima escala para 25.0 mA, 50.0 

mA y 100 mA. Suponga que el medidor del movimiento 
es un galvanometro que tiene una resistencia de 25.0 ft 
y brinda una desviacion de maxima escala para una co- 
rriente de 1.00 mA. 

66. Un galvanometro particular sirve como un voltimetro de 
maxima escala de 2.00 V cuando un resistor de 2 500 ft 
se conecta en serie con el. Sirve como un amperimetro 
de maxima escala de 0;500 A cuando un resistor de 0.220 
ft se conecta en paralelo con el. Determine la resisten- 
cia interna del galvanometro y la corriente requerida pa- 
ra producir una desviacion de maxima escala. 

(6771 En la figura P28.67 suponga que el interruptor se ha ce- 
rrado durante un tiempo tan largo como para que el ca- 
pacitor quede completamente cargado. Determine a) la 
corriente en estado estable a traves de cada resistor, 
b) La carga Q en el capacitor, c) El interruptor se abre 
en t = 0. Escriba una ecuacion para la corriente I R2 a cra- 
ves de /Jj como una funcion del tiempo, y d) encuentre 
el tiempo que tarda la carga en el capacitor para dismi- 
nuir a un quinto de su valor inicial. 



9.00 V 



12.0 k£i 

-wv- 



K2=i5.okn: 



^ 10.0 fjF 



3.00 kfi 



Figura P28.67 



902 



CAPlTULO 28 Circuitos de corriente continua 



68. El circuito que se muestra en la figura P28.68 se coloco 
en el laboratorio para medir una capacitancia descono- 
cida Cempleando un voltfmetro de resistencia R= 10.0 
Mfl y una bateria cuya fem es de 6.19 V. Los datos da- 
dos en la tabla siguiente son los voltajes medidos en el 
capacitor como una funcion del tiempo, donde t = re- 
presenta el momento en que se abre el interruptor. 
a) Construya una grafica de ln(£/A V) versus t y haga un 
ajuste lineal de minimos cuadrados sobre los datos. b) A 
partir de la pendiente de su grafica obtenga un valor pa- 
ra la constante de tiempo del circuito y un valor para la 
capacitancia. 



AF(V) 



r(s) 



ln(£/AP) 



6.19 





5.55 


4.87 


4.93 


11.1 


4.34 


19.4 


3.72 


30.8 


3.09 


46.6 


2.47 


67.3 


1.83 


102.2 




Voltfmetro 
Figura P28.68 



tencia desconocida R, esta eritre los puntos Cy E. El pun- 
to E es una conexion a tierra verdadera, pero es inacce- 
sible para una medicion directa debido a que se encuen- 
tra a varios metros debajo de la superficie de la tierra. 
Dos barras identicas se clavan dentro de la tierra en A y 
B, introduciendo una resistencia desconocida R r El pro- 
cedimiento es como sigue. Se mide la resistencia i?, en- 
ure los puntos Ay B, luego se unen Ay B con un alam- 
bre de conduccion grueso y se mide la resistencia i^ 
entre AyCa) Obtenga una formula para R, en funcion 
de las resistencias observables R t y R 2 . b) Una resisten- 
cia de tierra satisfactoria seria R, < 2.00 fi. <:La conexion 
a tierra de la estacion resulta adecuada si las mediciones 
dan R : = 13.0 Q. y %= 6.00 ft? 




Figura P28.70 



71. Tres resistores de 2.00 fi se conectan como se muestra 
en la figura P28.71. Cada uno puede soportar una poten- 
cia maxima de 32.0 W sin calentarse excesivamente. De- 
termine la maxima potencia que puede ser entregada a 
la combinacion de resistores. 



69. 



a) Con argumentos de simetria, muestre que la corrien- 
te que pasa por cualquier resistor en la configuracion de 
la figura P28.69 es 1/3 o 1/6. Todos los resistores tienen 
la misma resistencia r. b) Muestre que la resistencia equi- 
valente entre los puntos a y b es (5/6) r. 




^-w — ^ 



Figura P28.69 



70. Un estudiante de irigenieria de la estacion de radio de 
un campus universitario desea verificar la eficacia del pa- 
rarrayos en el mastil de la antena (Fig. P28.70). La resis- 



2.00 n 




2.00 a 



Figura P28.71 



72. El circuito en la figura P28.72 contiene dos resistores, ft, 
= 2.00 kfl y /? 2 = 3.00 Ul, y dos capacitores, C, = 2.00 /iF 
y C 2 = 3.00 /jlF, conectados a una baterfa con fem S= 120 
V. Si no hay cargas en los capacitores antes de que se cie- 
rre el interruptor S, determine las cargas q x y <k en los 
"capacitores C, y Q, respectivamente, despues de que se 
cierra el interruptor. {Sugerencicc primero reconstruya el 
circuito de manera que se vuelva un circuito RC simple 
que contenga un solo resistor y un solo capacitor en se- 
rie, conectados con la bateria, y determine despues la 
carga total q almaeenada en el circuito equivalente.) 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



903 




Figura P28.72 



73. Suponga que usted tiene una bateria con fem 6 y tres 
focos identkos, cada uno con resistencia constante R. 
jCual es la potencia total de la bateria si los focos estan 
conectados a) en serie? b) en paralelo? c) ,jPara cual co- 
nexion los focos brillan con mayor intensidad? 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



28.1 El foco R x se vuelve mas brillante. Conectar bac "corta", 
el foco Rf, y cambia la resistencia total del circuito de R^ 
+ R t a s61o Ry Puesto que la resistencia ha disminuido 
(y la diferencia de potential suministrada por la bateria 
no cambia), la corriente a traves de la bateria aumenta. 
Esto significa que la corriente a traves del foco R t au- 
menta, y este resplandece con mas brillo. El foco R? se 
apaga porque la nueva pieza de alambre proporciona 
una trayectoria casi libre de resistencia para la corriente; 
en cohsecuencia, existe una corriente esencialmente' ce- 
ro en el foco R%. 

28.2 Anadir otro resistor en serie incrementa la resistencia to- 
tal del circuito y por ende reduce la corriente en la ba- 
teria. La diferencia de potential a traves de las termina- 
les de la bateria se incrementaria porque la corriente se 
reduce y da como resultado una menor disminucion del 
voltaje a traves de la resistencia interna. 



Si el segundo resistor estuviese conectado en parale- 
lo, la resistencia total del circuito disminuiria, y resulta- 
ria un increment© en la corriente a traves de la bateria. 
La diferencia de potential a traves de las terminales dis- 
minuiria debido a que el incremento en la corriente da 
como resultado una mayor disminucion del voltaje a tra- 
ves de la resistencia interna. ' 

28.3 Deben estar en paralelo porque si uno se quema, el otro 
continua funcionando. Si estuviesen en serie, una lam- 
para quemada interrumpiria la corriente a traves del cir- 
cuito completo, induyendo la otra lampara. 

28.4 Puesto que el interruptor automatico del circuito se ac- 
tiva y abre el circuito cuando la corriente en el mismo 
excede un cierto valor predefinido, el interruptor debe 
estar en serie para percibir la corriente apropiada (vea- 
se la Fig. 28.28). 




Aurora boreal; Jas luces del norte, foto- • 
graliadas cerca de Fairbanks, Alaska.. Es- 
tas hermosas manifestaciones aurorales 
son espectaculos comunes en las lejanas 
latitudes hacia el norte y el sur, pero son 
muy raras en las latitudes medias. iQue" 
provoca estas cortinas de reflejos trtmu- 
los de luz y por que - por lo comun s6lo 
se ven cerca de los polos norte y sur de 
la Tierra? (George Lepp/Tony Stone Images) 



capitulo 




Campos magneticos 



;ssfo-;. 



HMnleas generates del capitulo 



29.1 El campo magnetico 

29.2 Fuerza magnetica sobre un con- 
ductor que I leva corriente 

29.3 Momento de torsion sobre una 
espira de corriente en un campo 
magnetico uniforme 

29.4 Movimiento de una particula car- 
gada en un campo magnetico 
uniforme 



29.5 (Optional) Aplicaciones que invo- 
lucraran el movimiento de parti- 
culas cargadas en un campo 
magnetico 

29.6 (Optional) El efecto Hall 



904 



Campos magnetos 



905 



■ m uchos historiadores de la ciencia creen que la brujula, la cual usa una aguja 
MvM magnetica, se utilizo en China por primera vezeh-el siglolxni a.C, y que su 
■ m invencion es de origen arabe o hindvLLos antiguos griegos tenfan conoci- 
miento del magnetismo desde el aiio 800 a.C. Descubrieron que la magnetita (Fe 3 4 ) 
atrae pedazos de hierro. La leyenda atribuye el nombre de magnetita al pastor Mag- 
nes, quien atraia trozos de magnetita con los clavos de sus zapatos y la punta de su 
baculo mientras apacentaba su rebario. 

En 1269 un frances llamado Pierre de Maricourt trazo las direcciones que seguia 
una aguja colocada en diversos puntos sobre la superficie de un iman natural esfe- 
rico. Encontro que las direcciones formaban lmeas que encerraban en un circulo a 
la esfera y que pasaban por dos puntos diametralmente opuestos el uno del otro, a 
los cuales Uamo polos del iman. Experimentos subsecuentes mostraron que todo 
iman, sin importar su forma, tiene dos polos, Uamados polos rwrte y sur, los cua- 
les ejercen fuerzas sobre otros polos magneticos de manera analoga a las fuerzas que 
ejercen entre si las cargas electricas. Es decir, polos iguales se repelen entre si y po- 
los diferentes se atraen uno al otro. 

Los polos recibieron sus nombres debido al comportamiento de un iman en la 
presencia del campo magnetico de la Tierra. Si un iman de barra se suspende de su 
punto medio y puede balancearse libremente en un piano horizontal, girara hasta 
que su polo norte apunte al Polo Norte geografico de la Tierra y su polo sur apun- 
te hacia el Polo Sur geografico terrestre. 1 (La misma idea se utiliza para construir 
una brujula simple. ) 

En 1600 William Gilbert (1540-1603) amplio los experimentos de Maricourt a. 
una diversidad de materiales. A partir de que la aguja de una brujula se orienta en 
direcciones preferidas, sugirio que la propia Tierra es un gran iman permanente. En 
1750 los investigadores emplearon una balanza de torsion para demostrar que los 
polos magneticos ejercen fuerzas atractivas o repulsivas entre si y que estas fuerzas 
varian con el cuadrado inverso de la distancia entre los polos que interactuan. Aun- 
que la fuerza entre dos polos magneticos es similar a la fuerza entre dos cargas elec- 
tricas, existe una importante diferencia. Las cargas electricas pueden aislarse (lo que 
corroboran el electron y el proton), en tanto que un polo magnetico individual nun- 
ca se ha aislado. Es decir, los polos magneticos siempre se encuentran en pares. To- 
dos los intentos realizados hasta ahora para detectar un polo magnetico aislado han 
sido infructuosos. No importa cuantas veces se corte en dos un iman permanente, 
cada pedazo siempre tendra un polo norte y uno sur. (Hay algunos fundamentos 
teoricos para especular que los monopolos magneticos — polos norte o sur aislados — 
tal vez existan en la naturaleza, y los intentos para detectarlos en la actualidad con- 
fprman un activo campo de investigacion experimental.) 

La relation entre magnetismo y electricidad fue descubierta en 1819 cuando, 
durante una conferencia demostrativa, el cientifico danes Hans Christian Oersted 
encontro que una corriente electrica en un alambre desviaba la aguja de una bruju- 
la cercana. 2 Poco tiempo despues, Andre Ampere (1775-1836) formulo leyes cuanti- 
tativas para calcular la fuerza magnetica ejercida sobre un conductor por otro con- 
ductor electrico que porta corriente. Tambien sugirio que, a nivel atomico, las 
espiras de corriente electrica son responsables de todos los fenomenos magneticos. 

En la decada de 1820 Faraday demostro conexiones adicionales entre la electri- 
cidad y el magnetismo, y lo mismo hizo Joseph Henry (1797-1878) por su lado. Los 




Un electroiman es usado para mover 
toneladas de chatarra metalica. (Jeffrey 
SytvaUr/FPG International) 




Hans Christian Oersted 
Ffsico danfis (1777-1851) 

(North Wind Picture Archives) 



Advierta que el Polo Norte geografico de la Tierra es un polo magnetico sur, mientras que el Polo 
Sur geografico es un polo none magnetico. Ya que los polos magneticos opuestos se atraen entre si, el 
polo en un iman que es atraido al Polo Norte geografico de la Tierra es el polo norte del iman, y el po- 
lo atraido al Polo Sur geografico de la Tierra es el polo sur del iman. 

2 El mismo descubrimiento fue anunciado en 1802 por un jurista italiano, Gian Dominico Romogno- 
si, pero paso inadvertido, quiza porque fue publicado en el periodico Gazetta de Trentino en lugar de en 
una revista cientifica. 



906 



CAPfTULO 29 Campos magnflicos 



Experimento sorpresi 

Si el hierro o el acero se dejan el 
tiempo suficiente en un campo mag- 
netico debil (como el produtido por 
la Tierra) , se magnetizan. Use una 
brujula para ver si usted puede de- 
tectar un campo magnetico cerca de 
un' archivero de acero, un radiador 
de hierro fundido o alguna otra pie- 
za de metal ferrico que haya estado 
en una position durante varios anos. 



dos demostraron que una corriente electrica puede producirse en un circuito, ya sea 
moviendo un iman cerca del circuito o cambiando la corriente en otro circuito cer- 
cano. Estas observaciones demostraron que un campo magnetico que cambia produ- 
ce un campo electrico. Anos despues un trabajo teorico de Maxwell mostro que lo 
inverso tambien es cierto: un campo electrico variable origina un campo magnetico. 

Una similitud entre los efectos electrico y magnetico ha proporcionado meto- 
dos para elaborar imanes permanentes. En el capitulo 23 se aprendio que cuando 
caucho y lana se frotan entre si, ambos quedan cargados — uno positiva y el otro ne- 
gativamente — . De modo analogo, un pedazo de hierro desmagnetizado puede mag- 
netizarse golpeandolo con un iman. El magnetismo tambien se puede inducir en el 
hierro (y otros materiales) por otros medios. Por ejemplo, si un pedazo de hierro 
desmagnetizado se coloca cerca de un iman intenso (sin tocarlo), conforme pase el 
tiempo el pedazo de hierro se magnetizara. "~ 

Este capitulo examina las fuerzas que actuan en cargas moviles y en alambres *■ 
que conducen corriente en presencia de un campo magnetico. La fuente del pro- 
pio campo magnetico se describe en el capitulo 30. 





EL CAMPO MAGNETICO 

En el estudio de la electricidad la interaction entre objetos cargados se ha descrito 
12-2 en terminos de campos electricos. Recuerde que un campo electrico rodea a cual- 
quier carga electrica, estacionaria o en movimiento. Ademas de un campo electrico, 
la region del espacio que rodea a una carga electrica mavil tambien coritiene un cam- 
po magnetico, como se vera en el capitulo 30. Un campo magnetico tambien rodea 
a cualquier sustancia magnetica. 

Historicamente, el simbolo B se ha usado para representar un campo magneti- 
co, y esta es la notation que se usa en este texto. La direction del campo magneti- 
co B en cualquier ubicacion esta en la direction hacia la cual apunta la aguja de una 
brujula en dicha ubicacion. La figura 29.1 muestra como trazar el campo magneti- 
co de un iman -de barra con ayuda de una brujula. Advierta que las lineas de cam- 
po magnetico afuera del iman apuntan alejandose de los polos norte y acercandose 
a los polos sur. Los patrones de campo magnetico pueden visualizarse mediante pe- 
quenas limaduras de hierro, como se muestra en la figura 29.2. 

Se puede definir un campo magnetico B en algun punto en el espacio en ter- 
minos de la fuerza magnetica ¥ B que el campo ejerce sobre un objeto de prueba, 
que en este caso es una particula cargada que se mueve a una velotidad v. Por aho- 
ra, suponga que no hay campos electrico o gravitational en la region del objeto de 
prueba. Los experimentos acerca del movimiento de diversas particulas cargadas en 
un campo magnetico dan los siguientes resultados: 

• La magnitud F B de la fuerza magnetica ejercida sobre la particula es proportional 
a la carga q y a la rapidez v de la particula. 



Estos imanes de refrigerador son simi- 
lares a una serie de imanes de barra 
muy cortos colocados extremo con ex- 
tremo. Si usted desliza la parte trase- 
ra de un iman de refrigerador en una 
trayectoria circular a traves de la par- 
te trasera de otro, usted puede sentir 
una vibracion conforme las dos series 
de polos none y sur se mueven la una 
sobre la otra. (George Sempk) 




Figura 29.1 Las agujas de brujula se pueden 
usar para trazar las lineas de campo magnetico de 
un iman de barra. 



29. 1 El campo magn&ico 



907 




a) 



b) 



c) 



Figura 29.2 a) Patron de campo magnetico que rodea a un iman de barra como se ve con limadu- 
ras de hierro. b) Patron de campo magnetico entre polos distintos de dos imanes de barra. c) Patron 
de campo magnetico entre polos iguales de dos imanes de barra. (Henry Leap y Jim Lehman) 



(•/La magnitud y direccion de F B depende de la velocidad de la partfcula y de la mag- 
nitud y direccion del campo magnetico B. 

(• Cuando una partfcula cargada se mueve paralela al vector de campo magnetico, 

r la fuerza magnetica que actua sobre la partfcula es cero. 

• Cuando el vector velocidad de la partfcula forma un angulo 0*0 con el campo 
magnetico, la fuerza magnetica actua en una direccion perpendicular tanto a v co- 
mo a B; es decir, F s es perpendicular al piano formado por v y B (Figura 29.3a). 



Propiedades de la fuerza magnetica 
sobre una carga que se mueve en 
un campo magnetico B. 



+ 9 



«S? 




a) 



b) 



Figura 29.3 La direccion de la fuerza magnetica F B que actua sob/e una particula cargada que se mue- 
ve a velocidad v ante la presencia de un campo magnetico B. a) La fuerza magnetica es perpendicular- 
tanto a v como a B. b) Las fuerzas magneticas F s ejercidas sobre dos particulas cargadas opuestamente 
y que se mueven a la misma velocidad en un campo magnetico estan dirigidas de manera opuesta. 



908 



CAPfTUL 29 Campos magnetos 




El arco blanquiazul en esta fotografia indica la 
trayectoria circular seguida por un haz de elec- 
trones que se mueve en un campo' magnetico. 
El matraz contiene gas amuy baja prcsion, y el 
hazse.hace visible conforme los electrones 
chocan con los atoraos del gas, el cual emite 
entonces luz visible. El campo magnetico es 
producido por dos bobinas (no mostradas). El 
aparato se puede usar para medir la relacion 
e/m, para el electron. (Cortesia de Central Scienti- 
fic Company) 



• La fuerza magnetica ejercida sobre una carga posiriva esta en la direction opues- 
ta a la direccion de la fuerza magnetica ejercida sobre una carga negativa que se 
mueve en la misma direccion (figura 29.3b). 

• La magnitud de la fuerza magnetica ejercida sobre la particula en movimiento es 
proportional a sen 6, donde 8 es el angulo que el vector velocidad de la particu- 
la forma con la direccion de B. 

Estas observaciones pueden resumirse escribiendo la fuerza magnetica en la 
forma 



T B = q v X B 



(29.1) 



donde la direccion de F B esta en la direccion de v x B si q es positiva, la cual, por 
definition del producto cruz (vease la section 11.2), es perpendicular tanto a v co- 
mo a B. Se puede considerar esta ecuation como una definition operational del 
campo magnetico en algun punto en el espacio. Esto es, el campo magnetico se de- 
fine en terminos de la fuerza que actua sobre una particula cargada movil. ' 

La figura 29.4 repasa la regla de la mano derecha para determinar la direction 
del producto cruz v x B. Usted dirige los cuatro dedos de su mano derecha a lo lar- 
go de la direccion de v con la palma vuelta hacia B y luego los gira hacia B. El pul- 
gar extendido, que esta en angulo recto con los dedos, apunta entonces en la direc- 
tion de v x B. Puesto que F B = qv x B, F B esta en la direction de v x B si q es positiva 




a) 




Figura 29.4 La regla de la mano 
derecha para determinar la direc- 
cion de la fuerza magnetica F B = 
}»xB que actiia sobre una parti- 
cula con carga q moviendose a ve- 
locidad v en un campo magnetico 
B. La direccion de v x B es la di- 
reccion en la cual apunta el pul- 
gar. a) Si q es positiva, F s esta hacia 
arriba. b) Si q es negativa, F a esta 
hacia abajo, andparalela a la direc- 
cion en la cual apunta el pulgar. 



.£> 



29. 1 El campo magnetico 



909 



(figura 29.4a), y opuesta a la direction de v x B si q es negativa (figura 29.4b). (Si 
necesita mas ayuda para entender el producto cruz, deberia revisar las paginas 333 
a 334, incluyendo la figura 11.8.) 

La magnitud de la fuerza magnetica es 



F B =\q\vB sen 6 



(29.2) 



donde 6 es el angulo mas pequeno entre v y B. A partir de esta expresion se ve que 
Fes cero cuando v es paralela o antiparalela a B (6 = o 180°) y maxima (F Bmill = 
\q\vB) cuando v es perpendicular a B (0 = 90°). 



Magnitud de la fuerza magnetica 
sobre una particula cargada que se 
mueve en un campo magnetico 



Pregunta sorpresa 29.1 



,:Cual es el maximo trabajo que puede realizar un campo magnetico constante B sobre una 
carga q que se mueve a traves del campo a velocidad v? 

Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas electrica y magnetica:. 

• La fuerza electrica actua en la direction del campo electrico, en tanto que la fuer- 
i za magnetica es perpendicular al campo magnetico. 

• La fuerza electrica actua sobre una particula cargada independientemente de si la 
particula esta en movimiento, mientras que la fuerza magnetica actua sobre una 
particula cargada solo cuando la particula esta en movimiento. 

• La fuerza electrica efectua trabajo al desplazar una particula cargada, en tanto que 
la fuerza magnetica asbtiada con un campo magnetico estable no trabaja cuando 
se desplaza una particula. 

A partir de esta ultima propiedad, y sobre la base del teorema del trabajo y la 
energia cinetica, se concluye que la energia cinetica de una particula cargada que 
se mueve a traves de un campo magnetico no puede ser alterada por un campo mag- 
_netico aislado. En otras palabras, 

cuando una particula cargada se mueve a una velocidad v a traves de un campo 
magnetico, el campo puede alterar la direction del vector velocidad pero no pue- 
de cambiar la rapidez o la energia cinetica de la particula. 

A partir de la ecuaciori 29.2 se ve que la unidad del SI del campo magnetico es 
el newton por coulomb-metro por segundo, el cual se llama tesla (T): 



1T = 



N 



Diferencias entre fuerzas electrica y 
magnetica - 



Un campo magnetico no puede 
cambiar la rapidez de una particula 



Cm/s 



Puesto que un coulomb por segundo se define como un ampere, se ve que 

N 



1T = 1 



Am 



Una unidad del campo magnetico que no es del SI pero se usa con frecuencia 
es el gauss (G), el cual se relaciona con el tesla por medio de la conversion 1 T = 10 4 
G. La tabla 29,1 muestra algunos valores tipicos de campos magneticos. 



Pregunta sorpresa 29.2 



El extremo polo none de un iman de barra se sostiene cerca de una pieza de plastico car- 
gada positivamente. jEl plastico es atraido, repelido o no es afectado por el iman? 



910 



CAPlTUL 29 Campos magnflicos 




"Fuente del campo 



Magnitud del campo (T) 



Iman de laboratorio de superconduction intensa 30 

Iman de laboratorio convencional intenso 2 

Unidad medica de IRM 1.5 

Iman de barra 10" 2 

Superficie del Sol 10" 2 

Superficie de la Tierra 0.5 x 10 -4 

Interior del cerebro humano (debido a impulsos nerviosos) 10~ ls 



Ejempl 



Un electr6n que se mueve en un campo magnetico 



F B _ 2.8 x 10~ 14 N 
a ~ m t ~ 9.11xl0- 31 kg 

en la direction z negativa. 



= 3.1xl0 16 m/s 2 



Un electron en un cinescopio de television se mueve hacia el 
frente del tubo con una rapidez de 8.0 x 10 6 m/s a lo largo 
del eje x (Fig. 29.5). Rodeando el cuello del tubo existen bo- 
binas de alambre que crean un campo magnetico de 0.025 T 
de magnitud, .dirigido a un angulo de 60° con el eje x y que 
se encuentra en el piano xy. Calcule la fuerza magnetica so- 
bre el electron y la aceleracion del mismo. 

Sollicion Usando la ecuacion 29.2 se puede encontrar la 
magnitud de la fuerza magnetica: 

F B =\4 vBsen 6 

= (1.6 x 10" 19 C)(8.0 x 10 6 m/s) (0.025 T)(sen 60°) 

= 2.8xlO" 14 N 

Ya que v x B esta en la direction z positiva (regla de4a mano 
derecha) y la carga es negativa, F B esta en la direction z ne- 
gativa. 

La masa del electron es 9.1 1 x 10" 51 kg, por lo que su ace- Figura 29.5 La fuerza magnetica F B que actua sobre el electron es- 
leracion es ta en la direccion z negativa cuando v y B estan en el piano xy. 




FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR 
QUE LLEVA CORRIENTE 



' Si se ejerce una fuerza magnetica sobre una partfcula cargada aislada cuando esta se 
12- mueve a traves de un campo magnetico, no deberia sorprenderle que un alambre 
que conduce una corriente experimente tambien una fuerza cuando se pone en un 
campo magnetico. Esto es resultado de que la corriente representa una coleccion de 
muchas particulas cargadas en movimiento; por tanto, la fuerza resultante ejercida 
por el campo sobre el alambre es el vector suma de las fuerzas individuates ejercidas 
sobre todas las particulas cargadas que forman la corriente. La fuerza ejercida sobre 
las particulas se transmite al alambre cuando las particulas chocan con los atomos 
que forman el alambre. 

Antes de continuar con el analisis vale la pena explicar la notation empleada en 
este texto. Para indicar la direccion de B en las ilustraciones, en ocasiones se presen- 
taran vistas en perspectiva, como las que se muestran en las figuras 29.5, 29.6a y 29.7. 
En las ilustraciones planas, como las mostradas en la figura 29.6b a d, se describe un 



( 



29.2 Fuerza magnelica sobre un conductor que Neva corriente 



911 





a) 




b) 



c) 




d) 



Figura- 29.6 a) Un alambre suspendido verticalmente entre los polos de un iman. b) La configura- 
tion mostrada en la parte a) como se ve mirando hacia ei Dolo sur del iman, de modo que el campo 
magnetico (cruces azules) esta dirigido hacia la pagina. Cuando no hay corriente en el alambre, per- 
manece vertical, c) Cuando la corriente es hacia arriba, el alambre se desvia hacia la izquierda. d) Cuan- 
do la corriente es hacia abajo, el alambre se desvia hacia la derecha. 



campo magnetico dirigido hacia la pagina con cruces azules, las cuales representan 
las colas de las flechas disparadas perpendicularmehte y alejandose de usted. En es- 
te caso el campo se llama B in , donde el subindice "in" indica "interior de la pagina". 
Si B es perpendicular y dirigido hacia afuera de la pagina, se usa una serie de pun- 
tos azules, los cuales representan las puntas de las flechas que vienen hacia usted 
(vease la Fig. P29.56). En este caso al campo se le llama Bo,,,." Si B esta en el piano 
de la pagina, se usa una serie de Hneas de campo azules con puntas de flecha, co- 
mo se muestra en la figura 29.7. 

La fuerza sobre un conductor que lleva corriente puede demostrarse sostenien- 
do un alambre entre los polos de un iman, como se muestra en la figura 29.6a. Pa- 
ra facilitar la visualization se ha removido parte del iman de herradura en la parte 
a) de modo que se vea la cara extrema del polo sur en las partes b), c) y d) de la fi- 
gura 29.6. El campo magnetico esta dirigido hacia adentro de la pagina y cubre la 
region interna de los circulos sombreados. Cuando la corriente en el alambre es ce- 
ro, el alambre permanece vertical, como se ve en la figura 29.6b. Sin embargo, cuan- 
do una corriente dirigida hacia arriba fluye en el alambre, como se muestra en la fi- 
gura 29.6c, el alambre se desvia hacia la izquierda. Si se invierte la corriente, como 
se ve en la figura 29.6d, el alambre se desvia hacia la derecha. 

Cuantifique este analisis considerando un segmento de alambre recto de longi- 
tud L y area de section transversal A, que conduce una corriente I en un campo 
magnetico uniforme B, como se muestra en la figura 29.7. La fuerza magnetica ejer- 
cida sobre una carga q que se mueve a una velocidad de arrastre v^ es qy d x B. Para 
determinar la fuerza total que actua sobre el alambre multiplique la fuerza que se 
ejerce sobre una carga qv d x B por el numero de cargas en el segmento. Puesto que 
el volumen del segmento es AL, el numero de cargas en el segmento es nAL, don- 
de n es el numero de cargas por unidad de volumen. Por tanto, la fuerza magneti- 
ca total sobre el alambre de longitud L es 

F B = (qv d xB)nAL 

Esta expresion puede escribirse en una forma mas conveniente observando que, de 
acuerdo con la ecuacion 27.4, la corriente en el alambre es /= nqv,A. Por tanto, 

f£=/LxB (29.3) 



/ 




A 
/ 






Figum 29.7 Segmento de un alam- 
bre que conduce corriente, ubicado 
en un campo magnetico B. La fuerza 
magnetica ejercida sobre cada carga 
que conforma la corriente es qv d x B, 
y la fuerza neta sobre el segmento de 
longitud L es /L x B. 



Fuerza sobre un segmento de 
alambre en un campo. magnedco 
uniforme • 



912 



CAPITUL0 29 Campos magnetos 




Figura 29.8 Un segmento de alam- 
bre de forma arbitraria que conduce 
una corriente 7 en un campo magne- 
tico B experimenta una fuerza mag- 
netica. La fuerza sobre cualquier seg- 
mento ds es 1 ds X H y esta dirigida 
hacia afuera de la pagina. Usted debe 
emplear la regla de la mano derecha 
para confirmar la direccion de esta 
fuerza. 



donde L es un vector que apunta en la direccion de la corriente Iy tiene una mag- 
nitud igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresion se aplica solo 
a un segmento de alambre recto en un campo magnetico uniforme. 

Considere ahora un segmento de alambre de forma arbitraria y de section trans- 
versal uniforme en un campo magnetico, como el que se muestra en la figura 29.8. 
De la ecuacion 29.3 se deduce que la fuerza magnetica sobre un pequefio segmen- 
to de vector de longitud ds en presencia de un campo B es 



dF fi = / ds x B 



(29.4) 



donde dF B esta dirigida hacia afuera de la pagina para las direcciones supuestas en 
la figura 29.8. Se puede considerar la ecuacion 29.4 como una definition alternati- 
va de B. Esto es, el campo magnetico B puede defmirse en terminos de una fuerza 
mensurable ejercida sobre un elemento de corriente, donde la fuerza es un maximo 
cuando B es perpendicular al elemento y cero cuando B es paralela al elemento. 
Para calcular la fuerza total F B que actua sobre el alambre mostrado en la figu- 
ra 29.8 integre la ecuacion 29.4 sobre la longitud del alambre: 



-\: 



dsxB 



(29.5) 



donde ay b representan los puntos extremos del alambre. Cuando se ffealiza esta in- 
tegration, la magnitud del campo magnetico y la direccion que el campo forma con 
el vector ds (en otras palabras, con la orientation del elemento) puede diferir en di- 
ferentes puntos. 

Considere a continuation dos casos que involucran la ecuacion 29.5. En ambos 
casos el campo magnetico se considera constante en magnitud y direction. 



Caso 



1 Un alambre curvo conduce una corriente J v esta ubicado en un campo 



magnetico uniforme B, como se muestra en la figura 29.9a. Puesto que el campo es 
uniforme, B puede sacarse de la integral en la ecuacion 29.5, y obtenerse 




xB 



(29.6) 





a) 



b) 



Figura 29.9 a) Un alambre curvo que conduce una corriente / en un campo magnetico uniforme. 
La fuerza magnetica total que actua sobre el alambre es equivalente a la fuerza sobre un alambre recto 
de longitud V tendido entre los extremos del-alambre curvo. b) Una espira de forma arbitraria que con- 
duce corriente en un campo magnetico uniforme. La fuerza magnetica neta sobre la espira es cero. 



29.2 Fuerza magnftica sobre un conductor que Neva corriente 



913 



Pero la cantidad j b n ds representa el vector suma de todos los eletriehtos de longitud 
de a 2l b. A partir de la ley de la suma de vectpres la suma es igual al vector L', diri- 
gido de a a b. Por tanto, la ecuacion 29.6 se reduce a 

F B =/L'xB (29.7) 

Caso 2 Una espira cerrada de forma arbitraria que conduce una corriente /se co- 
loca en un campo magnetico uniforme, como se ve en la figura 29.9b. Tambien en 
este caso se puede expresar la fuerza que actiia sobre la espira en la forma de la ecua- 
cion 29.6, pero en esta ocasion se debe tomar la suma vectorial de los elementos de 
longitud ds sobre tdda la espira: 



T B = I\<pds 



xB 



Puesto que el conjunto de elementos de longitud forma un poligono cerrado, la su- 
ma vectorial debe ser cero. Esto se desprende del procedimiento grafico de suma de 
vectores por medio del metodo del poligono. Puesto que j ds = , se concluye que 
F fi =0: 

La fuerza magnetica- neta que actua sobre cualquier espira de corriente cerrada 
en un campo magnetico uniforme es cero. 



Fuerza sobre un conductor semicircular 

Un alambre doblado en forma de un semicfrculo de radio-i? 
forma un circuito cerrado y conduce una corriente /. El alam- 
bre se encuentra en el piano xy, y un campo magnetico uni- 
forme esta presente a lo largo del eje y positivo, como se 
muestra en la figura 29.10. Encuentre la magnitud y direction 
de la fuerza magnetica que actua sobre la portion recta del 
alambre y sobre la portion curva. 

Solution La fuerza F, que actua sobre la portion recta del 
alambre tiene una magnitud F t = ILB - 2IRB, puesto que L = 
2R, y el alambre es perpendicular a B. La direction de Fj es ha- 
cia afuera de la pagina, pues L x B esta a lo largo del eje z po- 
sitive (Esto es, L esta hacia la derecha, en la direction de la 
corriente; por lo que, de acuerdo con la regla de los produc- 
tos cruz, L x B es^iacia afuera de la pagina en la figura 29.10.) 
Para encontrar la fuerza F 2 que actua sobre la parte curva 
debe escribir primero una expresion para la fuerza <2F 2 sobre 
el elemento de longimd ds mostrado en la figura 29.10. Si 9 
es el angulo entre B y ds, entonces la magnitud de dF 2 es 

dF 2 = I\ds x B| = IB sen 6 ds 

Con el fin de integrar esta expresion debe expresar ds en ter- 
minos de 6. Puesto que s = R0, se tiene ds=Rdd,yse puede 
realizar esta: sustitucion para dF 2 : 

dF 2 = IRB sen 6 dd 

Para obtener la fuerza total F z que actua sobre la portion 
curva, se puede integrar esta expresion para tomar en cuen- 
ta las contribuciones de todos los elementos ds. Advierta que 
la direction de la fuerza sobre todo elemento es la misma: ha- 
cia el interior de la pagina (puesto que ds x B es hacia aden- 
tro). Por tanto, la fuerza resultante F 2 sobre el alambre curvo 



debe apuntar tambien haci'a la pagina. La integration de la 
expresion para dF t sobre los limites 6 = a 8 = it (esto es, el 
semicfrculo completo) produce 



f 2 = IRB I sen 6 dO = IRb[- cos ej 



= -IRB(cosir - cosO) = -IRB(-l - 1) = 2IRB 

En vista de que F 2 , con una magnitud de 2IRB, esta dirigi- 
da hacia la pagina, y puesto que F If con una magnimd de 
2IRB, es hacia afuera del papel, la fuerza neta sobre la espi- 
ra cerrada es cero. Este resultado es consistente con el caso 2 
recien descrito. 











B 


1 


1 




Q 

/ de 










/ 





Figura 29.10 La fuerza neta que actua sobre una espira de co- 
rriente cerrada en un campo magnetico uniforme es cero. En la con- 
figuracion mostrada aqui, la fuerza sobre la portion recta de la espi- 
ra es 2IRB y esta dirigida hacia afuera de la pagina, y la fuerza sobre 
la portion curva es 2IRB dirigida al interior de la pagina. 



914 



CAPfTULO 29 ' Campos magn&icos 




Pregunta sorpresa 29.3 



Los cuatro alambres mostrados en la figura 29.11 conducen la misma corriente del punto 
A al punto B a traves del mismo campo magnetico. Clasifique los alambres de acuerdo con 
la magnitud de la fuerza magnedca que se ejerce sobre ellos, del mayor al menor. 

/ 





lm 



+■ 



2m 

a) 



3m 



—I t- 
4m 



-I— 
lm 



2m 
b) 



3m 



\- 



-B A 



lm 



-4m 



lm 



4m 
Figura 29.11 jCual alambre experimenta la fuerza magnedca mas grande? 



2m 

c) 



3m 



2m 
d) 



3m 



4m 




b) 




Figura 29.12 a) Vista superior de 
una espira de corriente rectangular 
en un campo magnetico uniforme. 
Ninguna fuerza esti actuando sobre 
los lados © y ® porque estos lados 
son paralelos a B. Sin embargo, exis- 
ten fuerzas que actuan en los lados © 
y ©. b) La vista lateral de la espira 
apuntando hacia abajo los lados © y 
© muestra que las fuerzas F £ y F 4 ejer- 
cidas sobre estos lados crean un mo- 
mento de torsion que tiende a girar a 
- la -espira en el sentido de las maneci- 
llas del reloj. El punto purpura en el 
circulo izquierdo representa corrien- 
te que viene hacia usted en el alam- 
bre ©; la cruz purpura en el circulo a 
la derecha representa corriente que 
se aleja de usted en el alambre ©. 



MOMENTO DE TORSION SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE 
EN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME 

En la section anterior se mostro comb se ejerce una fuerza sobre un conductor que 
lleva corriente cuando este se coloca en un campo magnetico. Con esto como pun- 
to de partida, a continuation se mostrara que se ejerce un momentojde torsion so- 
bre cualquier espira de corriente ubicada en un campo magnetico. £1 resultado de 
este analisis tendra un gran valor cuando se estudien los motores en el cap/uUo 31. 
Considere una espira rectangular que conduce una corriente / ei> i X'cr.cia de 
un campo magnetico uniforme en direccion paralela al piano de la espira, corao se 
ve en la figura 29.12a. Ninguna fuerza magnedca actua en los lados ©yd), pues di- 
chos alambres son paralelos al campo; en consecuencia, L x B = para estos lados. 
Sin embargo, si hay fuerzas magneticas actuando sobre los lados ® y ©, pues dichos 
lados estan orientados de forma perpendicular al campo. La magnitud de estas fuer- 
zas es, a partir de la ecuacion 29.3, 

F 2 = F 4 = IaB 

La direccion de F 2 , la fuerza ejercida sobre el alambre © apunta hacia afuera del 
papel en la perspectiva mostrada en la figura 29.12a, y la de F 4 , la fuerza ejercida so- 
bre el alambre © esta dirigida hacia el papel en la misma perspectiva. Si se ve la es- 
pira desde el lado (D y se observa a lo largo de los lados ® y ®, se ve la perspectiva 
que se presenta en la figura 29.12b, y las dos fuerzas F 2 y F 4 estan dirigidas como se 
muestra. Advierta que las dos fuerzas apuntan en direcciones opuestas pero no estan 
dirigidas a lo largo de la misma linea de accion. Si la espira tiene un pivote que le 
permite girar en tomo del punto 0, estas dos fuerzas producen un momento de tor- 
sion respecto de O que hace girar a la espira en el sentido de las manecillas del re- 
loj. La magnitud de este momento de torsion t,,,^, es 

r^ = F 2 1 + F< | = (IaB) j + (7oB)| = IabB 

donde el brazo de momento alrededor de O es b/2 para cada fuerza. Puesto que el 
area e'ncerrada por la espira es A = ab, el momento de torsion maxima puede expre- 
sarse como 



'mix 



= IAB 



(29.8) 



Recuerde que este momento de torsion maxima resultante solo es valido cuando el 
campo magnetico este paralelo al piano de la espira. £1 sentido de rotation es el de 



29.3 Momenta de torsion sobre una espira de corriente en un campo magnftico uniforme 



915 



las manecillas del relqj cuando se ve desde el lado ®, como se indica en la figura 
29.12b. Si la direction de la corriente se invirtiera, las fuerzas se invertirian y la ten- 
dencia rotational seria en el sentido contrario al de las manecillas del relqj. 

Suponga ahora que el campo magnetico uniforme forma un angulo 6 < 90° con 
una linea perpendicular al piano de la espira, como se muestra en la figura 29.13a. 
Por conveniencia, suponga que B es perpendicular a los lados © y ®. En este caso 
las fuerzas magneticas F 2 y F 4 ejertidas sobre los lados © y © se cancelan entre si y 
no producen momento de torsion debido a que pasan por un origen comun. Sin 
embargo, las fuerzas que actiian sobre los lados © y ®, F, y F s , forman un par y, en 
consecuentia, producen un momento de torsion en tomo de cualqvier punto. Con 
referenda a la vista extrema mostrada en la figura 29.13b, note que el brazo de mo- 
mento de F, en tomo al punto O es igual a (a/2) sen 0. De igual modo, el brazo de 
momento de F s alrededor de O es tambien (a/2) sen 6. Puesto que F 1 = F 3 = IbB, 
el momento de torsion neto alrededor de O tiene la magnitud 



t = Fi — sen 8 + F s — sen 
'2 2 



= IbB - sen $) + Ibd- sen 6\ = IabB sen 6 



= IAB sen 6 



donde A = ab es el area de la espira. Este resultado muestra que el momento de tor- 
sion dene su valor maximo IAB cuando el campo es perpendicular a la normal al 
piano de la espira (6 = 90°), como se vio cuando se analizo la figura 29.12, y es ce- 
ro cuando el campo es paralelo a la normal al piano de la espira (6=0). Como se 
ve en la figura 29.13, la espira tiende a rotar en la direction de los valores decretien- 
tes de 6 (es detir, de modo que el vector de area A gira hacia la direction del cam- 
po magnetico). 





»-B 



a) 

Figum 29.13 a) Una espira de corriente rectangular en un campo magnetico uniforme. El vector de 
area A perpendicular al piano de la espira que forma un angulo con el campo. Las fuerzas magneti- 
cas ejercidas en los lados ® y © se cancelan, pero las fuerzas ejercidas en los lados ® y (D crean un 
momento de torsion sobre la espira. b) Vista lateral de la espira mirando hacia abajo los lados © y ®. 



916 



CAPlTUL 29 Campos magnetos 



Momento de torsion sobre una es- 
pira de corriente 



Momento de dipolo magnetico de 
una espiga de corriente , 




Figura 29.14 Regla de la mano de- 
recha para determinar la direction 
del vector A. La direccion del momen- 
to magnetico ft es la misma que la di- 
reccion de A. 



Pregunta sorpresa 29.4 



Describa las fuerzas sobre la espira de corriente rectangular mostrada en la figura 29.13 si 
el campo magnetico esta dirigido como se muestra pero se incrementa en magnitud yendo 
de izquierda a derecha. 



Una expresion adecuada para el momento de torsion ejercido sobre una espira 
colocada en un campo magnetico uniforme B es 



t=/AxB 



(29.9) 



donde A, el vector mostrado en la figura 29.13, es perpendicular al piano de la es- 
pira y tiene una magnitud igual al area de la espira: La direccion de A se determina 
usando la regla de la mano derecha descrita en la figura 29.14. Cuando usted enros- 
ca los dedos de su mano derecha en la direccion de la corriente en la espira, el pul- 
gar apunta en la direccion de A. El producto 2A se define como el momento de di- 
polo magnetico ft (con frecuencia llamado simplemente "momento magnetico") de 
la espira: 



M = /A 



(29.10) 



La unidad del momento de dipolo magnetico del SI es el ampere-metro 2 (A-m 2 ). 
Con esta definition el momento de torsion ejercido sobre una espira que conduce 
una corriente en un campo magnetico B se puede expresar como 



T=JJXB 



(29.11) 



Advierta que este resultado es analogo a la ecuacion 26.18, t = p x E, para el mo- 
mento de torsion que actua sobre un dipolo electrico en presencia d> un campo 
electrico E, donde p es el momento de dipolo electrico. 

Aunque se obtuvo el momento de torsion para una orientation particular de B 
respecto de la espira, la ecuacion T=^xBes valida para cualquier orientation. Ade- 
mas, aunque se "obtuvo la expresion del momento de torsion para una espira rectan- 
gular, el resultado es valido para una espira de cualquier forma. 

Si una bobina consta de TVvueltas de alambre, cada una condutiendo la misma 
corriente y encerrando la misma area, el momento de dipolo magnetico total de la 
bobina es JVveces el momento de dipolo magnetico para una vuelta. El momento 
de torsion sobre una bobina de JVvueltas es JVveces mayor que el de una bobina de 
una vuelta. En consecuencia, se escribe t = N/tespim * B = /ibo^ xB. 

En la section 26.6 se encontro que la energia potential de un dipolo electrico 
en un campo electrico esta dada por U= — p-E. Esta energia depende de la orien- 
tation del dipolo en el campo electrico. Del mismo modo, la energia potential de 
un dipolo magnetico en un campo magnetico depende de la orientation del dipo- 
lo en el campo magnetico y esta dada por 



U=-n B 



(29.12) 



A partir de esta expresion se ve que un dipolo magnetico tiene su energia minima 
U min = -(lB cuando fi apunta en la misma direction que B. El dipolo tiene su maxi- 
ma energia U mix = +/jlB cuando fi apunta en la direction opuesta a B. 



Pregunta sorpresa 29.5 



Clasifique la magnitud de los momentos de torsion que actuan sobre las espiras rectangu- 
lares mostradas en la figura 29.15, del mayor al menor. Todas las espiras son identicas y con- 
ducen la misma corriente. 



29. 3 Momenta de torsi6n sobre una espira de corriente en un campo magn&ico uniforme 



917 



a) 



<< 


►) 














— c*\- 












^-\ 














^^~ 










^y- 






(i; 











b) 



c) 



Figura 29.15 jCual espira de corriente (vista desde un lado) experimenta el mayor momento de 
torsion? 



EJEMPL&I 



El momento de dipolo magnetico de una bobina 



Una bobina rectangular de 5.40 cm x 8.50 cm consta de 25 Soluddn Puesto que B es perpendicular a /t^,^, la ecua- 
vueltas de alambre y conduce una corriente de 15.0 mA. Un cion 29.11 produce 
campo magnetico de 0.350 T se aplica paralelo al piano de la 
espira. a) Calcule. la magnitud de su momento dipolar mag- 
netico. = 6.02 x lO^.N-m 



t= Mbob iM ^= (1.72 x 10" 3 A-m 2 )(0.350 T) 



Soluddn Puesto que la bobina tiene 25 vueltas, se modifica Ejera'do Demuestre que las uhiidades A- m 2 • T se reducen a 

la ecuacion 29.10 para obtener las unidades del momento de torsion N-m. 

MboHn. = NIA = (25) ( 15.0 xlO" 3 A) (0.054 m) (0.085 m) ' _. .. _. . . . , , . . a . ■■ 

l ^°° b,na v /v /v EjerctClO Calcule la magnitud del momento de torsion so- 

= K72. x 10 tS A-in 2 bre la bobina cuando el campo forma un angulo de a) 60° y 

b) 0° con ft. 

b) jCual es la magnitud del momento de torsion que ac- 

tua sobre la espira? Respuesta a) 5.21 x 10" 4 N-m; b) cero. 



WISH 

Para mayor, information acercadeias Haves de 
torsion "y 6trbs"mecafiismbs~visile" lbs sitibsweb 
de algunas de las compaftfas"que suministran 
estos cfispositivos a la NASA: 
Wfyzllwnjsnu&,GQU o 
httpVAraw.lt8co a c8Bi 



EjemplM 



Control de altitud de sat&ite 



Muchos satelites usan bobinas llamadas torquers para ajustar su 
orientation. Estos dispositivos interactuan con el campo mag- 
netico de la Tierra para crear un momento de torsion sobre 
la nave espaqial en la direction x, y o z. La mayor ventaja de 
este tipo de sistema de control de elevation es que emplea 
electricidad generada por el Sol y asi no consume combusti- 
ble de empuje. 

Si un dispositivo u'pico tiene un momento de dipolo mag- 
netico de 250 A-m 2 , £cual es el momento de torsion maximo 
aplicado a un satelite cuando su torquer se enciende a una al- 
titud donde la magnitud del campo magnetico terrestre es de 
3.0 x 10- 5 T? 

Soluddn De nueva cuenta aplique la ecuacion 29.11, reco- 
nociendo que el momento de torsion maximo se obtiene 



cuando el momento de dipolo magnetico del torquer es per- 
pendicular al campo magnetico de la Tierra: 

t^ = **.£ = (250 A-m 2 ) (3.0 x 10" 5 T) 

= 7.5x10"' N-m 

Ejerddo Si el torquer requiere 1.3 W de potencia a una di- 
ferencia de potential de 28 V, jcuanta corriente extrae cuan- 
do opera? 

Respuesta 46 mA. 



918 



CAPlTULO 29 Campos magnflicos 



EjEMl 



El galvanfimetro D'Arsonval 



Una vista del galvanometro D' Arsonval (vease la seccion 
28.5) se muestra en la figura 29.16. Cuando se conduce una 
corriente por las vueltas de alambre que forman la bobina, el 
campo magnetico creado por el iman ejerce sobre la bobina 
un momento de torsion que lo hace girar (junto con su indi- 
cador) contra el resorte. Demuestre que el angulo de desvia- 
cion del indicador es directamente proportional a la corrien- 
te en la bobina. 

Solution Se puede usar la ecuacion 29.1 1 para encontrar el 
momento de torsion T m que el campo magnetico ejerce sobre 
la bobina. Si se supone que el campo magnetico a traves 
de la bobina es perpendicular a la normal al piano de la bo- 
bina, la ecuacion 29.11 se convierte en > 

(Esta es una suposicion razonable porque la seccion transver- 
sal circular del iman asegura lineas de campo magnetico ra- 
diales.) Este momento de torsion magnetico es opuesto por 
el momento de torsion debido al resorte, lo cual esta dado 
por la version rotacional de la ley de Hooke, t, = -K<p, donde 
ires la constante de torsion del resorte y <p es el angulo a tra- 
ves del cual gira el resorte. Puesto que la bobina no dene una 
aceleracion angular cuando el indicador esta en reposo, la su- 
ma de estos momentos de torsion debe ser cero: 



1) 



T m + T, = (iB - K<p = 



La ecuacion 29.10 permite relacionar el momento magnetico 
de las N vueltas de alambre con la corriente a traves de las 
mismas: 

fi=NIA 



Esta expresion para ju. se puede sustituir en la ecuacion 1) pa- 
ra obtener 

(NIA)B -Ktp = 

':rtAB- T 
<P= -I 

En consecuencia, el angulo de desviacion del indicador es di- 
rectamente proporcional a la corriente en la espira. El factor 
NAB/k indica que la desviacion tambien depende del diseno 
del medidor. — " 




Bobina 
Figun 29.16 Vista de un galvanometro de bobina movil. 



MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA CARGADA 
EN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME 



12.3 



Experimento sorpres aW^ 

Mueva un iman de barra a traves de 
la pantalla de un televisor bianco y 
negro y observe que ocurre con la 
imagen. Los electrones son desviados 
por el campo magnetico conforme 
se acercan a la pantalla, provocando 
distortion. (CUIDADO: no intente 
hacer esto con una television a color 
o un monitor de computadora. Estos 
dispositivos suelen contener una pla- 
ca metalica que puede quedar mag- 
netizada por el iman de barra. Si es- 
to ocurre, un tecnico necesitara "de- 
simantar" la pantalla para repararla.) 



En la seccion 29.1 encontro que la fuerza magnetica que actua sobre una particula 
cargada que se mueve en un campo magnetico es perpendicular a la velocidad de 
la particula y que, en consecuencia, el trabajo hecho sobre la particula por la fuer- 
za magnetica es cero. Considere ahora el caso especial, de una particula con carga 
positiva que se mueve en un campo magnetico uniforme con su vector de velocidad 
inicial perpendicular al campo. Suponga que el campo magnetico apunta hacia el 
interior de la pagina. La figura 29.17 muestra que la particula se mueve en un 
circulo en un piano perpendicular al campo magnetico. 

La particula se mueve de esta manera debido a que la fuerza magnetica F fi for- 
ma angulos rectos con v y B, y tiene una magnitud constante igual a qvB. A medida 
que la fuerza desvia la particula, las direcciones de v y T B cambian continuamente, 
como se ve en la figura 19.17. Ya que T B siempre apunta hacia el centro del circulo, 
solo cambia la direccion de v y no su magnitud. Como se muestra en la figura 29.17, 
la rotacion es contraria al de las manecillas del reloj para una carga positiva. Si qfue- 
ra negativa, el sentido de rotacion seria el de las manecillas del reloj. Se puede usar 
la ecuacion 6.1 para igualar esta fuerza magnetica con la fuerza radial requerida pa- 
ra mantener a la carga moviendose en un circulo: 



29.4 Movimiento de una partfcula cargada en un campo magnetico uniforme 



919 



J 1 F = ma r 



F B =qvB = 

r 



mv 



r = 



qB 



(29.13) 



Es deck, el radio de la trayectoria es proportional al momentum lineal mv de la par- 
tfcula e inversamente proportional a la magnitud de la carga sobre la partfcula y a 
la magnitud del campo magnetico. La rapidez angular de la partfcula (a partir de la 
Ec. 10.10) es 



v qB 
© = - = — 



(29.14) 



El periodo del movimiento (eltiempo que tarda la partfcula en completar una re- 
volution) es igiial a la circunferencia del cfrculo dividido entre la rapidez lineal de 
la partfcula: 



T = ^H. = — = 



2tt 2-rrm 

Q) 



qB 



(29.15) 




Figura 29.17 Cuando la velocidad 
de una partfcula cargada es perpendi- 
cular a un campo magnetico unifor- 
me, la partfcula se mueve en una tra- 
yectoria circular en un piano perpen- 
dicular a B. La fuerza magnetica F B 
que actua sobre la carga siempre esta 
dirigida hacia el centro del circulo. 



Estos resultados muestran que la rapidez angular de la partfcula y el periodo del mo- 
vimiento circular no dependen de la rapidez lineal de la partfcula o del radio de la 
orbita. La rapidez angular w con frecuentia se conoce como frecuentia de ciclotron, 
ya que circulan partfculas cargadas a esta rapidez angular en un tipo de acelerador 
llamado ciclotron, el cual se estudia en la section 29.5. 

Si una partfcula cargada se mueve en un campo magnetico uniforme con es- 
ta velocidad a cierto angulo arbitrario con respecto a B, su : trayectoria es una he- 
lice. Por ejemplo,. si el campo esta en la direction x, como se muestra en la figura 
29.18, no existe componente de fuerza en la direction x En consecuencia, a x = 
y la componente x de la velocidad permanece constante. Sin embargo, la fuerza 
magnetica ^v x B ocasiona que las componentes v y y v z cambien en el tiempo, y el 
movimiento resultante es una helice cuyo eje es paralelo al campo magnetico. La 
proyeccion de la trayectoria sobre el piano yz (vista a lo largo del eje x) es un 
circulo. (jLas proyecciones de la trayectoria sobre los pianos xyy xz son senoida- 
les!) Las ecuacione s de la 2 9.13 a la 29.15 siguen aplicandose, siempre que v se 
sustituya por u x =; L 2 



Trayectoria 
helicoidal 




2 + Vl 2 



Figura 29.18 Una partfcula carga- 
da con un vector velocidad que tiene 
una componente paralela a un campo 
magnetico uniforme se mueve en una 
trayectoria helicoidal. 



Ejempi 



Un prottin que se mueve perpendicular a un campo magnelico uniforme 

Un proton se mueve en una orbita circular de 14 cm de radio Ejerddo Si un electron se mueve perpendicular al mismo 
en un campo magnetico uniforme de 0.35 T perpendicular a campo magnetico a esta misma rapidez lineal, jcual es el ra- 
la velocidad del proton. Determine la rapidez lineal del prot6n. dio de su orbita circular? 



Solution De la ecuacion 29.13 se tiene 



qBr _ (1.60 x JQ- 19 C) (0.35 T) (14 X lQ- 2 m) 



Respuesta 7.6 x 10" 5 m. 



1.67 x 10" 27 kg 



= ^xiiO^rnVsr 



920 



CAP/TUL0 29 Campos magnfticos 



Desviacion de un haz de electrones 

En un experimento disefiado para medir la magnitud de un 
campo magnetico uniforme, los electrones se aceleran desde 
el reposo a traves de una diferencia de potential de 350 V. 
Los electrones viajan a lo largo de una trayectoria curva debi- 
do a la fuerza magnetica ejercida sobre ellos, y el radio medi- 
do de la trayectoria es de 7.5 cm. (La Fig. 29.19 muestra tal 
haz de electrones curvo.) Si el campo magnetico es perpen- 
dicular al haz, a) jcual es la magnitud del campo? 

Soluddn En primer lugar debe calcular la rapidez de los 
electrones. Puede utilizar el hecho de que el aumento de su 
energia cinetica debe ser igual a la disminucion de su ener- 
gia potential, |e|AV(debido a la conservation de la energia). 
Luego, con la ecuacion 29.13 se encuentra la magnitud del 
campo magnetico. Puesto que X, = 0y^= m e v % /2, se tiene 



b) jCual es la rapidez angular de los electrones? 

Solution Utilizando la ecuacion 29.14 se encuentra que 

v l.llxl0 7 m/s 



O) = — = ■ 
r 



0.075 m 



■= L5xl0 8 rad/s 



Ejercido <;Cual es el periodo de revolution de los electrones? 
Respuesta 43 ns. 



i"M> 2 



=«AV 



= 2J£JAV = 2(1.60 xlQ- 19 C) (350V) 
V ~\ ™< ~y 9.11xl0- SI kg 

= l.llxlO'm/s 

m e v _ (9.11 x 1Q- 31 kg)(l.ll x 10 7 m/s) 
\e\r ~ (1.60xlO- 19 C)(0:075m) 

= o^xHT'T 




Figura 29.19 La desviacion de un haz' de electrones en un campo 

magnetico. (Henry Leap y Jim Lehman) 



Trayectoria 
de la paru'cula 




Figura 29.20 Una paru'cula carga- 
da moviendose en un campo magne- 
tico no uniforme (una botella magne- 
tica) forma espirales en torno al 
campo (trayectoria roja) y oscila en- 
tre los puntos extremos. La fuerza 
magnetica ejercida sobre la paru'cula 
cerca de cualquier extremo de la bo- 
tella tiene una componente que pro- 
voca que la paru'cula se mueva en es- 
piral de regreso hacia el centro. 



Cuando particulas cargadas se mueven en un campo magnetico no uniforme, el 
movimiento es complejo. Por ejemplo, en un campo magnetico que es mtenso en 
los extremos y'debil en la parte media, como el que se muestra en la figura 29.20, 
las particulas pueden oscilar hacia adelante y hacia atras en los puntos extremos. 
Una paru'cula cargada empezando en un extremo gira en espiral a lo largo de las li- 
neas de campo hasta que alcanza el otro extremo, donde invierte su trayectoria y gi- 
ra en espiral de regreso. Esta configuration se conoce como una botella magnetica de- 
bido a que particulas cargadas pueden quedar atrapadas en ella. La botella magnetica 
se ha utilizado para confinar plasma, un gas compuesto de iones y electrones. Tal es- 
quema de confinamiento de plasma podria desemperiar un papel crucial en el con- 
trol de fusion nuclear, un proceso que posiblemente proportionara una fuente casi 
ilimitada de energia. Desafortunadamente, las botellas magneticas tienen sus proble- 
mas. Si se atrapa un gran mimero de particulas, los choques entre ellas originan que 
poco a poco se fuguen del sistema. 

Los cinturones de radiation de Van Allen se componen de particulas cargadas 
(principalmente electrones y protones) que circundan la Tierra en regiones con for- 
ma de dona (Fig. 29.21). Las particulas, atrapadas por el campo magnetico no uni- 
forme de la Tierra, giran en espiral alrededor de las lineas de campo de polo a po- 
lo, cubriendo la distancia en solo unos cuantos segundos. Estas particulas se originan 
principalmente del Sol, aunque algunas provienen de estrellas y otros objetos espa- 
ciales. Por esta razon las particulas se denominan rayos cosmicos. La mayor parte de 
los rayos cosmicos son desviados por el campo magnetico terrestre y nunca llegan a 
la atmosfera. Sin embargo, algunas quedan atrapadas, y estas son las que conforman 
los cinturones de Van Allen. Cuando las particulas estan ubicadas sobre los polos, en 
bcasiones chocan con los atomos en la atmosfera, provocando que estos emitan luz 
visible. Tales colisiones son el origen de las bellas auroras boreales, o luces del nor- 
te, en el hemisferio norte, y la aurora austral en el hemisferio sur. 



$» 



29.4 Movimiento de una particula cargada en un campo magnftico uniforme 



921 




Figura 29.21 Los cinturones de Van Allen estan hechos de paru'culas cargadas atrapadas por el cam- 
po magneuco no uniforme de la Tierra. Las tineas de campo magnetico estan en azul y las trayectorias 
de las paru'culas en rojo. 

Las auroras usualmente estan confinadas en las regiones polares porque es ahi ffi 
donde los cinturones de Van Allen estan mas cerca de la superficie terrestre. Oca- 12 - 1 
sionalmente, sin embargo, la actividad solar provoca gran numero de paru'culas car- ^m 
gadas que ingresan a los cinturones y distorsionan de manera significativa las lineas 
de campo magnetico normal asociadas con la Tierra. En estas situaciones a veces se 
puede ver una aurora en latitudes mas bajas. 




Esta fotografia resaltada con colores, tomada en el CERN, el laboratorio de fisica de paru'culas en las 
z.'ueras de Ginebra, Suiza, muestra una coleccion de trazos dejados por paru'culas subatomicas en una 
camara de burbujas. Una camara de burbujas es un recipiente lleno con hidrogeno liquido que es so- 
brecalentado, esto es, momentaneamente elevado sobre su punto de ebullicion normal por medio de 
una siibita cai'da en la presi6n en el recipiente. Cualquier particula cargada que pasa a traves del liqui- 
do en este estado deja ttas de si un rastro de finas burbujas conforme el liquido hierve en su excita- 
cion. Estas burbujas se visualizan como finos trazos que muesuran las trayectorias caracterisucas de los 
diferentes tipos de paru'culas. Las trayectorias son curvas debido a que existe un intenso campo mag- 
netico aplicado. Las trazas espirales que se enrollan apretujadamente son provocadas por los electro- 
nes y, los positrones. (Patrice Una, CERN/SPL/Photo Researchers, Inc.) 



922 



CAP(TUL029 Campos magneticos 



Seccidn opcional 



APLICACIONES QUE INVOLUCRAN EL MOVIMIENTO 
DE PARliCULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNETICO 



FuemdeiLOrentz 



Una carga que se mueve a una velocidad v en presencia tanto de un campo electri- 
co E como de un campo magnetico B experimenta tanto una fiierza electrica qE co- 
mo una fuerza magnetica q\ x B. La fuerza total (llamada fiierza de Lorentz) que 
actua sobre la carga es 

XF=?E+ ? vxB (29.16) 



Selector de velocidades _■• 

En muchos experimentos que incluyen el movimiento de partfculas cargadas es im- 
portante que todas las partfculas se muevan en esencia a la misma velocidad. Lo an- 
terior puede conseguirse al aplicar una combination de un campo electrico y un 
campo magnetico orientados como se muestra en la figura 29.22. Un campo electri- 
co uniforme esta dirigido verticalmente hacia abajo (en el piano de la pagina en la 
figura 29.22a), y un campo magnetico uniforme se aplica perpendicular al campo 
electrico (al interior de la pagina en la figura 29.22a). Para q positiva, la fuerza mag- 
netica jvxBes hacia arriba y la fuerza electrica <fE es hacia abajo. Cuando las mag- 
nitudes de los dos campos se eligen de modo que qE = qvB, la particula se mueve. 
en una linea recta horizontal a craves de la region de los campos. A partir de la ex- 
presion qE - qvB se encuentra que 



E 

v = — 
B 



(29.17) 



Solo aquellas partfculas que tengan rapidez v pasan sin desviarse a traves de los cam- 
pos electrico y magnetico mutuamente perpendiculares. La fuerza magnetica ejerci- 
da sobre partfculas que se mueven con rapidez mas grande que esta, es mas intensa 
que la fuerza electrica, y las partfculas se desvfan hacia arriba. Aquellas que se m"ue- 
ven con rapidez menor que esta se desvfan hacia abajo. 

El espectrometro de masas 

El espectrometro de masas separa iones de acuerdo con la proportion entre su ma- 
sa y su carga. En una version de este dispositivo, conocida como el espectrometro de ma- 
sas de Bainbridge, un haz de iones pasa primero a traves de un selector de velocida- 
des y despues entra a un segundo campo magnetico uniforme B que tiene la misma 
direction que el campo magnetico en el selector (Fig. 29.25). Despues de entrar al 



Fuente 

■ 





X 


X 


X 


X 


X 


X 


X 




\K+^v*m*^sf>mmmm\ 




X 


X 


X 


X 


X 


X 


X- 






X 


X 


X 


X 


X 


X 


X 


E 




X 


X 
X 


X 
X 


X 
X 


X 


X 


X 




I X 


X 


ex 


X 




X 


X 


X 


X 


X 


X 


X 




Rejil 


la*- 


• X 


'X 


• X 


'X ' 


X ' 


1 X ' 


' 


ta | - ' - - - - - - | 



a) 



i qvxB 



+ ? 



b) 



Figura 29*22 a) Un selector de veloddad. Cuando una particula cargada positivamente esta en pre- 
sencia de un campo. magnetico dirigido hacia la pagina y un campo electrico dirigido hacia abajo, ex- 
perimenta una fuerza electrica descendente yE y una fuerza magnetica ascendente qv x B. b) Cuando 
dichas fuerzas se balancean, la particula se mueve en una linea horizontal a traves de los campos. 



29.5 Aplicaciones que involucran el movimiento de partfculas cargadas en un campo magn6tico 



923 









Placa 
fotografica 




1*-- 

P ■-< 


''■X 


x- 


"X" 


X 










x/ 


-V- 


X 


X 


X ' 






B- m 




fc r ^ 


"X 

V . 


.x" 


X 


X 


X 


X X X X 


X 
X 


•X 

;x 
<■ 

X 
X 


X 

: " / 

s 


X . 


X 
X . 


X 
X. 


1 . . - 








X 


X 


X 


X 


X 


X 


' 


X 


X 


q 

'X 1 


V 

X 


'X ' 


X ' 


X 

■1 

X 


-■:X. 

' Xi 

X 


X; 
X 
X • 


X 
X. 
X 


X 
X 

X 








X 


X 


X X X X 






Sele 


ctor< 


e vel( 


}cida< 


i 




X 


X 


X 


X 


X 



tt O,in 



Figura 29.23 Un espectrometro de 
masas. Para'culas cargadas de manera 
positiva se envian primero a traves de 
un selector de velocidad y luego a re- 
giones donde el campo magnetico B 
causa que las partfculas se muevan en 
una trayectoria semicircular y golpean 
una placa fotografica en P. 



segundo campo magnetico, los iones se mueven en un semicirculd de radio r antes 
de incidir sobre una placa fotografica en P. Si los iones estan con carga positiva, el 
haz se desvia hacia arriba, como se muestra en la figura 29.23. Si los iones estan con 
carga negativa, el haz se desviaria hacia abajo. A partir de la ecuacion 29.13 se pue- 
de expresar la proporcion m/q como 

m rB 

1 v 

Utilizandb la ecuacion 29.17 se encuentra que 

m tBqB 

7 = ~ 



(29.18) 



Por tanto, m/q puede determinarse midiendo el radio de curvatura y conociendo las 
magnitudes de los campos B, Bq y K En la practica suelen medirse las masas de va- 
rios isotopos de un ion determinado, con todos los iones conduciendo la misma car- 
ga q. En consecuencia, es posible encontrar las proporciones de masa incluso si se 
desconoce q. 

Una variation de esta tecnica fue empleada por J. J. Thomson (1856-1940) en 
1897 para medir la proporcion e/m t de los electrones. La figura 29.24a muestra el 



Bobina de campo magnetico 




de desviacion. 



Haz de electrones desviado 



^Hazde 
electrones 
no desviado 



Recubrimiento 
fluorescente 

a) 

Figura 29.24 a) Aparato de Thomson para medir e/m, Los electrones se aceleran desde el catodo, 
pasan por dos rejillas y se desvian tanto por un campo electrico como por un campo magnetico (diri- 
gido perpendicular al campo electrico). Luego el haz de electrones golpea una pantalla fluorescente. 
b) J.J. Thomson (kquierda) en el Laboratorio Cavendish, Universidad de Cambridge. Es interesante 
advertir que el hombre a la derecha, Frank Baldwin Jewett, es un pariente lejano de John W. Jewett, 
Jr., autor colaborador de este texto. (Bell Telephone Labs/Cortesia de Emilia Segri Visual Archives) 




924 CAPltUL0 29 Campos magnflicos 



aparato basico que el utilizo. Los electrones se aceleran desde el catodo y pasan a 
traves de dos rejillas. Luego se deja que se desplacen hada la region de campos elec- 
trico y magnetico perpendiculares. Las magnitudes de los dos campos se ajustan pri- 
mero para producir un haz sin desviadon. Cuando el campo magnetico se desacti- 
va, el campo electrico produce una desviadon del haz mensurable que se registra 
sobre la pantalla fosforescente. A partir del tamano de la desviadon y de los valores 
medidos de £y B puede establecerse la reladon entre la carga y la masa. Los resul- 
tados de este experimento crucial representaron el descubrimiento del electron co- 
mo una particula fundamental de la naturaleza. 



Pregunta sorpresa 29.6 



Cuando se revela una placa fotografica de un espectrometro de masas como el que se mues- 
tra en la figura 29.23, se observan los tres patrones mostrados en la figura 29.25. Clasifique 
las partfculas que provocaron los patrones por su rapidez y proportion m/q. 

Espacio para partfculas 

del selector de 

velocidad 




Figura 29.25 



El ciclotron 



El ridotron puede acelerar partfculas cargadas con rapidez muy alta. Tanto las fuer- 
zas electricas como las magneticas desempenan un papel clave. Las partfculas ener- 
geticas producidas se utilizan para bombardear niideos atomicos y por ello produ- 
cen reacdones nucleares de interes para los investigadores. Varios hospitales emplean 
las instaladones de los cidotrones para producir sustancias radiactivas para diagnos- 
tico y tratamiento. 

Un dibujo esquematico del ciclotron se muestra en la figuja 29.26. Las cargas se 
mueven dentro de dos recipientes semidrculares, D, y D 2 , conoddos como ties. Una 
diferencia de potencial alterna de alta frecuenda se aplica a las des, y un c5r:po mag- 
netico uniforme se dirige perpendicular a ellas. Un ion positivo liberauo en P cerca 
del centro del iman en una de se mueve en una trayectoria semicircular (indicada 
en el dibujo por la lfnea roja punteada) y regresa a la abertura en un tiempo T/2, 
donde Tes el tiempo necesario para realizar un viaje completo alrededor de las dos 
des, dado por la ecuadon 29.15. La frecuencia de la diferencia de potendal aplica- 
da se ajusta de manera que la polaridad de las des se invierte en el mismo tiempo 
que tarda el ion en viajar alrededor de una de. Si la diferencia de potencial aplica- 
da se ajusta de modo tal que D 2 esta a un potencial electrico menor que D! en una 
cantidad AV, el ion se acelera a traves de la abertura hasta D 2 , y su energfa cinetica 
se incrementa en una cantidad qkV. Luego se mueve alrededor de D 2 en una tra- 
yectoria semidrcular de radio mas grande (puesto que su rapidez ha aumentado). 
Despues de un tiempo T/2, vuelve a Uegar a la abertura entre las des. En ese mo- 
mento la polaridad a traves de las des se invierte de nuevo, y al ion se le da otro "em- . 
pujpn" a traves de la abertura. El movimiento continua de manera que a cada me- 
dia revoludon alrededor de una de el ion gana energfa cinetica adicional igual a 
^AV. Cuando el radio de su trayectoria es casi el de las des, el ion energetico aban- 
dona el sistema a traves de la rejilla de salida. Es importante observar que la opera- 



29.6 El electa Hall 



925 




AV altema 



Las parti'culas salen aqui 



Polo norte del iman 



a) 

Figura 29.26 a) Un ciclotron consta de una fuente de iones en P, dos des D, y D 2 a traves de las cua- 
les se aplica una diferencia de potential altema y un campo magnetico uniforme. (£1 polo sur del iman 
no se jnuestra.) Las lineas curvas punteadas rojas representan la trayectoria de las particulas. b) El pri- 
mer ciclotron, ihventado por E.O. Lawrence.y M.S. Livingston en 1934. (Cartaia de Lawrence Berkeley Labo- 
ratory /Universidad de California) 




cion de ciclotron se basa en el hecho de que T es independiente de la rapidez del 
ion y del radio de la trayectoria circular. 

Se puede obtener una expresion para la energia cinetica del ion cuando este sa- 
le del ciclotron en funcion del radio R de las des. Segtin la ecuacion 29.13 se sabe 
que v = qBR/m. Por tanto, la energia cinetica es 



2 2m 



(29.19) 



Cuando la energia de los iones en un ciclotron es mayor que aproximadamen- 
te 20 MeV, entran en juego efectos relativistas. (Dichos efectos se analizan en el ca- 
pftulo 39.) Se aprecia que Taumenta y los iones en movimiento no permanecen en 
fase con la diferencia de potential aplicada. Algunos aceleradores resuelven este pro- 
blema modificando el periodo de la diferencia de potencial aplicada de modo que 
permanezca en fase con- los iones en movimiento. 



Mfc informaci6n acerca de estos aceleradores 



MtptfAnm.lnL|oi o 
tttptfnra.CEBUk. 

B sitjo CERN tambSn describe ra creation 
de la World Wide Web por ffsicos a mediados de 
losnoventa. 



Seccion optional 

EL EFECTO HALL 



Cuando un conductor que transporta corriente se pone en un campo magnetico, se 
genera una diferencia de potencial en una direction perpendicular tanto a la co- 
rriente como al campo magnetico. Este fenomeno, observado por primera vez por 
Edwin Hall (1855-1938) en 1879, se conoce como rfecto HaU. Este surge de la desvia- 
cion de los portadores de carga a un lado de los conductores como consecuencia de 
la fuerza magnetica que experimentan. El efecto Hall proporciona informacion en 
relation con el signo de los portadores de carga y su densidad; tambien puede usar- 
se para medir la magnitud de los campos magneticos. 

Un dispositivo para observar el efecto Hall consta de un conductor piano por el 
que tircula una corriente / en la direction x, como se muestra en la figura 29.27. 
Un campo magnetico uniforme B se aplica en la direction y. Si los portadores de 
carga son electrones que se mueven en la direction x negativa con velotidad de 



926 



CAPlTULO 29 Campos magnetos 




Figura 29.27 Para observar el efecto 
Hall se aplica un campo magnetico a un 
conductor que porta carga. Cuando /esta 
en la direccion x y B en la direccion y, am- 
bos portadores de carga, positiva y negati- 
va, se desvian hacia arriba en el campo 
magnetico. El voltaje Hall se mide entre 
los-puntos ay c 



arrastre v d , experimental! una fuerza magnetica hacia arriba F B = qv d xB.se desvian 
hacia arriba, y se acumulan en el borde superior del conductor piano, dejando un 
exceso de carga positiva en el borde inferior (Fig. 29.28a). Esta acumulacion de car- 
ga en los bordes aumenta hasta que la fuerza electrica establecida por la separacion 
de carga equilibra la fuerza magnetica que actua sobre los portadores. Cuando esta 
condicion de equilibrio se alcanza, los electrones ya no se desvian hacia arriba. Un 
vola'metro o potenciometro sensible conectado a traves de la muestra, como se ilus- 
tra en la figura 29.28, puede medir la diferencia de potencial generada en el con- 
ductor, conocida como voltaje Hall AV H . 

Si los portadores de carga son positivos y, en cohsecuencia, se mueven en la di- 
reccion x positiva como se ve en las figures 29.27 y 29.28b, tambien experimentan 
una fuerza magnetica hacia arriba qv d x B. Esto produce una acumulacion de carga 
positiva sobre el borde superior y deja un exceso de carga negativa en el borde in- 
ferior. En consecuencia, el signo del voltaje Hall generado en la muestra es opuesto 
al signo del voltaje Hall que resulta de la desviacion de electrones. El signo de los 
portadores de carga puede, por tanto, determinarse a partir de la medirion de la po- 
laridad del voltaje Hall. 

Para encontrar una expresion que defina el voltaje Hall advierta primero que la 
fuerza magnetica sobre los portadores de carga tiene una magnitud qvjt. En equili- 
brio, esta fuerza es equilibrada por la fuerza electrica qE^, donde E^ es la magnitud 
de campo electrico debido a la separacion de carga (denominado algunas veces co- 
mo campo Hall). Por consiguiente, 

qv d B=qE H 




B 

XXX 


>i x x > 


< X 


AV H 




xx x A_^- x 
••-:■; ?EaT *<■■: 

_x_ X. 2< Jx_ x_ X J 


C X 

( X 

: x 




^o 






a 








_2§>( '>JGfs 




• 




.'3fife; S. 





a) . ' b) 

Figura 29.28 a) Cuando los portadores de carga en un aparato de efecto Hall son negativos, el bor- 
de superior del conductor se carga negativamente, y c esta a un potencial electrico mas bajo que a. 
b) Cuando los portadores de carga son positivos, el borde superior se carga positivamente, y c esta a 
un potencial mas alto que a. En ambos casos los portadores de carga ya no se desvian cuando los bor- 
' des estan cargados completamente, esto es, cuando existe un balance entre la fuerza electrostatica qE H 
y la fuerza de desviacion magnetica qvB. 



29.6 EletectoHall 



927 



Si d es el ancho del conductor, el voltaje Hall es 

AVh = E H d= v d Bd 



(29.20) 



De este modo, el voltaje Hall medido proporciona un valor para la rapidez de arras- 
tre de los portadores de carga si se conocen d y B. 

Puede obtenerse la densidad de portadores de carga n midiendo la corriente en 
la muestra. A partir de la ecuacion 27.4 se puede expresar la rapidez de arrastre como 



nqA 



(29.21) 



donde A es el area de la seccion transversal del conductor. Sustituyendo la ecuacion 
29.21 en la 29.20 se obtiene 



AV H = 



IBd 
nqA 



(23.22) 



Puesto que A = td, donde t es el espesor del conductor, la ecuacion 29.22 tambien . 
se puede expresar como 

IB R H IB 

donde R H = l/nq es el coeficiente HaU. Esta relation muestra que un conductor ca- 
librado de manera apropiada puede emplearse para medir la magnitud de un cam- 
po magnetico desconocido. 

Puesto que todas las cantidades que aparecen en la ecuacion 29.23, ademas de 
nq, pueden medirse, se obtiene facilmente un valor para el coeficiente Hall. £1 sig- 
no y la magnitud de R^ proporcionan el signo de los portadores de carga y su den- 
sidad de numero. En la mayoria de los metales los portadores de carga son electro- 
nes y la densidad de portadores de carga determinada a partir de las meditiones del 
efecto Hall concuerda bien con los valores calculados para metales como el lido (Li), 
sodio (Na), cobre (Cu) y plata (Ag), cuyos atomos proporcionan cada uno un elec- 
tron para actuar como portador de corriente. En este caso n es aproximadamente 
igual al numero de electrones conductores por unidad de volumen. Sin embargo, 
este modelo clasico no es valido para metales como hierro (Fe), bismuto (Bi) y cad- 
mio (Cd) o para semiconductores. Estas discrepancias pueden explicarse solo con 
el empleo de un modelo basado en la naturaleza cuantica de los solidos. 



H voltaje Hall 



i En 1980 Waus von Witzing descubri6 que et 
wltaje HaD estaVcnantafa 

anaastsoe txttotw 
consecuencias,jvisite el sitio 



en 1985. Para ui 
yalgunasdesus 

iiefr en ■>;•;& ;.^-'. 



El efecto Hall en el cobre 

Una tira de cobre rectangular de 1.5 cm de ancho y 0.10 cm 
de espesor conduce una corriente de 5.0 A. Encuentre el vol- 
taje Hall para un campo magnetico de 1.2 T aplicado en di- 
rection perpendicular a la tira. 

Solution Si supone que un electron por atomo esta dispo- 
nible para conduction, puede considerar la densidad de por- 
tadores de carga igual a n = 8.49 x 10 28 electrones/m s (vease 
el ejemplo 27.1). Sustituyendo este valor y los datos dados en 
la ecuacion 29.23 se obtiene 



AV„ = 



IB 

nqt 



(5.0A)(1.2T) 



(8.49 x lO^m-^a.S x 10" I9 C) (0.001 Om) 






Tal voltaje Hall extremadamente pequeno se espera en bue- 
nos conductores. (Advierta que el ancho del conductor no es 
necesario en este calculo.) 

En semiconductores n es mucho mas pequena que en me- 
tales que contribuyen con un electron por atomo a la corrien- 
te; en consecuentia, el voltaje Hall por lo comun es mayor, 
puesto que varia como el inverso de n. Por lo general, se em- 
plean corrientes del orden de 0.1 mA para tales materiales. 
Considere un trozo de silicon con las mi s m as dimensiones 
que la tira de cobre en este ejemplo y cuyo valor para n = 1.0 
x 10 s0 electrones/m s . Si B= 1.2 T e /= 0.10 mA se encuen- 
tra que AV H = 73 mV. Una diferencia de potential de esta 
magnitud se mide sin dificultad. 



928 CAPITUL029 Campos magnfticos 



Resumen 

La fuerza magnetica que actua sobre una carga q que se mueve a una velocidad v en 
un campo magnetico B es 

F B = ? vxB (29.1) 

La direction de esta fuerza magnetica es perpendicular tanto a la velocidad de la 
partfcula como al campo magnetico. La magnitud de esta fuerza es 

F B =\q\vBsend (29.2) 

donde es el angulo mas pequeno entre v y B. La unidad del SI de B es el tesla (T) , 
donde 1 T = 1 N/A-m. 

Cuando una partfcula cargada se mueve en un campo magnetico, el trabajo he- 
cho por la fuerza magnetica sobre la partfcula es cero debido a que el desplazamien- 
to siempre es perpendicular a la direction de la fuerza. El campo magnetico puede 
alterar la direction del vector velocidad de la partfcula, pero no puede cambiar su 
rapidez. 

Si un conductor recto de longitud L conduce una corriente /, la fuerza ejertida 
sobre ese conductor cuando se coloca en un campo magnetico uniforme B es 

F B =/LxB (29.3) 

donde la direction de L esta en la direction de la corriente y |L | = L. 

Si un alambre de forma arbitraria que conduce una corriente /se coloca en un 
campo magnetico, la fuerza magnetica ejercida sobre un segmento muy pequeno 
ds es 

dF B = IdsxB (29.4) 

Para determinar la fuerza magnetica total sobre el alambre se debe integrar la ecua- 
tion 29.4, teniendo en mente que tanto B comp ds pueden variar en cada punto. 
La integration da la fuerza ejertida sobre un conductor de forma arbitraria que con- 
duce corriente en un campo magnetico uniforme 

F B = /L'xB (29.7) 

donde L' es un vector dirigido de un extremo del conductor al extremo opuesto. 
Puesto que la integration de la ecuation 29.4 para una espira cerrada proportiona 
un resultado cero, la fuerza magnetica neta sobre cualquier espira cerrada que con- 
duce una corriente en un campo magnetico uniforme es cero. 

£1 momento de dipolo magnetico ft de una espira que conduce una corrien- 
te /es 

/i = IA -r (29.10) 

donde el vector de area A es perpendicular al piano de la espira y |A| es igual al area 
de la espira. La unidad SI de ft es A- m 2 . 

El momento de torsion t sobre una espira de corriente cuando esta se coloca 
en un campo magnetico uniforme B es 

t=mxB (29.11) 

y la energfa potential de un dipolo magnetico en un campo magnetico es 

t/=-M-B (29.12) 

Si una partfcula cargada se mueve en un campo magnetico uniforme de mane- 
ra que su velocidad initial es perpendicular al campo, la partfcula se mueve en un 
circulo cuyo piano es perpendicular al campo magnetico. El radio de la trayectoria 
circular es 

r = = (29.13) 



Preguntas 



929 



donde m es la masa de la partfcula y q es su carga. La rapidez angular de la partfcu- 
la cargada es 

qB 



(0 = 



m 



(29.14) 



Preguntas 



1. En cierto instance un proton se mueve en la direccion x 
positiva en una region donde hay un campo magnetico en 
la direccion z negativa. ^Cual es la direccion de la fuerza 
magnetica? jEl proton continua moviendose en la direc- 
cion x positiva? Explique. 

[271 Dos partfculas cargadas se proyectan en una region don- 
de hay un campo magnetico perpendicular a sus velocida- 
des. Si las cargas' se desvfan en direcciones opuestas, ique 
puede usted decir acerca de ellas? 

3. Si una partfcula cargada se mueve en una linea recta a tra- 
ves de cierta region del espacio, £puede usted afirmar que 
el campo magnetico en 'esa region es cero? 

4. Suponga que un electron persigue a un proton sobre esta pa- 
gina cuando' repentinamente se forma un campo magnetico 
perpendicular a la misma. £Que sucede con las partfculas? 

5. iComo puede emplearse el movimiento de una partfcula 
cargada movil para distinguir entre un campo magnetico 
y un campo electrico? Proporcione un ejemplo especffico 
para justificar su argumento. 

6. Liste varias similitudes y diferencias entre las fuerzas elec- 
trica y magnetica. 

7. Justifique el siguiente enunciado: "Es imposible para un cam- 
po magnetico constante (en otras palabras, independiente 
del tiempo) alterar la rapidez de una partfcula cargada.'' 

8. En vista del enunciado anterior, icual es el papel del cam- 
po magnetico en un ciclotron? 

. 9. Un conductor que Ueva corriente no experimenta fuerza 
magnetica cuando se coloca de cierto rhodo en un campo 
magnetico uniforme. Explique. 

ilOTJ £Es posible orientar una espira de corriente en un campo 
magnetico uniforme de manera que la espira no tienda a 
girar? Explique. 

liT] (jComo puede emplearse una espira de corriente para de- 
terminar la presencia de un campo magnetico en una re- 
gion determinada del espacio? 

12. jCual es la fuerza neta sobre la aguja de una brujula en un 
campo magnetico uniforme? 

13. iQue tipo de campo magnetico se requiere para ejercer 
una fuerza resultante sobre un dipolo magnetico? <;Cual es 
la direccion dfe la fuerza resultante? 

14. Un proton que se mueve horizontalmente entra en una 
region donde hay un campo magnetico uniforme perpen- 
dicular a la velocidad del proton, como se muestra en la 
figura P29.14. Describa el movimiento subsecuente del 
proton. £C6mo se comportarfa un electron en las mismas 
circunstancias? 

15. En una botella magnetica, jque invierte la direccion de la 
velocidad de las partfculas cargadas confinadas? (Sugeren- 
cicc encuentre la direccion de la fuerza magnetica- sobre 
estas partfculas en una region donde las lfneas de campo 
converjan.) 



Q 



X X . .: X 

XXX 
X X X ■ 

X XX 

XXX 



Figura P29.14 

16. En el ciclotron, jpor que las partfculas de diferentes velo- 
cidades tardan el mismo tiempo en completar la mitad'de 
una revolution alrededor de una de? 

17. La cdmara de burbujas es un dispositivo que se utiliza para 
observar las trayectorias de partfculas que pasan a traves 
de la camara, las cuales se encuentran inmersas en un 
campo magnetico. Si algunas de las huellas son espirales y 
otras son lfneas rectas, jque puede usted decir acerca de 
las partfculas? 

18. jUn campo magnetico constante puede poner en movi- 
miento a un electron en reposo? Explique. 

19. Usted esta disenando una sonda magnetica que utiliza el 
efecto Hall para medir campos magneticos. Suponga que 
esta restringido a usar un material determinado y que ya 
ha hecho una sonda lo mas delgada posible. iQue puede 
hacerse, si fuera posible, para incrementar el voltaje Hall 
producido por un campx? magnetico dado? 

20. El haz de electrones en la figura P29.20 se proyecta hacia 
la derecha. El haz se desvfa hacia abajo ante la presencia 
de un campo magnetico producido por un par de bobinas 
que conducen corriente. a) ^Cual es la direccion del cam- 
po magnetico? b) jQue le pasarfa al haz si se invirtiera la 
corriente en las bobinas? 




Figura P29.20 (Cmtaia <fe Cmtml Scientific Company) 



930 



CAPlTUL 29 Campos magnSticos 



Problemas 

1, 2, 3 = sencillo, intermedio, desafiante Q = solucidn completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

web = solution disponible en http://www.saunderscollege.com/physics/ JP| = use computadora para resolver el problema flfe = Fisica 

interactiva Q] = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seccion 29.1 El campo magnelico 

web [IT| Indique la direccion inicial de la desviacion de las partf- 
culas cargadas cuando estas entran en los campos mag- 
neticos indicados como se muestra en la figura P29.1. 



6. 



a) 



"dentro de 



b) 



X X X X 

X X X X 

X X X X 

X X X X 



Anil 



-v-o 



c) 



"derecha 



d) 




Figura P29.1 

2. Considere un electron cerca del ecuador de la Tierra. 
^En que direccion tenderia a desviarse si su velocidad es- 
ta dirigida a) hacia abajo, b) rumbo al none, c) hacia el 
este o d) hacia el sureste? 

3. Un electron que se mueve a lo largo del eje x positivo 
perpendicular a un campo magnetico experimenta una 
desviacion magnetica en la direccion y negativa. jCual es 
la direccion del campo magnetico? 

4. Un proton viaja a una rapidez de 3.00 x 10 6 m/s en un 
angulo de 37.0° con la direccion de un campo magneti- 
co de 0.300 T en la direccion +y. jCuales son a) la mag- 
nitud de la fuerza magnetica sobre el proton y b) su ace- 
leracion? 

]T| Un proton se mueve perpendicular a un campo magne- 
tico uniforme B a 1 .00 x 10 7 m/s y experimenta una ace- 
leration de 2.00 X 10 15 m/s 8 en la direccion +x cuando 
su velocidad esti en la direccion +z. Determine la mag- 
nitud y la. direction del campo;/ . 
Un electron se acelera desde elreposo a traves de 2 400 
V y luegb ingresa a una region donde existe un campo 
magnetico uniforme de' 1.70 T. ^Cuales son los valores 
a) maximo y b) mfnimo de la fuerza magnetica que ex- 
perimenta esta carga? 

En el ecuador, cerca de la superficie de la Tierra, el cam- 
po magnetico es aproximadamente de 50.0 /*T con di- 
rection hprte y el campo electrico es cercano a 100 N/C 
hacia abajo en clima favorable. Encuentre las fuerzas 
gravitational, electricay magnetica sobre un electron 
que se mueve a una velocidad instantanea de 6.00 x 10 6 
m/s en direccion este en dicho ambiente. 



8. Una bola metalica de 30.0 g que tiene una carga neta Q_ 
= 5.00 /xC se lanza horizontalmente por una ventana a 
una rapidez v = 20.0 m/s. La ventana esta a una altura h 
= 20.0 m sobre el suelo. Un campo magnetico horizon- 
tal uniforme de magnitud B = 0.010 T es perpendicu- 
lar al piano de la trayectoria de la bola. Encuentre la 
fuerza magnetica que actiia sobre la bola antes de que 
esta golpee el suelo. 

fiTi Un proton que se mueve a 4.00 x 10 6 m/s a traves de un 
campo magnetico de 1.70 T experimenta una fuerza 
magnetica de 8.20 x 10~ ls N de magnitud. <;Cua] es el an- 
gulo entre la velocidad del proton y el campo? 

10. Un electron en campos electrico y magnetico uniforme 
tiene una velocidad de 1.20 km/s (en la direccion * po- 
sitiva) y una aceleracion de 2.00 x 10 12 m/s 2 (en la direc- 
cion z positiva). Si el campo electrico tiene una intensi- 
dad de 20.0 N/C (en la direccion z positiva), £que" puede 
determinar acerca del campo magnetico en la region? 
iQue no se puede determinar? 

Ill J Un proton se mueve a una velocidad v = (2i - 4j + k) 
m/s en una region donde el campo magnetico es B = (i 
+ 2j - 3k) T. jCual es la magnitud de la fuerza magneti- 
ca que esta carga experimenta? 

12. Un electron se proyecta dentro de un campo magnetico 
uniforme B = (1.40i + 2.10j) T. Encuentre la expresion 
vectorial para la fuerza sobre el electron cuando su velo- 
cidad es v = 3.70 x lO'j m/s. - 



Seccion 29.2 



Fuerza magnftica sobre un 
conductor que lleva corriente 



web [[3] Un alambre con una masa por unidad de longitud de 
0.500 g/cm conduce una corriente de 2.00 A horizontal- 
mente hacia el sur. ^Cuales son la direccion y la magni- 
tud del campo magnetico mfnimo necesario para levan- 
tar verticalmente este alambre? 

14. Un alambre conduce una corriente estable de 2.40 A. 
Una seccion recta del alambre mide 0.750 m de largo y 
se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo 
magnetico uniforme de magnitud B= 1.60 T en la direc- 
cion z positiva. Si la corriente esta en la direccion + x, 
jcual es la fuerza magnetica sobre la seccion de alambre? 

15. Un alambre de 2.80 m de longitud conduce una corrien- 
te de 5.00 A en una region donde un campo magnetico 
uniforme tiene una magnitud de 0.390 T. Calcule la mag- 
nitud de la fuerza magnetica sobre el alambre si el angu- 
lo entre el campo magnetico y la corriente es a) 60.0°, 
b) 90.0°, c) 120°. t 

16. " Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, co- 
mo se muestra en la figura P29.16, tiene una masa por 
unidad de longitud de 0.040 kg/m. «Que corriente de- 
be existir en el conductor para que la tension en los 
alambres de soporte sea cero cuando el campo magneti- 



Problemas 



931 







1 








1 






X 


.x 


X. 


, X ; 




X 


x .' / 


X 


X 





xB= n 



■x ■ X 



Figura P29.16 



co es de 3.60 T hacia el interior de la pagina? (dial es 
la direction requerida para la corriente? 

17. Suponga un alambre uniforme muy largo que tiene una 
densidad lineal de masa de 1.00 g/m y que circunda la 
Tierra por el ecuador magnetico. Suponga que el cam- 
po magnedco del planeta es de 50.0 /xT horizontalmen- 
te hacia el norte a traves de esta region. ,-Cuales son la - 
magnitud y direction de la corriente en el alambre que 
lo mantienen levitando? 

18. En la figura P29.18 el cubo mide 40.0 cm en cada lado. 
Cuatro segmentos rectos de alambre — ab, be, cd y da — 
forman una espira cerrada que conduce una corriente / 
= 5.00 A en la direction que se muestra. Un campo mag- 
nedco uniforme de magnitud B= 0.020 T esta en la di- 
rection y positiva. Determine la magnitud y la direction 
de la fuerza magnetica sobre cada segmento. 




WEB 

















T 


B t 


1 


f " 


" 





Figura 929.19 Problemas 19 y 20. 



Un campo magnetico no uniforme ejerce una fuerza neta sobre 
un dipolo magnetico. Un iman de gran intensidad se pone 
bajo un anillo conductor horizontal de radio r que con- 
duce una corriente /, como muestra la figura P29.21. Si 
el campo magnedco B forma un angulo 6 con la vertical 
en la position del anillo, £cuales son la magnitud y la di- 
rection de la fuerza resultante sobre el anillo? 




Figura P29.21 



Figura P29.18 

19. Problema de'repaso. Una barra de 0.720 kg de masa y 
6.00 cm de rfidio descansa sobre dos rieles paralelos (Fig. 

x P29.19) separados por una distancia d= 12.0 cm y tienen 
longitud L = 45.0 cm. La barra conduce una corriente / 
= 48.0 A en la direction indicada y rueda a lo largo de 
Ids rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo, jcual 
es su rapidez cuando deja los rieles si hay un campo 
magnetico uniforme de 0.240 T en direction perpendi- 
cular a la barra y los rieles? 

20. Problema de repaso. Una barra de masa m y radio R 
descansa sobre dos rieles paralelos (Fig. P29. 19) separa- 
dos por una distancia dy que tienen longitud L. La ba- 
rra conduce una corriente / en la direction indicada y 
rueda a lo largo de los rieles sin deslizarse. Si la barra 
parte del reposo, £cual es su rapidez cuando deja los rie- 
les si hay un campo magnetico uniforme B en direction 

''perpendicular a la barra y los rieles? 



22. Suponga que en Atlanta, Georgia, el campo magnetico 
de la Tierra es de 52.0 /xT hacia el norte y 60.0° bajo la 
horizontal. Un tubo en una sefial de neon conduce una 
corriente de 35.0 mA entre las dos esquinas opuestas dia- 
gonalmente de la ventana de una tienda, la cual esta en 
el piano vertical norte-sur. La corriente ingresa al tubo 
en la esquina inferior sur de la ventana. Sale en la esqui- 
na opuesta, que esta 1.40 m mas al norte y 0.850 m mas 
alto. Entre estos dos puntos el tubo fosforescente indica 

• DONAS. Use el teorema proporcionado en el texto co- 
mo "Caso 1" para determinar el vector total de la fuerza 
magnetica sobre el tubo. 

Seccion 29.3 Momento de torsi6n sobre una espira de 
corriente en un campo magnelico uniforme 

23. Una corriente de 17.0 mA se mantiene en una espira de 
circuito individual de 2.00 m de circunferencia. Un cam- 
po magnetico de 0.800 T se dirige paralelo al piano de 
la espira. a) Calcule el momento magnetico de la espira. 



932 



CAPlTULO 29 Campos magnfticos 



b) ,-Cual es la magnitud del momento de torsion ejerci- 
do sobre la espira por el campo magnetico? . 
24. Un pequeno iman de barra esta suspendido en un cam- 
po magnetico unifonne de 0.250 T. El momento de tor- 
sion maximo experimentado por el iman de barra es de 
4.60 x 10" s N-m. Calcule el momento magnetico del 
iman de barra. 
web [25] Una espira rectangular consta de N = 100 vueltas enro- 
lladas muy proximas entre si y tiene dimensiones a = 
0.400 m y b = 0.300 m. La espira se articula a lo largo del 
eje y, y su piano forma un angulo 9 = 30.0° con el eje x 
(Fig. P29.25). jCual es la magnitud del momento de tor- 
sion ejercido sobre la espira por un campo magnetico 
unifonne B = 0.800 T dirigido a lo largo del eje x cuan- 
do la corriente es /= 1.20 A en la direccion indicada? 
jCual es la direccion esperada de rotation de la espira? 



26. 



27. 



28. 



29. 



T 


jk,Nw 7=1.20 A 


vu m 

1 






-1 


^^30.0° 
0.300 n^ 


\ 


«. 


jura P29.2 


5 



Un largo pedazo de alambre de 0.100 kg de masa y 4.00 
m de longitud se usa para formar una bobina cuadrada 
de 0.100 m de lado. La bobina se articula a lo largo de 
un lado horizontal, conduciendo una corriente de 3.40 
A y se coloca en un campo magnetico vertical de 0.010 
T de magnitud. a) Determine el angulo que el piano de 
la bobina forma con la vertical cuando la bobina esta en 
equilibrio. b) Encuentre el momento de torsion que ac- 
tua sobre la bobina debido a la fuerza magnetica en equi- 
librio. 

Un alambre de 40.0 cm de largo conduce una corriente 
de 20.0 A. Se dobla en una espira y se coloca con su nor- 
mal perpendicular a un campo magnetico con una in- 
tensidad de 0.520 T. ^Cual es el momento de torsion so- 
bre la espira si-se dobla en la forma de a) un triangulo 
equilatero, b) un cuadrado, c) un cfrculo? d) jCual mo- 
mento de torsion es mas grande? 
Una espira de corriente con un momento de dipolo fi 
se coloca en un campo magnetico unifonne B. Pruebe 
que su energia potencial es U= -/t-B. Puede reproducir 
el analisis de la energia potencial de un dipolo electrico 
en un campo electrico proporcionado en el capftulo 26. 
La aguja de una brujula magnetica tiene un momento 
magnetico de 9.70 mA-m 2 . En esta ubicacion el campo 
magnetico de la Tierra es de 55.0 (iT hacia el none a 
48.0° bajo la horizontal, a) Identifique las orientaciones 



a las cuales la aguja de la brujula tiene energias poten- 
ciales minima- y maxima, b) <;Cuanto trabajo debe reali- 
zarse sobre la aguja para que esta se mueva desde la pri- 
mera hasta la ultima orientation? 

30. Se forma un cfrculo con un alambre de 10.0 cm de dia- 
metro y se pone en un campo magnetico uniforme de 
3.00 mT. Una corriente de 5.00 A circula por el alambre. 
Determine a) el momento de torsion maximo sobre el 
alambre y b) el intervalo de energia potencial del alam- 
bre para diferentes orientaciones del cfrculo en el campo. 

Seccion 29.4 Movimiento de una particula cargada 
en un cajnpo magnelico uniforme 

31. El campo magnetico de la Tierra en cierta localidad esta 
dirigido verticalmente hacia abajo y tiene una magnitud 
de 50.0 /jlT. Un proton se mueve horizontalmente hacia 
el oeste en este campo a una rapidez de 6.20 x 10 6 m/s. 
a) jCuales son la direccion y magnitud de la fuerza mag- 
netica que el campo ejerce sobre esta carga? b) jCual es 
el radio del arco circular que sigue este proton? 

32. Un ion positivo con una sola carga' tiene una. masa dc 
3.20 x 10" 26 kg. Despues de que es acelerado desde el re- 
poso a traves de una diferencia de potencial de 833 V, el 
ion entra a un campo magnetico de 0.920 T a lo largo de 
una direccion perpendicular a la direccion del campo. 
Calcule el radio de la trayectoria del ion eh el campo. 

33. Problemaderepaso. Un electron choca en forma elasti- 
ca con un segundo electron inicialmente en reposo. Des- 
pues del choque los radios de sus trayectorias son 1.00 
cm y 2.40 cm. Las trayectorias son perpendiculares a un 
campo magnetico uniforme de 0.044 T de magnitud. 
Determine la energia (en keV) .del electron incidente. 

34. Un proton que se mueve en una trayectoria circular per- 
pendicular a un campo magnetico constante tarda 1.00 
lis para completar una revolution. Determine la magni- 
tud del campo magnetico. 

[35] Un proton (carga +e, masa m p ), un deuteron (carga +e, 
masa 2m p ) y una particula alfa (carga- + 2e, masa im p ) se 
aceleran a traves de una diferencia de potencial comun 
AV. Las particulas entran a un campo magnetico unifor- 
me B con una velocidad en direccion perpendicular a B. 
El proton se mueve en una trayectoria circular de radio 
T r Determine los valores de los radios de las orbitas cir- 
culares para el deuteron r d y la particula alfa r„ en termi- 
nos de r^. 

36. Problemaderepaso. Un electron se mueve en una tra- 
yectoria circular perpendicular a un campo magnetico 
constante de magnitud 1.00 mT. Si el momentum angu- 
lar del electron respecto del centro del cfrculo es 4.00 x 
10" 25 J-s, determine a) el radio de la trayectoria circular 
y b) la rapidez del electron. 
' 37. Calcule la frecuencia de ciclotron de un proton en un 
campo magnetico con una magnitud de 5.20 T. 

38. Un ion de masa m con una sola carga se acelera desde 
el reposo por medio de una diferencia de potencial A V. 
Despues se desvfa por u,n campo magnetico uniforme 
(perpendicular a la velocidad del ion) hacia un semi- 
cfrculo de radio R. Despues de esto un ion doblemente 
cargado de masa m' se acelera a traves de la misma dife- 



Problemas 



933 



rencia de potential y se desvia mediante el mismo cam- 
po magnetico hacia un semicfrculo de radio R' = 2R. 
iCual es la relation de las masas de los iones? 
|39] Un proton de rayos cosmicos en el espacio iriterestelar 
tiene una energia de 10.0 MeV y ejecuta una orbita cir- 
cular con un radio igual al de la orbita de Mercurio al- 
rededor del Sol (5.80 x 10 10 m). £Cual es el campo mag- 
netico en esta region del espacio? 

40. Un ion positivo con una sola carga que se mueve a 4.60 
x 10 5 m/s sale de una trayectoria circular de 7.94 mm de 
radio a lo largo de una direction perpendicular a un 
campo magnetico de 1.80 T de una camara de burbujas. 
Calcule la masa (en unidades de masa atomica) de este 
ion, y, a partir de ese valor, identifiquelo. 

{Optional) 

Seccion 29.5 Aplicaciones que involucran el movimiento de 
particulas cargadas en un campo magnStico 

41. Un selector de velocidades se compone de campos mag- 
netico y electrico descritos por las expresion'es E = Ek y 
B = By Si B = 0.015 T, determine el valor de E tal que 
un electron de 750 eV que se mueve a lo largo del eje x 
positivo no se desvie. 

42. a) Iones de uranio -238 con una sola carga se aceleran a 
traves de una diferencia de potential de 2.00 kV y entran 
a un campo magnetico uniforme de 1.20 T dirigido per- 

' pendicular a sus velocidades. Determine el radio de su tra- 
yectoria circular, b) Repita para iones de uranio -235. £C6- 
mo depende la relation de radios de trayectoria del voltaje 
de aceleracion y de la intensidad del campo magnetico? 

is 43. Considere el espectrometro de masas que se muestra es- 
quematicamente. en la figura 29.23. El campo electrico en- 
tre las placas de selector de velocidad es de 2 500 V/m y 
el campo magnetico tan to en el selector de velocidad co- 
mo en la camara de desviacion tiene una magnitud de 
0.035 T. Calcule el radio de la trayectoria para un ion 
con una sola carga que tiene una masa m= 2.18 x 10" 26 kg. 
44. jCual es el radio requerido de un ciclotron disenado pa- 
ra acelerar protones hasta energfas de 34.0 MeV em- 
pleando un campo magnetico die 5.20 T? 
IJ5l Un ciclotron disenado para acelerar protones tiene un 
campo magnetico de 0.450 T de magnitud sobre una region 
de 1.20 m de radio. jCuales son a) la frecuencia de ciclo- 
tron y b) la> rapidez maxima adquirida por los protones? 
46. En el acelerador Fermilab en Batavia, Illinois, protones 
que tienen un momentum de 4.80 x 10" 16 kg- m/s se man- 
tienen en una orbita circular de 1.00 km de radio me- 
diante un campo magnetico hacia arriba. £Cual es la 
magnitud de este campo? 

ne §7] El tubo de imagen en una television emplea bobinas de 
desviacion magnetica en lugar de placas de desviacion 
electrica. Suponga que un haz de electrones se acelera a 
traves de una diferencia de potential de 50.0 kV y luego 
viaja a traves de una region de campo magnetico unifor- 
me de 1.00 cm de ancho. La pantalla se localiza a 10.0 
cm del centro de las bobinas y mide 50.0 cm de ancho. 
Cuando se desactiva el campo, el haz de electrones inci- 
de en el centro de la pantalla. (-Que intensidad de cafm- 
po es necesaria para desviar el haz al lado de la panta- 
lla? Ignore correcciones relativistas. 



(Optional) 
Seccidn 29.6 



El efecto Hall 



48. 



Una tira plana de plata que tiene un espesor t = 0.200 
mm se usa en una medicion de efecto Hall de un cam- 
po magnetico uniforme perpendicular a la tira, como se 
muestra en la figura P29.48. El coeficiente Hall para la 
plata es i^ = 0.840 x 10" 10 m 3 /C a) jCual es la densidad 
de los portadores de carga en la plata? b) Si una corrien- 
te /= 20.0 A produce un voltaje Hall AF H = 15.0 /uV, £cual 
es la magnitud del campo magnetico aplicado? 



49. 



50. 



52. 




Figura P29.48 

Una seccion de conductor de 0.400 cm de espesor se usa 
en una medicion del efecto Hall. Si se mide un voltaje 
Hall de 35.0 fiV para una corriente de 21.0 A en un cam- 
po magnetico de 1.80 T, calcule el coeficiente Hall para 
el conductor. 

Una tira de cobre plana de 0.330 mm de espesor condu- 
ce una corriente estable de 50.0 A y se localiza en un 
campo magnetico uniforme de 1.30 T en direction per- 
pendicular al piano de la tira. Si un voltaje Hall de 9.60 
/iV se mide a traves de la tira, £cual es la densidad de car- 
ga de los electrones libres? <jQue numero efectivo de 
electrones libres por atomo indica este resultado? 
En un experimento disenado para medir el campo mag- 
netico de la Tierra utilizando el efecto Hall, una barra 
de cobre de 0.500 cm de espesor se coloca a lo largo de 
una direction este-oeste. Si una corriente de 8.00 A en 
el conductor da como resultado un voltaje Hall de 5.10 
pV, <;cual es la magnitud del campo magnetico terrestre? 
(Suponga que n = 8.48 x 10 28 electrones/rri* y que el pia- 
no de la barra se gira hasta quedar perpendicular a la di- 
rection de B.) 

Una sonda de efecto Hall funciona con una corriente de 
120 mA. Cuando la sonda se pone en un campo magne- 
tico uniforme de 0.080 T de magnitud, produce un vol- 
taje Hall de 0.700 /J.V. a) Cuando se mide un campo 
magnetico desconocido, el voltaje Hall es de 0.330 /xV. 
£Cual es la intensidad del campo magnetico desconoci- 
do? b) Si el espesor de la sonda en la direction de B es 
2.00 mm, encuentre la densidad de portadores de carga 
(cada uno de carga e) . 



PROBLEMAS ADICIONALES 

53. Un electron entra a la region de un campo magnetico de 
0.100 T de magnitud, desplazandose perpendicularmente 
a la frontera lineal de la region. La direction del campo 
es perpendicular a la velocidad del electron, a) Determine 
el tiempo que tarda el electron en salir de la region "llena 
de campo", dado que recorre una trayectoria semicircular, 
b) Encuentre la energia cinetica del electron si la profun- 
didad de penetration maxima en el campo es de 2.00 cm. 



934 



CAPiTUL 29 Campos magnfticos 



54. 



Una barra metalica de 0.200 kg que conduce una co- 
rriente de 10.0 A se desliza sobre dos rieles horizontales 
separados 0.500 m. iQue campo magnetico vertical se re- 
quiere para mantener la barra en movimiento a una ra- 
pidez constante si el coeficiente de friccion cinetica en- 
tre la barra y los rieles es de 0.100? 
El sodio se funde a 99°C. El sodio liquido, un excelente 
conductor termico, se emplea en algunos reactores nu- 
cleares para enfriar el nucleo del reactor. El sodio liqui- 
do se mueve a traves de tuberias mediante bombas que 
aprovechan la fuerza sobre una carga movil en un cam- 
po magnetico. El principio es el siguiente: suponga que 
el metal liquido esta dentro de una tuberia aislada elec- 
tricamente con una seccion transversal rectangular de 
ancho w y altura h. Un campo magnetico uniforme per- 
pendicular a la tuberia afecta una seccion de longitud L 
(Fig. P29.55). Una corriente electrica en direction per- 
pendicular a la tuberia y al campo magnetico produce 
una densidad de corriente / en el sodio liquido. a) Ex- 
plique por que este arreglo produce en el liquido una 
fuerza que esta dirigida a lo largo de la longitud de la tu- 
beria. b) Muestre que la seccion de liquido en el campo 
magnetico experimenta un aumento de presion JLB. 



56. 




Figura P29.5S 

Protones que tienen una energfa cinetica de 5.00 MeV 
se mueven en la direction x positiva y entran a un cam- 
po magnetico B = (0.050 k) dirigido hacia afuera del 
piano de la pagina y que se extiende de x = a x = 1.00 
m, como se muestra en la figura P29.56. a) Calcule la 
componente y del momentum de los protones conforme 
salen del campo magnetico. b) Encuentre el angulo a 
entre el vector de velocidad initial del haz de protones 
y el vector de velocidad despues de que el haz emerge 
del campo. (Sugerencia: ignore los efectos relativistas y 
observe que 1 eV = 1.60 x 10" 19 J.) 




Figura P29.S6 

57. a) Un proton que se mueve en la direction + x a una ve- 
locidad v = Vj i experimenta una fuerza magnetica F = 
jFjj. Explique que puede y que no puede inferir acerca 
de B a partir de esta information, b) En terminos de F it 
y en el mismo campo, jcual seria la fuerza sobre un pro- 
ton que se mueve a velocidad v = -v t i? c) En el mismo 



58. 



60. 



61. 



campo, jcual seria la fuerza sobre un electron que se 
mueve a velocidad v = f,i? 

Problema de repaso. Un alambre que tiene una densi- 
dad de masa lineal de 1.00 g/cm se pone sobre una su- 
perficie horizontal que tiene un coeficiente de friccion 
de 0.200. El alambre conduce una corriente de 1.50 A 
hacia el este y se mueve horizontalmente hacia el norte. 
jCuales son la magnitud y la direction del campo mag- 
netico mas pequeno que permite al alambre moverse de 
esta manera? 

Una carga positiva q= 3.20 x 10~ 19 C se mueve a una ve- 
locidad v = (2i + 3j - Ik) m/s a traves de una region don- 
de existen tan to .un campo magnetico uniforme como 
un campo electricoTiniforme. a) jCual es la fuerza total 
sobre la carga movil (en notation de vectores unitarios) 
siB= (2i + 4j + Ik) TyE= (4i- lj-2k) V/m? b) iQue 
angulo forma el vector fuerza con el eje x positivo? 
Un proton de rayos cosmicos que viaja a la mitad de la 
rapidez de la luz se dirige directamente hacia el centro 
de la Tierra en el piano del ecuador terrestre. <:Golpea- 
ra al planeta? Suponga que la magnitud del campo mag- 
netico terrestre es uniforme sobre el piano del ecuador 
de 50.0 /xT y que se extiende hacia el exterior 1 .30 x 10 7 
m a partir de la superficie de la Tierra. Suponga que el 
campo es cero a grandes distancias. Calcule el radio de 
curvatura de la trayectoria del proton en este campo 
magnetico. Ignore efectos relativistas. 
El circuito en la figura P29.61 se compone de alambres 
en la parte superior y en la inferior y de resortes metali- 
cos identicos en los lados izquierdo y derecho. El alam- 
bre en el fondo tiene una masa de 10.0 g y mide 5.00 cm 
de longitud. Los resortes se alargan 0.500 cm bajo el pe- 
so del alambre y el circuito tiene una resistencia total de 
12.0 SI. Cuando se activa un campo magnetico, que apun- 
ta hacia afuera de la pagina, los resortes se alargan 0.300 
cm adicionales. jCual es la magnitud del campo magne- 
tico? (La parte superior del circuito esta fija.) 



62. 



pVW-^l 



24.0 V 



« — 5.00 cm — « 
Figura P29.61 



Una batidora electrica de mano contiene un motor elec- 
trico. Modele el motor como una sola bobina circular 
compacta y plana que conduce una corriente electrica 
en una region donde un campo magnetico es produci- 
do por un iman permanente externo. Necesita conside- 
rar solo un instante en la operation del motor. (Los mo- 
tores se consideraran nuevamente en el capitulo 31.) La 
bobina se mueve porque el campo magnetico ejerce un 
momento de torsion sobre la misma, como se describio 



Problemas 



935 



en la seccion 29.3. Realice estimation del orden de mag- 
nitud del campo magnetico, el momento de torsion so- 
bre la bobina, la corriente sobre ella, su area y el nume- 
ro de vueltas en la bobina, de manera que esten 
relacionadas de acuerdo con la ecuacion 29.11. Advierta 
que la potencia de entrada al motor es electrica, dada 
por 9* = ZAV, y la potencia de salida util es mecanica, da- 
da por 2? = T<a. 

63. Una barra metalica con una masa por unidad de longi- 
tud de 0.0100 kg/m conduce una corriente de /= 5.00 
A. La barra cuelga de dos alambres en un campo mag- 
netico vertical uniforme, como se ve en la figura P29.63. 
Si los alambres forman un angulo 6 = 45.0° con la verti- 
cal cuando estan en equilibrio, determine la intensidad 
del campo magnetico. 

64. Una barra metalica con una masa por unidad de longi- 
tud./i conduce una corriente /. La barra cuelga de dos 
alambres en un campo magnetico vertical uniforme co- 
mo se ve en la figura P29.63. Si los alambres forman un 
angulo 6 con la vertical cuando estan en equilibrio, de- 

. . termine la intensidad del campo magnetico. 




65. 



66. 



Figura P29.63 Problemas 63 y 64. 

Los ciclotrones se uulizan algunas veces para determinar 
la epoca con carbono, la cual se considera en la seccion 
44.6. Los iones de carbono -14 y carbono -12 son obteni- 
dos de una muestra del material a ser fechado y acelera- 
dos en el ciclotron. Si el ciclotron tiene un campo mag- 
netico de 2.40 T de magnitud, jcual es la diferencia en 
las frecuencias del ciclotron para los dos iones? 
Un campo magnetico uniforme de magnitud 0.150 T 
apunta a lc largo del eje x positivo. Un positron que se 
mueve a 5.00 x 10 6 m/s ingresa al campo a lo largo de 




una direction que forma un angulo de 85.0° con el eje 
x (Fig. P29.66) . El movimiento de la particula se espera 
que sea una helice, como se describe en la seccion 29.4. 
Calcule a) el paso p y b) el radio r de la trayectoria. 
|67] Considere un electron que orbita alrededor de un pro- 
ton y mantiene una trayectoria circular fija de radio R = 
5.29 x 10~ n m por la fuerza de Coulomb. Tratando a la 
carga orbital como una espira de corriente, calcule el 
momento de torsion resultante cuando el sistema esta 
en un campo magnetico de 0.400 T dirigido perpendi- 
cular al momento magnetico del electron. 

68. Un ion con una sola carga completa ci'nco revoluciones 
en un campo magnetico uniforme de magnitud 5.00 x 
10" 2 T en 1.50 ms. Calcule la masa del ion en kilogramos. 

69. Un proton que se mueve en el piano de la pagina tiene 
una energia cinetica de 6.00 MeV. Entra en un campo 
magnetico de magnitud B =-1.00 T dirigido hacia el in- 
terior de la pagina a un angulo 6 = 45.0° con la fronte- 
ra lineal recta del campo, como se muestra en la figura 
P29.69. a) Encuentre la distancia xdesde.el pun to de en- 
trada hasta donde el proton abandona el campo. b) De- 
termine el angulo & entre la frontera y el vector de ve- 
locidad del proton cuando este sale del campo. 



x x x x x 
x xx x x 
xxxxx 
x x x x x 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 
xxxxx 



/ 



Figura P29.69 

El "0. La tabla P29.70 presenta mediciones de un voltaje Hall 
y*del campo magnetico correspondiente a una sonda 
usada para medir campos magneticos. a) Grafique estos 
datos y obtenga una relacion entre las dos variables. 



Figura P29.66 



TABLA B29J7O.0,^ ^ 


AFh(mV) 




B(T) 







0.00 


11 




0.10 


19 




0.20 


28 




0.30 


42 




0.40 


50 




0.50 


61 




0.60 


68 




0.70 


79 




0.80 


90 




0.90 


102 




1.00 



936 



CAPITUL029 Campos magneticos 



b) Si las mediciones se tomaron con una corriente de 
0.200 A y la muestra se tomo de un material que tiene 
una densidad de portadores de carga de 1.00 x 10 26 /m 3 , 
jcuiil es el espesor de la muestra? 
71. Un cardiologo vigila la rapidez de flujo de sangre a tra- 
' ves de una arteria usando un medidor electromagnetico 
de flujo (Fig. P29.71). Los electrodos Ay B hacen con- 
tacto con la superficie exterior del vaso sanguineo, el 
cual tiene 3.00 mm de diametro interno. a) Para un cam- 
po magnetico de 0.040 T de magnitud, una fern de 160 
fiV aparece entre los electrodos. Calcule la rapidez de la 



Arteria 



Al potenciometro 




sangre. b) Verifique que el electrodo A es positivo, como 
se muestra. £E1 signo de la fern depende de si los iones 
moviles en la sangre estan predominantemente cargados 
de manera positiva o negativa? Explique. 
72. Como esta ilustrado en la figura P29.72, una pam'cula de 
masa m que tiene carga positiva q inicialmente viaja ha- 
cia arriba a velocidad vj. En el origen de coordenadas 
ingresa a una region entre y = y y = h que contiene un 
campo magnetico uniforme Bk dirigido perpendicular 
hacia afuera de la pagina. a) <jCual es el valor critico de 
v tal que la partfcula apenas alcance y = h? Describa la 
trayectoria de la partfcula bajo esta condition y prediga 
su velocidad final, b) Especifique la trayectoria de la par- 
tfcula y su velocidacr'final si v es menor que el valor cri- 
tico. c) Especifique la trayectoria de la partfcula y su ve- 
locidad final si v es mayor que el valor critico. 



T 

h 

1 



Figura 929.71 



Figura 929.72 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



29.1 



29.2 



29.3 



Cero. Debido a que la fuerza magnetica ejercida por el 
campo sobre la carga siempre es perpendicular a la ve- 
locidad de la carga, el campo nunca puede realizar tra- 
bajo alguno sobre la carga: W= W B - ds = (F B -\)dt = 0. El 
trabajo requiere una componente de fuerza a lo largo de 
la direccion del movimiento. 

No se ve afectado. La fuerza magnetica ejercida por un 
campo magnetico sobre una carga es proportional a la 
velocidad de la carga relativa al campo. Si la carga es 
estacionaria, como en esta situation, no existe fuerza 
magnetica. 

c), b), a), d). Como muestra el ejemplo 29.2, es necesa- 
rio estar interesado solo en la "longitud efectiva" del 
alambre perpendicular al campo magnetico o, dicho de 
otro modo, la longitud de la "sombra del campo magne- 
tico" proyectada por el alambre. Para c), 4 m de alam- 
bre son perpendiculares al campo. Las pequefias piezas 
verticales no experimentan fuerza magnetica porque sus 
corrientes son paralelas al campo. Cuando el alambre en 
b) se rompe en muchos pequefios segmentos verticales 
y horizontales que se alternan paralela y perpendicular- 
mente al campo, se encuentra un total de 3.5 m de seg- 
mentos horizontales perpendiculares al campo y, en con- 
secuencia, que experimentan una fuerza. Luego viene 
a), con 3 m de alambre efectivamente perpendicular al 
campo. Solo 2 m del alambre en d) experimentan una 
fuerza. La portion que conduce corriente de 2 a 4 m ex- 



perimenta una fuerza dirigida hacia. afuera de la pagma, 
pero esta fuerza es cancelada por una fuerza dirigida de 
manera opuesta que actua sobre la corriente mientras se 
mueve de 4 a 2 m. 

29.4 Puesto que esta en la region del campo magnetico mas 
intenso, el lado (D experimenta una mayor fuerza que el 
lado (D: F s > F t . En consecuencia, ademas del momento 
de torsion resultante de las dos fuerzas, sobre la espira 
se ejerce una fuerza neta descendente. 

29.5 c), b), a). Ya que todas las espiras encierran la misma 
area y conducen la misma corriente, la magnitud de /i 
es la misma para todos. Para c), ft apunta hacia arriba y 
es perpendicular al campo magnetico y t= fiB. Este es 
el maximo momento de torsion posible. El siguiente 
producto cruz de ft y B mas grande es para b) , en el cual 
ft apunta hacia el superior derecho (como se ilustra en 
la Fig. 29.13b). Finalmente, ft para la espira en a) apun- 

. ta a lo largo de la direccion de B; en consecuencia, el 
momento de torsion es cero. 

29.6 El selector de velocidad asegura que los tres tipos de par- 
tfculas tengan la misma rapidez. No se pueden determi-. 
nar masas o cargas individuales, pero las partfculas/se 
pueden clasificar mediante la proportion m/q. La ecua- 
cion 29.18 indica que aquellas partfculas que viajan a tra- 
ves del cfrculo de radio mas grande tienen la mayor re- 
lation m/q. Por tanto, la clasificacion m/q, de mayor a 
menor, es c, b, a. 








Fuentes del campo magnetico 



cdpitulo 




jjj% -*-W £ ~ •"' J* ""*■ 






30.1 La ley de Biot-Savart 

30.2 La fuerza magnetica entre dos 
conductores paraleios 

30.3 Ley de Ampere 

30.4 El campo magnetico de un 
solenoftie 

30.5 Flujo magnetico 

30.6 La ley de Gauss en el magnetismo 



30.7 Corriente de desplazamiento y 
la forma general de la ley de 
Ampere 

30.8 (Opc'tonal) Magnetismo en la 
materia 

30.9 (Opcional) El campo magnetico 
de la Tierra 



937 



938 CAP/TUL030 Fuentes del campo magnflico 



fn el capftulo anterior se estudio la fuerza magnetica ejercida sobre una partf- 
cula cargada que se mueve en un campo magnetico. Para completar la des- 
cription de la interaction magnetica, este capftulo trata el origen del campo 
magnetico — cargas en movimiento — . El tema inicia mostrando como usar la ley de 
Biot y Savart para calcular el campo magnetico producido en algun punto del espa- 
cio por un pequeno elemento de corriente. Con este formalismo y el principio de 
superposition, se calcula entonces el campo magnetico total debido a varias distri- 
buciones de corriente. Despues, se mostrara como determinar la fuerza entre dos 
conductores portadores de corriente, que Uevara a la definition del ampere. Tam- 
bien se introduce la ley de Ampere, que es muy util para calcular el campo magne- 
tico de configuraciones altamente simetricas que conducen corrientes estables. 

Este capftulo tambien trata los complejos procesos que ocurren en los materia- 
les magneticos. Todos los efectos magneticos en la niateria pueden explicarse sobre 
la base de momentos magneticos atomicos, los cuales surgen tanto del movimiento 
orbital de los electrones como de la propiedad intrinseca de los electrones conoci- 
da como espfn. 



LA LEY DE BIOT-SAVART 

Poco despues de que Oersted descubriera en 1819 que la aguja de una brujula era 
desviada por un conductor que Uevaba corriente, Jean-Baptiste Biot (1774-1862) y 
Felix Savart (1791-1841) realizaron experimentos cuantitativos sobre la fuerza ejer- 
cida por una corriente electrica sobre un iman cercano. A partir de sus resultados 
experimentales, Biot y Savart llegaron a una expresion matematica que proporcio- 
na el campo magnetico en algun punto en el espacio en terminos de la corriente 
que produce el campo. Dicha expresion esta basada en las siguientes observaciones 
experimentales para el campo magnetico dB en un punto P asociado con un ele- 
mento de longitud ds de un alambre que conduce una corriente estable / (Fig. 30.1): 

PropiSidesTdel <amj»p~magnetico • El vector dB es perpendicular tanto a ds (que apunta en la direccion de la co- 

creadqipor malcorncnte electrica rriente) como al vector unitario f dirigido de ds a P. 

• La magnitud de dB es inversamente proporcional a r 2 , donde res la distancia des- 
de ds hasta P. 

• La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds del elemen- 
to de longitud ds. 

• La magnitud de dB es proporcional a sen 6, donde 8 es el angulo entre los vecto- 
res dsyr. 



dB afnr „tP *P 




'L 



.ds 



^ i , p , 



b) c) 



Figura 30. 1 a) El campo magnetico dB en el punto P debido a la corriente / a traves de un elemen- 
to de longitud ds esta dado por la ley de Biot-Savart. La direccion del campo es hacia afuera de la pa- 
gina en Py hacia adentro de la pagina en P'. b) EI producto cruz ds x f apunta hacia afuera de la 
pagina cuando r apunta hacia P. c) El producto cruz ds x i apunta hacia adentro de la pagina cuando 
f apunta hacia P'. 



'30. 1 La ley de Biot-Savart 



939 



Estas observaciones se resumen en la formula matematica conocida en la actualidad 
como ley de Biot-Savart 



dB = 



fj, Ids x f 
Ait r 2 



(30.1) 



donde ^ es una constante conocida como permeabilidad del espacio libre: 

/i = 4tt x 10- 7 T • m/A (30.2) 

Es importante observar que el campo dR en la ecuacion 30.1 es el campo crea- 
do por la corriente solo para un pequeno elemento de longitud ds del conductor. 
Para encontrar el campo magnetico total B creado en algun punto por una corrien- 
te de tamafio finito, debe sumar las contribuciones de todos los elementos de co- 
rriente Ids que conforman la corriente. Es decir, debe evaluar B integrando la ecua- 
cion 30.1: 



B 



_ /i, 7 fdsx f 

~ 4tt J r 2 



(30.3) 



donde la integral se evalua sobre toda la distribution de corriente. Esta expresion 
debe manejarse con especial cuidado debido a que el integrando es un producto 
cruz y, por tanto, una cantidad vectorial. Se vera un caso de tal integracion en el 
ejemplo 30.1. 

Aunque se ha desarrollado la ley de Biot-Savart para un alambre que conduce 
corriente, tambien es valida para una corriente que consta de cargas que fluyen a 
traves del espacio, como el haz de electrones en una television. En este caso ds re- 
presenta la longitud de un pequeno segmento del espacio en el cual fluyen las 
cargas. 

Hay similitudes interesantes entre la ley Biot-Savart del magnetismp y la ley de 
Coulomb de la electrostatica. El elemento de corriente produce un campo magne- 
tico, en tanto que una carga puntual produce un campo electrico. Ademas, la mag- 
nitud del campo magnetico varia como el cuadrado inverso de la distancia desde el 
elemento de corriente, como ocurre con el campo electrico debido a una carga pun- 
tual. Sin embargo, las direcciones de los dos campos son bastante diferentes. El cam- 
po electrico creado por una carga puntual es radial, mientras el campo magnetico 
creado por un elemento de corriente es perpendicular tanto al elemento de longi- 
tud ds como al vector unitario f , como se describe por el producto cruz en la ecua- 
cion 30.1. Por consiguiente, si el conductor esta en el piano de la pagina, como se 
muestra en la figura 30.1, dB apunta hacia afuera de la pagina en Py hacia adentro 
de la misma en?'. 

. Otra diferencia entre los campos electrico y magnetico esta relacionada con la 
fuente del campo. Un campo electrico se establece mediante una carga electrica ais- 
lada. La ley de Biot-Savart proporciona el campo magnetico de un elemento de co- 
rriente aislado en algun punto, pero tal elemento de corriente aislado no puede exis- 
tir de la forma en que puede hacerlo una carga electrica aislada. Un elemento de 
corriente debe ser parte de una distribution de corriente extendida porque es nece- 
sario tener un circuito completo para que fluyan las cargas. En consecuencia, la ley 
de Biot-Savart solo es el primer paso en un calculo de un campo magnetico; debe 
ser seguido por una integracion sobre la distribution de corriente. 

En los ejemplos que siguen es importante reconocer que el campo magnetico 
determinado en esos calculos es el campo creado por un conductor que transporta 
corriente. Este campo no debe confundirse con cualesquier campos adicionales que 
puedan estar presentes afuera del conductor debidos a otras fuentes, como un iman 
de barra colocado en la cercania. 



Ley de Biot-Savart 



Permeabilidad del espacio libre 



940 



CAPlTUL 30 Fuentes del campo magngtico 



EjemploM. 



Campo magnetico alrededor de un conductor recto delgado 



Considere un alambre recto y delgado que conduce una co- 
rriente constante /y que se coloca a lo largo del eje x, como 
se muestra en la figura 30.2. Determine la magnitud y direc- 
tion del campo magnetico en el punto P debido a esta co- 
rriente. 

Solution A partir de la ley de Biot-Savart, se espera que la 
magnitud del campo sea proporcional a la corriente en el 
alambre y disminuya conforme aumente la distancia a desde 
el alambre al punto P. Comience por considerar un elemen- 
to de longitud ds que esta a una distancia rde P. La direccion 
del campo magnetico en el punto P debido a la corriente en 
este elemento apunta hacia afuera de la pagina, pues ds x r 
se orienta hacia afuera de la pagina. De hecho, dado que to-, 
dos los elementos de corriente J ds estan en el piano de la pa- 
gina, todos ellos producen un campo magnetico dirigido ha- 
cia afuera de la pagina en el punto P. Por tanto, se tiene la 
direccion del campo magnetico en el punto P, y solo se nece- 
sita determinar la magnitud. 

Tomando el origen en O y dejando que P este a lo largo 
del eje y positivo, con k como el vector unitario que apunta 
hacia afuera de la pagina, se ve que 

ds x f = k |ds x t\ = k (dx sen 0) 

donde, a partir del capitulo 3,.|ds x t\ represents la magnitud 
de ds x fr. Puesto que t es un vector unitario, la unidad del 
producto cruz es simplemente la unidad de ds, que es longi- 
tud. La sustitucion en la ecuacion 30.1 produce 



dB = (dB)k .= 



Mo* dx sen.0 

4ir r 2 



Puesto que todos los elementos de corriente producen un cam- 
po magnetico en la direccion k, restrinja su atencion a la mag- 
nitud del campo debido a un elemento de corriente, la cual es 



1) 



dB = 



Hoi dx sen 

4tt T 2 



Para integrar esta expresion, se deben relacionar las variables 
0, x y r. Una aproximacion es expresar x y r en terminos de 0. 
A partir de la geometria de la figura 30.2a se tiene 



2) 



sen 



= a esc 



Puesto que tan = a/(-x) segun el triangulo recto en la figu- 
ra 30.2a (el signo negativo es necesario porque ds se localiza 
en un valor negativo de x) , se tiene 

x = - a cot 6 

Tomando la derivada de esta expresion se obtiene 

3) dx= acsc 2 6 dd 

La sustitucion de las ecuaciones 2) y 3) en la ecuacion l) 
produce 



4) 



dB = 



/x 7 a esc 2 0sen d0 y^I 



4ir 



a 2 csc 2 



Aira 



sen d6 



una expresion en la cual la unica variable es 0. Ahora se pue- 
de obtener la magnitud del campo magnetico en el punto P 
integrando la ecuacion 4) sobre todos los elementos que sub- 
tienden angulos que varian de 0, a 2 como se define en la fi- 
gura 30.2b: 



B = 



Mo* 
4ira 



/: 



sen dd = - J -^-(cos e x - cos 2 ) 
4ira 



(30.4) 



Se puede usar este resultado para encontrar el campo mag- 
netico de cualquier alambfe recto que transporta corriente si 
se conoce la geometria y, por tanto, los angulos 0, y 2 . Con- 
sidere el caso especial de un alambre recto infinitamente lar- 
go. Si se deja que el alambre en la figura 30.2b se vuelva infi- 
nitamente largo, se ve que 0, = y 2 = tt, para elementos de 
longitud que varian entre posiciones x = -» y x = +». Puesto 
que (cos 0] — cos 2 ) = ( cos - cos it) = 2, la ecuacion 30.4 
se transforma en 



B = 



2ira 



(30.5) 



\ds\ = dx P 




ds 



a!Mii^a < fea i ij^^atofaM — x 



o 



a) 



/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 


i 

\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 

^^ 2 

\ \ 
s \ 


EmrKa99M«K)3>N*a| 


l»«*«S»9SWBWaH«i 







Figura 30.2 a) Un delgado alambre recto que conduce una co- 
rriente /. El campo magnetico en el punto P debido a la corriente en 
cada elemento ds del alambre es hacia afuera de la pagina, de modo 
que el campo neto en el punto P tambien es hacia afuera de la pagi- 
na. b) Los angulos 0, y 8 2> usados para determinar el campo neto. 
Cuando el alambre es infinitamente largo, 6, = y 6 2 = 180°. 



30. 1 La ley de Biot-Savart 



941 



Las ecuaciones 30.4 y 30.5 muestran que la magnitud del 
campo magnetico es proporcional a la corriente y disminuye 
cuando aumenta la distancia desde el alambre, corao se espe- 
raba. Advierta que la ecuacion 30.5 tiene la misma forma ma- 
tematica que la expresion para la magnitud del campo elec- 
trico debida a un largo alambre cargado (vease la Ec. 24.7) : '. 



Ejerdcio Calcule la magnitud del campo magnetico a 4.0 
cm de un alambre recto de longitud infinita que conduce una 
corriente de 5.0 A. 

Respuesta 2.5 x 10" 5 T. 



El resultado del ejemplo 30.1 es importante porque una corriente en la forma 
de un largo alambre recto ocurre con frecuencia. La figura 30.3 es una perspecti- 
va tridimensional del campo magnetico que rodea un largo alambre recto que con- 
duce corriente. Debido a la simetria del alambre, las lineas del campo magnetico 
son circulos concentricos con el alambre y se encuentrari en pianos perpendicula- 
res al mismo. La magnitud de B es constante en cualquier circulo de radio a y es- 
ta dada por la ecuacion 30.5. Una regla conveniente para determinar la direction 
de B es asir el alambre con la mano derecha, colocando el pulgar a lo largo de la 
direction de la corriente. Los cuatro dedos se envuelven en la direction del cam- 
po magnetico. 



•+/ 




Figura 30.3 La regla de la mano derecha para determinar 
la direction del campo magnetico que rodea un largo alam- 
bre recto que conduce corriente. Advierta que las lineas de 
campo magnetico forman circulos alrededor del alambre. 



Ejempl 



Campo magn&ico debido a un segmento de alambre curvo 



Calcule el campo magnetico en el punto O para el segmento 
de alambre que conduce corriente mostrado en la figura 30.4. 
El alambre se cOmpone de dos partes rectas y de un arcp cir- 
cular de radio R, el cual subtiende un angulo 0. Las puntas 
de flecl^a en el alambre indican la direction de la corriente. 

Solution El campo magnetico en O debido a la corriente 
en los segmentos rectos AA' y CC es cero debido a que ds es 
paralelo a f a lo largo de estas trayectorias; esto significa que 
ds x f = 0. Cada elemento de longitud ds a lo largo de la tra- 
yectoria AC esta a la misma distancia R de 0, y la corriente en 
cada uno contribuye un elemento de campo dB dirigido ha- 
cia adentro de la pagina en O. Ademas, en cada punto de la 
trayectoria AC, ds es perpendicular a f, ppr lo que |ds x f| = 
ds. Con esta information y con la ecuacion 30.1 se puede en- 
contrar la magnitud del campo en O debida a la corriente en 
un elemento de longitud ds: 



dB = 



V-pI ds 
Air R 2 







Figura 30.4 El campo magnetico en O debido a la corriente en el 
segmento curvo AC es hacia adentro de la pagina. La contribution al 
campo en O debido a la corriente en los dos segmentos rectos es cero. 



942 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo magnetico 



Puesto que / y R son constantes, se puede integrar facilmen- 
te esta expresion sobre la trayectoria curva AC. 



4irR 2 J 4ttR 2 



HqI 
AtrR 



6 



(30.6) 



donde se ha aprovechado el hecho de que s= R8, donde 6 se 
mide en radianes. La direction de B es hacia adentro de la 



pagina en O porque ds x f apunta hacia adentro de la pagi- 
na para cada elemento de longitud. 

Ejercido Un alambre con forma de espira circular de radio 
R conduce una corriente /. jCual es la magnitud del campo 
magnetico en su centro? 

Respuesta ti l/2R 



Ejempl 



Campo magnetico sobre el eje de una espira de corriente circular 



Considere una espira circular de alambre de radio R localiza- 
da en el piano yz que conduce una corriente estable Z, como 
se ve en la figura 30.5. Calcule el campo magnetico en un 
punto axial P a una distancia * del centro de la espira. 

Solution En esta situation observe que cada elemento de 
longitud ds es perpendicular al vector f en la ubicacion del 
elemento. Por tantp, para cualquier elemento, ds x f = (ds) (1) 
sen 90° = ds. Ademas, todos los elementos de longitud alre- 
dedor del lazo estan a la misma distancia r desde P, donde r 2 
= x 2 + R 2 . Por tanto, la magnitud de dB debido a la corrien- 
te en cualquier elemento de longitud ds es 



dB = 



_ /*„/ |ds x f | _ Mq7 



ds 



A.1T 



4tt (x 2 + R 2 ) 



' La direction de dB es perpendicular al piano formado por f 
y ds, como se muestra en la figura 30.5. El vector dBT puede 
descomponerse en una componente dB, a lo largo del eje x, 
y una componente dB y perpendicular al eje x. Cuando las 
componentes dB } se suman sobre todos los elementos alrede- 
dor de la espira, la componente resultante es cero. Es decir, 
por simetria la corriente en cualquier elemento sobre un la- 
do de la espira coloca una componente perpendicular de dB 
que cancela la componente perpendicular colocada por la co- 
rriente a traves de un elemento diametralmente opuesto a el. 
Por las razones anteriores, el campo resultante en P debe estar a 
lo largo del eje x y puede encontrarse integrando las compo- 
nentes dB, = dB cos 6. Esto es, B = B,i, donde 



B, 



JL. .„ „ Mo-f A dscostf 

= <PdBcose = ^ s -<P— 

J 4ir J x 2 + R 2 



y la integral debe tomarse sobre toda la espira. Como 0, xy R 
son constantes para todos los elementos de la espira, y pues- 
to que cos 8 = i?/(x 2 + R 2 ) 1/2 se obtiene 



B x = 



HoIR 



4ir(x 2 + R 2 f' 2 



wds = 



HoIR 2 



(30.7) 



2(x 2 + R 2 ) i/2 

2-n-R (la cir- 



donde se ha aprovechado el hecho de que § ds ■■ 
cunferencia de la espira) . 

Para encontrar el campo magnetico en el centro de la es- 
pira, se hace x = en la ecuacion 30.7. En este punto espe- 
cial, por tanto, 



B = 



Vol 
2R 



(en x = 0) 



(30.8) 



lo cual es consistente con el resultado del ejercicjo en el ejem- 
plo 30.2. 

Tambien es interesante determinar el compoftamiento del 
campo magnetico lejos de la espira — esto es, cuando x es mu- 
cho mas grande que R. En este caso se puede ignorar el ter- 
mino R 2 en el denominador de la ecuacion 30.7 y obtener 



B 



HoIR 2 
2x 3 



(para x » R) 



(30.9) 



Puesto que la magnitud del momento magnetico /i de la 
espira se define como el prpducto de la corriente y el area de 
la, espira (veas'e la Ec. 29.10) — /x = /(iri? 2 ) para la espira cir- 
cular — y la ecuacion 30.9 se puede expresar como 



B = 



Mo M 
2ttx 3 



(30.10) 



Este resultado es similar en forma a la expresion para el cam- 
po electrico debido a un dipolo electrico, E = fe,(2 qa/y % ) 




Figura 30.5 Geometria para calcular el campo magnetico en un 
punto P sobre el eje de una espira de corriente. Por simetria, el cam- 
po total B esta a lo largo de este eje. 



30.2 La fuerza magn&ica entre dos conductores paralelos 



943 



(vease el ejemplo 23.6) donde 2qa = p es el momento de di- 
polo electrico como se define en la ecuacion 26.16. 

El patron de las lineas de campo magnetico para una es- 
pira de corriente circular se muestra en la figura 30.6a. Por 



claridad, las lfneas se dibujan solo para un piano — el que 
contiene al eje de la espira — . Advierta que el patron de las 
lineas de campo es axialmente simetrico y se parece al patron 
que rodea a un iman de barra, mostrado en la figura 30.6c. 






c) 

Figura 30.6 a) Lineas de campo magnetico que rodean una espira de corriente. b) Lineas de campo magnetico que rodean una espira de 
corriente, mostradas con limaduras de hierro (Education Development Center, Newton, MA), c) Lineas de campo magnetico que rodean un iman 
de barra. Advierta la similitud entre este patron de lineas y el correspondiente a una espira de corriente. 



LA FUERZA MAGNETIC A ENTRE DOS 
CONDUCTORES PARALELOS 



En el capitulo 29 se describio la fuerza magnetica que actua sobre un conductor que 
transporta corriente cuando este se situa en un campo magnetico externo. Puesto 
que una corriente en un conductor establece su propio campo magnetico, es senci- 
Uo entender que dos conductores que llevan corriente ejercen fuerzas magneticas 
entre si. Como se vera, dichas fuerzas pueden utilizarse como la base para definir el 
ampere y el coulomb. 

Considere dos largos alambres paralelos rectos, separados por una distancia a y 
que conducen las corrientes 1^ e I 2 en la misma direccion, como se muestra en la fi- 
gura 30.7-. 'Se puede determinar la fuerza ejercida sobre un alambre debido a un 
campo magnetico establecido por el otro alambre. El alambre 2, el cual conduce una 
corriente J 2 , crea un campo magnetico B 2 en la posicion del alambre 1. La direccion 
de B 2 es perpendicular al alambre 1, como se muestra en la figura 30.7. De acuer- 
do con la ecuacion 29.3, la fuerza magnetica sobre una longitud € del alambre 1 es 
F, = /]€ x Bj. Puesto que € es perpendicular a B 2 en esta situacion, la magnitud de 
F, es F x = 7,€B 2 - Como la magnitud de B 2 esta dada por la ecuacion 30.5, se ve que 



f, = /,« 2 = I x i 






2ira 



(30.11) 



La direccion de Fj es hacia el alambre 2, pues € x B 2 esta en dicha direccion. Si 
se calcula el campo establecido en el alambre 2 por el alambre 1, la fuerza F 2 que 
actua sobre el alambre 2 es igual en magnitud y opuesta en direccion a F]. Esto es 
lo que se esperaba porque la tercera ley de Newton se debe obedecer 1 . 




Figura 30.7 Dos alambres parale- 
los, cada uno conduciendo una co- 
rriente estable, ejercen una fuerza en- 
tre ellos. £1 campo B 2 debido a la 
corriente en el alambre 2 ejerce una 
fuerza de magnitud F t = /i€Sj sobre 
el alambre 1. La fuerza es atractiva si 
las corrientes son paralelas (como se 
muestra) y repulsiva si las corrientes 
son antiparalelas. 



944 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo magnftico 



Cuando las corrientes estan en direcciones opuestas (esto es, cuando una de las co- 
rrientes es inversa en la Fig. 30.7) , las fuerzas se invierten y los alambres se repelen 
uno a otro. Por tanto, se encuentra que conductores paralelos que llevan corrientes 
en la misma direccion se atraen entre si, y conductores paralelos que portan corrien- 
tes en direcciones opuestas se repelen entre si. 

Ya que las magnitudes de las fuerzas son las mismas en ambos alambres, la mag- 
nitud de la fuerza magnetica entre los alambres se denota simplemente F& Esta 
magnitud se puede reescribir en terminos de la fuerza por unidad de longitud: 



2ira 



(30.12) 



Definition del ampere 



La fuerza entre dos alambres paralelos se usa para definir el ampere de la for- 
ma siguiente: 

Cuando la magnitud de la fuerza por unidad de longitud entre dos largos alam- 
bres paralelos que conduceri corrientes identicas y estan separados por 1 m es de 
2 x 10" 7 N/m* la corriente en cada alambre se define como 1 A. 



Para mayor information, visite 

imp ://physics. nist.gov/cao/Units/anipe- 

rs.btml ' 



Definition del coulomb 



El valor 2 x 10" 7 N/m se obtiene de la ecuacion 30.12, con J, = I 2 = 1 A y a = 1 m. 
Puesto que esta definition esta basada en una fuerza, es posible utilizar una medi- 
da mecanica para estandarizar el ampere. Por ejemplo, el Instituto National de Es- 
tandares y Tecnologia de Estados Unidos utiliza un instrumento llamado balanza 
de corriente para fnediciones de corriente primarias. Estos resultados se utilizan lue- 
go para estandarizar otros instrumentos mas convencionales, como los amperi- 
metros. 

La unidad de carga del SI, el coulomb, se define en terminos del ampere: 

Cuando un conductor lleva una corriente estable de 1 A, la cantidad de carga que 
fluye por la section transversal del conductor en 1 s es 1 C- 

Al derivar las ecuaciones 30.11 y 30.12 se supuso que ambos alambres en 1 " lar- 
gos comparados con su distancia de separation. De hecho, solo un alami," ' :-icesi- 
ta ser largo. Las ecuaciones describen con precision las fuerzas ejercidas muUianjen- 
te por un alambre largo y un alambre paralelo recto de longitud limitada t. 



Pregunta sorpresa 30.1 



Para /, = 2 A e / 2 = 6 A en la figrlra 30.7, jque es cierto: a) F, = 3F 2 , b) F, = F 2 /S o 



Pregunta sorpresa 30.2 



Uri resorte espiral relajado cuelga del techo, y una gran corriente se hace pasar a traves del 
mismo. ^Las espiras se mueven acercandose o alejandose? 



' Aunque la fuerza total ejercida sobre el alambre 1 es igual en magnitud y opuesta en direccion a la 
fuerza total ejercida sobre el alambre .2, la tercera ley de Newton no se aplica cuando se consideran 
dos pequenos elementos de los alambres que no estan opuestos exactamente entre si. Esta aparente 
violation de la tercera ley de Newton y de la ley de conservation del momentum se describe en trata- 
mientos mas avanzados acerca de electricidad y magnetismo. 



30.3 Ley de Ampfere 



945 



LEY DE AMPERE 

^pEl descubrimiento de Oersted de 1819 acerca de la desviacion de las agujas de bni- 
124 jula demostro que un conductor que lleva corriente produce un campo magnetico. 
La figura 30.8a muestra como puede demostrarse este efecto en el salon de clase. 
Varias agujas de brujula se ponen en un piano horizontal cerca de un largo alambre 
vertical. Cuando no hay corriente en el alambre, todas las agujas apuntan en la mis- 
ma direccion (la del campo magnetico de la Tierra), como se esperaria. Cuando el 
alambre conduce una intensa corriente estable, todas las agujas se desvian en una 
direccion tangente al circulo, como se ve en la figura 30.8b. Estas observaciones de- 
muestran que la direccion del campo magnetico producido por la corriente en el 
alambre es consistente con la regla de la mano derecha descrita en la figura 30.3. 
Cuando la corriente se invierte, las agujas en la figura 30.8b tambien se invierten. 
Ya que las agujas de la brujula apuntan en la direccion de B, se concluye que las 
lineas de B forman circulos alrededor del alambre, como se estudio en la section 
anterior. Por simetria, la magnitud de B es la misma en todos los puntos sobre una 
trayectoria circular centrada en el alambre y que yace en un piano perpendicular al 
alambre. Mediante la variation de la corriente y la distancia a desde el alambre, se 
encuentra que B es 'proportional a la corriente e inversamente proportional a la dis- 
tancia desde el alambre, como describe la ecuation 30.5. 

Ahora se evaluara el producto B-ds para un pequeno elemento de longitud ds 
sobre la trayectoria circular definida por las agujas de brujula, y se sumaran los pro- 
ductos para todos los elementos sobre la trayectoria circular cerrada. A lo largo de 
esta trayectoria, los vectores ds y B son paralelos en cada punto (vease la Fig. 30.8b), 
de modo que B-ds = B ds. Ademas, la magnitud de B es constante sobre este circu- 
lo y esta dada por la ecuation 30.5. Por tanto, la suma de los productos B ds sobre 
la trpyectoria cerrada, la cual es equivalente a la integral de lfnea de B-ds, es 



B ■ ds = B^ds = £^-(2wr) = Mo' 

2'JJT 




tnjmagneSsmo — tai 
mentes etectncas y campos magneto- __ 
cos 3 genioue Ampere, -paroiwaj 
mente en las matemSucas, se volvi6 v 
ewtente cuando tenia 12 afios de 
edad sin embargo su vida personal 
estuvo llena de tragedas Su padre 
u n opJento ofic.al de la Cmdad, m u 
rid en la guillotina durante la Revolu- 
ci6n Francesa, y su esposa murio jfl- 
ven, en 1803. Ampere murid de neu- 
monia a la edad de 61 afios. El julcio 
de su vida es claro a partir del epita- 
fio que eligid para su tumba: Tandem 
Felix (Feliz al fin). (AIP Emilio Segre 
Visual Archive) 



donde j ds = ivr es la circunferencia de la trayectoria circular. Aunque este resultado 
se calculo para el caso especial de una trayectoria circular que rodea a un alambre, 




a) 





c) 



Figum 30.8 a) Cuando no hay corriente presente en el alambre, todas las agujas de brujula apun- 
tan en la misma direccion (hacia el Polo Norte terrestre). b) Cuando el alambre conduce una corrien- 
te intensa, las agujas de brujula se desvian en una direccion tangente al circulo, que es la direccion del 
campo magnetico creado por la corriente. c) Lineas de campo magnetico circular que rodean un con- 
ductor que transporta corriente, mostradas con limaduras de hierro. (Henry Leap y Jim Lehman) 



946 



CAPlTUL 30 Fuentes del campo magnflico 



Ley de Ampere . 



se cumple para una trayectoria cerrada de cualquier forma que rodee una carriente 
que permanece constante en el tiempo. El caso general, conocido como ley de Am- 
pere, puede enunciarse como sigue: 

La integral de linea de B-ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a 
fiol, donde 7es la corriente continua total que pasa por cualquier superficie deli- 
mitada por la trayectoria cerrada. 



* 



B • ds = (IqI 



(30.13) 



La ley de Ampere describe la creation de Campos' magneticos por todas las con- 
figuraciones de corriente constante, pero en el nivel matematico es util exclusiva- 
mente para calcular el campo magnetico de configuraciones de corriente que tie- 
nen un alto grado de simetria. Su uso es similar al de la ley de Gauss para calcular 
campos electricos para distribuciones de carga altamente simetricas. 



Pregunta sorpresa 30.3 



Clasifique las magn 
nor a mayor. 




sde jh- ds para las trayectorias cerradas de la figura 30.9, de me- 



— - N N 



\ v X i ! 

\ N * c ' "^ ! 

xv • i Hi 

N N '(x)2A J i ! 

a s x i W J , , 



Figura 30.9 Cuatro trayectorias cerradas alrededor de 
tres alambres que conducen corriente. 



Pregunta sorpresa 30.4 



Qasifique las magnitudes de jB • ds para las trayectorias cerradas de la figura 30.10, de me- 
nor a mayor. 



/ / / - \ \ \ 

* / / r-" - > \ \ » 



\ \ 



' i ' V-\ N ' » i » 

: '"t-pQ'i-r" j 

• * i i / ■ 









Figura 30.10 Varias trayectorias cerradas cerca de un 
alambre solo que conduce corriente. 



30.3 Ley de Ampere 



947 



Ejemplo? 



El campo magnetico creado por un largo alambre que conduce corriente 



Un' largo alambre recto de radio R conduce una corriente ea- 
table / que esta distribuida de manera uniforme a traves de 
la seccion transversal del alambre (Fig. 30.11). Calcule el 
campo magnetico a una distancia rdel centro del alambre en 
las regiones r S Ry r< R. 

Solucion Para el caso r 2: R, debera obtener el mismo resul- 
tado obtenido en el ejemplo 30.1, en el cual se aplico la ley 
Biot-Savart a la misma situation. Elija como trayectoria de in- 
tegration el cfrculo 1 en la figura 30.11. De acuerdo con la si- 
metria, B debe ser de magnitud constante y paralelo a ds en 
todo punto sobre este cfrculo. Puesto que la corriente total que 
pasa por el piano del cfrculo es I , la ley de Ampere produce 

<j> B • ds = BQds = B(2wr) = fi I 
/Mo 



B = 



2wr 



(para r > R) 



(30.14) 



' que es identica en forma a la ecuacion 30.5. Advierta cuan 
mas facil es usar la ley de Ampere en lugar de emplear la ley 
Biot-Savart. Con frecuencia este es el caso en situaciones con 
alto grado de simetrfa. 

Considere ahora el interior del alambre, donde r < R Aquf 
la corriente /que pasa por el piano del cfrculo 2 es menor que 
la corriente total I . Como la corriente es uniforme en la sec- 
cion transversal del alambre, la fraction de la corriente ence- 
rrada por el cfrculo 2 debe ser igual a la proportion entre 




Figura 30.11 Un largo alambre recto de radio R conduciendo una 
corriente estable I distribuida de manera uniforme a traves de la sec- 
cion transversal del alambre. El campo magnetico en cualquier pun- 
to puede calcularse a partir de la ley de Ampere usando una trayec- 
toria circular de radio r, concentrica con el alambre. 



el area ?rr 2 encerrada por el cfrculo 2 y el area de la seccion 
transversal irR 2 del alambre: 2 



I_ 
h 



irR? 

,2 



Siguiendo el mismo procedimiento que para el cfrculo 1, apli- 
que la ley de Ampere al cfrculo 2: 



B • ds = B(27rr) = fi I 



= »{w'\ 



*-{B} *--< * 



(30.15) 



Este resultado es de forma similar a la expresion del campo 
electrico dentro de una esfera cargada de manera uniforme 
(vease el ejemplo 24.5). La magnitud del campo magnetico 
versus rpara esta configuration se dibuja en la figura 30.12. 
Advierta que dentro del alambre, B -* cuando r — ¥ 0. Ob- 
serve tambien que las ecuaciones 30.14 y 30.15 dan el mismo 
valor del campo magnetico en r = R, con lo cual se demues- 
tra que el campo magnetico es continuo en la superficie del 
alambre. 




Figura 30.12 Magnitud del campo magnetico versus rpara el alam- 
bre mostrado en la figura 30.11. £1 campo es proporcional a r den- 
tro del alambre y varia como 1/r afuera del alambre. 



EjemploM 



El campo magnetico creado por un toroide 



Con frecuencia se emplea un dispositivo llamado toroide (Fig. 
30.13) para crear un campo magnetico casi uniforme en al- 
guna area cerrada. El dispositivo consta de un alambre con- 
ductor enrollado alrededor de un anillo (un ton) hecho de 



un material no conductor. Para un toroide que tenga ATvuel- 
tas de alambre espaciadas muy cerca unas de otras, calcile el 
campo magnetico en la region ocupada por el toro, a una dis- 
tancia r del centro. 



2 Otra forma de abordar este problema es observando que la corriente encerrada por el cfrculo 2 de- 
be ser igual al producto de la densidad de corriente /= Iq/ttR- y el area ijt 2 de este cfrculo. 



948 



CAPfTUL 30 Fuentes del campo magn&ico 



Solution Para calcular este campo se debe evaluar fB • ds so- 
bre el cfrculo de radio ren la figura 30.13. Por simetria, se ve 
que la magnitud del campo es constante en este cfrculo y tan- 
gente a el, por lo que B-ds = B ds. Ademas, note que 




Figura 30.13 Un toroide consta de muchas vueltas de alambre. Si 
las vueltas estan muy juntas, el campo magnetico en el interior del to- 
ro (la region sombreada en amarillo) es tangente al cfrculo puntea- 
do y varia como \/r. El caiflpo afuera del toroide es cero. La dimen- 
sion a es el radio transversal del tore 



la trayectoria circular cerrada rodea TV vueltas de alambre, ca- 
da una de las cuales conduce una corriente /. En consecuen- 
cia, el lado derecho de la ecuacion 30.13 es n^NIen este caso. 
La ley de Ampere aplicada al cfrculo produce 



j>*ds=B<fds = 



B(2irr) = p^NI 



B = 



2irr 



(30.16) 



Este resultado muestra que B varia como 1/r y, por consi- 
guiente, no es uniforme en la region ocupada por el toro. Sin 
embargo, si res muy grande comparada con el radio de la sec- 
cion transversal del toro, eritonces el campo es aprpximada- 
mente uniforme dentro del toro. 

Para un toroide ideal, donde las vueltas estan muy juntas 
unas de otras, el campo magnetico externo es cero. Esto pue- 
de observarse al ver que la corriente neta que atraviesa cual- 
quier trayectoria circular que se encuentre afuera del toroide 
es cero (incluyendo la region del "agujero de la dona"). Por 
tanto, de acuerdo con la ley de Ampere, se encuentra que 
B = en las regiones exteriores al toro. 



Ejemplo 



Campo magnetico creado por una lamina infinita de corriente 



Hasta el momento se ha imaginado corrientes a traves de 
alambres de section transversal pequefia. Considere ahora un 
■ ejemplo en el cual existe una corriente en un objeto extendi- 
do. Una delgada lamina, infinitamente larga, que esta en el 
piano yz conduce una corriente cuya densidad de corriente li- 
neal es J,. La corriente esta en la direccion y, y /, representa 
la corriente por unidad de longitud medida a lo largo del eje 
z. Encuentre el campo magnetico cerca de la lamina. 

Solucidn Esta situation recuerda calculos similares que in- 
volucran la ley de Gauss (vease el ejemplo 24.8) . Usted recor- 
dara que el campo electrico debido a una lamina infinita de 



I 



i 



J/afuera de la pagina) 






Figura 30.14 Vista lateral de una lamina infinita de corriente que 
se encuentra en el piano yz, donde la corriente esta en la direccion 
y (afuera de la pagina). Esta vista muestra la direccion de B en am- 
bos lados de la lamina. 



carga no depende de la distancia desde la lamina. En conse- 
cuencia, aquf se puede esperar un resultado similar para el 
campo magnetico. v 

Para evaluar la integral de linea en la ley de Ampere, con- 
sidere una trayectoria rectangular a traves de la lamina, como 
se muestra en la figura 30.14. El rectangulo tiene dimensio- 
nes € y w, con los lados de longitud € paralelos a la superfi- 
cie de la lamina. La corriente neta que pasa por el piano del 
rectangulo es/,€. Al aplicar la ley de Ampere sobre el rectan- 
gulo se observa que los dos lados de longitud w no contribu- 
yen a la integral de linea debido a que la componehte de B 
a lo largo de la direccion de estas trayectorias es cero. Por si- 
metria, se puede argumentar que el campo magnetico es 
constante sobre los lados de longitud €, pues cada punto so- 
bre la lamina infinitamente larga es equivalente y, por tanto, 
el campo no deberia variar de punto a punto. Las unicas op- 
ciones de direccion de campo que son razonables para la si- 
metria son perpendicular o paralela a la lamina, y un campo 
perpendicular pasaria a traves de la corriente, lo cual es in- 
consistente con la ley Biot-Savart. Suponiendo un campo que 
es constante en magnitud y paralelo al piano de la lamina, se 
obtiene 



f 



B - ds = /V = fioj/ 



2m = ^J,e 

Este resultado muestra que el -campo magnetico es independiente 
de la distancia desde la lamina de corriente, como se esperaba. 



30.4 El campo magnftico de un solenoide 



949 



EjEMPLOi 



La fuerza magnftica sobre un segmento de corriente 



El alambre 1 en la figura 30.15 se orienta a lo largo del .eje y 
y conduce una corriente estable /,. Una espira rectangular lo- 
calizada a la derecha del alambre y en el piano xy conduce 
una corriente I 2 . Encuentre la fuerza magnetica ejercida por 
el alambre 1 sobre el alambre superior (de longitud b) en la 
espira, marcado "alambre 2" en la figura. 

Solution Es posible que usted este tentado a utilizar la ecua- 
cion 30.12 para obtener la fuerza ejercida sobre un pequefio 
segmento de longitud dx del alambre 2. Sin embargo, esa 
ecuacion se aplica solo a dos alambres paralelos, y no puede 
utilizarse aqui. El enfoque correcto es considerar la fuerza 



Alambre 1 



X 


r / 

X | X / 


Al 

X 


X 
X 
X 
X 
X 

4-a-+ 

X 
X 


x ds x 

X X 
X X 
X X 


X 

h 

X 

X 
X 


X X 

« — * — ► 

X X 
X X 


X 
X 
X 



Alambre 2 



Figura 30.15 



ejercida por el alambre 1 sobre un pequefio segmento ds del 
alambre 2 mediante el uso de la ecuacion 29.4. Esta fuerza es- 
ta dada por dV B = I ds x B, donde /= I 2 y B es el campo mag- 
netico creado por la corriente en el alambre 1 en la position 
de ds. Segun la ley de Ampere, el campo a una distancia x del 
alambre 1 (vease la Ec. 30.14) es 

B = ^(-k) 

donde el vector unitario -k se usa para indicar que el campo 
en ds apunta hacia la pagina. Como el alambre 2 esta a lo lar- 
go del eje x, ds = dxi, y se encuentra que 



2lTX 



2ir 



La integration de esta ecuacion sobre los limites x = a a 
x = a + b produce 



¥ B = — lnx 

27T 



J = 



2w I, ay 



La fuerza apuhta en la direction y posidva, como indica el 
vector unitario j, y como se muestra en la figura 30.15. 

Ejerddo ^Cuales son la magnitud y direction de. la fuerza 
ejercida sobre el alambre inferior de longitud A? 

Respuesta La fuerza tiene la misma magnitud que la fuerza 
sobre el alambre 2, pero esta dirigida hacia abajo. 



Pregunta sorpresa 30.5 



jAlguna fuerza neta actua' sobre la espira de corriente en el ejemplo 30.7? ,:Un momento 
de torsion? 



EL CAMPO MAGNETICO DE UN S0LEN0IDE 



Un solenoide es un alambre largo enrollado en la forma de una helice. Con esa con- 
figuration, es posible producir un campo magnetico razonablemente uniforme en 
el espacio rodeado por las vueltas de alambre — a lo que se le Uamara interior del so- 
lenoide — cuando el solenoide conduce una corriente. Cuando las vueltas estan muy 
proximas entre si, cada una puede considerarse como una espira circular, y el cam- 
po magnetico neto es el vector suma de los campos debidos a todas las vueltas. 

La figura 30.16 muestra las lfneas de campo magnetico que rodean un solenoi- 
de poco enrollado. Observe que las lfneas de campo en el interior son casi parale- 
las, estan distribuidas de modo uniforme y proximas entre si, lo que indica que el 
campo en este espacio es intenso y "uniforme. Las lineas de campo entre elementos 
de corriente sobre dos vueltas adyacentes tienden a cancelarse unas con otras, pues 
los vectores de campo de los dos elementos estan en direcciones opuestas. El cam- 
po en puntos exteriores como P es debil porque el campo debido a los elementos 
de corriente en las porciones derechas de una vuelta tiende a cancelar al campo que 
se debe a los elementos de corriente en las porciones izquierdas. 



Exterior 




Figura 30.16 Lfneas de campo 
magnetico para un solenoide poco en- 
rollado. 



950 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo magnflico 




Un tecnico estudia la exploration de 
la cabeza de un paciente. La explora- 
cion se obtuvo usando una tecnica de 
diagnostico medico conocida como 
imagen por resonancia magnetica 
(MRI, por sus siglas en ingles). Este 
instrumento emplea intensos campos 
magneticos producidos por solenoi- 
des superconductores. (Hank Morgan/ 
Science Soma) 





a) 



b) 



Figura 30.17 a) Lineas de campo magnetico para un solenoide de longitud finita enrollado de ma- 
nera ajustada, el que conduce una corriente estable. El campo en el espacio interior es casi uniforme 
e intenso. Advierta que las lineas de campo recuerdan las de un iman de barra, lo cual significa que el 
solenoide efectivamente tiene polos norte y sur. b) Patron de campo magnetico de- un iman de barra, 
desplegado con pequenas limaduras de hierro sobre una hoja de papel. (Henry Leap yjim Lehman) 



Si las vueltas estan muy proximas entre si y el solenoide es de longitud finita, las 
lineas de campo magnetico son como se indica en la figura 30.17a. Esta distribution 
de lineas de campo es similar a la que rodea a un iman de barra (vease la Fig. 
30.17b). Por tanto, un extremo del solenoide se comporta como el polo norte de un 
iman, mientras que el extremo opuesto lo hace como el polo sur. A medida que cre- 
ce la longitud del solenoide, el campo interior se vuelve mas uniforme mientras que 
el exterior se debilita. El caso de un solenoide ideal se aproxima cuando el espacio en- 
tre las vueltas es muy pequeno y la longitud es grande en comparacion con el radio 
de las vueltas. En este caso el campo extemo es cero y el campo interior es unifor- 
me en un gran volumen. 




Figura 30.18 Vista transversal de un solenoide ideal, don- 
de el campo magnetico interior es uniforme y el campo ex- 
terior es cero. La ley de Ampere aplicada a la trayectoria 
punteada roja puede usarse para calcular la magnitud del 
campo interior. 



30.5 Flujo magnetico 



951 



Se puede usar la ley de Ampere para obtener una expresion para el campo mag- 
netico interior en un solenoide ideal. En la figura 30.18 se muestra una section lon- 
gitudinal de parte del solenoide ideal conduciendo una corriente I. Puesto que 
el solenoide es ideal, B en el espacio interior es uniforme y paralelo al eje, y B en el 
espacio exterior es cero. Considere la trayectoria rectangular de longitud € y ancho 
w mostrada en la figura 30.18. Se puede aplicar la ley de Ampere a esta trayectoria 
al evaluar la integral de B-ds sobre cada lado del rectangulo. La contribucion a lo 
largo del lado 3 es cero, puesto que B = en esta region. Las contribuciones de los 
lados 2 y 4 son cero porque B es perpendicular a ds a lo largo de estas trayectorias. 
El lado 1 brinda una contribucion Bi a la integral, pues a lo largo de esta trayecto- 
ria B es uniforme y paralela a ds. En consecuencia, la integral sobre la trayectoria 
rectangular cerrada es 



fa*' / 



Bds= B 



I 



ds = M 



trayectoria 1 



trayectoria 1 



El lado derecho de la ley de Ampere incluye la corriente total que pasa por el 
area delimitada por la trayectoria de integration. En este caso, la corriente total a 
traves de la trayectoria rectangular es igual a la corriente que pasa por cada vuelta 
multiplicada por el numero de vueltas. Si N es el numero de vueltas en la longitud 
t, entonces la corriente total a traves del rectangulo es NI. Por tanto, la ley de Am- 
pere aplicada a esta trayectoria produce 



Jb- 



ds = Bt = fi NI 

''N r 
B = l*o—I = fJ^nl 



Experimento sorpresa^^^ 

Enrolle unas cuantas vueltas de 
alambre alrededor de una brujula, 
esencialmente poniendola dentro de 
un solenoide. Coloque los extremos 
del alambre a las dos terminates de 
una bateria de lampara. iQue le ocu- 
rre a la brujula? jEl efecto es tan 
fuerte como cuando la brujula esta 
afuera de las vueltas de alambre? 



(30.17) 



Campo magnetico dentro de un so- 
lenoide 



donde n = N/€ es el numero de vueltas por unidad de longitud. 

Tambien podria obtener este resultado reconsiderando el campo magnetico de 
un toroide (vease el ejemplo 30.5). Si el radio r del toro en la figura 30.13 que 
contiene N vueltas es mucho mayor que el radio a de la section transversal del to- 
roide, entonces una section corta del toroide se acerca a un solenoide para el cual 
n = N/2irr. En este limite la ecuacion 30.16 concuerda con la 30.17. 

La ecuacion 30.17 es valida solo para puntos cerca del centro (esto es, lejos de 
los extremos) de un solenoide muy largo. Como usted tal vez esperaba, el campo 
cerca de cada extremo es mas pequeno que el valor dado por la ecuacion 30.17. En 
el extremo mismo de un solenoide largo, la magnitud del campo es la mitad de la 
correspondiente al campo en el centro. 



BH3 

Para un analisis mas detallado acerca del campo 
magnetico a lo largo del eje de un solenoide, vi- 
sile www.8auniterscollege.com/kitiysics/ 



FLUJO MAGNETICO 



ig) El flujo asociado con un campo magnetico se define de una manera similar a la usa- 
12-5 da para definir el flujo electrico (vease la Ec. 24.3). Considere un elemento de area 
dA sobre una superficie de forma arbitraria, como se muestra en la figura 30.19. Si 
el campo magnetico en este elemento es B, entonces el flujo magnetico a traves del 
elemento es BdA, donde dA es un vector perpendicular a la superficie cuya magni- 
tud es igual al area dA. Por tanto, el flujo magnetico total <& B que atraviesa la super- 
ficie es 



**■/: 



B dA. 



(30.18) Definition de flujo magnetico 



952 



CAPlTUL 30 Fuentes del campo magngtico 




Figura 30.19 El flujo magnetico a 
traves de un elemento de area dA es 
B-dA = BdA cos 8, donde dA es un 
vector perpendicular a la superficie. 



dA 




a) 



b) 



Figura 30.20 Flujo magnetico a traves de un piano que yace en un campo magnetico. a) El flujo 
a traves del piano es cero cuando el campo magnetico es paralelo a la superficie del piano, b) El flu- 
jo a traves del piano es un maximo cuando el campo magnetico-es perpendicular al piano. 



Considere el caso especial de un piano de area A y un campo uniforme B que 
forma un angulo 6 con dA. El flujo magnetico a traves del piano en este caso es 

<& B =BA cos0 (30.19) 

Si el campo magnetico es paralelo al piano, como en la figura 30.20a, entonces 
6 = 90° y el flujo es cero. Si el campo es perpendicular al piano, como en la figu- 
ra 30.20b, entonces 8= 0° y el flujo es BA (el valor maximo). 

La unidad de flujo es el T-m 2 , el cual se define como weber (Wb); 1 Wb = 
1 T • m 2 . 



Ejemplo 3j^^^- Flujo magnetico a traves de una espira rectangular 

Una espira rectangular de ancho a y longitud b se localiza cer- 
ca de un alambre largo que conduce una corriente / (Fig. 
30.21). La distancia entre el alambre y el lado mas cercano de 
la espira es c. El alambre es paralelo al lado largo de la espi- 
ra. Encuentre el flujo magnetico total a traves de la espira de- 
bido a la corriente en el alambre. 



B = 



2-nr 



Solucidn De la ecuacion 30.14 se sabe que la intensidad 
del campo magnetico creado por el alambre a una distancia 
rdel alambre es 



dr 



X 


X 


X 


X 


X 


X 


X 


X 




_ 


X 


X 


X 


X 


X 


X 



Figura 30.21 El campo magnetico debido al alambre que condu- 
ce una corriente / no es uniforme sobre la espira rectangular. 



El factor 1/r indica que el campo varfa sobre' la espira y esta 
dirigido hacia el interior de la pagina, como se muestra en la 
figura 30.21. Puesto que B es paralelo a dA en cualquier pun- 
to dentro de la espira, el flujo magnetico a traves de un ele- 
mento de area dA es 



(Ya que B no es uniforme sino que depende de r, no puede 
sacarse de la integral.) 

Para integrar, exprese primero el elemento de area (la re- 
gion mostrada en la Fig. 30.21) como dA= b dr. En vista de 
que r es ahora la unica variable en la integral, se tiene 

M* [ a+ r dr ii. Ib 

<P B = I — = In: 

2ir J, r 2ir 

2-n { c J 2tt { c) 



Ejercido Aplique la formula de expansion en serie para 
ln(l + x) (vease la Apendice B.5) a esta ecuacion para mos- 
trar que produce un resultado razonable cuando la espira es- 
ta alejada del alambre en comparacion con las dimensiones 
de la espira (en otras palabras, cuando c » a). 

Respuesta 4> B -> 0. 



30. 6 La ley de Gauss en el magnetismo 



953 



LA LEY DE GAUSS EN EL MAGNETISMO 



@ En el capitulo 24 se encontro que el flujo electrico a traves de una superficie cerra- 

125 da que rodea a una carga neta es proporcional a la carga (ley de Gauss). En otras 

palabras, el numero de lineas de campo electrico que salen de la superficie depen- 

de solo de la carga neta dentro de ella. Esta propiedad se basa en el hecho de que 

las lineas de campo electrico se originan y terminan en cargas electricas. 

La situacion es bastante diferente para campos magneticos, los cuales son con- 
tinuos y forman circuitos cerrados. En otras palabras, las lineas de campo magneti- 
co no empiezan o terminan en cualquier punto — como ilustran las lineas de cam- 
po magnetico del iman de barra en la figura 30.22. Advierta que para cualquier 
superficie cerrada, tal como la delimitada por la linea punteada roja en la figura 
30.22, el numero de lineas que ehtran en la superficie es igual al numero que sale 
de la misma, por lo que el flujo magnetico neto es cero. Esto contrasta con el caso 
de una superficie cerrada que rodea a una carga de un dipolo electrico (Fig. 30.23) , 
donde el flujo electrico neto no es cero. 

La ley de Gauss del magnetismo establece que 

el flujo magnetico neto. a traves de cualquier superficie cerrada es siempre cero: 



* 



B • dA = 



{30.20) Ley de Gauss para el magnetismo 



Este enunciado se basa en el hecho experimental, mencionado al principio del ca- 
pitulo 29, de que nunca se han detectado y quiza no existan polos magneticos aisla- 
dos (monopolos). No obstante, los cientificos continiian la busqueda porque ciertas 
teorfas que de otro modo tienen exito en explicar comportamientos fisicos funda- 
mentales, sugieren la posible existencia de monopolos. 




Figura 30.22 Las lineas de campo 
magnetico de un iman de barra for- 
man espiras cerradas. Advierta que el 
flujo magnetico neto a traves de la su- 
perficie cerrada (linea roja punteada) 
que rodea uno de los polos (o cual- 
quier otra superficie cerrada) es cero. 




Figura 30.23 ' Las lineas de campo 
electrico que rodean un dipolo elec- 
trico comienzan en la carga positiva y 
terminan en la carga negativa. El flu- 
jo electrico a traves de una superficie 
cerrada que rodea una de las cargas 
no es cero. 



954 



CAPITULO 30 Fuentes del campo magnetico 



CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y LA FORMA GENERAL 
DE LA LEY DE AMPERE 



Trayectoria P 




Figura 30.24 . Dos superficies S, y 
S 2 cerca de la placa de un capacitor 
estan limitadas por la misma trayecto- 
ria P. La corriente de conduccion en 
el alambre solo pasa a traves de S ,. Es- ^2 
to conduce a una contradiction en la 12 
ley de Ampere, la cual se resuelve so- 
lo si uno postula una corriente de des- 
plazamiento a traves de S 2 . 



Corriente de desplazamiento 



Se ha visto que las cargas en movimiento producen campos magneticos. Cuando un 
conductor que Ueva corriente tiene una alta simetria, se puede usar la ley de Ampe- 
re para calcular el campo magnetico. que crea. En la ecuacion 30.13, jB- ds = //,<>/, 
la integral de h'nea es sobre cualquier trayectoria cerrada a traves de la cual pasa la 
corriente de conduccion, y la corriente de conduccion esta definida por /= dq/dt. 
(En esta seccion se usa el termino corriente de conduccion para referir la corriente con- 
ducida por el alambre, para distinguirla de un nuevo tipo de corriente que se intro- 
dutira en breve.) Ahora se mostrara que la ley de Ampere en esta forma solo es va- 
lida si el campo electrico es constante en el tiempo. Maxwell reconocio esta limitation 
y modifico la ley de Ampere para incluir campos electricos que varian en el tiempo. 
Puede entender este problema considerando un capacitor que se esta cargando 
como se ilustra en la figura 30.24. Cuando una corriente de conduccion esta presen- 
te, la carga sobre la placa positiva varia pero no pasa corriente de conduccion a traves del 
espacio entre las placas. Considere ahora las dos superficies Sj y Sj en la figura 30.24, 
delimitadas por la misma trayectoria P. La ley de Ampere senala que yB- ds alrede- 
dor de esta trayectoria debe ser igual a /x /donde /es la corriente total que pasa por 
cualquier superficie delimitada por la trayectoria P. 
W Cuando la trayectoria Pse considera como la frontera de S u yB- ds es pt /debi- 
9 do a que la corriente de conduccion pasa a traves de S,. Sin embargo, cuando la tra- 
yectoria se considera como la frontera de S 2 , yB- ds = porque ninguna corriente 
de conduccion pasa a traves de S 2 . Asi, jse llega a una situation contradictoria que 
^"surge de la discontinuidad de la corriente! Maxwell resolvio este problema postiilan- 
do un termino adicional en el lado derecho de la ecuacion 30.13, la cual incluye un 
factor llamado corriente de desplazamiento /,,, definida como 3 



I*** 



. dd> E 
dt 



(30.21) 



donde Cq es la permitividad del espacio libre (vease la seccion 23.3) y <J> £ = J E • dA. 
es el flujo electrico (vease'la Ec. 24.3). 

A medida que el capacitor se esta cargando (o descargando), el campo electri- 
co variable entre las placas debe considerarse equivalente a una corriente que actda 
como una continuation de la corriente de conduccion en el alambre. Cuando la ex- 
presion para la corriente de desplazamiento dada por la ecuacion 30.21 se ariade a 
la corriente de conduccion al lado derecho de la ley de Ampere, se resuelve la difi- 
cultad representada en la figura 30.24. No importa que superficie delimitada por la 
trayectoria Pse elija, alguna corriente de conduccion o desplazamiento pasara a tra- 
ves de ella. Con este nuevo termino I& se puede expresar la forma general de la ley 
de Ampere (algunas veces llamada ley de Ampere-Maxwell) como 4 



Ley de Ampere-Maxwell 



* 



d<b E 

>Bds= fJL (I + I d ) = fM I + /Li € 

dt 



(30.22) 



3 Desplazamiento en este contexto no tiene el significado que se le da en el capitulo 2. A pesar de las 
imprecisiones implicitas, la palabra esta arraigada historicamente en el lenguaje de la fisica, de mane- 
ra que se seguira empleando. 

4 Estrictamente hablando, esta expresion solo es valida en el vacio. Si un material magnetico esta pre- 
sente, uno debe cambiar /j^ y «(, en el lado derecho de la ecuacion 30.22 a la permeabilidad /x„ y la per- 
mitividad e caracteristicas del material. De manera alternativa, uno puede incluir una corriente de mag- 
netizacion /„ en el lado defecho de la ecuacion 30.22 para hacer a la ley de Ampere completamente 
general. En una escala microscopica, /„ es tan real como /. 



30. 7 Corriente de desplazamiento y la forma general de la ley de Ampere 



955 




Figura 30.25 Puesto que solo existe en los 
alambres unidos a las placas del capacitor, la 
corriente de conduccion /= dQ/dt pasa por S] 
uio no por S 2 . Solo la corrientede desplaza- 
miento J d = € db^dt pasa por S 2 . Las dos co- 
rrientes deben ser iguales por continuidad. 



El significado de esta expresion puede entenderse haciendo referenda a la figura 
30.25. El flujo electrico a traves de la superficie S 2 es £ = JE • dA. = EA , donde A 
es el area de las placas del capacitor y E es la intensidad del campo electrico unifor- 
me entre las placas. Si Q es la carga sobre las placas en cualquier instante, entonces 
E= Q/e A (vease la section 26.2). Por tanto, el flujo electrico a traves de S 2 es sim- 
plemente q 



I d = «o • 



(30.23) 



Por consiguiente, la corriente de desplazamiento que pasa por S 2 es 

d<t> E = dQ 
dt dt 

Esto es, jla corriente de desplazamiento que pasa por S 2 es precisamente igual a la 
corriente de conduccion J a traves de.Sj! 

Al considerar la superficie Sj se puede identificar la corriente de desplazamien- 
to como la fuente del campo magnetico sobre la frontera de la superficie. La co- 
rriente de desplazamiento tiene su origen fisico en el campo electrico variable en el 
tiempo. El punto central de este formalismo es, entonces, el hecho de que 

los campos magneticos son producidos tanto por corrientes de conduccion como 
por campos electricos que varian con el tiempo. 

Este resultado fue un ejemplo notable del trabajo teorico de Maxwell, y contribuyo 
a mayores avancesen la comprension del electromagnetismo. 



Pregunta sorpresa 30.6 



<:Cual es la corriente de desplazamiento para un capacitor de 3 /uf completamente cargado? 



Ejemplo 



Corriente de desplazamiento en un capacitor 



Un voltaje sinusoidal variable se aplica a traves de un capaci- 
tor de 8.00 fiF. La frecuencia del voltaje es de 3.00 kHz y la 
amplitud del voltaje igual a 30.0 V. Encuentre la corriente de 
desplazamiento entre las placas del capacitor. 

Solution La frecuencia angular de la fuente, a partir de la 
ecuacion 13.6, es a> = 2irf= 2ir(3.00 x 10 s Hz) = 1.88 x 10" s" 1 . 
En consecuencia, el voltaje a traves del capacitor en terminos 
de t es 

AV= AV^sen u>t- (30.0 V) sen(1.88 x 10 4 

Puede usar la ecuacion 30.23 y el hecho de que la carga en 
el capacitor es Q= C A V para determinar la corriente de des- 
plazamiento: 



..f&„! ( 



-(CAV) = C — (AV) 
dt dt dt 

= (8.00 x lO-OF) — [(30.0V) sen(1.88 x 10 4 f)l 
dt 

= (4.52A) cos(1.88 x 10 4 t) 

La corriente de desplazamiento varia sinusoidalmente con el 
tiempo y tiene un valor maximo de 4.52 A. 



956 



CAPl'TULO 30 Fuentes del campo magnftico 



Section optional 

MAGNETISMO EN LA MATERIA 

El campo magnetico producido por una corriente en una bobina de alambre pro- 
porciona un indicio de lo que podrfa provocar que ciertos materiales muestren fuer- 
tes propiedades magneticas. Antes se encontro que una bobina como la mostrada • 
en la figura 30.17 tiene un polo norte y un polo sur. En general, cualquier espira de 
corriente tiene un campo magnetico y, por tanto, un momento de dipolo magneti- 
co, incluyendo las espiras de corriente a nivel atomico descritas en algunos modelos 
del atomo. En consecuencia, los momentos magneticos en una sustancia magnetiza- 
da se pueden describir como si surgieran de esas espiras de corriente a nivel atomi- 
ca. Para el modelo de Bohr, del atomo, estas espiras tie corriente estan asociadas con 
el movimiento de electrones alrededor de niicleos en orbitas circulares. Tambien 
hay un momento magnetico intrinseco para electrones, protones, neutrones y otras 
particulas; este surge de una propiedad denominada espin. 




Figura 30.26 Un electron que se 
mueve en una orbita circular de radio 
r tiene un momentum angular L en una 
direccion y un momento magnetico fi 
en la direccion opuesta. 



Momento magnetico orbital 



Momento angular esta cuantizado 



Los momentos magneticos de atomos 

Es instructivo empezar este analisis con un modelo clasico del atomo en el cual los 
electrones se mueven en orbitas circulares alrededor del nucleo mucho mas masivo. 
En este modelo un electron orbital constituye una delgada espira de corriente (de- 
bido a que es una carga en movimiento) y el momento magnetico del electron se 
asocia con su movimiento orbital. Aunque este modelo tiene muchas deficiencias, 
sus predicciones concuerdan bien con la teoria correcta, que esta expresada en ter- 
minos de la fisica cuantica. 

Considere un electron que se mueve a rapidez constante v en una orbita circu- 
lar de radio r alrededor del nucleo, como se muestra en la figura 30.26. Puesto que 
el electron recorre una distancia de Ittr (la circunferencia del circulo) en un tiem- 
po T, su rapidez orbital es i>= 2irr/T. La corriente /asociada con este electron or- 
bital es su carga e dividida por T. Al emplear T- 2tt/w y w = v/r, se tiene 

e ew _ ev 

T 2tt 2-nr 

El momento magnetico asociado con esta espira de corriente es \l = I A, donde 
A = 7rr 2 es el area encerrada por la orbita. Por tanto, 

€V I 

/i = /A= - — j-n-r 2 =±evr (30.24) 



7Tr 2 = *-evr 



Puesto que la magnitud del momentum angular orbital del electron es L = m,vr (Ec. 
11.16 con <$> = 90°) el momento magnetico puede escribirse como 



M = 



{2mJ 



(30.25) 



Este resultado demuestra que el momento magnetico del electron es proportional a 
su momentum angular orbital. Observe que como el electron esta cargado negativa- 
mente, los vectores jiyL apuntan en direcciones opuestas. Ambos vectores son per- 
pendiculares al piano de la orbita, como indica la figura 30.26. 

Un resultado fundamental de la fisica cuantica es que el momentum angular or- 
bital esta cuantizado y es igual a multiplos de ft = ft/2-7r = 1.05 x 10" 34 J-s, donde h es 
la constante de Planck. El valor no cero mas pequeno del momento magnetico del 
electron que resulta de su movimiento orbital es 

^ = ^2-1- ft (30.26) 

2m, 



30.8 Magnetismo en la materia 



957 



En el capitulo 42 se vera como surgen expresiones como la ecuacion 30.26. 

En virtud de que todas las sustancias contieneri electrones, tal vez usted se pre- 
gunte por que no todas las sustancias son magneticas. La principal razon es que en 
la mayor parte de las sustancias, el momento magnetico de un electron en un ato- 
mo se cancela por el de otro- electron orbitando en la direction opuesta.- El.resulta.-_ 
do neto es que, en la mayor parte de los materiales, el efecto magnetico producido 
por el movimiento orbital de los electrones es o cero o muy pequ eno. 1 

En adicion a su momento magnetico orbital, un electron tiene otra propiedad 
intrinseca llamada espin, que tambien contribuye a su momento magnetico. A este 
respecto el electron puede verse como girando en torno a su eje mientras orbita al 
niicleo, como se muestra en la figura 30.27. (Advertencia: esta description clasica no 
debe considerarse literalmente, pues el espin surge de dinamicas relativistas que de- 
ben incorporarse al analisis mecanico-cuantico.) La magnitud del momentum angu- 
lar S asociada con el espin es del mismo orden de magnitud que el momentum angu- 
lar L debido al movimiento orbital. La magnitud del momentum angular del espin 
predicha por la teoria cuantica es 

2 

El momento magnetico asociado caracteristicamente al espin de un electron tiene 
el valor 

/*«,*. =7~ \ (30.27) 

2.m e \ 

Esta combination de constantes se llama magneton de Bohr: 

li B = — = 9.27xlO" 24 J/T 
2m, 



De esta forma, los momentos magneticos atomicos pueden expresarse como multi- 
ples del magneton de Bohr. (Observe que 1 J/T = 1 A-m 2 .) 

En atomos que contienen muchos electrones, estos suelen aparearse con sus espi- 
nes opuestos entire si; por tanto, los momentos magneticos de espin se cancelan. Sin 
embargo, los atomos con numero impar de electrones deben tener al menos un elec- 
tron no apareado y un momento magnetico de espin. El momento magnetico total 
de un atomo es la suma vectorial de los momentos magneticos del orbital y del espmi 
en la tabla 30.1 se proporcionan algunos ejemplos. Advierta que el helio y el neon 
tienen momentos cero ya que sus momentos orbital y espin individuales se cancelan. . 

Los nucleos de un atomo tambien tienen un momento magnetico asociado con 
sus protones y neutrones constituyentes. Sin embargo, el momento magnetico de un 
proton o neutron es mucho mas pequeno que el de un electron y usualmente pue- 
de ignorarse. Esto puede entenderse inspeccionando la ecuacion 30.28 y reempla- 
zando la masa del electron con la masa de un proton o un neutron. Puesto que las 
masas del proton y del neutron son mucho mayores que la del electron, sus momen- 
tos magneticos son del orden de 10 s veces mas pequerios que los del electron. 




espin 



Figura 30.27 Modelo clasico de un 
electron girando. Este modelo pro 
porciona una magnitud incorrecta pa- 
ra el momento magnetico, numeros 
cuanticos incorrectos y demasiados 
grados de libertad. 



Momentum angular del espin 



(30.28) Magneton de Bohr 



TABLA 30.1 

Momentos magneticos de 

algunos atomos y iones 



Atomo 


Momento magnetico 


ion 


(10-»J/T) 


H 


9.27 


He 





Ne 





Ce 8 * 


19.8 


Yd** 


37.1 



Vector de magnetization e intensidad de campo magnetico 

El estado magnetico de una sustancia se describe por medio de una cantidad deno- 
minada vector de magnetization M. La magnitud de este vector se define como el 
momento magnetico por lmiHarf de volumen de la sustancia. Como tal vez usted es- 
peraba, el campo magnetico total B en un punto en una sustancia depende tanto 
del campo (externo) aplicado B como de la magnetisation de la sustancia. 

Para comprender los problemas involucrados al medir el campo magnetico to- 
tal B en tales situaciones, considere esto: los cientificos usan pequerias sondas que 



Vector de magnetizacion M 



958 



• CAPlTULO 30 Fuentes del campo magn&ico 



Intensidad de campo magnetico H 




£1 oxfgeno, una sustancia paramagne- 
tica, es atiaido hacia un campo mag- 
netico. El oxigeno h'quido en esta fo- 
tografia se suspende entre los polos 
del iman. (Leon Lcwandowski) 



utilizan el efecto Hall (vease la section 29.6) para medir campos magneticos. jQue 
leeria tal sonda si fuese colocada dentro del solenoide mencionado en el experimen- 
to sorpresa de la pagina 951 cuando usted inserta la brujula? Como la bnijula es un 
material magnetico, la sonda mediria un campo magnetico total B que es la suma 
del campo (extemo) B del solenoide y el campo (magnetization) B m debido a la 
bnijula. Esto indica que se necesita una via para distinguir entre campos magneticos 
originados de corrientes y aquellos originados de materiales magneticos. Considere 
una region en la que existe un campo magnetico B produtido por un conductor 
por el que circula corriente. Si ahora llena esa region con una sustancia magnetica, 
el campo magnetico total B en esa region es B = B + B m , donde B m es el campo pro- 
dutido por la sustancia magnetica. Esta contribution puede expresarse en terminos 
del vector de magnetization de la sustancia comp B M = /u. M; por tanto, ?! campo 
magnetico total en la region se convierte en ~ 

B = B +/u, M 130.29) 

Cuando se analizan campos magneticos que surgen de magnetization, es conve- 
niente introducir una cantidad de campo llamada intensidad de campo magnetico 
H en la sustancia. La intensidad de campo magnetico representa el efecto de la co- 
rriente de conduction en alambres sobre una sustancia. Para enfatizar la distincion 
entre la intensidad de campo H y el campo B, a este ultimo se le suele Uamar densi- 
dad deflujo magnetico o la induction magnetica. La intensidad de campo magnetico es 
un vector definido por medio de la relation H = Bo/Mo = (B//a ) ~ M. Por tanto, la 
ecuacion 30.29 puede ser escrita 

B = pto(H + M) (30.30) 

Las cantidades H y M tienen las mismas unidades. En unidades del SI, puesto que 
M es momento magnetico por unidad de volumen, las unidades son (ampere) (me- 
tro) V (metro) 3 , o amperes por metro. 

Para entender mejor estas expresiones, considere la region del toro de un toroi- 
de que conduce una corriente /. Si este espatio es un vacio, M = (pues ningun ma- 
terial magnetico esta presente), el campo magnetico total es el que surge solo de la 
corriente y B = B = fi H. Puesto que B = fx nlen la region del toro, donde n es ei 
numero de vueltas por unidad de longitud del toroide, H= B /fi = ix nl/ii v , o 

H=nl (30.31) 

En este caso el campo magnetico B en la region del toro se debe solo a la corrien- 
te en el bobinado del toroide. 

Si ahora se hace el toro con alguna sustancia y la corriente /se mantiene cons- 
tante, entonces H en la region del toro permanece invariable (porque solo depen- 
de de la corriente) y tiene magnitud nl. Sin embargo, el campo total B es diferen- 
te de aquel cuando la region del toro era un vacio. De acuerdo con la ecuacion 
30.30, se ve que parte de B surge del termino /t H asotiado con la corriente en el 
toroide, y otra parte surge del termino ^i^M debido a la magnetization de la sustan- 
cia de la cual esta hecho el toro. 

Gasification de sustancias magneticas 

Las sustancias se pueden clasificar como pertenecientes a una de tres categorias, de- 
pendiendo de sus propiedades magneticas. Los materiales paramagneticos y los fe- 
rromagneticos son aquellos hechos de atomos que tienen momentos magneticos 
permanentes. Los materiales diamagneticos son aquellos hechos de atomos que no 
tienen momentos magneticos permanentes. 

Para las sustancias paramagneticas y diamagneticas, el vector de magnetization 
M es proportional a la intensidad de campo magnetico H. Para dichas sustancias, 
colocadas en un campo magnetico extemo, se puede escribir 

M = X H (30.32) 



VT>>. 



30.8 Magnetismo en la materia 



959 



stoom* 


fti^^il^smaii 


^^fc^^s^cte : ■■, ^-: 


^ b v *.v V«i8Bi8&f%fe,maiigsf ife**^ 


'5? 




t 


J f 


? < -~j - * ^ 




-*• i 


i 


r J. ^ 


Sustancia 






Snstanda 








paramagnetica 




X 


diamagnetica 






X 


Aluminio 




2.3 x 10" 5 


Bismuto 






-1.66 x l(r* 


Calcio 




1.9 x 10" 5 


Cobre 






-9.8 x lO" 6 


Cromo 




2.7 x 10" 4 


Diamante 






-2.2 x W* 


Litio 




2.1 x lO" 5 


Oro 






-3.6 x lO" 5 


Magnesio 




1.2 x 10" 5 


Plomo 






-1.7 x 10" 5 


Niobio 




2.6 x KT 1 


Mercurio 






-2.9 x lO" 5 


Oxigeno 




2.1 x 10-« 


Nitrogeno 






-5.0 x lO" 9 


Platino 




2.9 x lO" 1 


Plata 






-2.6 x 10" 5 


Tungsteno 




6.8 x 10"* 


Silicio 


• 




-4.2 x 10"* 



donde % (letra griega chi) es un factor adimensional llamado susceptibilidad mag- 
netica. Para sustancias paramagneticas, % es positiva y M esta en la misma direction 
que H. Para sustancias diamagneticas, X es negativa y M es opuesto a H. (Es impor- 
tante advertir que esta relation lineal entre M y H no se aplica a sustancias ferro- 
magneticas.) Las susceptibilidades de algunas sustancias se proporcionan en la ta- 
bla 30.2. 

La sustitucion de la ecuacion 30.32 para M en la ecuacion 30.30 da como re- 
sultado 

B = fioiH + M) = /io(H + *H) = fio(l + *)H 



Susceptibilidad magnetica % 



B = ^„H 



(30.33) 



donde la constante fi m recibe el nombre de permeabilidad magnetica de la sustan- 
da y esta relacionada con la susceptibilidad mediante 

/*„=*>(!+*) (30.34) 

Las sustancias. pueden clasificarse en terminos de como se compara su permea- . 
bilidad magnetica fi m con m (la permeabilidad del espacio libre) como sigue: 

Paramagnetica fi m > y^ 

Diamagnetica /x„</i, 

Puesto que % es mu Y pequena para sustancias paramagneticas y diamagneticas (vea- 
se la tabla 30.2) , fi m es casi igual a /Xq para estas sustancias. Sin embargo, para las sus- 
tancias ferromagneticas, fi m es por lo comiin varios miles de veces mas grande que 
Ho (lo cual significa que % es mu Y grande para las sustancias ferromagneticas). 

Aunque la ecuacion 30.33 proporciona una relation simple entre ByH, debe 
interpretarse con cuidado cuando se trabaje con sustancias ferromagneticas. Como 
se mentiono con antelation, M no es una funtion lineal de H para las sustancias fe- 
rromagneticas. Esto se debe a que el valor de fi m no es solo una caracteristica de la 
sustancia ferromagnetica, sino que tambien depende del estado previo de la sustan- 
cia y de los procesos a que se sometio conforme se movio desde su estado previo has- 
ta su estado presente. Esto se investigara con mayor profundidad despues del ejem- 
plo siguiente. 



Permeabilidad magnetica fi. 



960 



CAPiTULO 30 Fuentes del campo magnffico 



Ejemplo 30m 



Un toroide lleno de hierro 



Un toroide enrollado con 60.0 vueltas/m de alambre condu- 
ce una corriente de 5.00 A. El toro es de hierro, el cual dene 
una permeabilidad magnetica de fi m = 5 000/to bajo las condi- 
ciones dadas. Encuentre H y B dentro del hierro. 

Solution Utilizando las ecuaciones 30.31 y 30.33 se obtiene 
vueltas i s A • vueltas 



( ■ 

H = nl = 60.0- 



"J 



(5.00 A) = 300 



B = fi m H = 5000/io# 



= 5000 4n x lO' 7 



Tm 



^ ^„^« A • vueltas "\ , „„ „ 
300 = 1.88 T 



A ) 



jEste valor de B es 5 000 veces el valor en ausencia de hierro! 

Ejercido Determine la magnitud del vector magnetization 
dentro del toro de hierro. 

Respuesta M = 1.5 x 10 6 A/m. 



Pregunta sorpresa 30.7 



La corriente en un solenoide que dene aire en su interior crea un campo magnetico B = 
. /i<)H. Describa cualitativamente que ocurre con la magnitud de B conforme se colocan en 
el interior a) aluminio, b) cobre y c) hierro. 




a) 



Bo 

b) 

Figura 30.28 a) Orientacion alea- 
toria de momentos magneticos atomi- 
cos en una sustancia desmagnetizada. 
b) Cuando se aplica un campo exter- 
na B,,, los momentos magneticos ato- 
micos tienden a alinearse con el cam- 
po, produciendo en la muestra un 
vector de magnetizacion neto M. 



Ferromagnetismo 

Un pequeno numero de sustancias cristalinas, cuyos atomos tienen momentos mag- 
neticos permanentes muestran intensos efectos magneticos que reciben el nombre 
de ferromagnetismo. Algunos ejemplos de sustancias ferromagneticas son hierro, co- 
balto, nfquel, gadolinio y disprosio. Dichas sustancias contienen momentos .magne^. 
ticos atomicos que tienden a alinearse paralelos .entre si incLus.o.en uncampo mag- 
netic o exter no debiL Una vez que los momentos estan alineados, la sustancia 
permanece magnetizada despues de que el campo externo se elimina. Este alinea- 
miento permanente se debe a iin intenso acoplamiento entre momentos vecinos, lo 
cual solo puede "entenderse en funcion de la mecanica cuantica. 

Todos los materiales ferromagneticos estan constituidos con regiones microsco- 
picas llamadas dommios, regiones dentro de las cuales se alinean todos los momen- 
tos magneticos. Estos dominios tienen volumenes de aproximadamente 10~ 12 a 10" 8 
m s y contienen de 10 17 a 10 21 atomos. Las fronteras entre los diversos dominios que 
tienen diferentes orientaciones se cohocen como paredes de dominio. En una mues- 
tra desmagnetizada, los dominios estan orientados al azar de modo que el momen- 
to magnetico neto es cero, como se muestra en la figura 30.28a. Cuando la muestra 
se pone en un campo magnetico externo, los momentos magneticos de los atomos 
tienden a alinearse con el campo, lo cual produce una muestra magnetizada, como 
en la figura 30.28b. Las obseryaciones muestran que los dominios inicialmente 
orientados a lo largo del campo externo aumentaran de tamano a expensas de los 
dominios orientados menos favorablemente. Cuando se elimina el campo externo, 
la muestra puede retener una magnetizacion neta en la direction del campo origi- 
nal. A temperaturas brdinarias, la agitation termica no es suficiente para alterar es- 
ta orientacion preferida de los momentos magneticos. 

Un arreglo experimental caracteristico para medir las propiedades magneticas 
de un material ferromagnetico se compone de un toro hecho del material enrolla- 
do con N vueltas de alambre, como se muestra en la figura 30.29, donde los bobina- 
dos son representados en negro y se refieren como la bobina primaria. Este aparato 
se conoce a veces como anillo Rowland. Una bobina secundaria (los alambres rojos en 
la Fig. 30.29) conectada a un galvanometro se usa para medir el flujo magnetico to- 
tal a traves del toro. El clampo magnetico B en el toro se mide aumentando la co- 
rriente en el toroide desde cero hasta /. A medida que la corriente cambia, el flujo 
magnetico a traves de la bobina secundaria cambia por una cantidad BA, donde A 



30.8 Magnetismo en la materia 



961 



es el area de la section transversal del toroide. Como se descubrira en el capftulo 
31, debido a este flujo cambiante, se induce una fern en la bobina secundaria que 
es proportional a la rapidez de cambio del flujo magnetico. Si el galvanometro se 
calibra de manera apropiada, es posible obtener un valor para B correspondiente a 
cualquier valor de la corriente en la bobina primaria. El campo magnetico B se mi- 
de primero en la ausencia del toro y luego con el toro en su lugar. Las propiedades 
magneticas del material del toro se obtienen luego de una compararion de las dos 
mediciones. 

Considere ahora un toro hecho con hierro desmagnetizado. Si la corriente en 
la bobina primaria aumenta de cero hasta cierto valor I, la magnitud de la intensi- 
dad del campo magnetico H aumenta linealmente con / de acuerdo con la expre- 
sion H = nl. Ademas, la magnitud del campo total B se incrementa tambien con el 
aumento de la corriente, como se muestra por la curva desde el punto O al punto a 
en la figura 30.30: En el punto 0, los dominios en el hierro estan orientados al azar, 
lo que corresponde a B m = 0. Conforme la corriente aumenta en la bobina primaria, 
provoca que el campo externo B se incremente, los dominios se alinean cada vez 
mas hasta que todos estan casi alineados en el punto a. En este punto el niicleo de 
hierro se acerca a la saturation, que es la condition en la cual todos los dominios en 
el hierro estan alineados. 

Despues, suponga que la corriente se reduce a cero, por lo que se elimina el 
campo externo. La curva B versus H, denominada curva de magnetization, sigue aho- 
ra la trayectoria ab indicada en la figura 30.30. Advierta que en el punto b, B no es 
cero, aun cuando el campo externo es B = 0. La razon es que el hierro esta ahora 
magnetizado debido al ahneamiento de un gran mimero de sus dominios (esto es, 
B = B m ). En este punto se afirma que el hierro tiene una magnetization remanente. 

Si la corriente en la bobina primaria se invierte de modo que la direction del 
campo magnetico externo se invierte, los dominios se reorientan hasta que la mues- 
tra esta otra vez desmagnetizada en el punto c, donde B = 0. Un aumento en la co- 
rriente inversa provoca que el hierro se magnetice en la direction opuesta, acercan- 
dose a la saturation en el punto d en la figura 30.30. Una secuencia similar de 
acontecimientos ocurre cuando la corriente se reduce a cero y luego se aumenta en 
la direction (positiva) original. En este caso la curva de magnetization sigue la tra- 
yectoria def. Si la corriente se incrementa lo sufitiente, la curva de magnetization re- 
gresa al punto a, donde la muestra tiene otra vez su magnetization maxima. 

El efecto que se acaba de describir, llamado histeresis magnetica, muestra que 
la magnetization de una sustancia ferromagnetica depende de la historia de la sus- 
tantia, asi como de la magnitud del campo aplicado. (La palabra histeresis literalmen- 
te significa "regresar hacia atras".) A menudo se afirma que una sustancia ferromag- ( 
netica tiene "memoria", pues permanece magnetizada despues de que se elimina el 
campo externo. La espira cerrada en la figura 30.30 se conoce como una espira de 
histeresis. Su forma y tamario dependen de las propiedades de la sustancia ferromag- 
netica y de la intensidad del campo aplicado maximo. La espira de histeresis para 



Experiment*) sorpresa _Jp^ 

Probablemente usted habra realiza- 
do este experimento antes. Magneti- 
ce una aguja mediante el frotamien- 
to repetido a traves de un iman de 
barra. Pruebe la intensidad del cam- 
po magnetico de la aguja al levantar 
algunos sujetapapeles. Ahora golpee 
la aguja varias veces con un martillo, 
y de nuevo pruebe la intensidad de 
su magnetismo. Explique que ocurre 
en el acero de la aguja, en terminos 
de dominios. 




Figura 30.29 Un arreglo de enro- 
llado toroidal empleado para medir 
las propiedades magneticas de un ma- 
terial. El toroide esta hecho del mate- 
rial bajo estudio, y el circuito que con- 
tiene al galvanometro mide el flujo 
magnetico. 




Figura 30.30 Curva de magnetization para un material 
ferromagnetico. 



£%, 



962 



CAPfTUL 30 Fuentes del campo magnetico 





a) 



b) 



Figura 30.31 Espiras de histeresis para a) un material ferromagnetico duro y b) un material ferro- 
magnetico blando. _• 




Figura 30.32 Desmagnetizacion de 
un material ferromagnetico median te 
su transportation a traves de espiras 
de histeresis sucesivas. 



* 



materiales ferromagneticos "duros" es caracteristicamente ancha, como la mostrada 
en la figura 30.31a, lo que corresponde a una gran magnetization remanente. Di- 
chos materiales no pueden ser facilmente desrhagnetizados por medio de un cam- 
po externo. Los materiales ferromagneticos "blandos", como el hierro, tienen una 
espira de histeresis muy estrecha y magnetization remanente pequena (Fig. 30.31b.) 
Estos materiales se magnetizan y desmagnetizan facilmente. Un ferromagnetico 
blando e ideal no exhibiria histeresis y, por tanto, no tendria magnetization rema- 
nente, Una sustancia ferromagnetica se puede desmagnetizar Uevandola por espiras 
de histeresis sucesivas, debido a la reduction aplicada al campo magnetico, como se 
muestra en la figura 30.32. 



Pregunta sorpresa 30.8 



iCual material han'a un mejor iman permanente: uno cuya espira de histeresis se viera co- 
mo en la figura 30.31a o uno cuya espira se viera como en la figura 30.31b? 

La curva de magnetization es util por otra razon: El area encerrada por la cur- 
va de magnetization representa el trabajo requerido para llevar el material por el ti- 
clo de histeresis. La energia adquirida por el material en el proceso de magnetiza- 
tion se origina en la fuente del campo externo — esto es, la fern en el circuito de la 
bobina toroidal. Cuando el ciclo de magnetization se repite, los procesos disipativos 
dentro del material debido al realinearhiento de los dominios da como resultado 
una transformation de energia magnetica en energia interna, la cual se evidenria 
por una elevation en la temperatura de la sustancia. Por esta razon los dispositivos 
sujetos a campos alternos (como los adaptadores de ca para telefonos celulares, he- 
rramientas electricas y cosas por el estilo) usan nucleos fabricados con sustancias fe- 
rromagneticas blandas, los cuales tienen espiras de histeresis estrechas y, en corres- 
pondentia, pequenas perdidas de energia por ciclo. 

Los discos magneticos de computadora almacenan information al alternar la di- 
rection de B para portiones de una fina capa de material ferromagnetico. Los dis- 
cos flexibles tienen la capa sobre una hoja circular de plastico. Los discos duros tie- 
nen varias fuentes rfgidas con recubrimientos magneticos a cada lado. Las tintas de 
audio y video trabajan de la misma manera que los discos flexibles, excepto que el 
material ferromagnetico esta sobre una larga tira de plastico. Las finas bobinas de 
alambre en la cabeza grabadora se colocan cerca del material magnetico (el cual pa- 
sa con rapidez por la cabeza) . Al variar la corriente a traves de la bobina se crea un 
campo que magnetiza el material de grabation. Para recuperar la information, el 
material magnetizado se mueve frente a una bobina de reproduction. El magnetis- 
mo variable del material induce una corriente en la bobina, como se analizara en el 
capitulo 32. Entonces esta corriente es amplificada por el equipo de audio o video, 
o es procesada por los tircuitos de la computadora. 



30.8 Magnetismo en'la materia 



963 



Paramagnetismo 

Las sustancias paramagneticas tienen una susceptibilidad magnetica positiva aunque 
pequeria (0 < % « 1), lo cual se debe a la presencia de atomos (o iones) que tie- 
nen momentos magneticos permanentes. Estos momentos interactuan solo debil- 
mente entre si y se orientan al azar si no hay campo magnetico extemo. Cuando una 
sustancia paramagnetica se pone en un campo magnetico externo, sus momentos 
atomicos tienden a alinearse con el campo. Sin embargo, este proceso de alinea- 
miento debe competir con el movimiento termico, que tiende a volver aleatorias las 
orientaciones de los momentos magneticos. 

Pierre Curie (1859-1906) y otros despues de el encontraron experimentalmen- 
te que, bajo una amplia gama de condiciones, la magnetizacion de una sustancia pa- 
ramagnetica es proportional al campo magnetico aplicado e inversamente propor- 
cional a la temperatura absoluta: 



M = C 



Bo 



(30.35) 



Esta relation se conoce como ley de Curie en honor a su descubridor, y la constan- 
te C se denomina constante de Curie. Esta ley muestra que, cuando Bq = 0, la mag- 
netizacion es cero, lo que corresponde a una orientation aleatoria de los momentos 
magneticos. Conforme la proportion del campo magnetico a la temperatura se vuel- 
ve mayor, la magnetizacion se aproxima a su valor de saturation, que corresponde a 
un alineamiento complete de sus momentos, y la ecuacion 30.35 ya no es valida. 
Cuando la temperatura de una sustancia ferromagnetica alcanza o sobrepasa 
una temperatura critica llamada temperatura de Curie, la sustancia pierde su mag- 
netization residual y se vuelve paramagnetica (Fig. 30.33) . Debajo de la temperatu- 
ra de Curie, los momentos magneticos se alinean y la sustancia es ferromagnetica. 
Arriba de la temperatura de Curie, la agitation termica es suficientemente grande 
para provocar una orientation al azar de los momentos, y la sustancia se vuelve pa- 
ramagnetica. Las temperatures de Curie de diferentes sustancias ferromagneticas se 
proporcionan en la tabla 30.3. 



Paramagnetica 




Curie 



Figura 30.33 Magnetizacion versus 
temperatura absoluta para una sustan- 
cia ferromagnetica. Los momentos 
magneticos se alinean por debajo de 
la temperatura de Curie T^^ , donde 
la sustancia es ferromagnetica. La sus- 
tancia se vuelve paramagnetica (mo- 
mentos magneticos no alineados) so- 
bre 7^. 



Temperatures de Curie - 
para varias sustancias 



Sustancia 


Tc^m 


Hierro 


1043 


Cobalto 


1-394 


Nfquel 


631 


Gadolinio 


317 


Fe 2 O s 


893 



Diamagnetismo 



Cuando un campo magnetico extemo se aplica a una sustancia diamagnetica, se in- 
duce un debil momento magnetico en la direction opuesta al campo aplicado. Es- 
to provoca que las sustancias diamagneticas sean repelidas debilmente por un iman. 
Si bien el diamagnetismo esta presente en toda la materia, sus efectos son mucho 
mas pequenos que los del paramagnetismo o el ferromagnetismo, y son evidentes 
solo cuando estos otros efectos no existen. 

Se puede obtener cierta comprension del diamagnetismo considerando un mo- 
delo clasico de dos electrones de un atomo orbitando el nucleo en direcciones 
opuestas pero con la misma rapidez. Los electrones permanecen en sus orbitas tir- 
culares debido a la fuerza electrostatica atractiva ejercida por el nucleo cargado po- 
sitivamente. Debido a que los momentos magneticos de los dos electrones son igua- 
les en magnitud y opuestos en direction, se cancelan entre si y el momento magnetico 
del atomo es cero. Cuando se aplica un campo magnetico externo, los electrones ex- 
perimentan una fuerza aditional qv x B. Esta fuerza agregada se combina con la 
fuerza electrostatica para aumentar la rapidez orbital del electron cuyo momento 
magnetico es antiparalelo al campo y disminuir la rapidez del electron cuyo momen- 
to magnetico es paralelo al campo. Como consecuentia, los dos momentos magne- 
ticos de los electrones ya no se cancelan, y la sustancia adquiere un momento mag- 
netico neto que se opone al campo aplicado. 



WISH 

jVisite www.ezploratorinm.edD/taiada/ 
uiamagnetism.www/index.htinl para un ex- 
perimento que muestra c6mo las uvas son repe- 
lidas por imanesl 



964 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo magnStico 




Figura 30.34 Un pequeno iman perma- 
nente levita sobre un disco del superconduc- 
tor YBa 2 Cu30 7 enfriado a tehiperatura de 
nitrogeno h'quido (77 K). (US Department of 
Energy/Science Source/Photo Researchers, inc.) 



Para una descripcidn mas detallada de las 
inusuales piopiedades de los superconductes, 
visite www.saundeiseollege.com/physics/ 



Como recordara del capftulo 27, un superconductor es una sustancia en la cual 
la resistencia electrica es cero debajo de cierta temperatura critica. Ciertos tipos de 
superconductores muestran tambien diamagnetismo perfecto en el estado de super- 
conduction. Como resultado, un campo magnetico aplicado es expulsado por el su- 
perconductor de modo que el campo es cero en su interior. Este fenomeno de ex- 
pulsion de flujo se conoce como efecto Meissner. Si un iman permanente se acerca 
a un superconductor, los dos objetos se repeleran entre si. Esto se ilustra en la figu- 
ra 30.34, la cual muestra un pequeno iman permanente que levita sobre un super- 
conductor mantenido a 77 K 



Ejemplo 



Magnetization de saturation 



Estime la magnetization de saturation en un cilindro largo 
de hierro, suponiendo que hay un espin de electron no pa- 
reado por atomo. 

Solution La magnetization de saturation se obtiene cuan- 
do todos los momentos ■magneticos en la muestra estan alinea- 
dos. Si la muestra contiene n atomos por unidad de volumen, 
entonces la magnetization de saturation M s tiene el valor 

M s = ny. 

donde /u. es el momento magnetico por atomo. Puesto que la 
masa molar del hierro es 55 g/mol y su densidad es 7.9 g/cm 3 , 
el valor de n para el hierro es de 8.6 x 10 28 atomos/m 3 . Supo- 



niendo que cada atomo aporta un magneton de Bohr (debi- 
do a un espin no pareado) al momento magnetico, se obtiene 



M s = 8.6 x 10 2 



atomos 






9.27 x 10 



-24 Am2 > | 
atomo J 



= 8.0xl0 5 A/m 



Esto es aproximadamente la mitad de la magnetizacion de sa- 
turation determinada de forma experimental para el hierro, 
lo cual indica que hay en realidad dos espines de electron no 
pareados por atomo. 



Section opcional 



EL CAMPO MAGNETICO DE LA TIERRA 



Cuando se habla de que un iman de bnijula tiene un polo norte y uno sur, se debe- 
ria decir mas propiamente que tiene un polo que "busca el norte" y uno que "bus- 
ca el sur". Por esto se enuende que un polo del iman buscara, o apuntara hacia, el 
polo norte geografico de la Tierra. Puesto que el polo norte de un iman es atrafdo 
hacia el polo norte geografico de la Tierra, se concluye que el polo magnetico sur 
de la Tierra esta ubicado cerca del polo geografico norte, y el polo magnetico nor- 
te de la Tierra esta localizado cerca del polo geografico sur. En realidad, la configu- 
ration del campo magnetico terrestre, ilustrado en la figura 30.35, es muy similar a 
la que se alcanzaria enterrando un gigantesco iman de barra profundamente en el 
interior de la Tierra. 



30.9 El cjtmpo magnetico de la Tierra 



965 



Polo 
magnetico 



Polo 
geografico . . 
none 



Ecuador 
geografico 




Polo 

geografico 

sur 



Polo 

magnetico 

, norte 



Figura 30.35 Lineas del campo magnetico de la Tierra. Advierta que un polo magnetico sur esta 
cerca del polo geografico norte, y un polo magnetico none esta cerca del polo geografico sur. 



Si la aguja de una brujula se suspende en un eje que le permite girar en el pia- 
no vertical, asi como en el piano horizontal, la aguja esta horizontal con respecto a 
la superficie terrestre solo cerca del ecuador. Conforme la brujula se mueve hacia el 
norte, la aguja gira de modo que apunta mas y mas hacia la superficie de la Tierra. 
Por ultimo, en un punto cerca de la Bahia Hudson en Canada, el polo norte de la 
aguja apunta directamente hacia abajo. Este sitio, encontrado por primera vez en 
1832, se considera como la localidad del polo magnetico siir de la Tierra. Este sitio 
esta aproximadamente a 1 300 millas del Polo geografico Norte de la Tierra y su po- 
sicion exacta varia lentamente con el tiempo. De manera similar, el polo magnetico 
norte de la Tierra se encuentra a casi 1 200 millas del Polo geografico Sur terrestre. 

Debido a esta distancia entre los polos geografico norte y magnetico sur, solo es 
aproximadamente correcto decir que la aguja de una brujula apunta hacia el norte. 
La diferencia entre el norte real, definido como el Polo geografico Norte, y el nor- 
te indicado por una brujula varia de punto a punto sobre la Tierra, y la diferencia 
se conoce como declination magnetico. Por ejemplo, a lo largo de una linea que pasa 
por Florida y los Grandes Lagos, una brujula indica el norte verdadero, mientras que 
en el estado de Washington, se alinea 25° al este del norte real. 



Experimento sorpresa W^ 

Un anillo de oro es repelido muy de- 
bilmente por un iman. Para ver esto 
suspenda un anillo de oro de 14 o 
18 kilates sobre una larga espira de 
hilo, como se muestra en a). Golpee 
suavemente el anillo y estime su pe- 
riodo de oscilacion. Ahora haga que 
el anillo regrese al reposo, dejandolo 
colgar durante unos cuantos mo- 
memos para que usted pueda verifi- 
car que no se esta moviendo. Rapi- 
damente acerque un iman muy in- 
tenso a unos cuantos milimetros del 
anillo, teniendo cuidado de no gol- 
pearlo, como se muestra en b). Aho- 
ra aleje el iman. Repita esta accion 
muchas veces, igualando el periodo 
de oscilacion. que estimo con ante- 
rioridad. Esto es similar a empujar a 
un nino en un columpio. Una pe- 
quena fuerza aplrcada en la frecuen- 
cia de resonancia da como resultado 
una oscilacion de gran amplitud. Si 
usted tiene un anillo de platino, 
podra ver un efecto similar, excepto 
que el platino es atrai'do debilmente 
a un iman debido a que es para- 
magnetico. 




a) 



b) 




El extremo norte de la aguja de una brujula 
apunta al polo magnetico surde la Tierra. La 
direction "none" de la brujula varia del ver- 
dadero norte geografico dependiendo de la 
declination magnetica a la cual apunta so- 
bre la superficie de la Tierra. (George Semple) 



966 CAP/TUL0 30 Fuentes del campo magn'to 



Pregunta sorpresa 30.9 



Si se quisiese cancelar el campo magnetico. de la Tierra haciendo pasar una enorme espira 
de corriente alrededor del ecuador, ^hacia que lado deberia fluir la corriente: de este a oes- 
te o de oeste a este? 

Aunque el patron del campo magnetico de la Tierra es similar al que podria es- 
tablecer un iman de barra enterrado en la Tierra, es facil entender por que la fuen- 
te del campo magnetico de la Tierra no pueden ser grandes masas de material mag- 
netizado permanentemente. La Tierra tiene grandes y profundos depositos de 
mineral de hierro debajo de su superficie, pero las altas temperaturas en el nucleo 
de la Tierra evitan que el hierro retenga cualquier magnetization permanente. Los 
cientfficos consideran mas probable que la verdadera fuente sean las corrientes de 
convection que conducen carga en el nucleo terrestre. Los iones cargados o los elec- 
trones que circulan en el interior liquido podrian producir un campo magnetico, 
del mismo modo que lo hace una espira de corriente. Tambien hay fuerte evidencia 
de que la intensidad del campo magnetico de un planeta se relaciona con la rapi- 
dez de rotation del mismo. Por ejemplo, Jupiter gira mas rapido que la Tierra, y las 
sondas espatiales indican que el campo magnetico de Jupiter es mas intenso que el 
de la Tierra. Venus, por otra parte, gira mas lentamente que la Tierra, y se ha en- 
contrado que su campo magnetico es mas debil. La investigation de la causa del 
magnetismo terrestre permanece abierta. 

Hay un interesante aspecto colateral respecto del campo magnetico de la Tie- 
rra. Se ha descubierto que la direction del campo se ha invertido varias veces duran- 
te los ultimos millones de anos. Evidentias de lo anterior son proporcionadas por el 
basalto, un tipo de roca que contiene hierro y que se forma de material arrojado por 
la actividad volcanica sobre el piso oceanico. Cuando la lava se enfrfa, se solidifica y 
mantiene una huella de la direction del campo magnetico terrestre. Las rocas son 
fechadas por otros medios para proporcionar una cronografia de estas inversiones 
periodicas del campo magnetico. 



Resumen 

La ley de Biot-Savart seriala que el campo magnetico dB en un punto Pdebido a un 
elemento de longitud cfe que conduce una corriente estable / es 

dB = J± L IdsXT (301) 

4ir r 2 

donde fio =.4ir x 10~ 7 T-m/A es la permeabilidad del espatio libre, r es la distantia 
del elemento al punto P, y r es un vector unitario que apunta desde ds al punto P. 
Se puede encontrar el campo total en Pintegrando esta expresion sobre toda la dis- 
tribution de corriente. 

El campo magnetico a una distantia a de un alambre largo y recto por el que 
circula una corriente / es 

B = -^1 (30.5) 

2ira 

Las lineas de campo son circulos concentricos con el alambre. 

La fuerza magnetica por unidad de longitud entre dos alambres paralelos sepa- 
rados por una distantia a y que conducen las corrientes 1^ e J 2 dene una magnitud 

F L= f±oI 1 h (3012) 

i 2ira 

La fuerza es atractiva si las corrientes estan en la misma direction, y repulsiva si es- 
tan en direcciones opuestas. 



Preguntas 



967 



La ley de Ampere establece que la integral de linea de B-ds alrededor de cual- 
quier trayectoria cerrada es igual a HqI, donde / es la corriente estable total que pa- 
sa por cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada: 



B ■ ds = jll 7 



(30.13) 



Empleando la ley de Ampere, se encuentra que los campos dentro de un toroide y 
un solenoide son 



B = 



N 



2l7T 



(toroide) 



B = n — / = /j. nl (solenoide) 



(30.16) 
(30.17) 



donde iVes el numero total de vueltas. 

El flujo magnetico <& B a traves de una superficie esta definido por la integral de 
superficie 

(30.18) 



*.-Jb- 



dA 



La ley de Gauss del magneusmo establece que el flujo magnetico neto a traves 
de cualquier superficie cerrada es cero. 

La forma general de la ley de Ampere, la cual tambien se conoce como ley Ant 
pere-Maxwell, es 

(30.22) 



d® £ 
B • ds = fiol + fiQ£ — — 
at 



Esta ley describe el hecho de que los campos magneticos son producidos tanto por 
corrientes de conduction como por campos electricos variables. 



Preguntas 

1. jEs uniforme el campo magnetico creado por una espira 
de corriente? Explique. 

2. Una corriente en un conductor produce un campo mag- 
netico que puede calcularse utilizando la ley de Biot-Sa- 
vart. Puesto que la corriente se define como la rapidez de 
flujo de carga, £que se puede concluir acerca del campo 
magnetico producido por cargas estacionarias? iQue acer- 
ca de las producidas por cargas en movimiento? 

3. Dos alambres paralelos conducen corrientes en direccio- 
nes opuestas. Describa la naturaleza del campo magnetico 
creado por los alambres en puntos a) entre los alambres y 
b) afuera de los alambres en un piano que los contiene. 

23 Explique por que dos alambres paralelos que conducen 
corrientes en direcciones opuestas se repelen entre si. 

5. Cuando se ensambla un circuito electrico, una practica co- 
mun es torcer juntos dos alambres que conducen corrien- 
tes iguales en direcciones opuestas. jPor que esta tecnica 
reduce los campos magneticos parasitos? 

6. jLa ley de Ampere es valida para todas las trayectorias ce- . 
rradas que circundan un conductor? jPor que no es util 
para calcular B para todas esas trayectorias? 

7. Compare la ley de Ampere con la de Biot-Savart. jCual es 
por lo general mas util para calcular B en el caso de un 
conductor por el que circula corriente? 



8. £E1 campo dentro- de un toroide es uniforme? Explique. 

9. Describa las similitudes entre la ley de Ampere eh magne- 
tismo y la ley de Gauss en electrostatica. 

IJO] Un tubo de cobre hueco conduce una corriente a traves 
de su longitud. jPor que B = dentro del tubo? jB es di- 
ferente de cero afuera del tubo? 

11. jPor que B no es cero afuera de un solenoide? jPor que B 
= afuera de un toroide? (Recuerde que las lineas de B 
deben formar trayectorias. cerradas.) 

12. Describa el cambio en el campo magnetico en el interior 
de un solenoide que conduce una corriente estable /a) si 
la longitud del solenoide se duplica pero el numero de 
vueltas permanece igual, y b) si el numero de vueltas se 
duplica, pero la longitud permanece invariable. 

13. Una espira conductora plana se localiza en un campo mag- 
netico uniforme dirigido a lo largo del eje x. £Para que 
orientation de la espira el flujo a traves del mismo es un 
maximo? jUn mfnimo? 

14. jQue nuevo concepto incluyo la forma generalizada de 
Maxwell de la ley de Ampere? 

15. Muchas espiras de alambre se enrollan alrededor de un 
clavo y luego se conectan a una baterfa. Identifique las 
fuentes de M, H y B. 



968 



CAPfTUL 30 Fuentes del campo magn&ico 



16. Un iman atrae un pedazo de hierro. El hierro puede en- 
tonces atraer otro pedazo de hierro. Con base en el alinea- 
miento de dominios, explique que sucede en cada pedazo 
de hierro. 

17. Usted es un astronauta perdido en un planeta que no de- 
ne campo magnetico y no cuenta con equipo de prueba. 
Usted cuenta con dos imanes de hierro: uno magnetizado. 
y el otro no. jComo podria usted determinar cual es cual? 

18. jPor que golpear un iman con un martillo provoca que el 
magnetismo se reduzca? 

' 19. jUn clavo sera atrafdo a cualquier polo de un iman? Ex- 
plique lo que esta sucediendo dentro del clavo cuando se 
pone cerca de un iman. 

20. Un soberano hindii sugirio una vez que se le sepultara en 
un feretro magnetico con la polaridad arreglada de modo 
que el siempre estuviera suspendido entre el cielo y la tie- 
rra. jEs posible tal levitacion magnetica? Analice. 

21. jPor que M = en el vacio? ^Cual es la relation entre B y 
H en el vacio? 

22. Explique por que algunos atomos tienen momentos mag- 
neticos permanentes y otros no. 

23. iQue faCtores contribuyen al momento magnetico total de 
un atomo? 

24. jPor que es negativa la susceptibilidad magnetica de una 
sustancia diamagnetica? 

25. jPor que puede ignorarse el efecto del diamagnetismo en 
una sustancia paramagnetica? ' 

26. Explique la importancia de la temperatura de Curie en 
una sustancia ferromagnetica. 

27. Analice las diferencias entre sustancias ferromagneticas, 
paramagneticas y diamagneticas. 

28. £Cual es la diferencia entre materiales ferromagneticos du- 
ros y blandos? 

29. jLa superficie de un disco de computadora debe hacerse 
de una sustancia ferromagnetica dura o blanda? 



31 



32 



30. Explique por que es deseable emplear materiales ferro- 
magneticos duros para fabricar imanes permanentes. 
iEsperarfa usted que la cinta de una grabadora fuera atraf- 
da hacia un iman? (Intentelo, pero no con una grabacion 
que desee conservar.) 

Con solo un iman de gran intensidad y un destornillador, 
jcomo podria magnetizar y luego desmagnetizar el destor- 
nillador? 

33. La figura Q30.33 muestra dos imanes permanentes, cada 
uno con un hoyo en su centre Observe que el iman supe- 
rior levita sobre el inferior, a) iComo ocurre esto? b) iCual 
es el propdsito del lapiz? c) iQue puede usted decir acer- 
ca de los polos de los imanes a partir de esta observation? 
d) Si se invirtiera el iman superior, ique supone usted que 
ocurriria? 




Figura Q30.33 Levitacion magnetica usando dos imanes ceramicos. 
(Cortesia de Central Scientific Company) 



Problemas 

1, 2, 3 = sencillo, intermedio, desafiante fj = solution completa disponible en el Student Solutions Manual and Study Guide 

WEB = solution disponible en http://www.sauiiderscollege.com/phvsics/ Jj^[ = use computadora para resolver el problema flfa = Fisica 

interactive | | = problemas pareados: numericos/simbolicos 



Seca'on 30.1 La ley de Biot-Savart 

! . En el modelo del atomo de hidrogeno de Niels Bohr de 
1913, un electron circunda el proton a una distancia de 
5.29 x 10" 11 m a-una rapidez de 2.19 x 10 6 m/s. Calcule 
la intensidad del campo magnetico que este movimien- 
to produce en la posicion del proton. 

2. Una trayectoria de corriente con la forma mostrada en 
la figura P30.2 produce un campo magnetico en P, el 
centra del arco. Si el arco subtiende un angulo de 30.0° 
y el radio del arco es de 0.600 m, jcuales son la magni- 
tud y direccion del campo producido en P si la corrien- 
te es de 3.00 A? 

[37j a) Un conductor en forma de un cuadrado de longitud 
de lado £ = 0.400 m conduce una corriente / = 10.0 A 
(Fig. P30.3). Calcule la magnitud y direccion del campo 



P 



30.0° 



Figura P30.2 




magnetico en el centro del cuadrado. b) Si este conduc- 
tor se forma como una sola vuelta circular y conduce la 
misma corriente, £cual es el valor del campo magnetico 
en el centro? 



Problemas 



969 




7= 7.00 A 



Figura P30.3 



4. Calcule la magnitud del campo magnetico en un punto 
a 100 cm de un largo y delgado conductor que porta una 
corriente de 1.00 A. 
web [I] Determine el campo magnetico en un punto P localiza- 
do a una distancia x de la esquina de un alambre infini- 
tamente largo doblado en un angulo recto, como se 
muestra en la figura P30.5. Por el alambre circula una 
corriente estable /. 



Qio. 



"P 



>• x ► 



Figura P30.5 



6. A un alambre que conduce una corrieate de 5.00 A se le 
va a dar la forma de una espira circular de una vuelta. Si 
el valor requerido del campo magnetico en el centro de 
la espira es 10.0 fiT, jcual es el radio requerido? 

7. Un conductor consiste de una espira circular de radio R 
= 0.100 m y de dos largas secciones rectas, como se mues- 
tra en la figura P30.7. El alambre yace en el piano del 
papel y conduce una corriente / = 7.00 A. Determine la 
magnitud y direction del campo magnetico en el centro 
de la espira. 

8. Un conductor consta de una espira circular de radio R y 
dos largas secciones rectas, como se ve en la figura P30.7. 
El alambre esta en el piano del papel y conduce una co- 
rriente /. Determine la magnitud y direction del campo 
magnetico en el centro de la espira. 

9. El segmento de alambre en la figura P30.9 conduce una 
corriente /= 5.00 A, donde el radio del arco circular es 
R= 3.00 cm. Determine la magnitud y direction del cam- 
po magnetico en el origen. 



13. 




Figura P30.7 Problemas 7 y 8. 




Figura P30.9 



Considere una espira de corriente circular y piano de ra- 
dio R que conduce una corriente /. Elija el eje * a lo lar- 
go del eje de la espira, con el origen en el centro del mis- 
mo. Grafique la relation de la magnitud del campo 
magnetico en la coordenada x a la del origen, para x = 
a x = bR. Tuede ser util emplear una calculadora 
programable o una computadora para resolver este pro- 
blema. 

Considere la espira que conduce corriente mostrada en 
la figura P30.ll, formada de lineas radiales y segmentos 
de cfrculos cuyos centros estan en el punto P. Enciien- 
tre la magnitud y direction de B en P. 




Figura P30.ll 



Determine el campo magnetico (en terminos de I, a y d) 
en el origen debido a la espira de corriente mostrada en 
la figura P30.12. 

La espira en la figura P30.13 conduce una corriente /. 
Determine el campo magnetico en el punto A en fun- 
cion de I, R y L. 

Tres largos conductores paralelos llevan corrientes de / 
= 2.00 A. La figura P30.14 es una vista de los extremos 
de los conductores, con cada una de las corrientes sa- 
liendo de la pagina. Si a= 1.00 cm, determine la magni- 
tud y direction del campo magnetico en los puntos A, B 

yc. 

Dos largos conductores paralelos conducen las corrien- 
tes /, = 3.00 A e I 2 = 3.00 A, ambas dirigidas hacia aden- 



970 



CAPlTUL 30 Fuentes del campo magn&ico 



tro de la pagina en la figure P30.15. Determine la mag- 
nitud y direction del campo magnetico resultante en P. 



Section 30.2 



+ a 



Figura P30.12 




Figura P30.13 



'Q 



A+- 



-—-♦-—.— ->c" 



-.-■©' 



La tuerza magnetica entre dos 
conductors paralelos 



16. Dos largos conductores paralelos separados por 10.0 cm 
conducen corrientes en la misma direction. El primer 
alambre conduce una corriente /, = 5.00 A, y el segundo 
conduce I 2 = 8.00 A. a) jCual es la magnitud del campo 
magnetico creado por /, y que actua sobre 7 2 ? b) iCual 
es la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre / 2 por 
/,? c) £Cual es la magnitud del campo magnetico creado 
por I 2 en la ubicacion. de /,? d) jCual es la fuerza por uni- 
dad de longitud ejercida por I 2 sobre /,? 

117.1 En la figura P30.17 la corriente en el largo alambre rec- 
to es J { = 5.00 A y el alambre se ubica en el piano de la 
espira rectangular, la cual conduce 10.0 A. Las dimensio- 
nes son c = 0.100 m, a = 0.150 m y I = 0.450 m. Determi- 
ne la magnitud y direction de la fuerza neta ejercida so- 
bre la espira por el campo magnetico creado por el 
alambre. 



/ 




Figura P30.17 



}# 



Figura P30.14 



& 



13.0 cm 



^ v 5.00 cm 

/. 
/ 
/ 
/ 

/ 12.0 cm 



Figura P30.15 



18. La unidad de flujo magnetico debe su nombre a Wil- 
helm Weber. La magnitud practica de la unidad del cam- 
po magnedco recibe su nombre de Johann Karl Frie- 
drich Gauss. Ambos fueron cientificos en Gottingen, 
Alemania. Ademas de sus logros individuales, ellos cons- 
truyeron juntos un telegrafo en 1833. Este consistio de 
una bateria y un interruptor que fue colocado en un ex- 
tremo de una lfnea de transmision de 3 km de largo y 
era operado por un electroiman en el otro extreme 
(Andre Ampere sugirio los sefialamientos electricos en 
1821; Samuel Morse construyo una lfnea de telegrafo en- 
tre Baltimore y Washington en 1844.) Suponga que la lf- 
nea de transmision de WebeY y Gauss esta diagramada 
en la figura P30.18. Dos alambres paralelos largos, cada 
uno con una masa por unidad de longitud de 40.0 g/m, 
se apoyan en un piano horizontal por cuerdas de 6.00 
cm de largo. Cuando ambos alambres conducen la mis- 
ma corriente /, los alambres se repelen entre si de tal 



fc 



Problemas 



971 



-• / ' 



modo que el angulo entre las cuerdas de soporte es 
16.0°. a) jLas corrientes estan en direcciones iguales u 
opuestas? b) Encuentre la magnitud de la corriente. 




Figura P30.18 



Seccion 30.3 Ley de Ampere 

eb [TJO Cuatro largos conductores paralelos llevan iguales co- 
rrientes de / = 5.00 A. Una vista de los extremos de los 
conductores se muestra en la figura P30.19. La direction 
de la corriente es hacia adentro de la pagina en los pun- 
tos A y B (indicado por las cruces) y hacia afuera de la 
pagina en los puntos Cy D (indicado por los puntos). 
Calcule la magnitud y direction del campo magnetico 
en el punto P, localizado en el centro del cuadrado cu- 
yos lados tienen una longitud de 0.200 m. 



*©" 



■®< 



*<*y- 



0.200 m 



0.200 ra 
Figura P30.19 



(•> 



20. 



21. 



22. 



Un largo alambre recto se encuentra sobre una mesa ho- 
rizontal y conduce una corriente de 1.20 fjA. En el va- 
cfo, un proton se mueve paralelo al alambre (opuesto a 
la corriente) a una velocidad constante de 2.30 x 10 4 
m/s a una distancia d sobre el alambre. Determine el va- 
lor de d. Puede ignorar el campo magnetico debido a la 
Tierra. ., 

La figura P30.21 es una vista transversal de un cable coa- 
xial. El conductor del centro esta rodeado por una capa 
de caucho, la cual esta rodeada por otro conductor ex- 
terior, al cual lo rodea otra capa de caucho. En una apli- 
cacion particular, la corriente en el conductor interior es 
de 1.00 A hacia afuera de la pagina, y la corriente en el 
conductor exterior es de 3.00 A hacia el interior de la 
pagina. Determine la magnitud y la direction del campo 
magnetico en los puntos ay b. 

El campo magnetico a 40.0 cm de distancia de un alam- 
bre largo y recto que conduce una corriente de 2.00 A 
es 1.00 juT. a) <;A que distancia es de 0.100 /aT? b) En al- 




ill 

4 — —■ I I 

H mm 11 nunil mm 



Figura P30.21 

gun instante los dos conductores en un gran cable de ex- 
tension domestica conducen iguales corrientes de 2.00 A 
en direcciones opuestas. Los dos alambres estan separa- 
dos 3.00 mm. Encuentre el campo magnetico a 40.0 cm 
del punto medio del cordon recto, en el piano de los dos 
alambres. c) jA que distancia es un decimo? d) El alam- 
bre central en un cable coaxial conduce una corriente 
de 2.00 A en una direction, y el recubrimiento alrede- 
dor del mismo conduce 2.00 A de corriente en la direc- 
tion opuesta. jCual es el campo magnetico que el cable 
crea en puntos exteriores? 

23. Las bobinas magneticas de un reactor de fusion tokamak 
tienen la forma de un toroide con un radio interior de 
0.700 m y radio exterior de 1.30 m. Si el toroide tiene 
900 vueltas de alambre de gran diametro, cada una de 

i las cuales conduce una corriente de 14.0 kA, encuentre 

la intensidad del campo magnetico dentro del toroide a 
lo largo de a) el radio interior y b) el radio exterior. 

24. Un conductor cilindrico de radio R- 2.50 cm porta una 
corriente de /= 2.50 A a lo largo de su longitud; esta co- 
rriente esta distribuida de manera uniforme a traves de 
la seccion transversal del conductor, a) Calcule el cam- 
po magnetico en el punto medio a lo largo del radio del 
alambre (es decir, en r= R/2). b) Encuentre la distancia 
mas alia de la superficie del conductor a la cual la mag- 
nitud del campo magnetico tiene el mismo valor que la 
magnitud del campo enr= R/2. 

web HHl Un manojo de 100 largos alambres aislados y rectos for- 
man un cilindro de radio R= 0.500 cm. a) Si cada alam- 
bre conduce 2.00 A, jcuales son la magnitud y direction 
de la fuerza magnetica por unidad de longitud que ac- 
tua sobre un alambre localizado a 0.200 cm del centro 
del manojo? b) <;Un alambre en el borde exterior del 
manojo experimentaria una fuerza mayor o menor que 
el valor calculado en el inciso a)? 
26. El metal niobio se vuelve superconductor cuando se en- 
fria por abajo de 9 K. Si la superconductividad desapare- 
ce cuando el campo magnetico superficial excede 0.100 
T, determine la corriente maxima que un alambre de 
niobio de 2.00 mm de diametro puede conducir y seguir 
siendo superconductor, en ausencia de cualquier campo 
magnetico extemo. 
|2T| Un largo conductor cilindrico de radio R conduce una 
- corriente /, como se muestra en la figura P30.27. Sin em- 
bargo, la densidad de corriente J no es uniforme en la 



972 



CAPfWL 30 Fuentes del campo magnetico 




28. 



Figura P30.27 

section transversal del conductor, sino que es una fun- 
cion del radio de acuerdo con J= br, donde b es una 
constante. Encuentre una expresion para el campo mag- 
netico B a) a una distancia r x < R, y b) a una distancia 
r 2 > R, medida desde el eje. 

En la figura P30.28, ambas corrientes estan en la direc- 
cion x negativa. a) Dibuje el patron de campo magneti- 
co en el piano yz. b) £A que distancia d a lo largo del eje 
z el campo magnetico es un maximo? 




Figura P30.28 
Seccidn 30.4 El campo magnetico de un solenoide 



>HJ 



30. 



(•Que corriente se requiere en el bobinado de un largo 
solenoide que tiene 1 000 vueltas distribuidas uniforme- 
mente a lo largo de una longitud de 0.400 m para pro- 
ducir en el centra del solenoide un campo magnetico de 
1.00 x 10" 4 T de magnitud? 

Un solenoide superconductor va a generar un campo 
magnetico de 10.0 T. a) Si el enrollado del solenoide tie- 
ne 2 000 vueltas/m, <;que corriente se requiere? b) jCual 
fuerza por unidad de longitud ejerce sobre los bobina- 
dos el campo magnetico? 

Un solenoide de radio R = 5.00 cm esta hecho de un lar- 
go trozo de alambre de radio r = 2.00 mm, longitud € = 
10.0 m (€ » R) y resistividad p = 1.70 x 10" 8 ft • m. En- 
cuentre el campo magnetico en el centro del solenoide : 
si el alambre es conectado a una bateria que tiene una 
fern £= 20.0 V. 

Una espira cuadrada, de una sola vuelta de alambre, tie- 
ne una longitud lateral de 2.00 cm y conduce una co- 
rriente de 0.200 A eh el sentido de las manecillas del re- 
loj. La espira esta dentro de un solenoide, con el piano 
de la espira perpendicular al campo magnetico del sole- 
noide. El solenoide tiene 30 vueltas/cm y conduce una 
corriente de 15.0 A en el sentido de las manecillas del 
reloj. Encuentre la fuerza sobre cada lado de la espira y 
el momento de torsion que actua sobre la espira. 



Section 30.5 Flujo magnetico 

|33.| Un cubo de longitud de lado € = 2.50 cm esta colpcado 
' como se muestra en la figura P30.33. A traves de el hay 
una region de campo magnetico uniforme dado por B = 
(5.00i + 4.0QJ + 3.00k) T. a) Calcule el flujo a traves de 
la cara sombreada. b) jCual es el flujo total a traves 
de las seis caras? 




/ 




/Mb 

/'■ffV 












/ 
/ 
/ 


e 


We 


/ 


'/ 


e 






Figura 930.33 



34. Un solenoide de 2.50 cm de diametro y 30.0 cm de lar- 
go tiene 300 vueltas y conduce 12.0 A. a) Calcule el flu- 
jo a traves de la superficie de un disco de 5.00 cm de ra- 
dio que esta colocado perpendicular a y centrado en el 
eje del solenoide, como en la figura P30.34a. b) La figu- 
ra P30.34b muestra una vista lateral aumentada del mis- 
mo solenoide. Calcule el flujo a traves del area azul, la 
cual se define por medio de un anillo que tiene un ra- 
dio interior de 0.400 cm y un radio exterior de 0.800 cm. 




a) 




rftrt. 



rf^**e' 



bl ' 
Figura P30.34 



Problemas 



973 



35. 



Considere la superficie hemisferica cerrada de la figura 
P30.35. Si el hemisferio esta en un campo magnetico 
uniforme que forma un angulo 6 con la vertical, calcule 
el flujo magnetico a traves de a) la superficie plana S, y 
b) la superficie hemisferica S 2 . 




Figura P30.35 

Section 30.6 La ley de Gauss en el magnetismo 
Seccion 30.7 Corriente de desplazamiento y la forma 
general de la ley de Ampere 

36. Una corriente de 0.200 A esta cargando un capacitor 
que tiene placas circulares de 10.0 cm de radio. Si la se- 
paration de placas es de 4.00 mm, a) jcual es la rapidez 
de incremento en el tiempo del campo electrico entre 
las placas? b) <;Cual es el campo magnetico entre las pla- 
cas a 5.00 cm del centre? 

(3771 Una corriente de 0.100 A esta cargando un capacitor 
que tiene placas cuadradas de 5.00 cm de lado. Si la se- 
paration de las placas es de 4.00 mm, encuentre a) la ta- 
sa de cambio en el tiempo del flujo electrico entre 
las placas, y b) la corriente de desplazamiento entre las 
placas. 

(Optional) 

Seccidn 30.8 Magnetismo en la materia 

38. En el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno de 1913, 
el electron esta en una orbita circular de 5.29 x 10" 1 ' m 
de radio, y su rapidez es de 2.19 x 10 6 m/s. a) jCual es 
la magnitud del momento magnetico debido al movi- 
miento del electron? b) Si el electron gira en sentido 
contrario a las manecillas del reloj en un circulo hori- 
zontal, £cual es la direction de este vector de momento 
magnetico? 

13971 Un toroide con radio medio de 20.0 cm y 630 vueltas 
(vease la Fig. 30.29) se llena con acero pulverizado cuya 
susceptibilidad magnetica x es 100- Si la corriente en los 
bobinados es de 3.00 A, encuentre B (supuesto unifor- 
me) dentro del toroide. 

4C. Un campo magnetico de 1.30 T se establece en un toroi- 
de de nudeo de hierro. El toroide tiene un radio medio 
de 10.0 cm y permeabilidad magnetica de 5 000/^. jQue 



corriente se requiere si hay 470 vueltas de alambre en el 
bobinado? El espesor del anillo de hierro es pequeno 
comparado con 10 cm, de modo que el campo en el ma- 
terial es casi uniforme. 

Una bobina de 500 vueltas se enrolla sobre un anillo de 
hierro (jn. = 750^) con un radio medio de 20.0 cm y 
8.00 cm 2 de area de seccion transversal. Calcule el flujo 
magnetico 4> B en este anillo de Rowland cuando la co- 
rriente en la bobina es de 0.500 A. 
Un anillo uniforme de 2.00 cm de radio y 6.00 fiC de 
carga total gira a una rapidez angular constante. de 4.00 
rad/s alrededor de un eje perpendicular al piano del 
anillo y que pasa por su centro. jCual es el momento 
magnetico del anillo giratorio? 

Calcule la intensidad del campo magnetico H de una 
sustancia magnetizada en la cual la magnetization, es de 
880 kA/m y el campo magnetico tiene una magnitud de 
4.40 T. 

En la saturation el alineamiento de los espines del hie- 
rro puede contribuir tanto como 2.00 T al campo mag- 
netico total B. Si cada electron contribuye con un mo- 
mento magnetico de 9.27 x 10" 24 A-m 2 (un magneton de 
Bohr), jcuantos electrones por atomo contribuyen al 
campo saturado de hierro? (Sugerencia el hierro con tie- 
ne 8.50 x 10 28 atomos/m a .) 

a) Muestre que la ley de Curie puede establecerse en los 
siguientes terminos: la susceptibilidad magnetica de una 
sustancia paramagnetica es inversamente proportional a 
la temperatura absoluta, de acuerdo con % = Q^o/ T, don- 
de C es la constante de Curie, b) Evalue la constante de 
Curie para el cromo. 



(Optional) 
Seccion 30.9 



Campo magnetico de la Tierra 



43. Una bobina circular de 5 vueltas y un diametro de 30.0 
cm se orienta en un piano vertical con su eje perpendi- 
cular a la componente horizontal del campo magnetico 
terrestre. Una brujula horizontal ubicada en el centro de 
la bobina se desvfa 45.0° del norte magnetico por medio 
de una corriente de 0.600 A en la bobina. a) ,;Cual es la 
componente horizontal del campo magnetico terrestre? 
b) La corriente en la bobina se interrumpe. Una "bruju- 
la sumergida" es una brujula magnetica montada de tal 
forma que pueda rotar en un piano vertical norte-sur. En 
esta ubicacion una brujula sumergida forma un angulo 
de 13.0° desde la vertical. jCual es la magnitud total del 
campo magnetico terrestre en esta position? 

\iT\ El momento magnetico de la Tierra es aproximadamen- 
te 8.00 x 10 22 A-m 2 . a) Si este fuera causado por la mag- 
netization completa de un gigantesco deposito de hie- 
rro, £a cuantos electrones dispares corresponderia esto? 
b) A dos electrones no pareados por atomo de hierro, £a 
cuantos kilogramos de hierro corresponderia lo ante- 
rior? (La densidad del hierro es de 7 900 kg/m s , y hay 
aproximadamente 8.50 x 10 28 atomos/m 3 .) 

PROBLEMAS ADICIONALES 

48. Un relampago puede conducir una corriente de 1.00 x 
10 4 A durante un breve lapso. jCual es el campo magne- 



974 



CAPfTUL 30 Fuentes del campo magn&ico 



tico resultante a 100 m del relampago? Suponga que el 
relampago se extiende alejandose sobre y bajo el punto 
de observation. 

49. La magnitud del campo magnetico de la Tierra en cual- 
quiera de sus polos es aproximadamente 7.00 x 10" 5 T. 
Suponga que el campo se desvanece, antes de su siguien- 
te inversion. Los exploradores, marinos y vendedores de 
alambre alrededor del mundo se reunen en un progra- 
ma para reemplazar el campo. Un plan es usar una espi- 
ra de corriente alrededor del ecuador, sin tomar en cuen- 
ta la magnetization de cualquier material dentro de la 
Tierra. Determine la corriente que generaria tal campo 
si se desarrollara este plan. (Considere el radio de la Tie- 
rra como Rr= 6.37 x 10 6 m.) 

.- Dos conductores paralelos portan corriente en direccio- 
nes opuestas, como se indica en la figura P30.50. Un 
conductor lleva una corriente de 10.0 A, El punto A es- 
ta en el punto medio entre los alambres, y el punto C se 
encuentra a una distancia d/2 a la.derecha de la corrien- 
te de 10.0 A. Si d = 18.0 cm e Ise ajusta de manera que 
el campo magnetico en C sea cero, encuentre a) el valor 
de la corriente /, y b) el valor del campo magnetico en 
A 



A 



10.0 A 



C 




Figura P30.50 



Suponga que usted instala una brujula en el centro del 
tablero de un carro. Calcule una estimation del orden 
de magnitud del campo magnetico que es producido en 
esta ubicacidn por la corriente cuando usted activa los 
faros. jCdmo se compara su estimacion con el campo 
magnetico de la Tierra? Usted puede suponer que el ta- 
blero esta hecho en su mayor parte de plastico. 
Imagine un largo alambre cilfndrico de radio R que tie- 
ne una densidad de corriente /(r) =_^,(1 - r 2 /R 2 ) para r 
£ RyJ(r) =0 para r> R, donde res la distancia desde 
el eje del alambre. a) Encuentre el campo magnetico re- 
sultante adentro (r^R)y afuera (r > R) del alambre. 
b) Grafique la magnitud del campo magnetico como 
una funcion de r. c) Encuentre la position donde la 
magnitud del campo magnetico es un maximo, y el va- 
lor de dicho campo maximo. 
I I Una tint metalica de ancho w, delgada y muy larga, con- 
duce una corriente / a lo largo de su longitud, como se 
muestra en la figura P30.53. Encuentre el campo magne- 



Figura P30.53 

tico en el punto Pen el diagrama. El punto Pesta en el 
piano de la tira, alejado una distancia b de la tira. 
54. Para un proyecto de investigation, una estudiante nece- 
sita un solenoide que produzca un campo magnetico in- 
terior de 0.030 T. Ella decide usar una corriente de 
1.00 A y un alambre de 0.500 mm de diametro. Enrolla 
el solenoide en capas sobre una forma -aislante de 1.00 
cm de diametro y 10.0 cm de largo. Determine el nume- 
ro de capas de alambre que ella necesita y la longitud to- 
tal del alambre. 

155.1 Un anillo no conductor con 10.0 cm de radio, esta car- 
gado uniformemente con una carga total posttiva de 
10.0 fiC El anillo gira a una rapidez angular constante 
de 20.0 rad/s alrededor de un eje que pasa por su cen- 
tro, perpendicular al piano del anillo. jCual es la magni- 
tud del campo magnetico sobre el eje del anillo, a 5.00 

cm de su centro? 

156.1 Un anillo no conductor de radio R esta cargado unifor- 
memente con una carga total positiva q. El anillo gira a 
una rapidez angular constante <o alrededor de un eje 
que pasa por su centro, perpendicular al piano del ani- 
llo. ^Cual es la magnitud del campo magnetico sobre el 
eje del anillo a una distancia R/2 de su centro? 



57. 



Dos bobinas circulares de radio R estan colocadas en for- 
ma perpendicular a un eje comun. Los centros de las bo- 
binas estan separados por una distancia Ry una corrien- 
te estable J fluye en la misma direction alrededor de 
cada bobina, como se muestra en la figura P30.57. a) De- 
muestre que el campo magnetico sobre el eje a una dis- 
tancia x del centro de una bobina es 



B = 



tolR* 



1 



OR 2 + x 2 ) 3/2 (2« 2 + x 2 - 2Rx) i/2 



58. 



b) Demuestre que dB/dx y d*B/dx 2 son ambas cero en 
un punto a la mitad entre las bobinas. Esto significa que 
el campo magnetico en la region en el punto medio en- 
tre las bobinas es uniforme. Las bobinas en esta configu- 
ration reciben el nombre de bobinas Helmholtz. 
Dos bobinas de alambre identicas, circulares y planas, 
tienen cada una 100 vueltas y un radio de 0.500 m. Las 
bobinas se arreglan como un conjunto de bobinas Helm- 



Problemas 



975 



59. 



60. 




HH 



Figura P30.57 Problemas 57 y 58. 

holtz (vease la Fig. P30.57), paralelas y con una separa- 
tion de 0.500 m. Si cada una de ellas conduce una co- 
rriente de 10.0 A, determine la magnitud del campo 
magnetico en un punto a la mitad entre las bobinas y so 
bre el eje comun de las mismas. 
Dos espiras circulares son paralelas, coaxiales y estan ca- 
si en contacto, a 1.00 mm de separation (Fig. P30.59): 
Cada espira tiene 10.0 cm de radio. La espira superior 
conduce una corriente de 140 A en el sentido de las ma- 
necillas de relqj. Por la espira inferior circula una co- 
rriente de 140 A en senddo coritrario al de las maneci- 
Uas de relqj. a) Calcule la fuerza magnetica que la espira 
inferior ejerce sobre la superior, b) La espira superior 
tiene una masa de 0.021 kg. Calcule su aceleration, su- 
poniendo que las unicas fuerzas que actuan sobre ella 
son la fuerza de la parte a) y su peso. (Sugerencia: piense 
como se parece una espira a un gusano montado en la 
otra espira.) 




140 A 
Figura P30.S9 

<jQue objetos experimentan una fuerza en un campo 
electrico? El capftulo 23 responde esta pregunta: cual- 
quier carga electrica, estacionaria o en movimiento, dis- 
tinta a la carga que crea el campo. (Que crea un campo 
electrico? Cualquier carga electrica, estacionaria o en 
movimiento, tambien como se estudio en el capftulo 23. 
£Que objetos experimentan una fuerza en un campo 
magnetico? Una corriente electrica p una carga electri- 
ca en movimiento distintas a la corriente o la carga que 
crearon el campo, como se descubrio en el capftulo 29. 
iQue crea un campo magnetico? Una corriente electri- 
ca, como encontro en la section 30.11, o una carga elec- 
trica en movimiento, como en este problema. a) Para ex- 
hibir como una carga en movimiento crea un campo 
magnetico, considere una carga q que se mueve a veloci- 
dad v. Defiha el vector unitario f = r/r que apunta de la 
carga a alguna ubicacion. Muestre que el campo magne- 
tico en dicha ubicacion es 

g (jl qvxi 
4-ir r 2 

b) Encuentre la magnitud del campo magnetico a 1.00 
mm al lado de un proton que se mueve a 2.00 x 10 7 m/s. 



c) Encuentre la fuerza magnetica sobre un segundo pro- 
ton en este punto, moviendose a la misma rapidez en la 
direction opuesta. d) Encuentre la fuerza electrica sobre 
el segundo proton. 

Se ha sugerido el uso de canones de rid para lanzar proyec- 
tiles al espacio sin necesidad de cohetes quimicos, asi co- 
mo para armas de guerra antimisiles tierra-aire. Un mode- 
lo a escala de un canon de riel (Fig. P30.61) consta de dos 
largos rieles horizontales paralelos separados 3.50 cm, 
puenteados por una barra ED de 3.00 g de masa. La barra 
originalmente esta en reposo en el punto medio de los rie- 
les y es libre de deslizarse sin friction. Cuando se tierra el 
interruptor, la corriente electrica en el tircuito ABCDEA 
se establece muy rapidamente. Los rieles y la barra tienen 
baja resistencia electrica, y la corriente esta limitada a una 
constante de 24.0 A por la fuente de poder. a) Encuentre 
la magnitud del campo magnetico a 1.75 cm de un solo 
alambre recto muy largo, el cual conduce una corriente 
de 24.0 A. b) Encuentre el vector de campo magnetico en 
el punto Cen el diagrama, el punto medio de la barra, in- 
mediatamente despues de que se tierra el interruptor. 
(Sugerencia: considere que conclusiones puede derivar de 
la ley Biot-Savart) c) En otros puntos a lo largo de la ba- 
rra ED, el campo esta en la misma direction que en el 
punto C, pero mayor en magnitud. Suponga que el cam- 
po magnetico efectivo promedio a lo largo de ED es cin- 
co veces mayor que el campo en C. Con esta suposicion 
encuentre el vector fuerza sobre la barra. d) Encuentre el 
vector aceleration con el cual la barra comienza a mover- 
se. e) (La barra se mueve con aceleration constante? f) 
Encuentre la. velotidad de la barra despues de que ha via- 
jado 130 cm hatia el extremo de los rieles. 



3r 




Figura P30.61 

Dos largos conductores paralelos portan corrientes en la 
misma direction, como se indica en la figura P30.62. El 
conductor A lleva una corriente de 150 A y se man tiene 
firmemente en su position. El conductor B lleva una a> 
rriente / B y se deja que se deslice libremente arriba y aba- 
jo (paralelo a A) entre un conjunto de gufas no conduc- 
toras. Si la masa por unidad de longitud del conductor 
B es 0.100 g/cm, jque valor de la corriente 7 B resultara 
en equilibrio cuando la distancia entre los dos conduc- 
tores es de 2.50 cm? 

Sobre el rodillo izquierdo de una larga banda no con- 
ductora se esparce carga como en la figura P30.63. La 
banda conduce la carga, con una densidad de carga su- 
perficial uniforme <r, conforme se mueve a una rapidez 
v entre los rodillos, como se muestra. La carga se elimi- 
na con un limpiaparabrisas en el rodillo derecho. Con- 
sidere un punto exactamente arriba de la superficie de 
la banda movil. a) Encuentre una expresion para la mag- 
nitud del campo magnetico B en este punto. b) Si la 



976 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo magnfflico 




66. Un alambre recto infinitamente largo que conduce una 
corriente /] esta parcialmente rodeado por una' espira, 
como se muestra en la figura P30.66. La espira tiene una 
longitud L y un radio R, y conduce una corriente I 2 . El 
eje de la espira coincide con el alambre. Calcule la fuer- 
za ejercida sobre la espira. 



Figura 930.62 




Figura P30.63 



banda esta cargada positivamente.^cual es la direction 
de B? (Advierta que la banda puede considerarse como 
una lamina infinita.) 

Una sustancia paramagnetica particular alcanza 10.0% 
de su magnetization de saturation cuando se pone en 
un campo magnetico de 5.00 T a una temperatura de 
4.00 K. La densidad de los atomos magneticos en 
la muestra es de 8.00 x 10 27 atomos/m 3 , y el momento 
magnetico. por atomo es de 5.00 magnetones de Bohr. 
Calcule la constante de Curie para esta sustancia. 
Un iman de barra (masa = 39.4 g, momento magnetico 
= 7.65 J/T, longitud = 10.0 cm) se conecta al techo por 
medio de una cuerda. Un campo magnetico externo 
uniforme se aplica horizontalmente, como se muestra en 
la figura P30.65. £1 iman esta en equilibrio, formando 
un angulo con la horizontal. Si 6 = 5.00°, determine la 
magnitud del campo magnetico aplicado. 



67. 



68. 





L. 



} 



Figura P30.66 



Un alambre se dobla en la forma mostrada en la figura 
P30.67a, y se mide un campo magnetico en P, cuando la 
corriente en el alambre es /. El mismo alambre se forma 
despues del modo que se ilustra en la figura P30.67b, y 
el campo magnetico se mide en el punto P 2 cuando la 
corriente es otra vez I. Si la longitud total del alambre es 
la misma en cada caso, ,-cual es la relation de B^/R^ 



i 

i 

i 

2€ 



.i__. 
^i 



a) 




Figura P30.65 



Figura P30.67 



En 1962 se efectuaron mediciones del campo magnetico 
de un gran tornado en el Observatorio GeofTsico en Tul- 
sa, Oklahoma. Si el campo del tornado fue B = 15.0 nT 
y apuntaba al norte cuando el tornado estaba a 9.00 km 
al este del observatorio, ^que corriente circulaba arriba 
o abajo del embudo del tornado, modelado como un lar- 
go alambre recto? 



Problemas 



977 



J6§3 Un alambre tiene la forma de un cuadrado con longitud 
de lado L (Fig! P30.69). Muestre que cuando la corrien- 
te en la espira es /, el campo magnetico en el punto P, a 
una distancia x del centro del cuadrado a lo largo de su 
eje, es 

HoIL 2 



71. 



B = 



2t7(x 2 + L 2 /4)V* 2 + £72 




70. 



Figura P30.69 



La fuerza sobre un dipolo magnetico /* alineado con un 
campo magnetico no uniforme en la direction x esta da- 
da' por F x = \ft\dB/dx. Suponga que dos espiras de alam- 
bre planas, tienen cada una radio R y conducen una co- 
rriente /. a) Si las espiras se arreglan coaxialmente y se 
separan mediante una distancia variable x, la cual es 
grande comparada con R, muestre que la fuerza magne- 
tica entre ellas varia como 1/x 4 . b) Evalue la magnitud 
de esta fuerza si /= 10.0 A, R = 0.500 cm y x= 5.00 cm. 
Un alambre por el que circula una corriente 7s,e dobla 
en la forma de una espiral exponential, r= e s , desde = 
hasta 9= 2it, como muestra la figura P30.71. Para com- 
pletar una espira, los extremos de la espiral se conectan 
por medio de un alambre recto a lo largo del eje x. En- 
cuentre la magnitud y direction de B en el origen. Suge- 
rencia: emplee la ley de Biot-Savart. El angulo B entre 
una linea radial y su linea tangente en cualquier punto 
sobre la curva r = f(6) se relaciona con la funcion de la 
siguiente manera: 

tan/3 = 



dr/dB 




Por tamo, en este caso r = e 6 , tan B = 1 y P= it/4. Por 
tamo, el angulo entre ds y f es it - /} = 3ir/4. Ademas, 



ds = 



dr 



sen 7r/4 



= Jidr 



72. La tabla P30.72 contiene datos tornados para un mate- 
rial ferromagnetico. a) Construya una curva de magneti- 
zation a partir de los datos. Recuerde que B = B + fxJIA. 
b) Determine la proportion B/Bo para cada par de valo- 
res de By Bo, y elabore una grafica de B/Bq versus B . (La 
fraccion B/Bo se conoce como permeabilidad relativa y 
es una medida del campo magnetico inducido.) 



TABLA 930.72 




B(T) 


$>(T) 


0.2 


4.8 x 1(T 5 


0.4 


7.0 x 1(T 5 


0.6 


8.8 x 10- 5 


0.8 


1.2 x KT 1 


1.0 


1.8 x lO^ 4 


1.2 


3.1 x 10- 4 


1.4 


8.7 x KT 4 


1.6 


3.4 x lO" 3 


1.8 


1.2 x lO" 1 



73. 



Problema de repaso. Una esfera de radio R tiene una 
densidad de carga volumetrica constante p. Determine el 
campo magnetico en el centro de la esfera cuando esta 
gira como un cuerpo rigido a velocidad angular a> alre- 
dedor de un eje que pasa por su centro (Fig. P30.73). 




74. 



Figura 930.71 



Figura 930.73 Problemas 73 y 74. 



Problema de repaso. Una esfera de radio R tiene una 
densidad de carga volumetrica constante p. Determine el 



978 



CAPlTULO 30 Fuentes del campo 'magneto 



momento de dipolo magnetico de la esfera cuando esta 
gira como un cuerpo rigido a velocidad angular a> alre- 
dedor de un eje que pasa por su centro (vease la Fig. 
P30.73). 
75. Un largo conductor cilindrico de radio a tiene dos cavi- 
dades cilindricas de diametro a a lo largo de toda su lon- 
gitud, como se muestra en la seccion transversal de la fi- 
gura P30.75. Una corriente /se dirige hacia afuera de la 
pagina y es uniforme por toda la seccion transversal del 
conductor. Encuentre la magnitud y direccion del cam- 
po magnetico en funcion de fio, I, ry a, en a) el punto 
Pj y b) el punto P t . 




Figura P30.75 



Respuestas a las preguntas sorpresa 



30.1 c) Fi = F 2 debido a la tercera ley de Newton. Otra forma 
de llegar a este resultado es notar que la ecuacion 30.11 
proporciona el mismo resultado si la multiplication de 
corrientes es (2 A) (6 A) o (6 A) (2 A). 

30.2 Acercandose mas; las bobinas actuan como alambres que 
conducen corrientes paralelas y, en consecuencia, se 
atraen entre si. 

30.3 b, d, a, c. La ecuacion 30.13 indica que el valor de la in- 
tegral de linea depende solo de la corriente neta a tra- 
ves de cada trayectoria cerrada. La trayectoria b encierra 
1 A, la trayectoria d encierra 3 A, la trayectoria a encie- 
rra 4 A y la trayectoria c encierra 6 A. 

30.4 b, luego a= c= d. Las trayectorias a, c y d dan todas el 
mismo valor no cero /u^porque el tamano y la forma de 
las trayectorias no importan. La trayectoria b no encierra 
la' corriente y, por tanto, su integral de linea es cero. 

30.5 Fuerza neta, si; momento de torsion neto, no. Las fuer- 
zas sobre las partes superior e inferior de la espira se can- 
celan porque son iguales en magnitud pero opuestas en 
direccion. La corriente en el lado izquierdo de la espira 
es paralela a /,, y, en consecuencia, la fuerza F L ejercida 
por /j sobre este lado es atractiva. La corriente en el la- 
do derecho de la espira es antiparalela a /,, asi que la 
fuerza F R ejercida por ij sobre este lado de la espira es 
repulsiva. Puesto que el lado izquierdo esta mas cerca 
del alambre l,F 1 _> F K y una fuerza neta esta dirigida ha- 



Calvin y Hobbes 



hoy ma un 

BtPBUMB/T0 

ciminco. 




nu sasis cdiuo ios mapas 

SIBUP& MUESIKAN U NOm 

HACIA ARRISAY aSUK HACIA 

ASAJ0? Y0 QimiA VRSIESTOEM 

cimooNO. 




cia el alambre 1. Como las fuerzas sobre los cuatro lados 
de la espira estan en el piano de la espira, no hay mo- 
mento de torsion neto. 

30.6 Cero; no fluyen cargas dentro de un capacitor comple- 
tamente cargado, de modo que no ocurren cambios en 
la cantidad de carga sobre las placas, y el campo electri- 
co entre las placas es constante. Solo cuando el campo 
electrico esta cambiando existe una corriente de despla- 
zamiento. 

'30.7 a) Aumenta ligeramente; b) disminuye ligeramente; c) 
aumenta de manera considerable. Las ecuaciones 30.33 
y 30.34 indican que, cuando cada metal esta en su lugar, 
el campo total es B = /io(l + x)H...La tabla 30.2 indica 
que /io(l + x)H es ligeramente mayor que nJtl para el 
aluminio y ligeramente menor para el cobre. Para el hie- 
rro el campo puede ser miles de veces mas intenso, -co- 
mo se vio en el ejemplo 30.10. 

30.8 Uno cuya espira se parezca a la figura 30.31a porque la 
magnetizacion remanente en el punto correspondiente 
al punto b en la figura 30.30 es mayor. 

30.9 De oeste a este. Las lineas del campo magnetico de la 
Tierra entran al planeta en la Bahia de Hudson y emer- 
gen de la Antartida; por tanto, las lineas de campo resul- 
tantes de la corriente tendrian que ir en la direccion 
opuesta. Compare la figura 30.6a con la 30.35. 



por Bill Watterson 



NOIMJCHO. TU 

milJMNO 

SOBWIVtd (L VIAJE 

hacia a SIR WSK 

WALTOmAKBOL 




liMI WUJUIA?! 




AVISAMl CUANDO 

C0NSI6AS UNA NUi- 

VA. Ml imo Dll 

jomi cimifico 

VICE OUt NOME DE- 

SO WSANIMAK POk 

COHTmiEDADES 

TIMV0MB. 



(CALVIN Y HOBBES © Watterson. Reimpreso con permi» de UNIVERSAL PRESS SYNDICATE. Todos los derechos raenados.) 







danarta y sin que el clierrte Kpere demaV : ; 
siado tiempo los resultadbs? (George ■: ^ .; : 
Semple) 



capitulo 



Ley de Faraday 




fflfffPISI 






g*? Of J 



31.1 Ley de induction de Faraday 

31.2 Fern en movimiento 

31.3 Ley de Lenz 

31.4 Fem inducida y campos electri- 
cos 



31.5 (Opcionai) Generadores y moto- 
res 

31.6 (Opcionai) Corrientes parasitas 

31.7 Las maravillosas ecuaciones de 
Maxwell 



979 



)80 



CAP/TUL0 31 Ley de Faraday 



«asta ahora, el estudio de la electricidad y el magnetismo se ha centrado en los 
campos electricos producidos por cargas estacionarias y campos magneticos 
generados por cargas moviles. Este capitulo se ocupa de los campos electricos 
que se originan a partir de campos magneticos variables. 

Los experimentos conducidos por Michael Faraday en Inglaterra en 1831, e in- 
dependientemente por Joseph Henry en Estados Unidos ese mismo ano, mostxaron 
que una fern podria inducirse en un circuito mediante un campo magnetico varia- 
ble. Como vera prorito, una fem (y, por tanto, tambien una corriente) pueden indu- 
cirse de muchas formas — por ejemplo, mediante el movimiento de una espira ce- 
rrada de alambre dentro de una region en la que existe un campo magnetico. Los 
resultados de esos experimentos condujeron a una ley muy basica e importante del 
electromagnetismo conocida como ley de induction de Faraday. Esta ley establece que 
la magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la rapidez de cambio en el 
tiempo del flujo magnetico a traves del circuito. 

Con el tratamiento <de la ley de Faraday se completa la introduction a las leyes 
fundamentales del electromagnetismo. Estas leyes pueden resumirse en un conjun- 
to de cuatro ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell Junto con la ley defuer- 
za de Lorentz, la ciial se analiza brevemente, representan una teoria completa que des- 
cribe la interaction de los objetos cargados. Las ecuaciones de Maxwell irelacionan 
los campos electricos y magneticos entre si y su fuente ultima, a saber, las -cargas elec- 
tricas. 

LEY DE INDUCCION DE FARADAY 



12.6 

y 

12.7 




Una demostracion de la induccion 
electromagneuca. Una diferencia de 
potencial variable se aplica a la bobi- 
na inferior. Una fem es inducida en la 
bobina superior, como indica la lam- 
para iluminada. {Que ocurre con la 
intensidad de la lampara conforme la 
bobina superior se mueve sobre el tu- 
bo vertical? (CorUsia de Central Scientific 
Company) 



Para ver como puede inducirse una fem mediante un campo magnetico variable, 
considere una espira de alambre conectada a un galvanometro, como se muestra en 
la figura 31.1. Cuando un iman se mueve hacia la espira, la aguja del galvanometro 
se desviara en una direction, arbitrariamente mostrada hacia la derecha en la figu- 
ra 31.1a. Cuando el iman se aleja de la espira, la aguja se desviara en la direction 
opuesta, como se ye en la figura 31.1c. Si el iman se mantiene estacionario en rela- 
tion con la espira (Fig. 31.1b), no se observa ninguna desviacion. Por ultimo, si el 
iman se mantiene estacionario y la espira se mueve, ya sea hacia o alejandose del 
iman, la aguja se desviara. A partir de estas observaciones se concluye que la espira 
"sabe" que el iman se esta moviendo en relation con el, pues experimenta un cam- 
bio en la intensidad del campo magnetico. Por tanto, parece que existe una relation 
entre la corriente y el campo magnetico variable. 

Estos resultados son muy importantes en vista de que jse establece una corrien- 
te aun cuando no haya baterias en el circuito! A esta corriente se le llama corriente in- 
ducida, la cual se produce mediante una fem inducida. 

Ahora se describira el experimento realizado por Faraday 1 que se ilustra en la 
figura 31.2. Una bobina primaria se conecta a un interruptor y a una bateria. La bo- 
bina se enrolla alrededor de un anillo, y una corriente en la bobina produce un cam- 
po magnetico cuando el interruptor se cierra. Una bobina secundaria tambien se en- 
rolla alrededor de un anillo y se conecta a un galvanometro. No hay bateria presente 
en el circuito secundario, y la bobina secundaria no esta conectada a la primaria. 
Cualquier corriente detectada en el circuito secundario puede ser inducida por al- 
gun agente extemo. 



1 Un fisico Uamado J. D. Colladon fue el primero en realizar el experimento del iman movil. Para mi- 
nimizar el efecto del campo magnetico variable sobre su galvanometro coloco el medidor en un cuar- 
to adyacente. Por tanto, conforme movia iman en la espira, no podia ver la desviacion de la aguja del 
medidor. Cuando regresaba al cuarto cercano para leer el galvanometro la aguja habia regresado a ce- 
ro, porque el habia detenido el movimiento del iman. Desafortunadamente para Colladon, debe ha- 
ber movimiento relativo entre la espira y el iman para inducir una fem y observar una correspondien- 
te corriente inducida. En c'onsecuencia, los estudiantes de fisica aprenden la ley de induccion de 
Faraday en lugar de la "ley de induccion de Colladon". 



31.1 Ley de inducci6n de Faraday 



981 



^jV-^i^^^l&iXp*^ 


J^^^m^m^& 




I V J 


^M^^ 



Galvanometro 




a) 




Galvanometro 



b) 




Galvanometro 



c) . 

Figura 31.1 a) Cuando un iman se mueve hacia una espira de alambre conectada a un galvanome- 
tro, el galvanometro se desvia como se muestra, lo cual indica que una corriente es inducida en la es- 
pira. b) Cuando el iman se mantiene estacionario, no hay corriente inducida en la espira, aun cuando 
el iman este dentro de la espira. c) Cuando el iman se mueve alejandose de la espira, el galvanometro 
se desvfa en la direccion opuesta, lo cual indica -que la corriente inducida es opuesta a la mostrada en 
la parte a). Al cambiar la direccion del movimiento del iman cambia la direccion de la corriente indu- 
cida mediante dicho movimiento. 



A primera vista, usted podria pensar que no se detectaria ninguna corriente en 
el circuito secundario. Sin embargo, sucede algo asombroso cuando se cierra o abre 
repentinamente el interruptor en el circuito primario. En el instante en que se cie- 
rra el interruptor, la aguja del galvanometro se desvia en una direccion y luego re- 
gresa a cero. Eh el instante en que se abre el interruptor, la aguja se desvia en la di- 
reccion opuesta y de nuevo regresa a cero. Por ultimo, el galvanometro registra cero 
cuando en el circuito primario hay una corriente estable o no hay ninguna corrien- 



Interruptor 




Bateria 



Bobina 
primaria 



Bobina 
secundaria 



Figura 31.2 El experimento de Faraday. Cuando se cierra el interruptor en el circuito primario, el 
galvanometro en el circuito secundario se desvia momentaneamente. La fem inducida en el circuito 
secundario es causada por el campo magnetico variable a traves de la bobina secundaria. 




mas^raratecieritfTicoexperrfrteJital - 
del siglo xrx. Sus muctas contnbuao- 
nes al estudio de la electnadad inclu- 
yen la mvenci6n del motor electnco 
el generador electnco y el transforma- 
dor, as! como el descubrimiento de la 
induction electromagnetica y las leyes 
de la electrtlisis. Enormemente influi- 
do por la religion, rechazo trabajar en 
el desarrollo del gas venenoso para el 
ejercito brrtinico. (Con el generoso 
permiso del presidente y consejero de la 
Real Sodedad) 



982 CAP/TUL0 31 Ley de Faraday 



Ley de Faraday 



te. La clave para comprender lo que ocurre en este experimento es notar primero 
que cuando se cierra el interruptor, la corriente en el circuito primario produce un 
campo magnetico en la region del circuito, y es este campo magnetico el que pene- 
tra el circuito secundario. Mas aun, cuando se cierra el interruptor, el campo mag- 
netico producido por la corriente en el circuito primario cambia de cero a algun va- 
lor durante algun tiempo finito, y es este campo variable el que induce una corriente 
en el circuito secundario. 

Cpmo resultado de estas observaciones Faraday concluyo que una corriente elec- 
trica puede indudrse en un circuito (el circuito secundario en la configuration) me- 
diante un campo magnetico variable. La corriente inducida existe solo durante un 
breve tiempo mientras el campo magnetico a traves de la bobina secundaria esta 
cambiando. Una vez que el campo magnetico alcance un valor estable, la corriente 
en la bobina secundaria desaparece. De hecho, el circuito secundario se comporta 
como si hubiera una fuente de fern conectada a el durante un breve instante. Es 
usual afirmar que una fern inducida se produce en el circuito secundario mediante 
un campo magnetico variable. 

Los experimentos mostrados en las figuras 31.1' y 31.2 tiehen una cosa en co- 
mun: en cada caso se induce una fem en el circuito cuando el flujo magnetico a tra- 
ves del circuito cambia con el tiempo. En general, 

la fem inducida en un circuito es directamente proportional a la rapidez de cam- 
bio en el tiempo del flujo magnetico a traves del circuito. 

Este enunciado, conocido como ley de induction de Faraday, puede escribirse como 

8 = -^*£ (31.1) 

dt 

donde <b B = /B • dA es el flujo magnetico a traves del circuito (vease la section 
30.5). 

Si el circuito es una bobina que consta de Af espiras, todas de la misma area, y 
si <J> B es el flujo a traves de una espira, es inducida una fem en cada espira; por tan- 
to, la fem total inducida en la bobina esta dada por la expresion 

* = -"— ,31* 

dt I 31 -2) 

El signo negativo en las ecuaciones 31.1 y 31.2 es de importante significado fisico, el 
cual se analizara en la seccion 31.3. 

Suponga que una espira que encierra un area A se encuentra en un campo mag- 
netico uniforme B, como se muestra en la figura 31.3. El flujo magnetico a traves de 
la espira es igual a BA cos &, por tanto, la fem inducida puede expresarse como 




Figura 31.3 Una espira conductora que encierra un area 
A en la presencia de un campo magnetico uniforme B. El an- 
gulo entre B y la normal sobre la espira es 6. 



31.1 Ley de inducci6n de Faraday 



983 



£ = (BA cos 0) 

it 



,- 1 -, Experimento sor 



A partir de esta expresion se ve que puede inducirse una fem en el circuito de va- 
rias maneras: 

• La magnitud de B puede variar con el tiempo. 

• El area encerrada por la espira puede cambiar con el tiempo. 

• El angulo 6 entre B y la normal a la espira puede cambiar con el tiempo. 

• Puede ocurrir cualquier combination de las anteriores. 



Pregunta sorpresa 31.1 



La ecuacion 31.3 se puede usar para calcular la fem inducida cuando el polo norte de un . 
iman se mueve hacia una espira de alambre, a lo largo del eje perpendicular al piano de la 
espira que pasa a traves de su centre ,-Que cambios son necesarios en la ecuacion cuando 
el polo sur se mueve hacia la espira? 



Una cinta de casete esta hecha de fi- 
nas particulas de oxido metalico uni- 
das a una larga tira plastica. Una co 
rriente en una pequena espira con- 
ductora magnetiza las particulas en 
un patron relacionado con la musica 
que se esta grabando. Durante la re- 
production, la cinta en movimiento 
pasa frente a una segunda pequena 
espira (dentro de la cabeza repro- 
ductora) e induce una corriente que 
luego se amplifica. Jale una tira de 
cinta afuera de un casete (uno que a 
usted no le importe destruir) y yea si 
es atraida o repelida por un iman de 
refrigerador. Si no dene un casete, 
intente esto con un viejo disco flexi- 
ble que ya tenga listo para la basura. 



Algunas aplicaciones de la ley de Faraday 

El interrupter de falla a tierra (GFI, por sus siglas en ingles) es un interesante dis- 
positivo de seguridad que protege a los usuarios de aparatos electricos contra cho- 
ques electricos. Su operation aprovecha la ley de Faraday. En el GFI mostrado en la 
figura 31.4, el alambre 1 va de la toma de corriente de la pared al aparato que sera 
protegido, y el alambre 2 parte del aparato y regresa a la toma de corriente de la pa- 
red. Un anillo de hierro rodea a los dos alambres y una bobina de detection se en- 
rolla alrededor de una parte del anillo. Puesto que las corrientes en los alambres es- 
tan en direcciones opuestas, el flujo magnetico neto a traves de la bobina de 
detection debido a las corrientes es cero. Sin embargo, si cambia la corriente de re- 
torno en el alambre 2, el flujo magnetico neto a traves de la bobina de detection no 
es mas grande que cero. (Esto puede ocurrir, por ejemplo, si el aparato se moja, per- 
mitiendo que la corriente se fugue a tierra.) Debido a que la corriente domestica se 
esta altemando (lo cual significa que su direction se mantiene invirtiendose), el flu- 
jo magnetico a traves de la bobina de detection cambia con el tiempo, induciendo 
una fem en la bobina. Esta fem inducida se usa para activar un interrupter de cir- 
cuito, que detiene la corriente antes de que alcance un nivel nocivo. 

Otra interesante aplication de la ley de Faraday es la production de sonido en 
una guitarra electrica (Fig. 31.5). La bobina, que en este caso se llama bobina fono- 
captora, se pone cerca de la cuerda vibrante, la cual esta hecha de un metal que pue- 
de magnetizarse. Un iman permanente dentro de la bobina magnetiza la portion de 
la cuerda mas cercana a la bobina. Cuando la cuerda vibra a tierta frecuencia, su 



Corriente 
alterna 



Interruptor 
de circuito 




Bobina de 
detection 




Anillo 
de hierro 



Figura 31.4 Componentes esenciales de un in- 
terruptor de falla a tierra. 



Esta estufa electrica cocina comida 
con base en el principio de induction. 
Una corriente oscilante se pasa a tra- 
ves de una bobina colocada debajo de 
la superficie de coccion, la cual esta 
hecha de un vidrio especial. La co- 
rriente produce un campo magnetico 
oscilatorio, el cual induce una corrien- 
te en el utensilio de cocina. Puesto 
que el utensilio de cocina tiene algu- 
na resistencia electrica, la energia 
"electrica asociada con la corriente in- 
ducida se transforma en energia in- 
terna, lo cual provoca que el utensilio 
y su contenido se calienten. (Cartesia 
de Coming, Inc.) 



984 



CAP/TUL0 31 Ley de Faraday 



Bobina 
fonocaptora Imin 



Porcion 

de cuerda 

magnetizada 




\ 
Cuerda de guitarra 



Hacia el amplificador 




b) 



Figura 31.5 a) En una guitarra electrica, una cuerda vibratoria induce una fern en una bobina fo- 
nocaptora. b) Los circulos debajo de las cuerdas metalicas de esta guitarra. electrica detectan iw ootas 
que se tocan y envia esta informacion a traves de un amplificador y a las bocinas.' (Un interruptor so- 
bre la guitarra permite que el musico seleccione cual juego de seis se usa.) jComo siente un "'captor" 
de guitarra que musica se esta tocando? (b, Charte D. Winters) 



segmento magnetizado produce un flujo magnetico variable a traves de la bobina. 
El flujo variable induce una fem en la bobina, la cual alimenta a un amplificador. La 
salida del amplificador se envia a los altavoces, lo cual produce las ondas sonoras que 
se escuchan. 



EjemploM 



Una manera de inducir una fem en una bobina 



Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene una re- 
sistencia total de 2.0 SI. Cada vuelta es un cuadrado de 18 cm 
de lado, y se activa un campo magnetico uniforme perpendi- 
cular al piano de la bobina. Si el campo cambia linealmente 
de a 0.50 T en 0.80 s, ,;cual es la magnitud de la fem indu- 
cida en la bobina mientras esta cambiando el campo? 

Solution El area de una vuelta de la bobina es (0.18 m) 2 = 
0.032 4 m 2 . El flujo magnetico a traves de la bobina en t = 
es cero, puesto que B = en dicho momento. En t = 0.80 s, 
el flujo magnetico a traves de una vuelta es 4> B = BA = (0.50 
T) (0.032 4 m 2 ) = 0.016 2 T-m 2 . Por tanto, la magnitud de la 
fem inducida es, a partir de la ecuacion 31.2 



e = 



NAQ> B 200(0.0162Tm 2 - T • m 2 ) 



At 



0.80 s 



4.1V 



= 4.1T ■ m 2 /s 

Usted debe ser capaz de demostrar que 1 T-m 2 /s = 1 V. 

Ejercicio jCui.1 es la magnitud de la corriente inducida en 
la bobina mientras el campo esta cambiando? 

Respuesta 2.0 A. 



Ejemplo 3M 



Un campo B que decae exponencialmente 



Una espira de alambre que encierra un area A se coloca en 
una region donde el campo magnetico es perpendicular al 
piano de la espira. La magnitud de B varia en el tiempo de 
acuerdo con la expresion B= B mix e"°', donde a es alguna cons- 
tante. Esto es, en t = el campo es fi mil , y para t> el cam- 



po disminuye exponencialmente (Fig. 31.6). Determine la 
fem inducida en la espira como una funcion del tiempo. 

Soluddn Puesto que B es perpendicular al piano de la es- 
pira, el flujo magnetico a traves de este en el tiempo / > es 



31.2 • Fem en movimiento 



985 




Figura 31.6 Disminucion exponencial en la magnitud del campo 
magnetico con el tiempo. La fern y la corriente inducidas varian con 
el tiempo en la misma forma. 



<D B = BA cosO = AB mix e- a ' 

Puesto que AB mi ^ y a son constantes, la fem inducida calcula- 
da a partir de la ecuacion 31.1 es 



S=- 



dt 



= -AB^—e-" = aAB^e-" 
at 



Esta expresion indica que la fem inducida decae exponencial- 
mente en el tiempo. Observe que la fem maxima ocurre en t 
= 0, donde B mix = aAB^. La grafica de £ versus t es similar 
a la curva de B versus-t mostrada en la figura 31.6. 



Ejemplo CONCEPTUAL 



iQue esta conectado a que? 



Dos focos estan conectados a lados opuestos deuna espira de 
alambre, como se muestra en la figura 31.7. Un campo mag- 
netico en disminucion (confinado al area circular mostrada 
en la figura) induce una fem en la espira que causa que los 
dos focos brillen. jQue ocurre con la brillantez de los focos 
cuando se cierra el interruptor? 

Solucidn El foco 1 da luz mas brillante, y el foco 2 se apa- 
ga. Una vez que se cierra el interruptor, el foco 1 esta en la 
espira grande que consta.del alambre al cual esta unido y el 
alambre conectado al interrupter. Puesto que el flujo magne- 
tico variable esta completamente encerrado dentro de esta es- 
pira, existe una corriente en el foco 1 . Este ahora es mas bri- 
llante que antes de que se cerrara el interruptor porque ahora 



Foco 1 



es la unica resistencia en la espira. Cdmo resultado, la co- 
rriente en el foco 1 es mayor que cuando el foco 2 tambien 
estaba eh la espira. 

Una vez que se cierra el interruptor, el foco 2 esta en la es- 
pira que consta de los alambres unidos a ella y los. conectados 
al interruptor. No hay flujo magnetico variable a traves de es- 
ta espira y, por tanto, no hay fem inducida. 

EjerdciO jQue ocurriria si el interruptor estuviese en un 
alambre ubicado a la izquierda del foco 1? 

Respuesta El foco 1 se apagaria, y el foco 2 daria luz mas 
brillante. 




Interruptor 



Figura 31.7 



FEM EN MOVIMIENTO 



En los ejemplos 31.1 y 31.2 se consideran casos en los que se induce una fem en un 
circuito estacionario colocado en un campo magnetico cuando el campo cambia con 
el tiempo. En esta seccion se describe la llamada fem de movimiento, que es la 
fem inducida en un conductor que se mueve a traves de un campo magnetico cons- 
tan te. 

El conductor recto de longitud € que se muestra en la figura 31.8 se mueve a 
traves de un campo magnetico uniforme dirigido hacia adentro de la pagina. Por 
simplieidad, suponga que el conductor se mueve en una direccion perpendicular al 
campo con velocidad constante bajo la influencia de algun agente externo. Los elec- 



o 



986 



CAPfTUL0 31 Ley de Faraday 



€ . 



Figura 31.8 Un conductor elec- 
trico recto de longitud I se mueve a 
velocidad v a traves de un campo mag- 
netico uniforme B dirigido perpendi- 
:ular a v. Una diferencia de potencial 
A V= Blv se mantiene entre los extre- 
mes del conductor. 



Fern de movimiento 



trones en el conductor experimentan una fuerza F B =^vxB que esta dirigida a lo 
largo de la longitud I, perpendicular tan to a v como a B (Ec. 29.1). Influidos por es- 
ta fuerza, los electrones se moveran al extremo inferior del conductor y se acumu- 
laran ahi, dejando una carga positiva neta en el extremo superior. Como resultado 
de esta separation de carga, se produce un campo electrico dentro del conductor. 
Las cargas se acumulan en ambos extremos hasta que la fuerza magnetica hacia aba- 
jo qvB se equilibra por la fuerza electrica ascendente qE. En este punto los electro- 
nes dejan de moverse. La condition de equilibrio requiere que 

qE = qvB o E = vB 

El campo electrico producido en el conductor (una vez que los electrones dejan de 
moverse y E es constante) se relaciona con la diferencia de potencial a traves de los 
extremos del conductor de acuerdo con la relation" A V = Et (Ec. 25.6). De este 
modo, 

AV=El = Blv (31.4) 

donde el extremo superior esta a un potencial electrico mas alto que el extremo in- 
ferior. Asi, se mantiene una diferencia de potencial entre los extremos del conduc- 
tor siempre que este continue su movimiento a traves del campo magnetico unifor- 
me. Si la direction del movimiento se invierte, lo mismo ocurre con la polaridad de 
la diferencia de potencial. 

Una situation mas interesante ocurre cuando el conductor en movimiento es 
parte de una trayectoria de conduction cerrada. Esta situation es parucularmente 
litil para ilustrar como un flujo magnetico variable puede causar una corriente in- 
ducida en un circuito cerrado. Considere un circuito constituido por una barra de 
conduction de longitud £ que se desliza a lo largo de dos rieles conductores parale- 
los y fijos, como se muestra en la figura 31.9a. 

Por simplicidad, suponga que la barra tiene resistencia cero y que la parte esta- 
cionaria del circuito tiene una resistencia R. Un campo magnetico B, uniforme y 
constante, se aplica perpendicularmente al piano del circuito. Cuando la barra se Ja- 
la hacia la derecha a una velocidad v, influida por una fuerza aplicada F^, las car- 
gas libres en la barra experimentan una fuerza magnetica dirigida a lo largo de la 
longitud de la barra. Esta fuerza establece una corriente inducida porque las cargas 
son libres de moverse en una trayectoria conductora cerrada. En este caso la rapi- 
dez de cambio de flujo magnetico a traves de la espira y la correspondiente fem de 
movimiento inducida a traves de la barra movil, son proportionates al cambio en el 
area de la espira. Como se vera, si la barra se jala hacia la derecha a velocidad cons- 
tante, el trabajo efectuado por la fuerza aplicada aparece como energia interna en 
el resistor R (vease la section 27.6). 

Puesto que el area encerrada por el circuito en cualquier instante es £x, donde 
x es el ancho del circuito en cualquier instante, el flujo magnetico a traves de dicha 
area es 

4> B = Blx 

Usando la ley de Faraday, y notando que x cambia con el tiempo a una rapidez dx/dt 
= v, se encuentra que la fem de movimiento inducida es 



S= -■ 



it 



= {Wx) = -M- 

dt dt 



E = -Mv 



(31.5) 



Puesto que la resistencia del circuito es R, la rhagnitud de la corriente inducida es 



|e| _ Btv 
~ R~ R 



(31.6) 



El diagrama del circuito equivalente para este ejemplo se muestra en la figura 31.9b. 



31.2 Fern en movimiento 



987 



Examine el sistema empleando consideraciones de energia. Puesto que no hay 
bateria en el circuito, uno puede preguntar acerca del origen de la corriente indu- 
cida y la energia electrica en el sistema. Se puede en tender la fuente deesta corrien- 
te y energia al observar que la fuerza aplicada realiza trabajo sobre la barra conduc- 
tora; y, por esa razon, mueve las cargas a traves de un campo magnetico. Su 
movimiento a traves del campo ocasiona que las cargas se muevan a lo largo de la 
barra a cierta velocidad de arrastre promedio y, en consecuencia, se establece una 
corriente. Puesto que la energia se debe conservar, el trabajo efectuado por la fuer- 
za aplicada sobre la barra durante algun intervalo de tiempo debe ser igual a la ener- 
gia electrica suministrada por la fem inducida en ese mismo periodo. Ademas, si la 
barra se mueve a rapidez constante, el trabajo hecho sobre ella debe ser igual a 
la energia entregada al resistor durante este intervalo de tiempo. 

Conforme se mueve a traves del campo magnetico uniforme B, la barra experi- 
menta una fuerza magnetica F B de magnitud HB (vease la section 29.2). La direc- 
tion de esta fuerza es opuesta al movimiento de la barra, hacia la izquierda en la fi- 
gura 31.9a. Puesto que la barra se mueve a velocidad constante, la fuerza aplicada 
debe ser igual en magnitud y opuesta en direction a la fuerza magnetica, o hacia la 
derecha en la figura 31.9a. (Si F fl actuara en la direction del movimiento, causaria 
que la barra : se acelerara. Esta situation violaria el principio de la conservation de 
la energia.) Usando la ecuacion 31.6, y el hecho de que F^, = UB, se ericuentra que 
la potencia entregada por la fuerza aplicada es 



9 = F, m v = (KB)v = 



B 2 £V 
R 



£1 

R 



(31.7) 



A partir de la ecuacion 27.23 se observa que esta potencia es igual a la rapidez a la 
cual la energia se entrega al resistor PR, como se habria esperado. Tambien es igual 
a la potencia IE suministrada por la fem de movimiento. Este ejemplo es una clara 
demostracion de la conversion de energia mecanica primero a energia electrica y fi- 
nahnente a energia interna en el resistor. 



Pregunta sorpresa 31.2 



Mientras un avion vuela de Los Angeles a Seattle, pasa a traves del campo magnetico de la 
Tierra. Como resultado, se desarrolla una fem de movimiento entre las puntas de las alas. 
iCual punta tiene carga positiva? 



R *b- 



*app 



V&L 



a) 



|e|=Ba> 



b) 

Figura 31.9 a) Una barra conduc- 
tors se desliza con una velocidad v a 
lo largo de dos rieles conductores ba- 
jo la action de una fuerza aplicada 
Fjpp. La fuerza magnetica F, se opone 
al movimiento, y una corriente /en el 
sentido contrario de las manecillas 
del reloj se induce en la espira. b) 
El diagrama de circuito equivalente 
para la configuration mostrada en la 
parte a). 



EjempiM 



Fem de movimiento inducida en una barra rotatoria 



Una barra conductora de longitud £ gira a una rapidez angu- 
lar constante w alrededor de un pivote en un extremo. Un 
campo magnetico uniforme B esta dirigido perpendicular- 
merrte~arplarib"de rotacion, como se muestra en la figura 
31.10. Determine la fem de movimiento inducida entre los 
extremos de la barra. 

Solution Considere un segmento de la barra de longitud 
dr, que adquiere una velocidad v. De acuerdo con la ecuacion 
31.5, la magnitud de la fem inducida en este segmento es 

dE=Bvdr 

Puesto que cada segmento de la barra se mueve perpendicu- 
larmente a B, una fem dEde la misma forma se genera a tra- 
ves de cada segmento. Al sumar las fem inducidas en todos 
los segmentos, los cuales estan en serie, se obtiene la fem to- 
tal entre los extremos de la barra: 




Figura 31.10 Una barra conductora gira en tomo a un pivote en 
uno de sus extremos en un campo magnetico uniforme que es per- 
pendicular al piano de rotacion. Una fem de movimiento se induce 
a traves de los extremos de la barra. 



988 



CAPITUL0 31 Ley de Faraday 



-J 



Bvdr 



Para integrar esta expresion advierta que la rapidez lineal de 
un elemento se relaciona con la rapidez angular w a traves de 



la relation v= no. Por tanto, puesto que By w son constan- 
tes, se encuentra que 

S= B(vdr = Btof' rdr= \Bu>£ 2 



Ejemplo 



Fuerza magnetica que actua sobre una barra deslizante 



La barra conductora ilustrada en la figura 31.1 l,de masa m y 
longitud I, se mueve sobre dos rieles paralelos sin friction en 
presencia de un campo mag neticouniforme dirigido hacia 
adentro de la pagina. A la barra se le da una velocidad initial 
v, hacia la derecha y se suelta en t = 0. Encuentre la velocidad . 
de la barra como una funcion del tiempo. 

Solution La corriente inducida esta en la direction contra- 
ria a la de las manecillas del reloj, y la fuerza magnetica es F B 
= -HB, donde el signo negativo significa que la fuerza es ha- 
cia la izquierda y retarda el movimiento. Esta es la unica fuer- 
za horizontal que actua sobre la barra y, consecuentemente, 
la segunda ley de Newton aplicada al movimiento en la direc- 
tion horizontal produce 

dv 
F, — ma = m — = -HB 
■dt 

A partir de la ecuacion 31.6 se sabe que /= Btv/R, de modo 
que esta expresion se puede escribir como 



dv 



m — = -- 
dt 

dv 



B 2 _£_ 

R 
(B 2 e 2 ^ 



mR 



dt 



Integrando esta ecuacion mediante la condition initial de 
que n = i>, en t = se encuentra que 



dt 



r»dv __ -b 2 e f' 

J„ v mR J 



donde la constante t= mR/Btl 2 . A partir de este resultado se 
ve que la velocidad puede expresarse en la forma exponential 

V = K 1 «"' /T 

Esta expresion indica que la velocidad de la barra disminuye 
exponencialmente con el tiempo bajo la action de una fuer- 
za magnetica retardadora. 

Ejercido Para la barra en este ejemplo encuentre expresio- 
nes para la corriente inducida y la magnitud de la fem indu- 
cida como funciones del tiempo. 

B£v- 
RespueSta I = -e~' /r ; 8 = Biv i e- ,/T . (Ambas disminu- 

yen exponencialmente con el tiempo.) 



■-*■■ **: 



■R .< y. 



3E 



Figura 31.11 A una barra conductora de longitud I que se desliza 
sobre dos rieles conductores fijos se le da una velocidad inicial v, ha- 
cia la derecha. 



Wi£3m^ LEY DE LENZ 



fr&fel&ii "l^0 



Qy^ La ley de Faraday (Ec. 31.1) indica que la fem inducida y el cambio en el flujo tie- 
nen signos algebraicos opuestos. Esto tiene una interpretation fisica muy real que 
se conoce como ley de Lenz 2 : 



12.7 



Desarrollada por el fisico aleman Heinrich Lenz (1804-1865). 



31.3 Ley de Lenz 



989 



La polaridad de la fem inducida es tal que tiende a producir una corriente que 
crea un flujo magnetico, el cual se opone al cambio del flujo magnetico a traves 
del area encerrada por la espira de corriente. 

Esto es, la corriente inducida tiende a evitar el cambio del flujo magnetico original 
• a traves del circuito desde la transformation. Como se vera, esta ley es una conse- 
cuencia de la ley de la conservacion de la energia. 

Para comprender la ley de Lenz regrese al ejemplo de una barra que se mueve 
hacia la derecha sobre dos rieles paralelos en presencia de un campo magnetico uni- 
forme, al cual se hara referenda como campo magnetico externo (Fig. 31.12a). A me- 
dida que la barra se mueve hacia la derecha, el flujo magnetico a traves del area en- 
cerrada por el circuito aumenta con el tiempo, ya que el area se incrementa. La ley 
de Lenz sefiala que la corriente inducida debe estar dirigida de modo que el flujo 
magnetico que produzca se oponga al cambio en el flujo magnetico extemo. En vis- 
ta de que el flujo magnetico extemo esta aumentando hacia adentro de la pagina, 
la corriente inducida, si se va a oponer a este cambio,' debe producir un flujo dirigi- 
do hacia afuera de la pagina. Por consiguiente, lacorriente inducida. debeestar di- 
rigida en sentido contrario al de las manecillas del relqj cuando la barra se mueve 
hacia la derecha; (Emplee la regla de la mano derecha para verificar esta direccion.) 
Si la barra se mueve hacia la izquierda, como se observa en la figura 31.12b, el flu- 
jo magnetico extemo a traves del area encerrada por la espira disminuye con el tiem- 
po. Puesto que el flujo esta dirigido hacia adentro de la pagina, la direccion de la 
corriente inducida debe estar en el sentido de las manecillas del relqj, de modo que 
produzca un flujo que tambien este dirigido hacia adentro de la pagina. En cual- 
quier caso, la corriente inducida tiende a mantener el flujo original que atraviesa el 
area encerrada por la espira de corriente. 

Examine esta situation desde el punto de vista de las consideraciones de ener- 
gia. Suponga que se da a la barra un ligero empujon hacia la derecha. En el anali- 
sis anterior se encontro que este movimiento establece en la espira una corriente en 
sentido contrario al de las manecillas del relqj. Vea que sucede si se supone que la 
corriente es en la direccion de las manecillas del relqj, tal que la direccion de la fuer- 
za magnetica ejercida sobre la barra sea hacia la derecha. Esta fuerza aceleraria la 
barra y aumentaria su velocidad. Esto, a su vez, causaria que el area encerrada por 
la espira aumentara mas rapidamente, lo que daria como resultado un incremento 
en la corriente inducida, y esto a su vez causaria un aumento en la fuerza que pro- 
vocaria un incremento en la corriente, y asi sucesivamente. En efecto, el sistema ad- 
quirirfa energia sin energia de entrada adicional. Esto sin duda es inconsistente con 
toda la experiencia y con la ley de la conservacion de la energia. De este modo, uno 
esta obligado a cpncluir que la corriente debe ser en la direccion contraria a la de 
las manecillas del relqj. 

Considere otra situation, una en la que un iman de barra se mueve hacia una 
espira metalica estacionaria, como se ve en la figura 31.13a. Conforme el iman se 
mueve a la derecha hacia la espira, el flujo magnetico extemo a traves de este au- 
menta con el tiempo. Para contrarrestar este aumento en el flujo hacia la derecha, 
la corriente inducida produce un flujo hacia la izquierda, como se ilustra en la figu- 
ra 31.13b; por tan to, la corriente inducida esta en la direction mostrada. Observe 
que las lfneas de campo magnetico asociadas con la corriente inducida se oponen 
al movimiento del iman. Conociendo que polos magneticos iguales se repelen entre 
si, se concluye que la cara izquierda de la espira de corriente es en esencia un polo 
norte y la cara derecha es un polo sur. 

Si el imari se moviera hacia la izquierda, como se muestra en la figura 31.13c, 
su flujo a traves del area encerrada por la espira, la cual esta dirigida hacia la dere- 
cha, disminuiria en el tiempo. Ahora la corriente inducida en la espira esta en la di- 
rection mostrada en la figura 31.13d porque esta direccion de corriente produce un 
flujo magnetico en la misma direccion que el flujo extemo. En este caso la cara iz- 
quierda de la espira es un polo sur y la cara derecha es un polo norte. 




a) 



R 



b) 

Figura 31.12 a) Conforme la barra 
conductora se desliza sobre los dos 
rieles conductores fijos, el flujo mag- 
netico a traves del area encerrada por 
la espira aumenta en el tiempo. Por la 
ley de Lenz, la corriente inducida de- 
be estar en sentido contrario a las ma- 
necillas del reloj a fin de producir un 
flujo magnetico en oposicion dirigido 
hacia afuera de la pagina. b) Cuando 
la barra se mueve a la izquierda, la 
corriente inducida debe estar en el 
sentido de las manecillas del reloj. 
jPor que? 



Experimento sorpresa jj^ 

Para este experimento se necesitan 
manos firmes, una moneda y un 
iman intense Despues de verificar 
que la moneda no es atraida hacia el 
iman, equilibre con cuidado la mo- 
neda sobre su canto. (Esto no fun- 
cionara con otras monedas porque 
requieren demasiada fuerza para vol- 
carse.) Sostenga un polo del iman a 
un milfmetro de la cara de la mone- 
da, pero no la empuje. Ahora aleje 
muy rapidamente el iman de la mo- 
neda. (Hacia donde se ladea la 
moneda? ;La moneda cae de la mis- 
ma manera la mayor parte de las ve- 
ces? Explique que esta ocurriendo 
en terminos de la ley de Lenz. Usted 
querra referirse a la figura 31.13. 



990 



CAP/TUL0 31 Ley de Faraday 





c) 



d) 



Figura 31.13 a) Cuando el iman se mueve hacia la.espira conductors, estacionaria, se induce una 
corriente en la direccion mostrada. b) Esta corriente inducida produce su propio flujo magnetico que 
esta dirigido hacia la izquierda y asi contrarresta el creciente flujo externo a la derecha. c) Cuando el 
iman se mueve alejandose de la espira conductora estacionaria, se induce una.corriente en la direccion 
mostrada. d) Esta corriente inducida produce un flujo magnetico que esta dirigido hacia la derecha y 
asi contrarresta el flujo externo decreciente a la derecha. 



Pregunta sorpresa 31.3 



La figura 31.14 muestra un iman que se esta moviendo en la vecindad de un solenoide co- 
nectado a un galvanometro. El polo sur del iman es el polo mas cercano al solenoide, y el 




Figura 31.14 Cuando un iman se mueve hacia 
o desde un solenoide unido a un galvanometro, 
se induce una corriente electrica, indicada por la 
desviacion momemanea de la aguja del galvano- 
metro. (Richard Megna/Fundammtal Photographs) 



31.3 Ley de Lenz 



991 



[ 



galvanometro indica una corriente en el solenoide en el sentido de las manecillas del reloj 
(vista desde arriba) . jLa persona esta insertando o sacarido el imah? 



Ejemplo coric 



Aplicacidn de la ley de Lenz 



Un anillo metalico se coloca cerca de un solenoide, cpmo se 
muestra en la figura 31.15a. Encuentre la direction de la co- 
rriente inducida en el anillo a) en el instante en que se cie- 
rra el interruptor eh el circuito que contiene al solenoide, b) 
despues de que el interruptor ha estado cerrado durante va- 
rios segundos, y c) en el instante en que se abre el interrup- 
tor. 

Solution a) En el instante en que se cierra el interruptor, 
la situation cambia de una condition en la cual no pasa flu- 
jo magnetico a traves del anillo a una en la que el flujo pasa 
a traves de el en la direction mostrada en la figura 31.15b. Pa- 
ra contrarrestar este cambio en el flujo, la corriente inducida 
en el anillo debe establecer un campo magnetico dirigido de 
izquierda a derecha en la figura 31.15b. Para esto es necesa- 
rio una corriente dirigida como se indica. 

b) Despues de que el interruptor ha estado cerrado por va- 
rios segundos no hay cambio en el flujo magnetico a traves de 
la espira; por tanto, la corriente inducida en el anillo es cero. 

c) La apertura del interruptor cambia la situation de una 
en la cual el flujo magnetico pasa por el anillo a una en la 
cual' no hay flujo magnetico. La direction de la corriente in- 



ducida es como se muestra en la figura 31.15c porque la co- 
rriente en esta direction produce un campo magnetico que 
esta dirigido de derecha a izquierda, con lo que contrarresta 
la disminucion en el campo producida por el solenoide. 




Ejemplo com. 



Una espira que se mueve a traves de un campo magnetico 



Una espira metalica rectangular de dimensiones (. y w y resis- 
tentia R se mueve con rapidez constante v hacia la derecha, co- 
mo se muestra eh la figura 31.16a, pasando a traves de un cam- 
po magnetico uniforme B dirigido hacia adentro de la pagina 
y que se extiende una distantia 3a; a lo largo del eje x. Definien- 
do x como la position del lado derecho de la espira a lo largo 
del eje x, grafique, como funciones de x, a) el flujo magnetico 
a traves del area encerrada por la espira, b) la fern de movi- 
miento inducida, y c) la fcierza aplicada externa necesaria para 
contrarrestar a la fuerza magnetica y mantener v constante. 

Solution a) La figura 31.16b muestra el flujo a traves del 
area encerrada por la espira como funcion de x. Antes de que 
la espira entre al campo el flujo es cero. A medida que ingre- 
sa en el, el flujo aumenta linealmente con la position hasta 
que el extremo izquierdo de la espira entra en el campo. Por 
ultimo, el flujo a traves de la espira disminuye linealmente 
hasta cero cuando la espira abandona el campo. 

b) Antes de que la espira entre al campo no hay fern de 
movimiento inducida en el, puesto que no hay campo presen- 
te (Fig. 31.16c). Conforme el lado derecho de la espira ingre- 
sa al campo, el flujo magnetico hacia adentro de la pagina 
empieza a crecer. Por consiguiente, de acuerdo con la ley de 
Lenz, la corriente inducida es en sentido contrario al de las 
manecillas del reloj, pues debe producir un campo magneti- 
co dirigido hacia afuera de la pagina. La fem de movimiento 



-Mv (a partir de la Ec. 31.5) surge de la fuerza magnetica ex- 
perimentada por cargas en el lado derecho de la espira. Cuan- 
do la espira esta por completo en el campo, el cambio en el 
flujo magnetico es cero y, por tanto, la fem de movimiento de- 
saparece. Esto ocurre porque, una vez que el lado izquierdo 
de la espira ingresa al campo, la fem de movimiento induci- 
da en el cancela la fem de movimiento presente en el lado 
derecho de la espira. A medida que el lado derecho de la es- 
pira deja el campo, el flujo interior comienza a disminuir, se 
induce una corriente en el sentido de las manecillas del reloj 
y la fem inducida es Btv. Tan pronto como el lado izquierdo 
sale del campo la fem se reduce a cero. 

c) La fuerza externa que se debe aplicar a la espira para 
mantener este movimiento se grafica en la figura 31.16d. An- 
tes de que la espira entre al campo no hay fuerza magnetica 
sobre el; en consecuencia, la fuerza aplicada debe ser cero si v 
es constante. Cuando el lado derecho de la espira entra al cam- 
po, la fuerza aplicada necesaria para mantener la rapidez cons- 
tante debe ser igual en magnitud y opuesta en direction a la 
fuerza magnetica ejercida sobre ese lado: F B =-I£B= -B i £ i v/R. 
Cuando la espira esta por completo en el campo, el flujo a tra- 
ves de el no cambia con el tiempo. Por tanto, la fem neta in- 
ducida en la espira es cero y la corriente tambien es cero. Por 
consiguiente, no es necesaria ninguna fuerza externa para 
mantener el movimiento. Por ultimo, a medida que el lado de- 
recho sale del campo, la fuerza aplicada debe ser igual en mag- 



992 



CAPITUL0 31 Ley de Faraday 



nitud y opuesta en direction a la fuerza magnetica que actua 
sobre el lado izquierdo de la espira. 

A partir de este analisis se concluye que la potencia solo se 
suministra cuando la espira esta entrando o saliendo del cam- 
po. Asimismo, este ejemplo muestra que la fem de movimien- 



to inducida en la espira puede ser cero jaun cuando haya mo- 
vimiento a trayes del campo! Una fem de movimiento se in- 
duce en la espira solo cuando el flujo magnetico a traves de 
este cambia en el tiempo. 



-Su> 



X X XXX 
M x |x ' x I X ' X 



Btv 


i 
i 

- u- 
l 
i 
l 












B(v 






1 1 X 

1 1 








1 1 



Figura 31.16 a) Una espira rectangular conductora de an- 
cho w y longitud I que se mueve a velocidad v a traves de un ' 
campo magnetico uniforme que se extiende una distancia 3 k;. 
b) Flujo magnetico a traves del area encerrada por la espira co- 
mo funcion de la posicion de la espira. c) Fem inducida como 
funcion de la posicion de la espira. d) Fuerza aplicada reque- ' 
rida para velocidad constante como funcion de la posicion de 
la espira. 



Mw 



a) 



c) 



1 1 
1 1 


i i 
i i 




B 2 ( 2 v 
R 










■ 






1 /' 

• 1 / 1 
l/ 1 


i \i 














w 

b) 


Sw iw 


X 






d) 


3u> 4a; 


X 




FEM INDUCIDA Y CAMPOS ELECTRICOS 



(°? Se ha visto que un flujo magnetico variable induce una fem y una corriente en una 
128 espira de conduction. En consecuencia, se debe concluir que un campo electrico se 
crea en el conductor como resultado del flujo magnetico variable. Sin embargo, es- 
te campo electrico inducido tiene dos propiedades importantes que lo distinguen 
del campo electrostatico producido por cargas estacionarias: el campo inducido no 
es conservative y varia en el tiempo. 

Se puede ilustrar este punto considerando una espira de conduccion de radio r 
situada en un campo magnetico uniforme perpendicular al piano de la espira, co- 
mo se ve en la figura 31.17. Si el campo magnetico cambia con el tiempo, entonces, 
de acuerdo con la ley de Faraday (Ec. 31.1), una fem £ = -d^e/dt se induce en la 
espira. La induccion de una corriente en la espira implica la presencia de un cam- 
po electrico inducido E, el cual debe ser tangente a la espira, ya que todos los pun- 
tos en el mismo son equivalentes. El trabajo hecho al mover una carga de prueba q 
una vez alrededor de la espira es igual a qS . Puesto que la fuerza electrica que ac- 
tua sobre la carga es <jrE, el trabajo realizado por esta fuerza al mover la carga una 
vez alrededor de la espira esta dada por qE(2irr), donde 27rres la circunferencia de 
la espira: Estas dos expresiones para el trabajo deben ser iguales; por tan to, se ve que 



B;, 



'igura 31.17 Una espira conduc- 
ora de radio r en un campo magneti- 
o uniforme perpendicular al piano 
le la espira. Si B cambia en el tiem- 
>o, un campo electrico es inducido 
■n una direction tangente a la circun- 
erencia de la espira. 



qS= qE(2vr) 



2irr 

Usando este resultado, junto con la ecuacion 31.1 y el hecho de que <I> B = BA = irr^B 
para una espira circular, se encuentra que el campo electrico inducido puede expre- 
sarse como 



31.4 Fern inducida y campos el&tricos 



993 



E = - 



V 



1 d<t> B 

2t7t dt 



r_dB_ 
2 dt 



(31.8) 



Si se especifica la variation en el tiempo del campo magnetico, el campo electrico 
inducido se puede calcular con facilidad a partir de la ecuacion 31.8. El signo nega- 
tivo indica que el campo electrico inducido se opone al cambio en el campo mag- 
netico. 

La fern para cualquier trayectoria cerrada puede expresarse como la integral de 
li'nea de E-ds sobre dicha trayectoria: & = flE-ds. En casos mas generales, E no pue- 
de ser constante, y la trayectoria no puede ser un cfrculo. Por tanto, la ley de induc- 
tion de Faraday, £= —d&g/dt, puede escribirse en la forma general como 



* 



>E • ds = - 



dt 



(31.9) 



Ley de Faraday en la forma general 



Es importante reconocer que el campo electrico inducido £ en la ecuacion 31.9 
es no conservative y variable en el tiempo, y se genera a partir de un campo magne- 
tico variable. El campo E que satisface la ecuacion 31.9 podria no ser un campo elec- 
trostatico por la siguiente razon: si el campo fuese electrostatico y, por tanto, conser- 
vative,